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Encerrando al seno

El problema de la semana es el siguiente:

Demostrar la siguiente desigualdad:

\cfrac{20}{60} < sen(20^\circ) < \cfrac{21}{60}

A por él, que no es difícil.

Autor: ^DiAmOnD^ |  Publicado el 24 de Marzo de 2009
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Categorías: Juegos |  Imprime este post Imprime este post

4 comentarios

  1. Trackback | 24 Mar, 2009

    Bitacoras.com

  2. Manzano | 24 de Marzo de 2009 | 11:20

    A partir de la fórmula sen(3x)=3sen(x)-4sen^3(x), que se deduce de la fórmula de de Moivre y de la identidad fundamental, haciendo x=20, obtenemos que sen(20) es una solución de la ecuación f(x)=0 donde f(x)=4x^3-3x+\frac{\sqrt{3}}{2}. Ahora bien, es fácil ver que

    f(20/60)=\frac{-23}{27}+\frac{\sqrt{3}}{2} es menor que cero.
    f(21/60)=\frac{-1757}{2000}+\frac{\sqrt{3}}{2} es mayor que cero.

    luego f(x) tiene una solución entre los valores del enunciado. Para ver que esta solución es sen(20), descartemos las otras dos soluciones de f(x)=0. Como f(1/2) es negativo y lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty, f(x) tiene una solución mayor que 1/2, pero claramente sen(20)<1/2. Por otro lado, f(0) es positivo y lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty luego f(x)=0 tiene una solución negativa, que tampoco puede ser sen(20). Por tanto, sen(20) tiene que ser la solución entre 20/60 y 21/60, como queríamos probar.

  3. lucagali | 24 de Marzo de 2009 | 16:13

    Otra opción menos elegante es utilizar el polinomio de Taylor
    sen(x) = x - \cfrac{x^3}{3!} + \frac{sen(\theta x + 3\pi/2)x^3}{3!}
    Donde si acotamos el error y tomamos x=\pi/9=20º
    sen(\pi/9) = \pi/9 - \cfrac{(\pi/9)^3}{6} \pm 0.02 = 0.342 \pm 0.02, lo que nos garantiza la desigualdad buscada.

  4. hernan | 24 de Marzo de 2009 | 23:23

    Me parece bien lo de Manzano.
    Pensé que también podía demostrarse usando la conocida desigualdad (en el primer cuadrante) sin(x) < x < tg(x) de la cual se deduce que \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} < sin(x) < x
    Pero de las cotas resultantes (aprox. 19.7/60 y 20.9/60) la inferior no resulta suficientemente ajustada para lo pedido.

Comentarios cerrados.