Encuentra todas las parejas

Vamos con el problema de la semana. Ahí va:

Dados los números primos escritos en orden

p_1=2, p_2=3,p_3=5, \ldots

encuentra todas las parejas de números enteros positovos a,b, con a-b \geq 2, tales que p_a-p_b divide al número 2(a-b).

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

21 Comentarios

  1. En principio todos los primos, excepto el 2,parecen poder formar parte de una pareja que cumpla las condiciones del problema. Con todos los menores que 100 ocurre así. No encuentro ninguna regularidad que me permita fijar una regla o fórmula para obtener todas las parejas posibles.

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  2. Hola

    Quería comentar nada más que este fue uno de los problemas de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas. El 2, si no me equivoco.

    Saludos.

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  3. Pues o yo no he entendido bien el enunciado (lo cual es posible porque no he tenido mucho tiempo para planteármelo), o sólo la pareja a=4, b=2 (Pa=7, Pb=3) es solución.
    Al menos de entre los primeros 1000 enteros positivos que he podido comprobar a ‘fuerza bruta’.

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  4. elchen, solo con el 7 se encuentran muchas más parejas: (a=17, p=59), (a=19 p=67), (a=20, p=71) (a=22, p=83), (a=23, p=89), (a=1032, p=8231), (a=1036 p=8263) (a=1239, p=8387). Todas ellas con b=4, p=7 cumplen la condición del enunciado.

    Para cualquier primo que he probado aparecen varias parejas satisfactorias, excepto para el 2 ya que la diferencia p(a)-p(b) es siempre impar y no puede ser divisible por 2(a-b).

    Sería interesante poder demostrar que

    1) Cualquier primo distinto de 2 siempre podemos encontrar alguna pareja que satisfaga.

    2) El número de posibles parejas de cada primo satisfactorias ¿está acotado o es infinito?

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  5. Me da que lo has entendido al revés, JJGJJG, el divisor debe ser Pa – Pb.

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  6. Con la hipótesis de tener tres primos consecutivos (su diferencia es dos) se cumplen las condiciones del enunciado. 2((b + 4) – b) = 8; p(b + 2) – p(b) = 4

    No tengo ni idea si esos son todos los casos que cumplen. Creo que no hay más ternas que la del 3, 5, 7

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  7. Para valores de a>4 se cumple que Pa-Pb>=2(a-b), pues los primos crecen al menos en dos unidades por cada una en que crece su número de orden. El a>4 se debe a que la diferencia entre 2 y 3 (los dos primeros primos) es uno e incumple la regla anterior en los primeros casos.

    Supongamos que tenemos dos valores de a y b tales que Pa-Pb>2(a-b), es decir, 1>2(a-b)/(Pa-Pb). Para cualquier valor n>4 se cumple que (Pn-Pb)>2(n-b), pues (Pn-Pa)+(Pa-Pb)>2(n-a)+2(a-b).

    Basta con comprobar los valores de a y b que cumplen (a-b)/(Pa-Pb)>=1, sabiendo que si para un valor de a no se cumple, no se cumplirá para ninguno mayor. Para (a,b)=(3,1), se cumple (1,333); para (a,b)=(4,1) se cumple (1,200); para (a,b)=(5,1) no se cumple (0,889) luego no se cumplirá para ningún valor mayor de a. Para (a,b)=(4,2), se cumple (1,000, única solución válida); para (a,b)=(5,2) no se cumple (0,750) luego no se cumplirá para ningún valor mayor de a. Para (a,b)=(5,3) no se cumple (0,667) luego no se cumplirá para ningún valor mayor de a ni de b.

    Por tanto el único par es (4,2), 2*(4-2)/(7-3)=1.

