Encuentra el valor mínimo

Hoy miércoles os traigo el problema de esta semana. Ahí va:

Encuentra el valor mínimo de la expresión

max \{a+b+c,b+c+d,c+d+e,d+e+f,e+f+g \}

sabiendo que a,b,c,d,e,f,g son números reales no negativos que además cumplen que a+b+c+d+e+f+g=1.

Es sencillo, así que a pensar. Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

12 Comentarios

  1. se me ocurre que el mínimo puede ser 1/3. Con los valores 1/3, 0, 0, 1/3, 0, 0, 1/3

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  2. No creo que el mínimo sea ese. Consideremos (a,b,c,d,e,f,g)=(2/7,1/14,0,2/7,0,1/14,2/7) dicho mínimo es 5/14 y verifica la ecuación. Y creo que puede haber cotas mejores. Corregidme si me he equivocado en algo.

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  3. No creo que te hayas equivocado en nada, salvo que 5/14 es mayor que 1/3.

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  4. Demostración:
    Supongamos que existe una combinación en el que el máximo sea menor que 1/3.
    Entonces todas las sumas son menores que 1/3 extrictamente.
    Entonces,
    a+b+c < 1/3; d+e+f < 1/3; e+f+g < 1/3
    Luego, sumando los tres:
    a+b+c+d+2e+2f+g < 1
    Restando la suma que es igual a 1:
    e+f < 0 (imposible)

    Demostrado

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  5. Perdón, por un momento se me ha ido la olla y estaba pensando en la solución de 3 séptimos.

    Mea culpa. En cuanto a lo de tres séptimos, sí que es solución, pero de otro problema muy similar.

    El mínimo de 3/7 resultaría si formulas el problema bajo las mismas restricciones con el conjunto:

    {a+b+c, b+c+d, c+d+e, d+e+f, e+f+g, f+g+a, g+a+b}

    (Simplemente es sumar todos los elementos, ves que la suma vale siempre 3 y de ahí se sigue que al menos un elemento vale 3/7 o más (pero en nuestro caso los dos últimos elementos del conjunto no están).

    En cuanto al caso que nos atañe, no tengo nada concluyente de momento.

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  6. Vamos a demostrarlo, supongamos que

    \max\{a+b+c,b+c+d,c+d+e,d+e+f,e+f+g\}<\frac{1}{3}

    Sin pérdida de generalidad podemos suponer que la primera terna es la que marca el máximo, luego:

    a+b+c<\frac{1}{3}

    Como:

    a+b+c+d+e+f+g=1

    Se tiene que:

    d+e+f+g \ge \frac{2}{3}

    Es decir, ya que la primera terna era la mayor entre todas, llegamos a que:

    \frac{1}{3} \succ a+b+c \ge d+e+f \ge \frac{2}{3} - g

    En otras palabras:

    \frac{1}{3} < g

    Y aquí tenemos la contradicción, pues en ese caso, la última terna e+f+g es mayor que \frac{1}{3} y eso es mayor que la primera terna, que habíamos supuesto el máximo de ese conjunto.
    Por tanto, como \frac{1}{3} es un valor posible, es el mínimo valor que puede tomar, con la elección como dijo @andmujika

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  7. andmujika, muy bien.

    Miguel, creo que tu demostración no es correcta. Sí se pierde generalidad. Si la terna maxima fuera {c,d,e} no podrías hacer lo mismo, ya que no habría otra terna con ningún elemento común, como en el caso {a,b,c}.

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  8. Tienes razón @golvano, no había caído en ese caso, entonces mi demostración es falsa.
    Afortunadamente, @andmujika dio una demostración correcta.

    Gracias por fijarte en el error. Un saludo

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  9. ¿Y si hacemos H= a+b+c, I=e+f+g?

    Obviamente:
    b+c+d >= d
    c+d+e >= d
    d+e+f >= d

    Por lo tanto se reduciría a
    el mínimo del máx{H,d,I}

    tal que

    H+d+I=1 ——> (1/3)

    ¿NO?

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