Encontrar las complejas no es nada complejo

Como ya sabemos, las ecuaciones polinómicas de segundo grado pueden tener 0, 1 ó 2 soluciones reales. ¿Cómo representamos gráficamente dichas soluciones reales en un plano? Pues como los puntos en los que la gráfica de la función correspondiente corta al eje X. Por ejemplo, la ecuación

x^2+3x+2=0

tiene como soluciones x=-1 y x=-2 (recordad que se calculaban con la famosa fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado). Entonces los puntos del plano que corresponden a ellas son (-1,0) y (-2,0), es decir, los puntos -1 y -2 en el eje X:


Si dibujamos la gráfica de f(x)=x^2+3x+2 obtendremos una parábola (como ocurre con todas las polinómicas de segundo grado) que corta al eje X en esos dos puntos:

Si nos encontramos con una ecuación de segundo grado que tiene una única solución real es porque dicha solución tiene lo que se llama “multiplicidad” dos, que significa que aparece dos veces como solución al utilizar la fórmula habitual para resolver la ecuación. En la gráfica esto se ve porque la parábola correspondiente a dicha ecuación corta al eje X en un único punto, que a su vez es el vértice de dicha parábola. Por ejemplo, para -x^2+6x-9=0, que tiene como única solución real x=3, tendríamos la siguiente representación gráfica:

Bien, ¿y que ocurre cuando la ecuación no tiene soluciones reales? Pues que aparecen dos soluciones complejas, esto es, dos números complejos (conjugados uno del otro) que son soluciones de nuestra ecuación. Evidentemente también pueden calcularse con la fórmula y después de conocerlas podemos representarlas en el plano. Pero, ¿cómo podríamos dibujarlas sin haberlas calculado, sin conocerlas previamente?

Recapitulando, tenemos que con dos soluciones reales la gráfica es una parábola que corta al eje X en dos puntos, que corresponden con las soluciones de la ecuación, y con una única solución real la gráfica nos dice también cuál es, ya que tendríamos una parábola que cortaría al eje X en un único punto (la solución). ¿Y con dos soluciones complejas? Pues muy sencillo:

Para representar gráficamente las dos soluciones complejas de una ecuación de segundo grado seguiremos los pasos siguientes:

  • Dibujamos la parábola correspondiente a la ecuación, que evidentemente no cortará al eje X
  • Dibujamos después la parábola simétrica a ésta respecto a la recta horizontal que pasa por su vértice. Nos quedará una parábola que corta al eje X en dos puntos.
  • Tomamos estos dos puntos como los extremos de un diámetro de una circunferencia que, por tanto, estará centrada en el punto medio entre esos dos puntos de corte.
  • Los puntos que quedan más arriba y más abajo de dicha circunferencia corresponden a la representación gráfica de las soluciones complejas.

Veamos un ejemplo. Tomamos la ecuación x^2-2x+5=0, que al dibujarla nos da una parábola que está completamente contenida en la parte positiva del eje Y, por lo que no corta al eje X y, por tanto, no tiene soluciones reales:

Representamos ahora la recta que pasa por el vértice de la parábola (línea de puntos) y reflejamos nuestra parábola respecto a ella. Obtenemos otra parábola que, esta vez sí, corta al eje X en dos puntos (en verde). Marcamos el punto medio entre ellos (en negro) y dibujamos la circunferencia de centro este punto medio y radio la distancia de él a cualquiera de los cortes con el eje X. Los puntos superior e inferior de dicha circunferencia (en azul) son las representaciones gráficas de las dos soluciones complejas de la ecuación inicial. Podéis verlo todo en esta imagen:

Como podéis intuir a partir de la imagen, los dos puntos azules están situados en el (1,2) y el (1,-2), que corresponden a los números complejos 1+2i y 1-2i, que a su vez son las dos soluciones complejas de la ecuación inicial.

Curioso, ¿verdad?

¿Por qué ocurre esto?

