Encuesta: ¿Cuál es la gráfica de la arcocotangente?

Interesante artículo el que me encuentro en Random Walks sobre la gráfica de la arcocotangente.

No sé vosotros, pero yo no había pensado/caído en esto antes (al menos que yo recuerde). La cuestión es que hay una cierta controversia acerca de cuál es la gráfica de la función arcocotangente, que igual podríamos comparar a la que existe con el tema de curvatura de una función de una variable. Vamos a explicar en qué consiste.

¿Cuál es la gráfica de la arcocotangente?

Antes de nada quiero recordar que la función arcocotangente de x es la función inversa de la función cotangente de x, por lo que lo suyo sería que esa función inversa fuera única (que para eso es una inversa, ¿no?).

La cuestión, directamente, es la siguiente: existen dos representaciones gráficas esencialmente distintas que podrían considerarse la gráfica de la función arcocotangente de x. Cierto que las dos provienen de la gráfica de la función cotangente de x, pero son, como he dicho antes, esencialmente distintas.

Un momento: ¿cómo puede ser esto? Vayamos por partes. La representación gráfica de la función cotangente de x, cotg \; (x), es la siguiente:

Cotangente

Su dominio es \mathbb{R}-\{k \pi, k \in \mathbb{Z} \} (todos los números reales excepto los múltiplos enteros de \pi) y su imagen es \mathbb{R} (todos los números reales).

Para que una función tenga inversa debe cumplirse que dicha función sea biyectiva, por lo que para encontrar la inversa de esta función cotangente habrá que tomar un intervalo donde sea biyectiva (ya que la función cotangente en conjunto no lo es). Y aquí es donde está el problema. Al parecer hay dos elecciones que pueden encontrarse como la correcta a la hora de definir la función inversa de la cotangente.

La primera de ellas toma la parte de la gráfica de la cotangente que va de 0 a \pi en el eje X

dando como resultado la siguiente gráfica para su inversa, la arcocotangente:

que tendría como dominio al conjunto de todos los números reales y como imagen al intervalo [0, \pi]. Calculando el valor de esta función en, por ejemplo, x=-2 obtenemos que arccotg \; (-2)=2.678 \ldots

Y la segunda toma la parte de la gráfica de la cotangente que va de \frac{-\pi}{2} a \frac{\pi}{2} en el eje X

quedando esta gráfica como representación de la arcocotangente:

que tendría como dominio al conjunto de todos los números reales y como imagen al intervalo [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]. Calculando el valor de esta función también en x=-2 se obtiene que arccotg \; (-2)=-0.46365 \ldots

¿Ein? ¿Dos valores distintos? ¿Y cuál nos quedamos como más correcto? En general, ¿cuál es la más correcta (si es que alguna de ellas es más correcta que la otra)?

Echando un ojo a programas informáticos tampoco obtenemos una respuesta clara. La segunda de estas interpretaciones es la que dan WolframAlpha (y por tanto el programa Mathematica), Mathlab y FooPlot, por poner algunos ejemplos, pero la primera también aparece en algún programa informático, como, según parece, MathCAD y Maple (no he podido comprobar este hecho yo mismo ya que no dispongo de los programas). Y por si alguien está pensando en ella, en la Wikipedia (en inglés) también dan la primera gráfica como la opción correcta.

Bien, pues como reza el título de esta entrada, os dejo una encuesta sobre este asunto, como ya hicimos con la curvatura de una función de una variable o la pertenencia o no del cero al conjunto de los números naturales:

Siendo ésta la Gráfica 1 de la arcocotangente

y ésta la Gráfica 2

[poll id=”3″]

Yo todavía no voy a dar mi opinión para no influir en el resultado de la encuesta. En unos 10 días terminará la encuesta y veremos los resultados.


En este post de squareCircleZ, que es de donde he sacado algunas de las imágenes, hablan también sobre este tema.

Actualización (20-5-2011):

Terminada ya la encuesta, dejo los resultados junto con la imagen de la representación gráfica más votada:

Gracias a todos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

36 Comentarios

  1. A mi me parece una discusión bastante estéril.
    Al fin y al cabo pasa lo mismo con todas las funciones con periodo pi.

    Usar una u otra es simplemente una cuestión de convenio o de que resulte más o menos adecuada para visualizar un determinado tipo de problemas.

