Encuesta: ¿es el cero un número natural?

Qué curioso, nuestro comentarista Agus ha pensado en lo mismo que yo

El otro día, después de una clase donde aparecieron los números naturales, la cuestión sobre si el 0 es un número natural volvió a rondar mi cabeza. Ahora mismo no tengo demasiado claro haberme planteado seriamente esta cuestión antes de comenzar mis estudios universitarios, pero lo que sí recuerdo es cómo transcurrió el asunto en esos años de matemáticas universitarias.

Recuerdo claramente que en los primeros cursos (sobre todo en el primero), los profesores excluyeron al 0 del conjunto de los números naturales. Por tanto, el conjunto \mathbb{N} comenzaba en el 1, ese era su mínimo. La verdad es que en los años posteriores la cuestión se mantuvo ahí, con ligeros cambios, pero más o menos como estaba. Cuando llegué a 5º de carrera la asignatura Lógica e Historia de las Matemáticas me hizo cambiar radicalmente de opinión. En ella, el profesor incluyó al cero en los naturales, y el desarrollo de la asignatura apoyó, al menos para mí, aquella inclusión. Ahora mi opinión (si es que en esto se puede tener opinión) es que el cero es un número natural, de hecho es el primer número natural.

Pero no es mi opinión la que quiero que quede en esta entrada, quiero la vuestra. Por eso os dejo aquí una encuesta en la que podéis dejar patente vuestra creencia. Dicha encuesta estará operativa hasta el domingo 26 de diciembre. Más adelante comentaremos los resultados:

¿Es para ti el cero un número natural?

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Votos totales: 470

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61 comentarios

  1. Vayapordios | 22 de diciembre de 2010 | 08:50

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    Supongo que te convencieron la formulación axiomática de Peano y/o la construcción de los naturales a partir de cierto tipo de conjuntos. Bueno.

    Por otra parte, si entendemos que los números naturales sirven para contar cosas, el cero trae un problema curioso: el relato de lo que hay en, por ejemplo, una habitación se hace interminable porque hay una infinidad de clases de objetos que tienen asignado el cero. La palabra “nada” o la frase “no hay” no alude de ninguna manera a números.

    No tengo claro el asunto, la verdad.

  2. josejuan | 22 de diciembre de 2010 | 09:50

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    ¿No hay otras opciones que o no?

    Porque a mí me da igual, es una cuestión únicamente de convenio (no se me ocurre como podría no serlo) y cláramente los conjuntos

    Pepito = { 0, 1, 2, … }
    Menganito = { 1, 2, … }

    son diferentes.

    Otra cosa es que la pregunta fuera “¿Cómo crees que deberían definirse los naturales: A) incluyendo al cero. B) sin incluir al cero.?” (o formulaciones similares).

    En tal caso, mi opinión sería de no incluirlo y utilizar una notación para incluirlo explícitamente, algo como

    N (sin cero)
    N^0 (con cero)

    o algo así…

    (no se que me pasa hoy con latex)

  3. javi | 22 de diciembre de 2010 | 14:32

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    Soy un estudiantes de matematicas, y me han explicado la construción de los naturales con los axiomas de Peano, pero según el profesor que sea, considera al 0 o al 1 como primer elemento. ¿Cómo es posible que algo tan importante, ya que a partir de los naturales podemos construir todas las matemáticas, no sea una verdad universal, es decir, por qué no todos consideramos el 0 o el 1 como primer elemento? Y me parece que algo tan relevante sea asumido por convenio.

  4. M | 22 de diciembre de 2010 | 14:43

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    Me parece que ya se ha comentado alguna vez en el blog que es más recomendable la terminología “enteros positivos” y “enteros no negativos”.

  5. Jose María Zaragoza | 22 de diciembre de 2010 | 15:42

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    Según vi en la carrera de C.C. Matemáticas, no es un número natural

  6. Jesús | 22 de diciembre de 2010 | 16:55

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    En principio es una cuestión de convenio. En las mayoría de las definiciones axiomáticas (los axiomas de Peano), asignan al 1 el papel de primer número natural.

    Quizá la pregunta correcta sería ¿Existe alguna razón para asignar al 1 el papel de primer número natural?. Esto lleva a la definición intuitiva del concepto, previa a su axiomatización. Y aquí podemos encontrar algunas teorias:

    1. Usados para contar (medir cantidades discretas)
    2. Utilizados para asignar un orden.

    En el primer caso, el cero sería admisible, como la forma de señalar una cantidad no existente, pero a los antiguos le costaba asimilar este concepto.

