Encuesta: Curvatura de una función de una variable

Uno de las características que interesa estudiar a la hora de representar gráficamente una función de una variable es la curvatura de la misma. Este estudio se realiza mediante el análisis del signo de la segunda derivada de la función. En los intervalos donde la segunda derivada es positiva la función tendrá una curvatura como la de la gráfica 1 y en los intervalos donde la segunda derivada sea negativa la tendrá como la de la gráfica 2. Eso está claro. Lo que no está tan claro es cómo llamar a cada tipo de curvatura. Consultando a alumnos, profesores y libros no parece que haya consenso con este tema. Para unos deberían nombrarse convexa y cóncava, respectivamente; para otros cóncava y convexa; y para otros cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Por eso quiero hacer una encuesta entre vosotros y vosotras. Vamos con dos gráficas de ejemplo:

Gráfica 1

Gráfica 1

Gráfica 2

Gráfica 2

Y ahora la encuesta (es necesario tener activado javaScript para visualizarla). Para votar marcad una de las opciones y después pulsad en Vote now. En cada una de ellas la primera de las opciones corresponde a la gráfica 1 y la segunda a la gráfica 2 (no pongo las tildes a cóncava porque no las reconoce):

En unos días publicaré los resultados de la encuesta y un post hablando del tema.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

54 Comentarios

  1. Mierda!! me he equivocado al marcar!!!
    Justo he pensado: “jaja, la de gente que va a picar”… y voy yo y meto la pata xD

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  2. Lástima que no estuvierais en la fiesta del Premikos 20blogs. Lo pasamos en grande …

    En fin. Lo de la concavidad hay que tomar un criterio. En óptica, siempre que se pone un sistema, los raos van de izquierda a derecha; de esa manera es fácil saber cuándo la lente es cóncava o convexa.

    En el caso de las funciones tendríamos que mirar de arriba a abajo o de abajo a arriba; pero eso no deaja de ser un criterio artificial; y mientras no sea necesario para otras cosas, obviaremos los criterios. Por mi parte, cóncava hacia arriba o hacia abajo.

    Salud!

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  3. A mí me enseñaron una regla nemotécnica que me ayuda bastante: Con-cava (con vino espumoso, que evidentemente se llena desde arriba, es con forma de copa), y con-beso, aquello a lo que le puedes dar un beso acercándote desde arriba.
    Ya sé que es forzado, pero me sirve 🙂
    Ya sé que es un criterio inventado, pero hay que distinguir uno de otro ¿no?

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  4. Justo el jueves que viene tengo un examen de análisis de funciones (crecimiento, curvatura, máximos, mínimos, asíntotas y todo eso; mi nivel no es es muy alto, pero es que voy a 1º de Bachiller y mis matemáticas son las aplicadas a las C Sociales) y la verdad es que a mí este tema también me ha supuesto más de un lío. Y preguntándole a la profesora, ella me respondió que por convenio se ha adoptado que la curvatura se mira desde el eje X; o sea, que si nos plantamos en el eje X y vemos hueco, cóncava, si vemos que sobresale hacia nosotros, convexa. Creo que lo entendí así.

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  5. siempre fue un problema en la facultad como llamar a la concavidad… no entiendo xq :S a mi me dijeron: concava si va hacia arriba, convexa, hacia abajo. Tb me dijeron la de concava hacia cierto lado, y escuche a otros q tenian lo de concavidad y convexidad pero invertido. Asi que no se cual es la verdad de todo esto :P.

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  6. Mis pobres conocimientos de 5 en matemáticas de 2º de Bachillerato (al menos no soy de los 30 de mi clase que van a septiembre xD) me dicen que es cóncava-convexa. si me equivoco, que conste que no me lo han preguntado en ningún examen.