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  8. Lo que dice JJGJJG es cierto con el enunciado al revés.
    Atendiendo al enunciado expuesto se puede demostrar que solamente se cumple para un único caso (b=2, a=4,pb=3,pa=5). Vamos a fijar el valor b y ver lo que ocurre con la condición para la secuencia de valores de a≥b+2. Hay que hacer notar que sea cual sea el valor de b, lo números de la forma 2(a-b) siguen siempre la progresión aritmética 4,6,8,10,12,…
    – Fijando b=1, pb=2: tenemos la secuencia de diferencias (pa-pb) de la forma (5-2),(7-2),(11-2),…=3,5,9,… Para los dos primeros valores (3 y 5) vemos que no dividen a sus correspondientes (4 y 6). El tercer valor (9) es mayor que su correspondiente (8) y por lo tanto no lo divide. A partir de aquí, como cada número primo pa que añadamos para restar al fijo pb=2 será al menos dos unidades mayor que su predecesor se tiene que (pa-pb) nunca dividirá al número correspondiente 2(a-b) por ser mayor que este (ya que los números 2(a-b) están en progresión aritmética de diferencia 2 y las diferencias (pa-pb) son mayores o iguales que 2).
    – Fijando b=2, pb=3: tenemos la secuencia de diferencias (pa-pb) de la forma (7-3),(11-3),(13-3),…=4,8,10,… El primer valor (4) divide a su correspondiente (4). El segundo valor (8) es mayor que su correspondiente (6). A partir de aquí, argumentando igual que antes se ve que (pa-pb) siempre será mayor que 2(a-b).
    – Fijando b=3, pb=5: tenemos la secuencia de diferencias (pa-pb) de la forma (11-5),(13-5),(17-5),…=6,8,10,… El primer valor (6) ya no divide a divide a su correspondiente (4). Con lo que partir de aquí se tiene que (pa-pb) siempre será mayor que 2(a-b).
    De hecho para cualquier valor b≥3 y a=b+2 tenemos que la diferencia entre (pa-pb) siempre es mayor estricto que 4 y por lo tanto para valores b≥3 y a≥b+2 (pa-pb) siempre será mayor que 2(a-b).
    En definitiva, sólo se cumple para (b=2, a=4,pb=3,pa=5).

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  9. Primera observación: la diferencia Pa – Pb debe ser par, luego Pb no puede ser nunca el 2. (y Pa tampoco, claro). Así que ni a ni b son 1.

    Luego sigo buscando casos que lo cumplan empezando por el caso más simple. La menor diferencia par es 2
    Pa – Pb = 2 implicaría primos gemelos… los cuales cumplen a – b = 1 (no hay ningún primo entre ellos) y, por tanto, cumplen la igualdad.

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  10. Perdón, olvide´la condición a-b mayor o igual que 2 así que sólo se cumple para a=4, b=2

    Si no, serían los gemelos y (4, 2)
    que es lo que había escrito a continuación:

    Se pide el conjunto de parejas (a, b) … pues en el caso de primos gemelos no se me ocurre otra forma mejor de describir esas parejas como

    { (a, b) tales que Pa – Pb =2 }

    o bien,

    { (b+1, b) tal que P_(b+1) – Pb = 2 }

    Pero los primos gemelos no son los únicos.

    Sea: (4, 2).
    a=4 , b = 2
    El cuarto primo es el 7 y el segundo es el 3.

    7-3 = 2*(4-2) = 4

    Esto ha ocurrido porque [3, 5, 7] es un triplete de primos.

    7 – 3 = 7 – 5 + 5 – 3 = 2* (4-3) + 2*(3-2)

    Es decir, en este caso hay un primo entre Pb y Pa con lo cual, en lugar de ser a-b = 1 es a-b = 2 … y a pesar de doblarse la distancia de “b” a “a” la igualdad se cumple porque también se ha doblado la distancia de Pb a Pa.

    Mientras que en los primos hay infinitos primos gemelos, sólo hay un “triplete”, un conjunto de primos “trillizos”. Ya que en otro hipotético triplete “trillizo” uno debe ser múltiplo de 3 y, por tanto, no primo salvo que sea el 3.

    Pero si no hubiese sido un triplete “trillizo” (es decir, primos en progresión aritmética de diferencia igual a 2) en otros casos de 3 primos consecutivos no se habría cumplido la igualdad. Porque la diferencia del intermedio de esos 3 primos consecutivos a uno de ellos (el menor o el mayor) sería mayor que 2 así que Pa – Pintermedio + Pintermedio – Pb > 4
    pero este caso es a-b =2 así que no lo cumple.

    Y ya se puede intuir el camino a seguir para probar que no habrá más casos.

    Cuando las posiciones entre dos primos se diferencian más de 2. La única forma de cumplir la igualdad es que la separación entre cada primo y el siguiente sea exactamente 2… con lo que habría no sólo trillizos sino cuatrillizos. Pero ya hemos visto que trillizos sólo hay un caso y cuatrillizos no hay ninguno.

