Encerrando al seno

El problema de la semana es el siguiente:

Demostrar la siguiente desigualdad:

\cfrac{20}{60} < sen(20^\circ) < \cfrac{21}{60}[/latex]

A por él, que no es difícil.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

3 Comentarios

  1. A partir de la fórmula sen(3x)=3sen(x)-4sen^3(x), que se deduce de la fórmula de de Moivre y de la identidad fundamental, haciendo x=20, obtenemos que sen(20) es una solución de la ecuación f(x)=0 donde f(x)=4x^3-3x+\frac{\sqrt{3}}{2}. Ahora bien, es fácil ver que

    f(20/60)=\frac{-23}{27}+\frac{\sqrt{3}}{2} es menor que cero.
    f(21/60)=\frac{-1757}{2000}+\frac{\sqrt{3}}{2} es mayor que cero.

    luego f(x) tiene una solución entre los valores del enunciado. Para ver que esta solución es sen(20), descartemos las otras dos soluciones de f(x)=0. Como f(1/2) es negativo y lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty, f(x) tiene una solución mayor que 1/2, pero claramente sen(20)<1/2. Por otro lado, f(0) es positivo y lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty luego f(x)=0 tiene una solución negativa, que tampoco puede ser sen(20). Por tanto, sen(20) tiene que ser la solución entre 20/60 y 21/60, como queríamos probar.

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  2. Otra opción menos elegante es utilizar el polinomio de Taylor
    sen(x) = x - \cfrac{x^3}{3!} + \frac{sen(\theta x + 3\pi/2)x^3}{3!}
    Donde si acotamos el error y tomamos x=\pi/9=20º
    sen(\pi/9) = \pi/9 - \cfrac{(\pi/9)^3}{6} \pm 0.02 = 0.342 \pm 0.02, lo que nos garantiza la desigualdad buscada.

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  3. Me parece bien lo de Manzano.
    Pensé que también podía demostrarse usando la conocida desigualdad (en el primer cuadrante) sin(x) < x < tg(x) de la cual se deduce que  \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}  < sin(x)  < x
    Pero de las cotas resultantes (aprox. 19.7/60 y 20.9/60) la inferior no resulta suficientemente ajustada para lo pedido.

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

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Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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