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  2. La verdad es que no entiendo este tipo de discusiones. Las funciones trigonométricas no son injectivas, por lo que no tienen “función inversa”. La restricción de una función trigonométrica a un intervalo sí es injectiva, por lo que existe su inversa. Dependiendo del intervalo al que hayamos restringido tenemos distintas “funciones inversas”, pero ninguna de ellas es LA función inversa.

    En análisis complejo se ve muy bien esto cuando para tomar la función inversa de una función holomorfa siempre se elige una de las ramas de la función. Las gráficas que has dibujado corresponden a ias inversas de distintas ramas de la misma función.

    Cuando no hay una manera canónica de hacer una elección, ninguna posibilidad puede considerarse mejor que otra.

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  3. Sabiendo que ambas son correctas, yo me quedo con la primera. La discontinuidad en el cero “me duele” (sobre todo, pudiendo evitarlo).

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  4. Dado que es una mera cuestión de conveniencia, la discusión es estéril sin un contexto.

    Habrá situaciones en las que será más útil la primera, y otras en las que será más útil la segunda.

    Si tuviera que elegir, me quedaría con la segunda.

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  5. Si alguien os pregunta: “¿Cual es la arcotangente de -1?”

    Así, a bote pronto, ¿que respondéis?

    La relación con la cuestión planteada es evidente.

    Por cierto, y sin relación con el debate… ¿por qué se dice la arcotangente? A mí me parecería más lógico hablar de el arcotangente.

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  6. Pues tal como lo muestras, yo me quedo con la primera por el simple hecho de que no sé si en la segunda forma consideras que en en 0 la función está definida o no (en caso de estarlo sería claramente un punto de discontinuidad).

    En fin, aquí no hay respuesta buena o mala. Depende de para qué se necesite la gráfica.

    – Si se prefiere la continuidad, la opción buena es la primera.
    – Si se prefiere cierta simetría, la buena sería la segunda, que además cumpliría que la imagen coincide con la imagen de la función arcotangente.

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  7. La función “inversa completa” se podría representar repitiendo ambas ramas de cualquiera de ambas soluciones desplazándolas indefinidamente hacia arriba y hacia abajo en intervalos de valor PI. De este modo, para cada abscisa tendríamos todos los arcos que tienen igual cotangente. De hecho, todos estos valores son soluciones “legítimas” de la ecuación y = arccot (x)

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  8. Carlos: Si se prefirirera “CIERTA” simetria, las 2 dan lo mismo, la primera es simetrica respecto a (0,pi/2) y la segunda respecto de 0 xD.

    JJGJJG: en todo caso sería “función inversa completa”, si empiezas a repetir la gráfica dejaría de ser función.

    Sive: Si quieres decir “el arcocotangente”, entonces deberias decir “el cotangente”.. no te dejes llevar por la palabra arco que solo es un “prefijo”. Si alguien me pregunta cual es la arcocotangente de -1 daría un conjunto de valores, en este caso no tendria nada que ver con la grafíca que solo es representativa.

    Para elegir una, me basaría en la que más me gusta… la segunda 🙂

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  9. Me da la impresión de que el primer ejemplo tiene una errata,
    arccotg \; (-2) = 2.678\ldots
    para que todos los resultados estén a una distancia vertical de \pi

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  10. Entiendo que lo que estamos discutiendo es: “Si no se da un contexto (me refiero al intervalo imagen), ¿qué contexto debería escogerse por defecto y por qué?”. Y ante esta discusión, yo voto por la primera opción: debería escogerse el intervalo [0, π] por defecto. ¿Por qué? Pasa con otras inversas de funciones trigonométricas. Creo, simplemente, que es una buena convención optar por que las cosas “comiencen” en cero. Pero realmente no puedo argumentar una buena razón.

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  11. Yo opino como los anteriores comentarios, que depende del problema concreto puede ser más útil una inversa o la otra y ninguna posee una carácterística indiscutible sobre la otra como para ser considerada LA inversa.
    Por ejemplo si estamos estudiando triángulos físicos tiene más lógica utilizar la 1ª, pues los ángulos de un triángulo físico están entre 0 y 2pi. Además es más “bonita” pues es contínua y derivable en todo R.
    Pero es más difícil de calcular con una calculadora convencional, pues hay que “partirla” en 2 trozos:

    – infinito < x < 0 entonces arccotg x = pi + arctan ( 1 / x )
    0 <= x < + infinito entonces arccotg x = arctan ( 1 / x ) (En cero se toma el límite)

    En cambio la segunda inversa es más fácil de calcular pues es simplemente:

    arccotg x = arctan( 1 / x ) en todo R. (En cero puede hacerse coincidir el valor con del límite).

