Encerrando al seno

El problema de la semana es el siguiente:

Demostrar la siguiente desigualdad:

$\cfrac{20}{60} < sen(20^\circ) < \cfrac{21}{60}$

A por él, que no es difícil.

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Trackback | 24 Mar, 2009

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Manzano | 24 de March de 2009 | 11:20

A partir de la fórmula $sen(3x)=3sen(x)-4sen^3(x)$ , que se deduce de la fórmula de de Moivre y de la identidad fundamental, haciendo $x=20$ , obtenemos que $sen(20)$ es una solución de la ecuación $f(x)=0$ donde $f(x)=4x^3-3x+\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Ahora bien, es fácil ver que

$f(20/60)=\frac{-23}{27}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ es menor que cero.
$f(21/60)=\frac{-1757}{2000}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ es mayor que cero.

luego $f(x)$ tiene una solución entre los valores del enunciado. Para ver que esta solución es $sen(20)$ , descartemos las otras dos soluciones de $f(x)=0$ . Como $f(1/2)$ es negativo y $lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty$ , $f(x)$ tiene una solución mayor que 1/2, pero claramente $sen(20)<1/2$ . Por otro lado, $f(0)$ es positivo y $lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$ luego $f(x)=0$ tiene una solución negativa, que tampoco puede ser $sen(20)$ . Por tanto, $sen(20)$ tiene que ser la solución entre 20/60 y 21/60, como queríamos probar.
lucagali | 24 de March de 2009 | 16:13

Otra opción menos elegante es utilizar el polinomio de Taylor
$sen(x) = x - \cfrac{x^3}{3!} + \frac{sen(\theta x + 3\pi/2)x^3}{3!}$
Donde si acotamos el error y tomamos $x=\pi/9=20$ º
$sen(\pi/9) = \pi/9 - \cfrac{(\pi/9)^3}{6} \pm 0.02 = 0.342 \pm 0.02$ , lo que nos garantiza la desigualdad buscada.
hernan | 24 de March de 2009 | 23:23

Me parece bien lo de Manzano.
Pensé que también podía demostrarse usando la conocida desigualdad (en el primer cuadrante) $sin(x) < x < tg(x)$ de la cual se deduce que $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} < sin(x) < x$
Pero de las cotas resultantes (aprox. 19.7/60 y 20.9/60) la inferior no resulta suficientemente ajustada para lo pedido.