    En el segundo caso, esta claro que no tiene un papel el cero.

    Después de esto, parece claro porque la mayoría de las definiciones axiomáticas asignan al Uno el papel de primer número natural.

  7. Samuel | 22 de diciembre de 2010 | 17:03

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    A ver, todo esto depende un poco… por ejemplo, los de análisis matemático suelen excluirlo, cosa que no suele suceder entre algebristas o lógicos (esa es la impresión que me da). Eso sí, si interpretamos el conjunto de los naturales como el conjunto de los x tales que x es cardinal de un conjunto finito… pues no nos queda otra que meter ahí al 0.
    Además, nos viene bastante bien para poder darle, incluso en N, un elemento neutro a la suma.

  8. Pablo | 22 de diciembre de 2010 | 19:13

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    Según la definición que me dieron a mí hace unas semanas:
    Se llaman números naturales a los cardinales de los conjuntos …finitos no vacíos. El conjunto de todos los números naturales se denota por \mathbb{N}.

    Por lo que en esta definición el cero no entraría. Pero yo también creo que es más por convenio, o quizá haya una razón importante.

  9. Juan Carlos | 22 de diciembre de 2010 | 20:25

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    Claro que el cero es un numero natural, si no lo fuera ¿Cómo ibamos a construir el 10 ó el 100…je je?.

    Ya lo sé, es un chiste muy malo. Bromas a parte, considero número cualquier expresión referida a cantidad, que permita realizar operaciones matemáticas (aritméticas …), independientemente de su significado, y el ceró presenta otras funcionalidades básicas por ejemplo la de actuar como elemento neutro de la suma, equivalente a la función del 1 en la multiplicación.

  10. josejuan | 22 de diciembre de 2010 | 20:45

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    @Juan Carlos, no es tan broma como parece (aunque a mi me ha hecho esbozar una sonrisa), nuestro más común sistema de numeración (con el que has hecho el chiste) que proviene de la india, la cronología es (resumiendo)

    Dígitos 1, 2, 5 y 6 datando del siglo III a.C.
    Dígitos 1, 2, 4, 6, 7 y 9 datando del siglo II a.C.

    Los 9 dígitos (1 al 9) ya se usaron ininterrumpidamente desde el siglo I d.C.

    Pero no fué hasta el siglo VII d.C que se empezó a representar la posición “sin sumar” con un “cero”.

    Es decir, desde un simplón esbozo de los “dígitos” (ojo, posicionales, símbolos de numeración existen desde muchísimo antes) en tan sólo 3 o 4 siglos se completaron con todos los necesarios (el cero se representaba primero no poniéndolo, luego con un puntito, luego con una especie de cero), pero hicieron falta más de 6 siglos sin ninguna variación para poner el cero, y eso que (por lo visto) había follones con las interpretaciones del “espacio” dejado para desplazar la unidad decimal.

    En fin, que la pregunta “¿Cómo ibamos a construir el 10 ó el 100…?” tiene mas enjundia de la que parece (que se lo pregunten a los indios).

    En contraposición de sistemas de numeración, los romanos nunca tuvieron el problema del cero como no fuera para indicar que no había nada.

    Me fascinó (se nota por el ladrillo que he metido ¿no?) el libro “Historia Universal de las Cifras” (ISBN: 9788423997305).

  11. Hirowe | 22 de diciembre de 2010 | 22:11

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    Para mí que el 0 entraría en los naturales. Con los números naturales podemos contar cosas (es obvio, pero bueno) 1 manzana, 2 manzanas, 3 manzanas, etcétera.

    Pero si nos piden contar cuántas manzanas hay en una caja con peras, podemos decir que hay 0 manzanas, jamás podemos decir que hay -1, o -2 manzanas.

  12. Gulliver | 22 de diciembre de 2010 | 22:24

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    ¡Cómo que no puedes contar -2 o -200 o menos lo que sea! Eso díselo a los del banco cuando me enseñan el extracto de la cuenta corriente después de las compras navideñas.

  13. Samuel | 23 de diciembre de 2010 | 01:35

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    @Pablo: ¿Eres de la UAM?

  14. Pascu | 23 de diciembre de 2010 | 02:30

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    El cero es natural en cuanto forma parte de las decenas, centenas, etc., es decir, en cuanto artificio necesario para contar.