    Por cierto has cometido un pequeño error de dislexia, has puesto

    arccotg(-2)=2.768 cuando debería ser

    arccotg(-2)=2.678

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  12. Yo lo que pienso es que es la primera:
    Si hacemos la segunda derivada y la igualamos a cero tenemos los puntos de inflexión. Y resulta que hay un punto de inflexión, es decir, donde cambia la curvatura, en x=0
    Mi voto va para la primera, además las discontinuidades me resultan muy feas a la vista 😛

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  13. Betanzos, obviamente me refería a cierta simetría respecto los ejes, que es por ejemplo la simetría vertical que que se destaca incluso al representar la función seno o coseno (suele cogerse un trozo de gráfica centrada en el origen). Y si no te gusta lo de simetría, podría hablar de función impar (aunque para ello deberíamos de olvidarnos de su valor en 0).

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  14. Luego lo miro con más cuidado, pero Maxima (uno de los pples softwares matemáticos) da la segunda, y la arcotangente es muy parecida a la primera.

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  15. Yo pienso que el debate no es tan estéril, ya que el trasfondo del mismo puede ser algo así como: ¿por qué elegir una u otra definición según nos convenga? Y si es así, ¿por qué no siempre? Por ejemplo, la función tg \; (x) tiene una representación gráfica muy parecida a la de cotg \; (x), pero sin embargo no hay ningún tipo de controversia acerca de la representación gráfica de su inversa, arctg \; (x).

    Como ya comento en el artículo, no había pensado nunca en esto, de hecho no conocía este asunto hasta hace poco. Por ello no sé si hay algún tipo de, digamos, explicación oficial, y quería ver si alguien nos la dejaba por aquí en los comentarios.

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  16. seguramente la mayoría de ustedes han usado dos ramas para el logaritmo complejo, la que está definida entre 0 y 2pi, y la que va de -pi a pi.

    Sus gráficos no nos asombran: porque no los vemos!, pero se da una situación igual a ésta.

    Según qué necesitemos hacer, usamos una definición u otra, y en el fondo (del logaritmo, o de esta función), está esa dualidad que tenemos para definir las trigonométricas. Se podría cambiar la pregunta: ¿prefieren [0, 2pi] ó [-pi, pi]?

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  17. Bien, he mirado mis viejos apuntes de universitario para no meter la pata que ya son unos cuantos años sólo ejerciendo de profe de secundaria. Hay una proposición muy interesante que reza así:
    Proposición

    Dada una función f:[a,b]\longmapsto\mathbb{R} que sea Continua y Estrictamente Creciente o Decreciente en [a,b], se cumple:
    Existe f:[a,b]\longmapsto[f(a),f(b)] Biyectiva con Inversa Continua y Estrictamente Creciente o Decreciente en sus respectivos Dominios de definición.

    Por tanto, podemos aplicar esta Proposición cuando tomamos [0,pi]. Pero No podemos hacer lo mismo si tomamos [-pi/2, pi/2] porque la cotg(x) No es Continua en x=0
    Por lo tanto, usando esta Proposición sólo nos vale la primera opción.
    La segunda opción sólo nos sirve si encontramos un resultado (Teorema o Proposición) que nos justifique su uso.
    Por ejemplo relajando las hipótesis, suponiendo que es Continua casi por todas partes (en un conjunto de medida nula, como lo es el conjunto {0})
    Sigo investigando 😉

    Estoy con Gaussianos, el tema expuesto no es valadí, no podemos en Matemáticas calcular la inversa de una función cualquiera sin justificación rigurosa.

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  18. Mirando el código de Maxima (qué maravilla ser código libre) estos programas para dibujar la arcocotangente lo que hacen es dibujar la función arcotangente(1/x) definiendo el caso cuando x=0 como la asíntota vertical que aparece en el artículo.
    Luego sólo falta ver si atan(1/x) se puede aplicar como la inversa de la cotangente.