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  7. Por lo general, si se hace un pequeño esfuerzo en añadir unas pocas palabras, se aclara bastante. La primera es cóncava si se mira desde arriba y convexa si se mira desde abajo. La segunda, mirándola desde arriba es convexa y, desde abajo, cóncava. Si no se especifica desde qué lado se mira, suele haber confusión. Normalmente, casi todo el mundo tiende a mirarla desde arriba y ahorrarse la aclaración. Saludos

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  8. La regla que recuerdo era: cóncavo tiene forma de “cunca” (cunca en galego, cuenco en español).

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  9. La concavidad o convexidad de una función no es más que algo relativo a quien lo observa. En objetos físicos (como una lente) la concavidad/ convexidad es clara, pero en el caso de una función (una línea sin grosor) nos podríamos situar dentro o fuera de la curva.
    No creo que sea relevante nomenclatura ninguna, bastaría decir que curvatura como x^2 o curvatura como -x^2.

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  10. Yo también suelo confundirme, pero alguna vez leí que lo que “mandaba” era la concavidad del epígrafe de la función (la región que está sobre la curva).

    Independiente de eso, antes de entrar a la pruebas yo me hacía una X en el reverso de mi mano, y cuando necesitaba acordarme, hacía la forma de la curva con mi mano: si la x queda a la vista, es conveXa. Es raro el truco pero me sirvió para salir del paso.

    Saludos!

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  11. Yo digo lo mismo que Breogán: siempre me enseñaron que la primera es cóncava porque tiene forma de cuenco.
    Saludos

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  12. cuando me lo explicaron a mi: conveso si besas la mano de una señorita, la mano es cóncava hacia abajo, ( la cunca gallega en el fregadero despues de lavarla).
    El criterio no está unificado; en las directrices que utilizaban para la selectividad hace años decía:” por convenio la función y=e^x es convexa”, a los dos años cambiaron la función por y =x^2. ( algún colega dijo: estos son capaces de creer que no sabemos representar la primera).
    Como regla nemotécnica utilizo la de colocar la mano en la barbilla y decir esto es “con beso” ” y desde hace poco esto, colocando la mano en la coronilla, esto es ” con calvo”. Es la normativa para la selectividad en Galicia. No es coincidente con otras comunidades, basta con leer los libros de texto, generalmente es al revés.
    Personalemente creo que es una cuestión de punto de vista: la función y=x^2 si estás situado en el menos infinito del eje OY se ve cóncava y si te situas en el mismo eje pero en el mas infinito se ve la parte convexa.

    saludos
    Ap2

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  13. Aunque no aparezca aquí listada, una muy práctica sería curvatura positiva para la primera y curvatura negativa para la segunda.

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  14. A ver si se explica esto, que yo sigo con el tema de óoncavo, como Breogán, con forma de cuenco, convexo el contrario. Y si no es así, cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo, y nadie falla 😉

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  15. La escuela inglesa votaría la opción 1, el resto de matemáticos la opción 2. O algo así.

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  16. Bueno, la regla nemotécnica que yo utilizo es muy parecida a la de Roberto: Cóncavo con lo que cavo; convexo con lo que beso. Convexo es el dorso de la mano y es donde se besa la mano, cóncavo es la palma de la mano cuando cavo un agujero en la playa para hacer un castillo de arena. Todo lo que sirve para cavar (una pala de albañil, un pico, un azadón, la pala de una retroescavadora, etc) simpre tiene una cara cóncava que es la que se utiliza para cavar. Yo no conozco de ninguna herramienta que se utilice su parte convexa para cavar.

    En una superficie no hay problema para saber si es siempre convexa (una naranja, la luna llena, etc) o si tiene zonas cóncavas y zonas convexas (la luna en cuarto menguante).

    Pero en una línea … pues como que carece de sentido llamarla cóncava o convexa sin más explicaciones. O es una recta que carece de partes cóncavas y convexas, o es una curva que tiene una parte cóncava (la zona interior de la curva) y una parte convexa (la zona exterior)

    La gráfica 1 tiene su zona cóncava hacia arriba y a la izquierda, y tiene su zona convexa hacia abajo y a la derecha. La gráfica 2 tiene su zona cóncava hacia abajo y a la derecha, y tiene su zona convexa hacia arriba y a la izquierda.