    Por sí solo es irrelevante si forma o no parte, ya que por definición no vale nada.

    Eso sí, discutirlo puede ser entretenido, como aquello de si el siglo 21 empezaba en 2000 o 2001, jeje. (empezaba en 2001, claro).

  15. Ramiro Hum-Sah | 23 de diciembre de 2010 | 08:48

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    Yo creo que la cuestión en si misma es muy importante ya que independientemente de las convenciones humanas las realidades matemáticas son completas por si solas es decir no se requiere que un humano diga que el 7 es un número primo por que 7 es primo de forma excluyente a lo que diga la mente humana.

    Por ello creo que el 0 debe estar bien definido como un natural o no, en lo particular creo que no lo es.

    También sería muchisimo muy interesante discutir sobre si el 1 es un número primo o no

  16. Jesús | 23 de diciembre de 2010 | 09:58

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    José Juan, hablando de libros, hay uno que busqué hace tiempo “Cero. Biografía de una idea peligrosa” de Charles Seife. Publicado en Ellago Ediciones, una editorial casi desconocida. Había perdido la esperanza de encontrarlo, cuando lo vi, meses después en la feria del libro.

    No lo he leído aun, lo tengo entre los libros pendientes, pero creo que el título esta bien elegido. Lo que ahora nos parece algo natural, el CERO, en su momento fue eso, una idea peligrosa, que despertó pasiones y las sigue despertando, porque sino no estaríamos aquí comiéndonos el tarro.

    Si queréis más información del libro, mirar aquí:

    http://www.ellagoediciones.com/OBRAS/oislas/islcero.html

  17. Jesús | 23 de diciembre de 2010 | 10:13

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    Ramiro, la discusión si UNO es numero primo o no, es más fácil. Cierto que la definición puramente numérica de número primo (divisible solo por el mismo y la unidad) deja dudas. Pero en álgebrá, el concepto de “Ideal Primo” ayuda a entender porque se excluye al UNO como número primo.

    En anillos unitarios conmutativos, como el caso de los enteros, un ideal es primo si y solo si el anillo cociente es dominio de integridad. Esto excluye el caso que el Ideal coincida con el anillo. De hecho en todos los textos suelen incluir explicitamente el anillo completo de la definición de ideales-

    Para el caso del anillo de números enteros, los ideales primos coinciden con los ideales generados por los números primos. El “ideal” generado por UNO coincidiría con el anillo completo, por lo que no se considera ideal.

    Y esta es una buena razón para excluir el 1 del conjunto de los números primos.

    P.D. Cuando ya estaba acabando de escribir esta explicación se me ocurre otra razón: Si se considera el UNO como numero primo, la criba de Erastótenes deja de tener sentido. pues \’borraria\’ todos los números enteros en la primera pasada

  18. Víctor Sánchez | 23 de diciembre de 2010 | 13:05

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    No sé si el 0 en positivo o negativo, pero creo que es una cuestión de convenio, tal y como se ha estado exponiendo en todos los comentarios.
    De todas formas yo he votado que no es natural. Porque en topología, al menos hasta el nivel al que yo he llegado (que no es casi nada, creedme) a los números naturales se los define a partir del 1, y siempre se excluye el 0.
    Que por supuesto esto puede cambiarse, simplemente habría que revisar los axiomas de Peano.

    Por otro lado hay que decir que las opiniones están muy repartidas. Creo que hay más de 160 votos y anda la cosa “fifti, fifti”. Esto está más reñido que la liga!

  19. Pastrana | 23 de diciembre de 2010 | 14:12

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    Números naturales:

    No es natural decir: “tengo cero manzanas”
    Es natural decir: “No tengo manzanas”

  20. Iván | 23 de diciembre de 2010 | 16:48

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    Hola,

    estoy con Samuel. Yo, como algebrista entiendo el conjunto de los naturales como el conjunto de números que son cardinales de algún conjunto. Según esto, el cero es cardinal del vacío. Claro, que esto también trae un problema, la definición de cardinal. Según esto, para evitar la circularidad, se puede definir N como clases de equivalencia de conjuntos finitos equipotentes (en biyección). En cualquier caso, según esta definición, el cero se puede entender como la clase de equipotencia del vacío y también merecería ser incluído en N. Y sí, doy fe de que los analistas no suelen incluírlo. A mi también se me introdujeron a través de los axiomas de Peano en Análisis de Variable real en primero. Excelente blog.