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  19. @gaussianos Pues precisamente con arcotangente no hay ningún problema porque con la representación que se elige:

    – hay continuidad.
    – hay simetría respecto los ejes (la función es impar).

    Vamos, que es la buena en todos los sentidos.

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  20. Esta es la gráfica por defecto que presenta Derive de la función arccotg(x)

    Gráfica 1

    La definición del programa de la función arccotg(x) es
    ACOT(x) = pi/2 –ATAN(x)
    lo que equivale a definir la cot(a) = tg(pi/2 –a).

    SI definimos la cotg(a) = 1/tg(a) resulta que se cumple que arccotg(x) = arctg (1/x) cuya gráfica es:

    Gráfica 2

    Así pues yo me inclino por la segunda gráfica

    No pongo las gráficas pues no se como insertarlas
    Enhorabuena por la página y un saludo

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  21. Carlos, sí, pero en principio podríamos haber elegido también la otra, ¿no?

    Me gusta lo que ha comentado Cristobal. Además, si la cuestión es simplemente elegir, sin tener en cuenta ninguna característica de la función, prefiero continuidad antes que simetría, por lo que yo me quedaría con la Gráfica 1.

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  22. @gaussianos, si escogemos cualquier otra rama para la gráfica de la arcotangente, dejaría de ser impar. Por eso digo que la rama que se coge es la buena por todos lados. Es un trozo continuo y a la vez nos haría la función impar.

    Y en cuanto al arcocotangente, pues sigo opinando igual, depende de para qué se use, pero en general también opino que es mejor la primera, pero no siempre como en ciertas ocasiones al compararla con la arcotangente.

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  23. Carlos, dejaría de ser continua, pero seguiría siendo impar, ¿no? Por tanto, siguiendo lo que comento Cristobal, no se podría tomar tomar esa función como la inversa de la tangente. Por ello creo que deberíamos tomar la Grafíca 1 como la inversa de la cotangente.

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  24. @gaussianos. Creo que no me has entendido, así que voy a intentar explicarlo claramente para que no se confunda con comentarios anteriores. Voy a separar los casos de los que he hablado antes:

    Caso arcotangente: la rama que siempre se coge hace que la función sea tanto continua como impar (véase la gráfica que digo por si hay dudas aquí: http://www.wolframalpha.com/input/?i=arctan ). Por impar me refiero a que f(-x)=-f(x) (la mayoría lo sabéis, lo digo por si alguien no). La única forma de representar la gráfica de la arcotangente de forma que sea continua y de que sea impar, es la estándar.

    Caso arcocotangente: aquí no podemos conseguirlo todo a la vez, o es continua, o es impar. También puede que se elija una rama para que su imagen coincida con la de la arcotangente (bueno, salvo un punto).

    Y esto sería lo que explica desde mi punto de vista que no haya controversia con el arcotangente y sí haya con arcocotangente.

    Y como ya he dicho, si tuviese que elegir, elegiría la continua para arcocotangente, pero opino que mejor una u otra dependiendo de para qué.

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  25. A mí me parece bastante irrelevante si la función es continua o impar.

    La gráfica no es más que una representación en dos ejes de los valores que toma la función, así que la pregunta es: ¿Cuál es el valor de la función arcocotangente en x=-1?. Los que prefieran responder 3 pi/4 deben escoger la primera gráfica, y los que prefieran responder -pi/4, la segunda.

    Por pura coherencia.

    Yo prefiero los valores negativos porque mi intuición me dice que es más probable que me encuentre con problemas en los que el valor más conveniente sea el negativo, y por eso elijo, aunque sin mucho convencimiento, la segunda.

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  26. Creo que ninguna de las dos es mas correcta que la otra, sino que tendriamos que consensar. La opcion uno es mas linda a la vista, sin embargo la mayoria de las funciones trigonometricas inversas son graficadas desde -pi/2 a pi/2. Creo que es un tema de consenso.

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  27. Una cosilla es Matlab (de “MatrixLab”) no Mathlab. Genial blog!

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  28. Actualizo el post con la respuesta más votada por vosotros y aprovecho para rectificar el error que nos comenta mario. Gracias :).

