Comments on: Encontremos la función http://gaussianos.com/encontremos-la-funcion/ Porque todo tiende a infinito... Fri, 10 Feb 2012 21:24:04 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 By: M http://gaussianos.com/encontremos-la-funcion/#comment-10405 M Wed, 10 Jun 2009 18:19:12 +0000 http://gaussianos.com/?p=1072#comment-10405 Al respecto de la cuestión sobre enumeración de los racionales que proponía arnau messegue el 20 de marzo de 2009, acabo de ver que aparece explicada en El libro de las demostraciones (Nivola, 2005), de Aigner y Ziegler, páginas 94-98. También se cita en http://research.att.com/~njas/sequences/A002487 Al respecto de la cuestión sobre enumeración de los racionales que proponía arnau messegue el 20 de marzo de 2009, acabo de ver que aparece explicada en El libro de las demostraciones (Nivola, 2005), de Aigner y Ziegler, páginas 94-98. También se cita en http://research.att.com/~njas/sequences/A002487

]]> By: Ramon http://gaussianos.com/encontremos-la-funcion/#comment-10404 Ramon Sat, 21 Mar 2009 02:45:44 +0000 http://gaussianos.com/?p=1072#comment-10404 g g

]]> By: Toro Sentado http://gaussianos.com/encontremos-la-funcion/#comment-10403 Toro Sentado Fri, 20 Mar 2009 00:21:16 +0000 http://gaussianos.com/?p=1072#comment-10403 Por cierto, observar que si el postulado de Bertrand fuera falso, también lo sería la conjetura de Goldbach Por cierto, observar que si el postulado de Bertrand fuera falso, también lo sería la conjetura de Goldbach

]]> By: Toro Sentado http://gaussianos.com/encontremos-la-funcion/#comment-10402 Toro Sentado Fri, 20 Mar 2009 00:03:01 +0000 http://gaussianos.com/?p=1072#comment-10402 Como contestación al primer problema del post, decir que la única función que cumple las premisas del problema puede demostrase que es f(x)=x+1. Os pongo el razonamiento que he seguido a "grosso modo" porque creo que puede ser interesante: a) Se define F(x)=f(x)-x (más que nada porque me ha ayudado a visualizar mejor el problema) b) $latex \exists x$ / F(x)=-x (por la propiedad 2 del post) c) Si F(x)=0 $latex \Rightarrow \forall y$ F(z·(F(y)+y))=0 (por la propiedad 5 del post) d) Del punto c) se deduce que $latex \nexists x$ / F(x)=0, ya que en caso contrario usando b) y c) se llegaría a F(0)=0 (en contradicción con la premisa 3) e) Si F(x)=-x $latex \Rightarrow \forall y$ F(z·F(y))=-z·F(y) (de la premisa 5 del post) f) De e) se deduce que si F(z)=-z $latex \Rightarrow$ z=1 o z=-1. En caso contrario el conjunto de raíces de f(x) no tendría máximo (en contradicción con la premisa 2) g) Si x>0 $latex \Rightarrow$ F(x)>0, en caso contrario, $latex \exists z$ / F(z)=0 (por la premisa 1) h) De f) y g) se deduce que F(-1)=1, es decir f(-1)=0 es la única raíz de f(X) i) De h) y e) se deduce que F(x)=F(-F(x)). Esto solo puede pasar si F(x)=1 para todo x, es decir para f(x)=x+1 Saludos a todos. Como contestación al primer problema del post, decir que la única función que cumple las premisas del problema puede demostrase que es f(x)=x+1. Os pongo el razonamiento que he seguido a “grosso modo” porque creo que puede ser interesante:

a) Se define F(x)=f(x)-x (más que nada porque me ha ayudado a visualizar mejor el problema)

b) \exists x / F(x)=-x (por la propiedad 2 del post)

c) Si F(x)=0 \Rightarrow \forall y F(z·(F(y)+y))=0 (por la propiedad 5 del post)

d) Del punto c) se deduce que \nexists x / F(x)=0, ya que en caso contrario usando b) y c) se llegaría a F(0)=0 (en contradicción con la premisa 3)

e) Si F(x)=-x \Rightarrow \forall y F(z·F(y))=-z·F(y) (de la premisa 5 del post)

f) De e) se deduce que si F(z)=-z \Rightarrow z=1 o z=-1. En caso contrario el conjunto de raíces de f(x) no tendría máximo (en contradicción con la premisa 2)

g) Si x>0 \Rightarrow F(x)>0, en caso contrario, \exists z / F(z)=0 (por la premisa 1)

h) De f) y g) se deduce que F(-1)=1, es decir f(-1)=0 es la única raíz de f(X)

i) De h) y e) se deduce que F(x)=F(-F(x)). Esto solo puede pasar si F(x)=1 para todo x, es decir para f(x)=x+1

Saludos a todos.

]]> By: M http://gaussianos.com/encontremos-la-funcion/#comment-10401 M Thu, 19 Mar 2009 23:36:03 +0000 http://gaussianos.com/?p=1072#comment-10401 Es una forma más de contar los racionales positivos. La función representa el árbol de Stern-Brocot http://www.cut-the-knot.org/blue/Fusc.shtml#Lemma4 Una prueba se encuentra en http://www.math.upenn.edu/~wilf/website/recounting.pdf Es una forma más de contar los racionales positivos. La función representa el árbol de Stern-Brocot http://www.cut-the-knot.org/blue/Fusc.shtml#Lemma4

Una prueba se encuentra en http://www.math.upenn.edu/~wilf/website/recounting.pdf

]]> By: arnau messegue http://gaussianos.com/encontremos-la-funcion/#comment-10400 arnau messegue Thu, 19 Mar 2009 22:13:10 +0000 http://gaussianos.com/?p=1072#comment-10400 Tal como hizo Joseph, me gustaría proponer un difícil pero bello problema de teoría de números, (siempre y cuando ^Diamond^ me lo permita). El problema dice: Considérese una función f : R -> R tal que f(x) = 1/( 2[x] - x + 1). Y considérese la secuencia alfa_n, con alfa_0 = 1, i alfa_(n + 1) = f( alfa_n) para n = 0, 1,2,.... Probar que (alfa_n) = Q^{+} ([x] indica parte entera de x, y Q^{+} indica el conjunto de los racionales positivos) (quien lo saque en menos de un día de tiempo a partir de la fecha de publicación le pago una cocacola) Tal como hizo Joseph, me gustaría proponer un difícil pero bello problema de teoría de números, (siempre y cuando ^Diamond^ me lo permita).
El problema dice:
Considérese una función f : R -> R tal que f(x) = 1/( 2[x] – x + 1). Y considérese la secuencia alfa_n, con alfa_0 = 1, i alfa_(n + 1) = f( alfa_n) para n = 0, 1,2,….
Probar que (alfa_n) = Q^{+}
([x] indica parte entera de x, y Q^{+} indica el conjunto de los racionales positivos)
(quien lo saque en menos de un día de tiempo a partir de la fecha de publicación le pago una cocacola)