  21. Omar-P | 23 de diciembre de 2010 | 21:30

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    El 1 no es primo porque los números primos son los números naturales que tienen exactamente dos divisores.

  22. Adrià | 24 de diciembre de 2010 | 00:54

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    Yo entiendo a \mathbb{N} como la intersección de todos los conjuntos inductivos, por lo cual, 0 \notin \mathbb{N}.

  23. Francisco | 24 de diciembre de 2010 | 00:58

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    A mi en Primero de Carrera, allá en Granada, cuando el mundo era joven y a mi profe de Álgebra I (José Luis Bueso) le dejaban fumar en clase, me explicaron que lo de que el cero fuera natural o no era cuestión de convenio. A los de Análisis, que trabajan mucho con la sucesión {1/n} si n es natural les estorbaba el cero, porque entonces la sucesión tendría que ser {1/(n+1)}, así que suelen quitarlo. Mientras que a los algebristas les viene bien que el ¿semigrupo, era? de los naturales tenga elemento neutro, así que lo incluyen.

    No sé si eso será cierto o una historieta de las que se cuentan a los novatos (Bueso nos mandó un fin de semana demostrar el último teorema de Fermat como deberes), pero el caso es que a mi me convenció bastante.

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  26. juglar | 24 de diciembre de 2010 | 01:30

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    Permíteme la broma, pero está a huevo: ¿El resultado de la encuesta influirá en la celebración de las fiestas?

    Bueno yo opino que cero NO es un número natural, para mí cero es la definición del conjunto vacío es decir que no está incluido dentro del mismo y no puede ser que cero esté y no esté al mismo tiempo en el conjunto de los números naturales, pero si quieres le preguntamos a Gödel y ni para tí ni para mí.

  27. AliceVW | 24 de diciembre de 2010 | 02:22

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    Pues para mi si lo es, en teoría de conjuntos se define el cero como conjunto vacío y a partir de ahí se construyen los demás números naturales aplicando sucesivamente partes de un conjunto al 0.

  28. drini | 24 de diciembre de 2010 | 03:58

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    ” cero es un número natural, de hecho es el primer número natural.”

    Nótese la sutil contradicción. Si el cero fuera el *cof*número natural inicial*cof* entonces sería el “ceroésimo” número natural.

    Decir que es el “primero” para decir que es el inicial, sutilmente está aceptando al uno como la base.

  29. iVicentico | 24 de diciembre de 2010 | 04:29

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    Naturalmente que no (?)

  30. gaussianos | 24 de diciembre de 2010 | 04:53

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    drini, ¿decir que está en primer lugar es lo mismo que decir que es el 1? Yo creo que no. Con “primero”, o “primer lugar”, quiero decir que es el comienzo, el más pequeño de todos.

  31. Cristobal | 24 de diciembre de 2010 | 14:13

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    No me deja votar y es 24 :-(

    Bueno en los albores de las civilizaciones no tenían ningún símbolo para denotar el cero, o lo que ellos era lo mismo, denotar el no tener nada o la nada. Pero el que no tuviesen el símbolo no implica que no supiesen de su existencia, ya que si a uno/a le quitaban la total cantidad de cierto ente se quedaba sin nada (cero) y os aseguro que si le quitaban las siete manzanas que tenía era muy consciente de que se las habían birlao ;-)
    Otro aspecto a tener en cuenta es que se tardó bastante en multiplicar (sumaban para multiplicar) pero ello tampoco implica que no consideremos el multiplicar como un operador.
    Así pues el cero para mi es un número, ya que en la multiplicación de un número por cero influye en el resultado, al igual que en la división.
    Además, si elegimos cualquiera de los conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos) con la suma el cero hace el papel de ser el elemento neutro.
    Si tenemos en cuenta que cero lo denotamos sin que le preceda signo alguno, es que lo podemos considerar como número positivo.
    Además, si denotamos, por ejemplo; el uno como 1 y no como 1’000000 o como 1/1 (y todas sus fracciones equivalentes), podríamos admitir que 0 es natural.
    También vendría luego considerar si el 0 es el elemento minimal del conjunto de los naturales, pero eso es obvio para mi que se cumple. Junto con todos los lemas de Zermelo, Zorn; y las relaciones de orden.
    Pero sobretodo hay algo que tengo en cuenta es, que si llamamos número natural a todo aquel número en el que pensamos y nos viene a la práctica de forma natural, entonces el 0 es un número que me viene a la mente de forma natural cuando me quedo, por ejemplo, sin caramelos ;-)
    Dejo un enlace de la Teoría Del Orden http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_orden para liar un poco más la cosa ;-)

