Encuentra el término general

XKwazer, lector de Gaussianos, me manda un mail comentándome un problema que le ha surgido y me ha pedido que lo comente en el blog para ver si alguien le puede ayudar. El problema es el siguiente:

Encontrar el término general de la siguiente sucesión expresada en forma recurrente:

a_1=0, a_n=\sqrt{2+a_{n-1}}

A ver si alguien puede echarle una mano.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

8 Comentarios

  1. He encontrado esto:

    http://mathworld.wolfram.com/NestedRadical.html

    Las ecuaciones 4 y 5 dan la idea. Rápidamente.

    an = 2*cos(PI/(2^(n+1)))

    Podría lucirme yendo a una página o fingiendo una demostración, pero prefiero no fardar si no lo merezco.

    (Odio usar comandos que marean para que los demás puedan leer fácilmente las expresiones. Que trabajen los demás.)

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  2. Me siento sorprendido. Conocía un método (no recuerdo examente cual) general mediante el cual expresar una sucesion como un polinomio, pero no servía para esto porque no es una expresión homogénea.
    El caso es que no esperaba encontrar una respuesta ni tan rapido ni tan exacta. Muy agradecido. Pero ¿Se puede conseguir una expresión que no tenga expresiones trigonométricas? Logaritmos, raices, exponenciales… cualquier cosa excepto trigonometría (ni el número pí, claro).

    ¿Conoceis algún otro método?

    Muchas gracias lectores.

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  3. XKwazer, probablemente el método que conocías es un método de interpolación polinómica conocido como Método de diferencias divididas. Consiste en ir tomando diferencias de los términos de la sucesión, luego diferencias de las diferencias, y así sucesivamente hasta que la sucesión se hace constante… pero sólo sirve para expresiones que vengan dadas por un polinomio.

    Respecto a tu otro problema, como no creo que la solución que quieres sea a_n=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\dotsb+\sqrt{2}}}} (con n-1 raíces, la otra opción que tienes es coger el término general en forma trigonométrica que te dan más arriba y calcular su desarrollo en serie de Taylor. También puedes usar exponenciales complejas para definir los cosenos 😛

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  4. Hola, si mal no recuerdo, creo que ya habíamos atacado (al menos implícitamente) esta cuestión cuando hablamos del producto de senos/cosenos y obteníamos la fórmula de Viète para \cfrac{2}{\pi}. Además vimos como expresar la función sinc(x)=\cfrac{\sin x}{x} como un producto infinito de cosenos.

    Es interesante lo que aporta vengoroso. Dados n valores de la sucesión a_i, encontrarás un único polinomio de grado exacto n que cumple p(i)=a_i. No obstante, el grado del polinomio depende del número de valores a interpolar. Desconozco si, como en el caso de los primos, se pueden hallar polinomios de grado menor que te interpolen una cantidad de valores mayor que el grado.

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  5. Domingo, no es siempre cierto que el grado del polinomio coincida con el número de valores a interpolar. Si intentas aplicar el método a la sucesión 1, 4, 9, 16, …
    verás que el polinomio de interpolación es siempre p(n)=n^2. Lo que sí es cierto es que el número de valores es una cota superior al grado del polinomio de interpolación.

    Por lo general, si los valores de tu sucesión son genéricos (donde por genéricos entendemos “lo bastante irregulares”, permitidme que sea un poco impreciso aquí) entonces no es posible encontrar un polinomio de menor grado al dado que los interpole a todos, y además se tiene la unicidad en el polinomio de grado máximo.

    Una cosa curiosa de esto es que la razón es muy algebraica, y seguramente conocida para todo el que haya seguido un primer curso de álgebra, estructuras algebraicas, matemática discreta o similares: la existencia (y unicidad en el caso que menciono arriba) del polinomio de interpolación es consecuencia del Teorema Chino del Resto, aplicado al anillo \mathbb{R}[x], que es un dominio de ideales principales. ¿Por qué? pues porque evaluar un polinomio p en el valor a no es otra cosa que calcular la clase de congruencia de p módulo x-a. Gracioso, ¿verdad?

    Mejor paro aquí, que si no, no hay quien me corte el rollo 😉

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  6. Vengoroso, llevas toda la razón del mundo…me lancé al agua demasiado rápido. El grado, efectivamente, es en general menor o igual al número de datos a interpolar (incluso, podrías haber indicado el ejemplo de una progresión aritmética de n términos, que se interpola con un polinomio de grado 1!). Curiosa la demostración que indicas sobre la existencia del polinomio interpolador. Conocía las clásicas que se estudian por ahí (matrices de Vandermonde, polinomios fundamentales de Lagrange). Algún día tendremos que hablar sobre las aplicaciones curiosas de las matrices de tipo Vandermonde.

    De todos modos, me parece que usar interpolación polinómica para el caso que comenta XKwazer es matar moscas a cañonazos, pues tanto el cálculo de los coeficientes del polinomio como la evaluación del mismo será absolutamente ineficiente.

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  7. (Disculpad las t´´ildes, perdo mirad c´´omo salen)

    Domingo, me temo que he de contradecirte.
    Dado que creo que ya es imposible hayar lo que pretendo como pretendo presentarlo, dire que lo que pretendia con esa sucesion era encajarla en una funcion convenientemente preparada que me daria el valor exacto de pi como una fraccion usando raices y/o logaritmos (en el peor peor de los casos).
    Pero si al sustituir la sucesion pongo alguna expresion trigonometrica, pues se me va al traste. Al final sale que el resultado es pi (de la trigonometrica), y no un valor que coincida con el de pi exactamente (no se si se ve la dferencia).

    Pero viendo que esa sucesion no puede expresarse polinomicamente (aunque lo de la interpolacion polinomica puede que sea el rayo de esperanza que me quede)… tan solo me queda agradecer vuestro tiempo, vuestros comentarios, y un muy cordial saludo al moderador, al cual agradezco me haya dedicado un hueco en su pagina para una “niñeria” como esta, habiendo cosas mas interesantes.

    Gracias a todos.

    XKwazer

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