Pues muy sencillo. Supongamos que nuestra parábola inicial está completamente incluida en la parte positiva del eje Y (daría igual suponerla en la parte negativa). Entonces su ecuación puede escribirse así:

y=(x-a)^2+b

con a, b \in \mathbb{R} y b > 0. La ecuación de la parábola reflejada será entonces así:

y=-(x-a)^2+b

Si desarrollamos esta segunda ecuación igualada a cero nos queda -x^2+2ax-a^2+b=0. Y si la resolvemos obtenemos como soluciones los números reales a \pm \sqrt{b}, que son los cortes con el eje X (en verde en la imagen). A partir de ellos se construye la circunferencia anterior, que por tanto tiene centro a y radio \sqrt{b}.

Si ahora desarrollamos la primera ecuación igualada a cero nos queda x^2-2ax+a^2+b=0, cuyas soluciones son a \pm i \sqrt{b}. No es nada difícil ver que estos puntos pertenecen a la misma circunferencia que los anteriores y, usando que multiplicar por i es girar 90º en el sentido contrario de las agujas de un reloj, darse cuenta de que son los obtenidos de los primeros (los verdes en la figura anterior) al girar esos 90º, esto es, los marcados en azul en la figura. Sencillo, a la par que curioso.


Visto en Su, Francis E., et al. “Complex Roots Made Visible.” Math Fun Facts.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

10 Comentarios

  1. Magnífico, magnífico, magnífico. Esto siempre me había intrigado.

    Y desde mi ignorancia, me atrevería a preguntar: ¿qué significa que una parábola que podemos representar en los ejes cartesianos (reales) tenga dos soluciones complejas?

    Las raices reales son puntos de corte con OX ¿y las complejas, son también puntos de corte?

    ¿Podríamos representar la parábola en el plano complejo y ver las soluciones complejas como “puntos de corte” o algo así?

    Agradecería enormemente alguna pista para aclarar mis dudas.

    Publica una respuesta
  2. Muy interesante y sencillo de comprender el por qué.

    Lo único que no me convence es cuando en la explicación final, refiriéndote a la parábola, decís: “su ecuación puede escribirse así…” o “La ecuación de la parábola reflejada será entonces así…” y a continuación ponés una igualdad con 0, que sería la ecuación utilizada para hallar los ceros y no la ecuación de la parábola.

    Saludos,
    Matías

    Publica una respuesta
  3. Cuando dices

    “Supongamos que nuestra parábola inicial está completamente incluida en la parte positiva del eje Y”

    te refieres a que la parábola está completamente contenida en el semiplano cuyas ordenadas son positivas, ¿no?

    Publica una respuesta
  4. @Jones, si, es exaatemente eso lo que quiere decir. Muy curioso y elegante el metodo.

    Publica una respuesta
  5. Disculpa pero, ¿no sería más correcto decir que b es un número real positivo? Gracias!

    Publica una respuesta
  6. Agradecería mucho ver la representación de una parábola que fuera una función de x1 y x2 (coordenadas del plano complejo) que asigna valores en y1 e y2 (otro plano complejo). ¿Coincide la coordenada compleja y2 con la coordenada compleja x2?

    Publica una respuesta
  7. Está buena la construcción. Pero hay un problema. En qué plano vamos a trabajar? Real o complejo?. Porque en el plano Real, al pedirle a Geogebra que halle las raíces de la parábola, da Indefinido. Pensé que era un error, ya que las raíces existen y son complejas. y ése es justamente el problema. Geogebra está trabajando en el plano real, entonces ( en ese plano, las raíces no están definidas). Y entonces, con qué derecho vamos ubicar las raíces complejas en el plano Real?

    Publica una respuesta
  8. Rubén | 2 de March de 2012 | 17:53

    Por debes suponer que
    la interseccion (Plano XY) con (Plano complejo) estan contenidos en ambos a su vez… o dicho de otro modo que se contienen mutuamente
    Y obviamente Geogebra no puede manipular la informacion de esa manera,… tambien tienes que hacer un poco de algebra para llegar al resultado por tu cuenta.

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: Como ya sabemos, las ecuaciones polinómicas de segundo grado pueden tener 0, 1 ó…
  2. Números complejos | MÁS MATES .net - […] Raices complejas de una ecuación de 2º grado: […]

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *