En un cuadrilátero cóncavo

Hay nuevos comentarios sin leer

Os dejo hoy el problema de esta semana, que en este caso no es muy difícil. Ahí va el enunciado:

Sea $XYZT$ un cuadrilátero cóncavo tal que $\angle YXT=\angle XYZ=\angle ZTX=45^\circ$ . Demostrar que $XZ=YT$ .

Suerte.

4 comentarios

Vayapordios | 25 de October de 2010 | 08:45

Con un dibujo se ve fácilmente. La figura tiene la forma de punta de flecha. Las prolongaciones de los lados que hacen cóncavo el polígono forman ángulos rectos con los lados, de hecho forman triángulos (dos) rectángulos isósceles. Los cuatro triángulos formados por las líneas del problema, un lado y la prolongación de que hablaba son iguales dos a dos.

Ya digo que con el dibujo se ve bien, pero no dispongo de almacenamiento en web para ponerlo aquí. La clave está en lo que he comentado, que hay una gran regularidad en la figura con cuatro triángulos rectángulos isósceles en su interior.
Trackback | 25 Oct, 2010

Bitacoras.com
cullero | 25 de October de 2010 | 12:06

Como la suma de los ángulos internos de $XYZT$ ha de ser $2\pi$ , el ángulo $\angle YZT>\pi$ . Por tanto, si se prolonga el lado $YZ$ , cortará en el punto $A$ del lado $XT$ .

Ahora bien, como los ángulos $\angle YXT=\angle XYZ=$ 45, el triángulo $XYA$ es isósceles y rectángulo. Por tanto, el ángulo interior $\angle ZAT$ del triángulo también $AZT$ vale 45. Así, el triágulo $ZAT$ es también isósceles y rectángulo, con $AZ=ZT$ . Como los triángulos $ZXA$ y $TAY$ son rectángulos con dos lados iguales, a saber, $AX=AY$ y $AZ=AT$ , entonces son iguales. Por lo tanto, el tercer lado también es igual, es decir $ZX = TY$ . CQD.
Pepitozamota | 25 de October de 2010 | 13:48

Si dibujamos el problema obtenemos un resultado idéntico al que se nos propone en wikipedia para explicar el ortocentro:

http://es.wikipedia.org/wiki/Ortocentro

Si unimos Y y T obtenemos un triángulo XYT cuyo ortocentro es Z. Si dibujamos las tres alturas del triángulo y denominamos W al punto intersección entre las rectas YZ y XT apreciamos claramente dos triángulos idénticos XWZ y WYT cuyas hipotenusas son XZ e YT respectivamente. Por lo tanto XZ = YT.

Lo he resuelto por métodos gráficos, pero quien busque una explicación mas teórica puede hallarla de forma sencilla aplicando el teorema del seno en los triángulos XWY y WYT ya que ambos tienen la misma altura.

Realizando unos pocos cálculos obtenemos que:

· XW = 4*WT –> XZ = YT = Raiz(17)*WT = Raiz(17)/4 * XW = Raiz(17)/5 * XT