    Así que el conjunto total es: { (4, 2) } U { (a, b) tales que Pa – Pb =2 }

    (las parejas a y b que corresponden a primos gemelos y el caso a=4, b=2)

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  11. Algunos resultados experimentales con Pari gp cuando (pa-pb)/2(a-b) es primo :

    c=4000;for(b=2,c,for(a=b+2,c,d=prime(a)-prime(b);e=2*(a-b);if(d/e==d\e&d/e==19,print([a,b,prime(a),prime(b),d,e,d/e]))))
    [10, 6, 29, 13, 16, 8, 2]
    [17, 15, 59, 47, 12, 4, 3]
    [68, 66, 337, 317, 20, 4, 5]
    [190, 188, 1151, 1123, 28, 4, 7]
    [369, 367, 2521, 2477, 44, 4, 11]
    [1987, 1985, 17291, 17239, 52, 4, 13]
    [3794, 3792, 35671, 35603, 68, 4, 17]
    [3386, 3384, 31469, 31393, 76, 4, 19]

    Noobstante sería mejor considerar más bien (pa-pb)/(a-b)

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  12. He aquí una sucesión inspirada de tu problema :

    5, 11, 29, 97, 641, 1373, 2591, 4327, 8009, 19661, 36451, 134581, 38543, 172969, 212777, 268403

    Cuya definición es:

    a (n) es el menor número primo (i-ésimo primo) p tal que existe otro número primo menor (j-ésimo primo) q y (p – q) / (i – j) es el enésimo primo.

    Ejemplo: a(3) = 29 es el menor número primo y décimo primo, tal que existe un primo menor: 19 que es el octavo número primo y tal que (29 – 19) / (10 – 8 ) = 5 es el tercer número primo.

    Nota: Todos los ( i-j ) son iguales a 2, con la excepción de a(1) donde (i – j) = 1 y a(6) donde (i – j) = 4

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  13. sopadeajo,

    dices en la “Nota” que todos los “(i-j)” son iguales a 2, excepto para a(1) y a(6)…

    ¿puedes demostrarlo? ¿o sólo es una observación de lo que ha ocurrido con algunos casos?

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  14. No, no puedio demostrarlo, sólo constatarlo experimentalmente. De hecho, a falta de haberlo estudiado algo más, porque está recién salido del horno, me parece ilógico, no entiendo bien porqué aún, los mínimos se sitúan mayoritariamente en (i-j) = 2. Será quizás una cuestión de lo que es el “gap” (distancia) medio/a entre primos sucesivos, en un intérvalo determinado. Lo que sí está claro, es que puesto que los “gaps” entre primos consecutivos o no, son siempre pares, (i -j) debe de ser par también para poder obtener en el cociente los números primos que queremos obtener.

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  15. Acido,

    Aquí va el programita, con una búsqueda exhaustiva hasta los 5000 primeros primos para el caso a(6) = 13. Recuerdo que Pari gp es totalmente gratuito y se descarga en menos de 1 minuto. Basta con teclear pari gp en Google. Y está relativamente (relativamente solo) bien documentado.

    c=1000;for(b=2,c,forstep(a=b+2,c,2,d=prime(a)-prime(b);e=(a-b);if(d/e==d\e&d/e==13,print([a,b,prime(a),prime(b),d,e,d/e]))))

