Encontrando la suma a partir del divisor
Os dejo aquí el problema de la semana:
Sea
un número natural. Probar que existe otro número natural
tal que para todo natural
se verifica que:
divide a
.
A por él.
Os dejo aquí el problema de la semana:
Sea
un número natural. Probar que existe otro número natural
tal que para todo natural
se verifica que:
divide a
.
A por él.
Comentarios cerrados.
Javier | 29 de April de 2008 | 12:44
Si b=a^2 es evidente, puesto que el resto de k mod a, (k+a) mod a, (k+2a) mod a, …, k+(a(a-1)) mod a k={1, 2, …., a) es el mismo llamemoslo n y n*a mod a=0 para todo n.
Saludos
Acid | 29 de April de 2008 | 19:18
Sí, claro… Siempre existe un b=1 … y para todo n resulta que a divide a 1^n = 1
jejeje
No entendí el comentario de Javier…
Suma = 1^n +2^n +… +(a^2)^n =
= 1^n + … +a^(2*n)
no entiendo por qué “(Suma mod a) = 0″
Javier | 29 de April de 2008 | 20:59
Como
y todos los terminos excepto
tienen como factor comun
,
y
coinciden.
Damián | 30 de April de 2008 | 01:39
Javier dio la idea, pero no la explicó muy bien, además de que hay inconsistencias en su notación. Trataré de reescribir su idea.
Hay que recordar el binomio de Newton:
Entonces tenemos que:
(1)
Sea
Entonces, aplicando (1) inteligentemente, obtenemos las siguientes congruencias ciertas:
$latex m \equiv (1 + 2a)^n + (2 + 2a)^n + \cdots + (a+2a)^n \pmod{a} \\ \vdots \\
m \equiv (1+(a-1)a)^n + (2+(a-1)a)^n + \cdots + (a+(a-1)a)^n$
Las anteriores son exactamente
congruencias, y si sumamos sus lados derechos la suma es igual a
Por lo tanto, si sumamos todas las congruencias, tenemos que
Y eso implica que
Por lo tanto
divide a 
Domingo HA | 30 de April de 2008 | 11:32
Efectivamente, Javier.
Acid, b=1 no nos vale: a divide a 1 sólo si a=1.