  32. Cristobal | 24 de diciembre de 2010 | 14:16

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    Aviso, hay que comentar para poder votar jejejeje

  33. Cristobal | 24 de diciembre de 2010 | 14:44

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    Y ahora voy a dar argumentos un poco más en contra.
    Por ejemplo, qué pasa cuando operamos con a/0 siendo a no nulo. ¡Vaya!, la cosa pinta fea, ¿verdad? Pero si pensamos en que dividir es repartir la cosa ya no es tan traumática. Y es que a cualquier neófito/a de las matracas que le preguntemos que queremos repartir 7 cosas con 0 personas nos va a decir de “forma natural” que es absurdo.
    Pero y si pensamos con la indeterminación 0/0, uy ¡chunga está la cosa! Y sin embargo, mediante transformaciones algebraicas o con derivaciones llegamos a un resultado.
    Y si con ello podemos operar matemáticamente es que 0 es un número, un poco especial ;-)
    ¿Tan especial como el infinito?, operamos con el infinito, ¿pero es el infinito un número en sí? Lo digo en el sentido de número de Frege, para que se me entienda.
    Si con infinito denotamos la cantidad más grande, con menos infinito la más pequeña y con cero la nada absoluta; entonces…. viene ya el tema de la Filosofía Matemática.

    Ahí lo dejo :-)

  34. javier | 24 de diciembre de 2010 | 16:46

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    hola, en mi opinión desde un punto de vista de conjuntos, da igual si el cero se considera natural o no, ya que serían 2 conjuntos distintos y según la definición de cada uno, el cero se incluiría o no. Pero desde un punto de vista de lógica, creo que se debería incluir, ya que para construir el conjunto de los números de los números naturales se debe empezar por el cero e ir definiendo sus sucesores.
    De todas formas, no soy ningún experto y es sólo mi opinión.
    un saludo y feliz navidad,
    javier

  35. PEPELO | 24 de diciembre de 2010 | 18:18

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    absoltaamente cierto que el cero es un numero, es el inicio de la numeracion, es como negar que 0.5 que esta precisamente enmedio del cero y del uno sea un numero, no es cosa de consultar a nadie, es cosa de razonar, pregunta ;que diferencia un uno con un cero a la derecha, de un uno con un uno a la derecha?

  36. Francisco | 24 de diciembre de 2010 | 19:31

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    Pepelo, nadie discute que el cero sea un número real o racional. Incluso me atrevería a conjeturar que estaremos todos de acuerdo en que es un número entero. El debate aquí es si es un número natural (cosa que el 0.5, por ejemplo, digo yo que estará claro que no es, ¿no?)

  37. DiegoM | 24 de diciembre de 2010 | 20:49

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    El 0 no pertenece a los números naturales por definición desde los Axiomas de Peano.

  38. $.T.U.M. | 25 de diciembre de 2010 | 19:38

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    Segun estudie en la facultad el 0 no es un numero natural, pero esto basicamente era por convenio. Por otra parte, utilizabamos mucho Nº que representan a los numeros naturales y el 0.
    Por otra parte siempre discuti con los profesores que el 0 era un numero par, a lo que siempre me dijeron que no. Al plantearles que tenia las propiedades de un numero par me dijeron que tenia las caracteristicas de un numero par pero no lo era. Seria otro tema interesante para discutir.

  39. Luis F | 26 de diciembre de 2010 | 11:07

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    Pues va a ser que no… Según me explicaron en la universidad, la demostración es muy sencilla.
    Los números naturales, como todos sabemos, se construyen gracias a los axiomas de Peano, sin embargo, la definición de dichos axiomas puede llegar a ser un tanto cuanto inexacta, ya que se pueden construir con el cero o sin él.
    Todo depende del primer axioma, es decir si se asigna el 1 o el 0 como primer elemento de los números naturales. De cualquier manera, con cualquiera de los dos, todos los axiomas son perfectamente válidos.
    Entonces llegamos al principio, el o puede ser o no natural y seguimos en las mismas.

    No obstante, habría que ver de donde surge el cero. A menudo lo usamos para denotar la ausencia de algo, sin embargo el cero NO es igual al vacío, y la definición es errónea.

