Encuentra la derivada

Vamos con un problemita que hace tiempo que no ponemos ninguno:

Sea f(x)=ln(ln(cos(x))), con x en el intervalo [0,Pi/2). Calcular f'(x) (su derivada)

Pensad antes de contestar.

Solución:

La solución es la siguiente: no podemos calcular su derivada. Vamos a explicar un poco el tema:

Para empezar vamos a aclarar el tema de real o complejo. Si decimos que x está en el intervalo [0,Pi/2) creo que está suficientemente claro que tomamos x real. Además, si hablamos de logaritmo neperiano estamos hablando de números reales. El logaritmo complejo es logaritmo a secas.

Aclarado esto pasamos al problema en cuestión:

Decimos que x está en el intervalo [0,Pi/2). En ese caso cos(x) toma valores entre 0 y 1 (de forma decreciente, es decir, pasa de 1 a 0, aunque éste no lo llega a tomar por ser abierto el intervalo). Al aplicar el primer logaritmo a esos valores resulta siempre un número negativo (recordemos que el logaritmo neperiano de un número entre 0 y 1 da como resultado un número negativo). Por tanto el segundo logaritmo neperiano estaría aplicado a un número negativo…lo cual es imposible ya que el logaritmo neperiano (en realidad cualquier logaritmo real) no está definido para número negativos. Todo esto nos dice que el dominio de nuestra función es el conjunto vacío y por tanto ni siquiera podemos plantearnos el cálculo de esa derivada.

Este ejemplo nos ayuda a recordar que antes de comenzar a hacer ningún cálculo con una función debemos tener en cuenta en qué conjunto podemos hacer ese cálculo. El conocimiento del dominio de una función es fundamental para el estudio de la misma.

Espero que todo el mundo lo haya entendido. Si no es así comentadlo.

Saludos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

23 Comentarios

  1. No sé si cometo un error enorme al decir esto pero creo que esa función no esta definida en ese intervalo, me explico:

    Para x E [ 0 ; pi/2 ] , cos(x) E [0;1] , por lo que ln ( cos (x) ) E ]-inf; 0 ]
    Ahora bien, no podemos tomar el ln de un número negativo, ni tampoco de cero ( o al menos en el conjunto de los números reales ) , por lo que ln(ln(cos(x))) no esta definido al ser ln(cos(x)) negativo

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  2. exp(f(x))=ln(cos(x))
    exp(exp(f(x)))=cox(x)
    Derivamos con respecto a x (regla de la cadena):
    exp(exp(f(x)))*exp(f(x))*f'(x)=-sen(x)
    Despejando y sustituyendo:
    f'(x)=-sen(x)/(cos(x)*ln(cos(x)))

    Eso sin pensar :P. Es una bonita derivada.

    Ahora bien, en realidad sí está definido el ln de un número negativo, en el dominio de los complejos; así que creo que la derivada sí tendría sentido.

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  3. Lo importante es saber si está definida en [0,Pi/2), y como dice Wallace, no está definido para los reales.

    Aunque si no está definida en ese intervalo, la función en sí no tiene sentido (o yo tampoco veo el “truco”)

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  4. He hecho la derivación en calc5 (www.calc5.com) y la función derivada: [-1*cos (x)-1*log (cos (x))-1*sin (x)] está definida entre – uno y pico y más uno y pico

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  5. Uy… o estamos cayendo todos en lo mismo o el problema era más sencillo de lo que ^DiAmOnD^ esperaba 😛

    Y pa’ mí que va a ser lo primero… xD

    Yo digo que no está definida… 🙂

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  6. A mi me sale:

    -(1/ln(cosx))(1/cosx)(senx) derivando directamente con la regla de la cadena, como coper pero sin andar con tanto lío.

    ahora, q cos0=1 y ln1=0, y eso no debería estar en el denominador XD, pero como sen0=0 pues es una indeterminación, 0 y 0 se simplifican yyyy tenemos que f'(0)=1 XDDD

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  7. Hola,

    Me parece que la función no está definida en R.

    cos(x) € [-1, 1] para todo x € R

    Por lo tanto, ln(cos(x))

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  8. Hola,

    Me parece que la función no está definida en R.

    cos(x) € [-1, 1] para todo x € R

    Por lo tanto, ln(cos(x)) no es positivo en los valores para los que está definido.

    Como ln(x) no está definida para valores no positivos, la función inicial no posee imagen en R.

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  9. La derivada está definida en [0, pi/2). No veo el problema. Los dos logaritmos de la función toman valores positivos en este intervalo. La derivada sería tal como ya se ha apuntado:

    f’(x)=-sen(x)/(cos(x)*ln(cos(x)))

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  10. Agustín, el logaritmo “de fuera” no “recibe” valores positivos. El truco es que no se ha determinado si el dominio de la función es Real o Complejo. 🙂

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  11. Pues si, ahora que en caso de ser complejo, no se si sería más correcto poner cos z en lugar de cos x .

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  12. Agustín, da lo mismo poner “z”, “x” ó “cochinillo”, con tal de especificar el dominio es suficiente.

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  13. el dominio será real, no? si no no pondrían límites reales, o son cosas mías?

    de todas formas, la derivada en 0… q valor toma? 😛

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  14. Interesante pregunta, donde e truco estafia en la definicion del dominio, ya que se podria derivar implicitamente, pero al no existir el dominio, no podriamos obtenerla. Me ha gustado este y tus otros post, vendre para ver que mas cosas publicaras. Un click, saludos.

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  15. wenas…
    podrias hablar de la funcion zeta deRiemann?
    gracias

    un fan gaussiano

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  16. ayudentem con este: Encuente una ecuacion de la recta normal a la grafica de Y = 1 + lnX que es perpendicular a la recta Y – X + 1 = 0

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  17. Lo primero que se me ocurre sin pensar nada es que la recta esa es cualquier recta que sea perpendicular al plano xy, osea paralela al eje z. Asi seria normal a la grafica 1, y perpendicular a la grafica 2.

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  18. Encuente una ecuacion de la recta normal a la grafica de Y = 1 + lnX que es perpendicular a la recta Y – X + 1 = 0

    Es facil, basta con fijarte que por ser perpendicular a la recta y=x-1, la pendiente de la recta buscada tendra de pendiente -1. Asi, sabemos que la recta buscada sera de la forma: y=-x+a (siendo a un real).
    Ahora, falta determinar un punto de esa recta, para ello recurrimos a la primera funcion, la derivamos, y vemos en que punto alcanza esta la pendiente 1, si no me equivoco (1,1).

    Luego, por geometría basica, vemos que la ecuaicon de la recta pedida es: y-1=-(x-1), que escrito de una forma mas bonita sería: y=2-x.

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  19. Un de las principales causas de restringir un dominio sea cual se la funcion es por donde va a estar su limites de ahi que en calculo hay que tomar encuento esto pero si bien es cierto si no me dan un dominio y sin tomar en cuenta el argumento sea + o -, La derivada es -tan(x)/ln(cos(x)), buen ejercicio. M.G.

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  20. ayudenme con los numeros gaussianos por favor q estoy a punto de dar un examen y no se nada de estos numeros!!!!

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  21. se debe visualizar en la grafica de la funcion dada y es importante numeros gaussianos

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  1. Dolor de cabeza « Keiboll’s bits - [...] Y encima me meto en Gaussianos y veo un artículo sobre derivadas… Proponían encontrar la derivada a la función…

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