    [220, 216, 1373, 1321, 52, 4, 13]
    [222, 216, 1399, 1321, 78, 6, 13]
    [222, 220, 1399, 1373, 26, 2, 13]
    [261, 259, 1663, 1637, 26, 2, 13]
    [264, 262, 1693, 1667, 26, 2, 13]
    [327, 325, 2179, 2153, 26, 2, 13]
    [330, 326, 2213, 2161, 52, 4, 13]
    [379, 375, 2609, 2557, 52, 4, 13]
    [383, 381, 2647, 2621, 26, 2, 13]
    [418, 416, 2887, 2861, 26, 2, 13]
    [425, 423, 2953, 2927, 26, 2, 13]
    [443, 441, 3109, 3083, 26, 2, 13]
    [448, 442, 3167, 3089, 78, 6, 13]
    [481, 479, 3433, 3407, 26, 2, 13]
    [540, 538, 3907, 3881, 26, 2, 13]
    [594, 590, 4349, 4297, 52, 4, 13]
    [617, 615, 4549, 4523, 26, 2, 13]
    [641, 639, 4759, 4733, 26, 2, 13]
    [656, 650, 4909, 4831, 78, 6, 13]
    [655, 653, 4903, 4877, 26, 2, 13]
    [678, 676, 5077, 5051, 26, 2, 13]
    [689, 685, 5171, 5119, 52, 4, 13]
    [709, 703, 5381, 5303, 78, 6, 13]
    [710, 704, 5387, 5309, 78, 6, 13]
    [754, 752, 5737, 5711, 26, 2, 13]
    [761, 757, 5801, 5749, 52, 4, 13]
    [785, 775, 6011, 5881, 130, 10, 13]
    [787, 775, 6037, 5881, 156, 12, 13]
    [778, 776, 5923, 5897, 26, 2, 13]
    [781, 779, 5953, 5927, 26, 2, 13]
    [788, 780, 6043, 5939, 104, 8, 13]
    [784, 782, 6007, 5981, 26, 2, 13]
    [787, 785, 6037, 6011, 26, 2, 13]
    [806, 804, 6199, 6173, 26, 2, 13]
    [812, 810, 6247, 6221, 26, 2, 13]
    [844, 838, 6529, 6451, 78, 6, 13]
    [843, 839, 6521, 6469, 52, 4, 13]
    [845, 839, 6547, 6469, 78, 6, 13]
    [846, 840, 6551, 6473, 78, 6, 13]
    [845, 843, 6547, 6521, 26, 2, 13]
    [854, 852, 6607, 6581, 26, 2, 13]
    [858, 852, 6659, 6581, 78, 6, 13]
    [858, 854, 6659, 6607, 52, 4, 13]
    [870, 866, 6761, 6709, 52, 4, 13]
    [871, 869, 6763, 6737, 26, 2, 13]
    [908, 906, 7069, 7043, 26, 2, 13]
    [912, 906, 7121, 7043, 78, 6, 13]
    [911, 907, 7109, 7057, 52, 4, 13]
    [912, 908, 7121, 7069, 52, 4, 13]
    [920, 914, 7207, 7129, 78, 6, 13]
    [917, 915, 7177, 7151, 26, 2, 13]
    [934, 928, 7331, 7253, 78, 6, 13]
    [943, 933, 7451, 7321, 130, 10, 13]
    [947, 937, 7481, 7351, 130, 10, 13]
    [972, 970, 7669, 7643, 26, 2, 13]
    [983, 981, 7753, 7727, 26, 2, 13]
    [993, 991, 7867, 7841, 26, 2, 13]

    Como soy, en esta vida, muy despistado, agradezco que me digan si hay algún error.

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  16. Los primos son impares. Dado un par de primos gemelos, es decir de primos cuya diferencia es 2, han de ser 2 mod 3 el menor y 2+2 mod 3 = 1 mod 3 el mayor. No puede haber un tercero mayor que el mayor o menor que el menor porque este sería 1+2 mod 3 o 2-2 mod 3 = 0 mod 3 (divisible por 3) en ambos casos. Luego para a – b = 2 y b>= 3; pa – pb >= 6 no divide a 2 (a-b) = 4.
    Para a – b = 3 y b>= 3 pa – pb >=6+2 = 8 no divide a 2 (a-b).
    En general pa – pb >= 6 + 2n, no puede nunca dividir a 2(a-b) = 2(2+n) = 4 +2n para ningún n.
    La excepción es (a,b) = (4,2).

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  17. Errata en el mensaje de las 18 h 43.

    a(6) = 13 No . a(6) = 1373 que corresponde al sexto primo = 13.

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  18. a y b indican números en a-b\geq2 e índices en p_a y p_b. Además se pide que p_a-p_b sea divisor de a-b y teniendo en cuenta que los primos en las posiciones a y b serán cada vez mayores, la diferencia de los primos también crecerá más rápido que la diferencia entre los números a y b, esto me lleva a sospechar que no deben ser muchas las parejas (a,b) que cumplan con la condición. La (4,2) es la única que encontré hasta ahora.

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  19. Mi conclusión:

    P(a)-P(b)>=2(a-b)+2 siempre que a-b>2

    Luego, la única respuesta es 7 y 3, cuya diferencia divide a 2(4-2).

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  20. ¿Cómo pruebo que todo entero distinto de 1 y -1 es divisible por un número primo?
    ¿Cómo encuentro todos los números que son iguales a un cubo-1?
    ¿Cómo pruebo que si n>2, existe al menos un primo ‘p’ tal que n<p<n! ?

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