    El método de Austerhouse (mirar situándonos en el eje X) no siempre es válido. De hecho, no es válido para el ejemplo de la gráfica 2 porque dependerá de qué parte del eje X estemos hablando. Para todo x>1 la gráfica sería cóncava y para todo x

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  17. Oppss se cortó el mensaje, posiblemente por el uso del “menor que”.

    Para todo x>1 la gráfica sería cóncava y para todo x menor que 1 la gráfica sería convexa.

    A menos que exista algún convencionalismo que yo desconozca (que es muy posible) no podemos decir de una curva si es cóncava o convexa (si es cóncava hacia un lado entonces también es convexa hacia el otro). La mejor opción que veo sería decir que la gráfica 1 es cóncava hacia arriba y la gráfica 2 hacia abajo.

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  18. Mi profesora de primero de bachillerato, tenía unos 100 años y me lo enseñó como concavo hacia arriba y hacia abajo….

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  19. Yo creo que la mejor forma es cóncava hacia arriba/abajo. Es la única forma en la que se lo enseño una vez a mis alumnos y nunca lo olvidan (o casi.)

    La idea de llamarlo simplemente “cóncavo” o “convexo” siempre presupone la duda de qué lado se lo está mirando.

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  20. Yo cuando me lo aprendí lo hice asi:
    conVExa : al silaba tonica es VE ; por lotanto es una curbatura que pasa de abajo a arriba,luego de arriba a abajo ( comolarepresentacion grafica de la funcion f(x) = -x^2 )
    CONcava : la silaba tonica es la primera;por lo tnato es una curba que va de arriba a abajo ( como larepresentacion de g(x)=x^2

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  21. ¿y si no hay bueno malo? Sólo estoy en primero de bachillerato, pero mi profesor dijo que el no hablaba de funciones concavas o convexas, porque cada uno lo interpretaba según su escuela.

    Una curva divide un espacio en dos secciones: una convexa y enfrente una cóncava. Si miramos la función desde la derecha lo veries de una manera, y si lo haceis desde la izquierda de otra.

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  22. Hola:

    Uhm…La cosa es muy simple o tiene truco?

    Por lo q yo sé, la función es cóncava si la tangente a la funcion en el punto de inflexión queda por debajo de la misma (caso de la figura 1), y convexa si la tangente queda por encima (caso de la figura 2).

    O eso aprendí en cálculo de 1º (ya ha llovido, por cierto ;D)

    My 2 cents 😉

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  23. Voto por la primera opción porque es la que se utiliza en la facultad en la que estoy ahora (Matemáticas en la UCM), aunque en 2º Bachillerato me enseñaron la opción 2.

    ¿Qué más da como la llames? Mientras que especifiques desde donde se mira.

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  24. Yo he votado lo siguiente: cóncava para el primer caso y convexo para el segundo. La razón oculta por la que seguramente habrá mayoria de votos para esta convención es el hecho de que leemos de arriba a abajo y no de abajo a arriba. Esto implica que tendemos a ver los objetos en el mismo sentido.

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  25. Yo he votado que la primera es cóncava y la segunda convexa, pero para la selectividad lo piden exactamente al revés. De todas maneras, no tengo miedo de perderme porque suelo hacer la siguiente tonterúia (creo recordar que no van bien los signos de mayor que y menor que, así que lo pongo con palabras):

    f” mayor que 0, entonces giro el signo de “mayor que”, y queda así: “v”. Una vez tengo eso, ya pienso qué nombre ponerle… Y para f” menor que 0 igual, claro.

    Saludos.

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  26. La más natural es la segunda opción, ya que lo lógico es entender que para describir una gráfica como cóncava o covexa la estamos mirando desde arriba… por encima del hombro, como a todo el mundo.

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  27. El problema està que pese que lo mirmamos desde arriba, realmente lo tendriamos que mirar desde abajo ya que es hacia donde avanzan las y.