    En la teoría de grupos, el cero se obtiene al tratar de construir los enteros bajo la suma (que por cierto, como todos sabemos, forman un grupo abeliano). Entonces, el cero es una consecuencia directa del inverso. Es decir que para todo número “x” existe “-x” tal que “x+(-x)=n” donde “n” es el neutro. En este caso estaríamos hablando del neutro bajo la suma (neutro aditivo) y por lo tanto del cero.

    Pero rápidamente nos podemos dar cuenta de que el inverso aditivo NO existe en los naturales, ya que dentro de ellos no existe “-x” para toda “x” (Nótese que escribí ‘para toda “x”‘, puesto que “-x” SÍ puede existir bajo los naturales). Dicho mal y rápido, bajo los naturales no existen los número negativos. Por lo tanto, el cero no existiría bajo los naturales.

  40. Agus | 26 de diciembre de 2010 | 21:51

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    No me había fijado que habiáis colocado una encuesta. Además, resulta que va 219-229…
    He votado incluir el cero y aun no sé muy bien por qué. Esto daría para algo bastante más extenso que un comentario. Dejo a los Gaussianos el papel de ilustrarnos ;)

  41. fede | 26 de diciembre de 2010 | 23:42

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    Cuando se dice “número natural” sin especificar más, yo asumo en principio que no se incluye el cero. Hubo un tiempo en que la duda era si el 1 es un número. (No se había inventado todavía la expresión “número natural”):

    “Por eso, lógicamente, el uno no es un número, ya que tampoco la medida es medidas, sino que la medida y el uno son principio”.
    (Aristoteles – Metafisica – 1088a6 )

    “La unidad, entonces, ocupando el lugar y carácter de un punto será el comienzo de los intervalos y de los números, pero no es ella misma intervalo o número, como el punto es el comienzo de una linea o de un intervalo, pero no es él mismo linea o intervalo”
    (Nicomaco de Gerasa – Introduccíon a la Aritmética – II.6.3)

    Y la misma idea en Euclides, en las 2 primeras definiciones al principio del libro VII:
    http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVII/bookVII.html#defs

    La conclusión que se puede sacar es que el concepto de “número natural” tiene mucho de artificial.

  42. dacscaro | 27 de diciembre de 2010 | 02:51

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    Pues veamos ¿en estos “naturales” sin el cero la cantidad 7-7 esta definida? Mi opinión es que números naturales donde la cantidad 7-7(o 8-8, 9-9, los dos designadores iguales que querais con el “funtor resta”) no esté definida no son muy “naturales” para mi a ojos del conocimiento actual. A estas alturas, usando el funtor resta no podemos decir que 7-7 no nos da nada dentro de los “naturales” o que no tiene significado alguno. Ni a un niño de 10 años(o menor) le enseñaremos que tal cosa no tiene significado o que no representa ningún numero natural o que no está definido, les enseñamos de hecho que eso da 0 y a ellos no los ponemos a pensar si eso es o no un número natural, sino que cuando les enseñamos el algoritmo de la resta ya saben que poner si les damos la expresión 8-8. Lo que significa que claramente definir los “naturales” a partir del 1 es cuando menos artificioso a estas alturas del paseo. Supongo que puede hacerse para simplificar notación en alguna materia pero no lo veo más utilidad que eso…..

    Además, los axiomas de Peano, representan a los naturales de forma consistente(son una teoría axiomática consistente no porque lo diga yo sino que puede demostrarse) así que para mí por lo menos esta fuera de discusión su corrección(contando con que la consistencia no es algo fácil de probar)….. Ya será otra cuestión si históricamente ha sido así o no….

  43. Cristobal | 27 de diciembre de 2010 | 10:55

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    Es curioso, Libro Volumen I de las Oposiciones de Matemáticas de la Editorial MAD, Tema 1
    Página 14 reza así:
    A1) El 0 es un número natural (Primer Ax. de Peano) Y aclara que en ppio. Peano eligió el 1

    En la página 32 del mismo libro cita una forma recurrente para construir el conjunto de los naturales, tomando como conjunto modelo el vacío e identificándolo con el 0, pasando por las clases de equivalencia.

    Así que podemos tomar perfectamente el 0 como primer elemento de los naturales.
    Luego entra el campo de porqué no tomarlo, y eso se debe más a que el 0 es un número un tanto especial, fíjense en estas cosas:

    a) 0^0 es una indeterminación en la que entra el 0 y 0/0 otra más, como 0 por infinito e infinito elevado a 0
    b) a^0 = 1 si a es no nulo, algo cogido por los pelos, aunque en Gaussianos se expuso un porqué.
    c) 0!=1=1! Dos cantidades diferentes dan lo mismo, ¡muy chocante!
    d) a/0 si a es no nulo, no es indeterminado pero ya saben lo que da, ¿no?