]]> By: arnau messegue http://gaussianos.com/encontremos-la-funcion/#comment-10399 arnau messegue Thu, 19 Mar 2009 13:48:34 +0000 http://gaussianos.com/?p=1072#comment-10399 Joseph, tu problema es trivial utilizando la extensión del postulado de Bertrand, que asegura que para naturales n y k, con n > k, luego en la secuencia n, n + 1, ..., n + k - 1 existe un número que tiene un factor primo mayor que k. En particular cogiendo, n = p_(i + 1)+ 1 y k = p_i, se llega a que en la secuencia p_(i + 1) + 1, ..., p_(i + 1) + p_i contiene un número cuyo factor primo es mayor que p_i, por lo tanto su factor primo es igual o mayor que p_(i + 1), pero cualquier numero en la sequencia es menor que 2p_( i + 1), por lo tanto el menor factor primo tiene que ser igual o mayor a p_(i + 2), luego tiene que haver el número p_(i + 2) en la secuencia, i como p_i + p_( i + 1) es par para p_i > 2, luego p_( i + 2) < p_i + p_( i + 1) Joseph,
tu problema es trivial utilizando la extensión del postulado de Bertrand, que asegura que para naturales n y k, con n > k, luego en la secuencia n, n + 1, …, n + k – 1 existe un número que tiene un factor primo mayor que k.
En particular cogiendo, n = p_(i + 1)+ 1 y k = p_i, se llega a que en la secuencia p_(i + 1) + 1, …, p_(i + 1) + p_i contiene un número cuyo factor primo es mayor que p_i, por lo tanto su factor primo es igual o mayor que p_(i + 1), pero cualquier numero en la sequencia es menor que 2p_( i + 1), por lo tanto el menor factor primo tiene que ser igual o mayor a p_(i + 2), luego tiene que haver el número p_(i + 2) en la secuencia, i como p_i + p_( i + 1) es par para p_i > 2, luego p_( i + 2) < p_i + p_( i + 1)

]]> By: Joseph http://gaussianos.com/encontremos-la-funcion/#comment-10398 Joseph Thu, 19 Mar 2009 07:29:45 +0000 http://gaussianos.com/?p=1072#comment-10398 Con P(n)>2 ,claro esta !!!! Con P(n)>2 ,claro esta !!!!

]]> By: Joseph http://gaussianos.com/encontremos-la-funcion/#comment-10397 Joseph Thu, 19 Mar 2009 07:27:38 +0000 http://gaussianos.com/?p=1072#comment-10397 Teorema:La suma de 2 primos consecutivos P(n) y P(n+1) es mayor que el tercer numero primo consecutivo. P(n) + P(n+1) > P(n+2) > P(n+1) Que es una cota igual o mas pequeña que el postulado fuerte de Bertrand. Teorema:La suma de 2 primos consecutivos P(n) y P(n+1) es mayor que el tercer numero primo consecutivo.

P(n) + P(n+1) > P(n+2) > P(n+1)

Que es una cota igual o mas pequeña que el postulado fuerte de Bertrand.

]]> By: Joseph http://gaussianos.com/encontremos-la-funcion/#comment-10396 Joseph Thu, 19 Mar 2009 07:24:59 +0000 http://gaussianos.com/?p=1072#comment-10396 Utilice el postulado de Bertrand con n y 2n.Despues supuse dos casos para el primo consecutivo: que fuera 2p-k (con k impar, mayor que 1), y el otro caso que fuera 2p-1,pero haciendo este ultimo llegaba a una contradiccion(depues de manipular de diversdas formas la desigualdad del postulado). Independientemente del problema anterior, llegue a probar algo a mi parecer interesante: Teorema:La suma de 2 primos consecutivos P(n) y P(n+1) es mayor que el tercer numero consecutivo. P(n) + P(n+1) > P(n+2) > P(n+1) Que es una cota igual o mas pequeña que el postulado fuerte de Bertrand. Utilice el postulado de Bertrand con n y 2n.Despues supuse dos casos para el primo consecutivo: que fuera 2p-k (con k impar, mayor que 1), y el otro caso que fuera 2p-1,pero haciendo este ultimo llegaba a una contradiccion(depues de manipular de diversdas formas la desigualdad del postulado).

Independientemente del problema anterior, llegue a probar algo a mi parecer interesante:

Teorema:La suma de 2 primos consecutivos P(n) y P(n+1) es mayor que el tercer numero consecutivo.

P(n) + P(n+1) > P(n+2) > P(n+1)

Que es una cota igual o mas pequeña que el postulado fuerte de Bertrand.

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