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  28. ¿Y por qué hacia donde “avanzan” y no hacia donde decrecen, Gabriel? Muy optimista me parece ese criterio.

    Lo que está claro es que es una cuestión meramente lingüística cuyo debate debería plantearse en términos lingüísticos, más que matemáticos. De hecho, si nos vamos al diccionario:

    cóncavo, va.
    1. adj. Geom. Dicho de una curva o de una superficie: Que se asemeja al interior de una circunferencia o una esfera.

    convexo, xa.
    1. adj. Dicho de una curva o de una superficie: Que se asemeja al exterior de una circunferencia o de una esfera.

    No nos especifican desde dónde se está mirando la curva para que se nos asemeje al interior o al exterior de una circunferencia, por lo que no habría ningún motivo para establecer como norma de fe el que heya que mirar la gráfica desde arriba o desde abajo. En caso de que pueda haber confusión se dice, y ya está.

    Otra cosa sería si estuviéramos hablando de la representación gráfica de una función de dos variables (con tres ejes cartesianos). En ese caso, lo que veríamos no sería una curva, sino una superficie que ha de asemejarse al interior o al exterior de una esfera hueca. Cuando hablamos de superficies, lo más habitual es que las observemos desde arriba, al relacionar el concepto con el de “suelo” o superficie de tierra que estamos pisando y que vemos desde “arriba” debido a la gravedad y esas cosas… Así que en ese caso cobraría aún más fuerza la segunda opción.

    Así es como lo veo yo.

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  29. Uno de mis profesores nos dijo que tomando el eje Y un indicador de altura y suponiendo que estuviese lloviendo y las nubes estuviesen situadas eny –> +infinito, una función cóncava sería la que RECOGE agua y convexa la que no.

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  30. Si lo miramos desde un punto de vista mas simplista, “cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo” es mas facil de asumir, y ni siquiera necesita una regla nemotecnica.

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  31. Pues yo cuando iba al cole, siempre me acordaba por la forma de la última letra (en catalán): ConcaUUUU / ConvexAAAA

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  32. En el cole e instituto me dijeron que cóncava y convexa era una cosa. Pero cuando llegué a la universidad me dijeron precisamente lo contrario. Siempre me he preguntado por qué no se ponen de acuerdo.

    Cuando tenía que hacer el estudio de la concavidad de una función acababa haciendo un dibujito y poniendo un punto para indicar desde donde se miraba porque estaba harta de confundirme

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  33. m, si la observas “desde el eje Z” lo que ves es convexo o, simplemente, plano dependiendo de si tienes un monitor viejo de CRT u una pantalla plana. La forma que tenga la curva me parece que da un poco igual xD.

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  34. XDD David ,a ver, en la pantalla están el eje X y el Y, y yo estoy en la perpendicular al plano de la pantalla, por tanto en Z. No sé…yo creo que es algo intuitivo como lo explica Jones, Francisco

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  35. Es que el concepto de cóncavo o convexo en una curva sólo tiene sentido en dos dimensiones. La ambigüedad viene de que si “miras” la curva de la gráfica 1 desde abajo es convexa y si la miras desde arriba es cóncava, y al revés para la gráfica 2. Bueno, y si la miras desde la izquierda sería cóncava y desde la derecha convexa, pero eso no tiene relevancia. Si te pones en la perspectiva con la que realmente la miras ya te digo que lo único que vás a ver cóncavo o convexo es la pantalla del ordenador, jeje.

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  36. con razon.. siempre pense que yo me mareaba sola.. pero no.. es que cada uno me enseñaba con distintos puntos de referencia..!

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  37. Mañana tengo examen de esto, precisamente…
    En los apuntes (de 1º de Bachillerato) tenemos que es convexa si la gráfica de la función queda por encima de las tangentes y cóncava si queda por debajo. Viendo las gráficas queda bastante claro cuál es cuál.