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  29. Que interesante cuestion. Estaa leyedo algunos comentarios posteados por colegas y aficionaddos a estar hermosa disciplina. Debo decir que adhiero a lo expresado por Paco H (el 5 de May de 2011 | 20:26). Esto es porque me encontre con esta dicotomia al intentar realizar cons mis alumnos el descubrimientos graficos por exploracion..esto es, armar tabla de valores, calculando los valroes de “y” para valores de “x” propuestos..Justamente, la unica manera de calcularlos con la calculadora es con la expresion arctg (1/x), osea “shift” + “tan” + (1/valor de x)..esta claro que x no le podemos asignar el valor cero..justamebte ahi tenemos una asintota..lo que nos lleva a elegir la grafica numero dos. Creo que este hecho en si mismo podria rebatir cualqueir argumento que haga referencia a alguna definicion misma de funcion inversa y en todo caso la cuestion seria “¿de que otra amnera puedo suar la calculadora para hallar ese valor de arcocotangente?”. Lo que si es cierto es que en muchos libros aparece la grafica numero uno. Yo creo que esta cuestion de preferenciar la grafica 2, se paga caro quiza cuando se hacen otras cosas con dicha funcion mas que explorarla inductivamente..me refiero al calculo de sus derivadas y demas..de hecho..sabemos que es mucho mas facil der tratamientios a funciones que son continuas que las que no lo son, por ejemplo..asi que quiza se opto por eso..Quiza entonces, sea bueno, considerar una u otra segun el contexto y hacer igualmente referencia a esta cuestion, que que resulta inriquecedora.

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  30. Hola a todos.

    Bueno la verdad es que si este asunto se trata desde el punto de vista de “un acuerdo” entre personas interesadas en determinar de forma general cual es la gráfica de la función cotangente inversa, pues entonces el problema deja de ser matemático para ser humano.

    ?La matemática es un asunto de democracia?

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  31. Es decir:

    1+1 = 2, pero si en algún “contexto” político se necesita ajustar esto por “conveniencia” puede darse entonces el caso de que en determinado momento se llegue a

    1+1=3

    Lo cual francamente le resta seriedad al asunto este. Como alguien arriba dice “mejor sigo investigando”.

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  32. 1- A ver, no, no es que la Matemática sea “el acuerdo de entre los seres humanos” que ya veo a gente decepcionada, sino que cualquier proposición que sea coherente, estable y fundamentada en principios ya demostrados (bien lo explicó Descartes en su Discurso del Método) es un principio matemático válido. Es como el tema del 0 natural o de la existencia de un cardinal entre aleph 0 y aleph 1, en realidad ambas respuestas posibles (sí y no) nos llevan a conclusiones correctas y perfectamente fundamentadas. Es como si las Matemáticas mismas estuvieran admitiendo que hay problemas por resolver mucho más importantes *cofcofP=NPcofcof* (saco el tema porque soy la bicho de Teoría de núemros y Algoritmia) que volverse loco por cuestiones que ya están resueltas (véase el famoso Taco de Demostraciones de la Cuadratura del Círculo del decano de de mi facultad, Rafael Crespo; algún día veré si de verdad los tiene apilados como taco de la vergüenza…).

    2- Personalmente, ya puestos a hacer restricciones inyectivas, le ponemos la guinda al pastel y la hacemos de paso sobreyectiva. Es decir, una aplicación biyectiva es más “potente” que una aplicación sólo inyectiva, porque tiene todas las propiedades de ser inyectiva Y ADEMÁS las de ser sobreyectiva. Además, esa triste discontinuidad en el cero me parte el alma. Y ya por pura estética (una tontería, pero ya os digo que lo mío no es el análisis continuo): la que va en [-pi/2,pi/2] parece una curva de esas que no te saludas cuando te las encuentras por la calle de buen rollo, y la de [0,pi] tiene pinta hasta de plantarte dos besos y preguntar por la familia.

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  33. Ah, elparco, el precioso mundo de la aritmética modular me enseñó que 1+1 puede ser 3 si eres una estudiante vaga a las 8.30 de la mañana con dos cafés en el cuerpo que no quiere escribir el módulo que está tomando o poner el anillo correspondiente. Bueno, 1+1 no, pero algo como 1+2=6 sí.

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  34. Si en la primera versión estamos tomando la cotangente entre 0 y pi ¿si es correcto tomar luego el valor de la función inversa en un valor fuera de ese intervalo? en éste caso -2. Es decir, ¿la función inversa que uno encuentra no funciona solamente en el intervalo que uno toma para la función?

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