    Todas estas cosas se plantean como muy problemáticas para que los matemáticos de finales del XIX y principios del XX consideren el 0 como un natural, e incluso como un número.

    Otra más, 1 elevado a infinito es indetdo. la única indeterminación que no está el 0. Además en todas las indeterminaciones sólo intervienen el 0, el 1 y el infinito; NINGÚN otro número más.

    Por lo expuesto arriba es por lo que da qué pensar si el 0, ya no que sea natural, si no que sea un número.
    Por cierto, la nada es 0, por mucho que otros se empecinen en tomar 3 pies al gato.
    Y n-n=0 e incluso cuando es 0-0=0, eso no tiene discusión alguna. Como tampoco la tiene que 0=[0/n] con n no cero; y que con las clases de equivalencia como ésta sea una forma de definir el conjunto de los racionales; entrando como racionales los naturales y los enteros.

  44. Omar-P | 27 de diciembre de 2010 | 17:19

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    La encuesta es interesante e irrelevante.

  45. Laurent | 28 de diciembre de 2010 | 00:04

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    Lo escribí antes pero no sé por qué no se publicó. En inglés existe la distinción entre “Natural numbers” para la secuencia que empieza en 1, y “Whole numbers”, para la que empieza en 0. Personalmente siempre incluyo al cero en los naturales. Me da pena quitarle el elemento neutro de la suma. Aunque suscribo lo que dice Omar-P.

  46. Tanius | 28 de diciembre de 2010 | 10:24

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    Desde que empecé con la carrera universitaria tengo entendido lo siguiente:

    En análisis se tiende a definir \mathbb{N} =\left\{{ 1,2,\ldots }\right\} simplemente por convenio o por tradición. Pero es importante saber que los naturales en realidad comienzan desde el cero. Cualquiera que tome un curso de Conjuntos, puede darse cuenta que por construcción de dicho conjunto, el cero debe ser elemento del conjunto pues es la base. De hecho se entiende al cero como el conjunto vacío.

  47. Tanius | 28 de diciembre de 2010 | 10:36

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    dacscaro, no puedes hablar de la operación 7-7 en los naturales, dado en los naturales no podemos hablar de inversos aditivos. Cuando a un niño le dices que 7-7=0 implícitamente hablas de una suma 7+(-7)=0 la cual es una operación en los enteros.

  48. dacscaro | 29 de diciembre de 2010 | 00:59

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    Tanius yo puedo perfectamente definir utilizando descriptores la operación a-b en los naturales diciendo simplemente que el numero a-b es el c tal que b+c=a. Aquí solo necesito de los naturales y no veo de donde pueda necesitar a los enteros(de hecho a-b se convierte en un nombre para un número, por ejemplo para el 2 tenemos 3-1, 4-2, 7-5 que son nombres para el mismo número utilizando las clases de equivalencia)… No estoy hablando implicitamente de una suma ni nada por el estilo(pero la resta queda perfectamente definida de ese modo)…. Yo en esta época lo veo claro….. Si los naturales empiezan desde el 1 en alguna materia será por convenio no por otra cosa(algo para ahorrarse el chollo de escribir N-{0})

  49. Tanius | 29 de diciembre de 2010 | 04:02

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    Sí, llevas razón en eso (:

  50. Sebastian Espinar | 29 de diciembre de 2010 | 10:39

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    Y por qué no hacemos con los naturales y los enteros lo que hacemos con los años?:
    No incluimos el cero.
    Os lanzo una pregunta: ¿Habría algun problema formal en hacerlo?.
    Piensese que lo que hacemos implicitamente al quitar el cero es nominar intervalos (periodos en el caso de los años) en vez de puntos. Cuando representemos la recta infinita, sería una la recta racional pero no una recta real. Nos veríamos un poco limitados por no poner el cero, ¿No lo creeis así?.

  51. Samuel | 29 de diciembre de 2010 | 17:30

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    @Sebastian Espinar: Sï que lo hay, los enteros dejarían de ser un grupo, al cargarte el elemento neutro sumativo.

  52. Miguel | 31 de diciembre de 2010 | 21:25

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    Los griegos de la época de Aristóteles creían que el uno no era un número, y que éstos empezaban a partir del dos, pues los números siempre se refieren a lo múltiple, a lo agrupable, y la unidad no se la puede repartir (agrupar) ni de ella se puede predicar lo múltiple.
    Pero esos eran otros tiempos, otras notaciones, otra forma de ver las matemáticas. ¡Ni siquiera “sabían” restar y decir que 2-2=0 porque no podían nombrar el cero!

    Para mí, estamos ante una ambigüedad muy útil. Para el álgebra, viene muy bien que \mathbb{N} tenga el cero por mínimo, por aquello del elemento neutro de la suma. Y para otras “matemáticas” es más útil considerar que los naturales empiezan con el uno. Desde luego, intuitivamente empezamos a contar las cosas con el uno, no con el cero. Salvo que seas informático y un pragmático enfermizo.

    Si he de decidirme, prefiero que empiecen con el uno. El cero es un número muy raro y bastante puñetero.

    ¡Feliz año nuevo!

  53. jacke | 17 de marzo de 2011 | 02:41

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    para mi el 0 si es numero natural porque sin esta cifra no podriamos escribir ni el 10 ni el 20 el 30 el 40 etc.bueno chao que les sirva mi respuesta

  54. Danilo | 24 de marzo de 2011 | 02:20

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    Hola a todos.
    yo estoy con la misma duda, pero creo que Tanius esta en un pequeño error ya que la operacion “-” se define cono una funcion entre dos grupos o conjuntos.

    Que en este caso parte en N y llega a NU{0}. por ende estarias asumiendo que parte del
    cero.

    Por si no se entendió creo que te pisas la cola.

    Ojala que me digan si estoy en lo correcto, sino, gustoso recibo criticas

    Saludos a todos

  55. Trackback | 4 may, 2011

    Encuesta: ¿Cuál es la gráfica de la arcocotangente? | Gaussianos

  56. Saharait Boscan | 19 de julio de 2011 | 01:48

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    Estoy viendo una clase de matemáticas donde el profesor excluye al 0 del conjunto de los números naturales. Quería saber porque si el 0 no es un número natural porque el 10 si lo es? Espero pronta respuesta.

  57. Omar-P | 20 de julio de 2011 | 01:49

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    Porque el cero es neutro y el diez es positivo.

  58. Othoniel | 7 de octubre de 2013 | 19:37

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    El 0 debe ser considerado un numero natural, porque el no considerarlo haria que el conjunto de los numeros naturales no cumpliera la propiedad de clausura (el que dice que la suma de todo numero natural debe ser un numero natural, ya que no habria ningun numero que sumado al 1 diera 1 y peor aun no existiria un elemento neutro en la suma). Por otra parte el hecho de excluir el cero de los numeros naturales haria que este conjunto no fuera un espacio vectorial, ya que no contendria al espacio trivial que por necesidad es siempre un subconjunto de los espacios vectoriales. Es asi que considero que debe primar mas el sentido común que la nostalgia en la historia de los numeros naturales, decir que no hay o tengo nada, es tan importante como decir lo que tengo o acaso el no tener nada no es el punto de partida para tener algo….?

    Saludos

    Othoniel

  59. Quique77 | 7 de octubre de 2013 | 23:34

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    El número anterior al cero es negativo. -3,-2,-1,0.1.2 y cero no es positivo, entonces es neutro. Si los números negativos no son naturales, cero tampoco, pues podemos obtener 1 sumando 0+1, -1+2,-2+3,-3+4, -4+5…………
    Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Cero no es un número natural, y si lo fuera, habría en un mismo conjunto cero lápices, cero sacapuntas, cero manzanas, cero fresas, cero naranjas, cero anchoas…..
    Otra cosa es utilizarlo para un código como el ASCI basado en ceros y unos, es decir, en base 2. Sin ponerlo como código, puede ser parte de un número natural en 10, 100,20,200,30,300 o de forma inútil; 01,001.02,002,03,003…….
    Un cordial saludo

  60. jose | 8 de octubre de 2013 | 15:49

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    es FACIL sea la sucesion 1 1/2 1/4 1/8 y asi sucesivamente si tomamos el limite n–>oo nos da 0 y como la sucesion es convergente 0 DEBERIA ser un numero

  61. Psiqui | 24 de octubre de 2013 | 17:23

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    Gracias por aclarar que 0 es un número. Ahora sé que 0,0000000000000000000000100 es un número, y además positivo.

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