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  38. Sin duda es algo que genera bastante controversia. Recuerdo que de pequeño (5º de EGB) me enseñaron algo parecido a lo que comenta Roberto algo más arriba, lo de convexo y los besos. Pero luego me dijeron lo contrario…

    Tengo bastante claro que todo depende del punto de vista, es decir si miramos desde abajo o desde arriba. Por eso yo con mis alumnos opto por el concavo hacia arriba y concavo hacia abajo, pero dejando claro que no es más que un criterio. Lo que me interesa que sepan es que cuando la derivada segunda es positiva en un intervalo la forma es 🙂 (les dibujo una cara alegre) y cuando la derivada segunda es negativa la forma es 🙁 (cara triste).

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  39. Teniendo en cuenta que nuestra cultura occidental lee y trata todo de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, lo lógico y coherente sería llamar a las curvas teniendo esto en cuenta.

    Basandonos en ello la primera sería cóncava y la segunda convexa. Claro, que puesto que parece que no hay un criterio fijo, ningún estándar o convención, para ahorrar dudas y dejarlo completamente claro se puede especificar la dirección y no ofrece duda alguna.

    Así, la primera gráfica podría llamarse cóncava hacia abajo y convexa hacia arriba y la segunda sería convexa hacia abajo y cóncava hacia arriba.

    Desde mi punto de vista y desde el total desconocimiento el primer sistema que comento es el más correcto por las explicaciones que he dado, y el segundo una posible convención para facilitar las cosas (así era como mi profesora de 2º de bachillerato se refería a las gráficas).

    Saludos!

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  40. Gráfica 1 es concava y Gráfica 2 es sincava (porque tu echas cava ahí y se cae) o lo que es lo mismo convexa

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  41. Es cierto que existe bastante ambigëdad en este asunto. Yo mismo he sufrido esta falta de consenso en mis propias carnes.
    Después de leer bastante he llegado a la conclusión de que la propiedad de concavidad/convexidad no se aplica a la función en sí misma sino a las regiones en las que ésta divide el plano. Así, para la figura 1, la región que queda por encima de la curva tiene la propiedad de convexa, mientras que la región por debajo sería cóncava.
    A partir de aquí habría que decidir si la propiedad de concavidad/convexidad se debería aplicar a la función según una de las dos regiones (la que queda por encima o la que queda por debajo de la curva). Yo personalmente prefiero utilizar la región que queda por encima. Así, la función de la figura 1 para mí es convexa mientras que la de la figura 2 es cóncava.

    Nota: Para saber cuándo una región es convexa basta con aplicar la siguiente definición:

    “Se dice que una región C es convexa si para cada par de puntos en ella incluídos, el segmento que los reúne está totalmente incluido en C”

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  42. Elyo, hay que tener en cuenta que no es lo mismo una región (lo que yo llamé superficie) que una curva, y que cóncavo y convexo encajan el uno en el otro (la curva encaja con la región).

    Estoy de acuerdo con la definición que expones sobre regiones convexas, pero … si la región de arriba de la gráfica1 es convexa, entonces la curva que encaja con ella es cóncava.

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  43. Nexus7, rebuscando entre definiciones de concavidad y convexidad de funciones he encontrado que:

    Diremos que una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva.

    Análogamente, diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.

    Esta definición es equivalente a decir que si la región que queda por encima de la curva es convexa la curva es convexa y si es cóncava la curva es cóncava.

    De todos modos es cierto que existen distintos criterios para definir si una curva es cóncava o convexa y no existe una convención comúnmente aceptada.

    Entiendo la observación que has hecho de que cóncavo y convexo encajan el uno en el otro y creo que resulta una definición más intuitiva. Sin embargo, por lo que yo creo la definición comúnmente más aceptada, al menos a nivel académico, es la escrita arriba.

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  44. La verdad es que cuando estudié la curvatura de una funciòn a traves de la derivada hablábamos de “ascendente” y “descendente” creo que es más claro.
    Saludos

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  45. Bueno, yo estaba entre las opciones 2 y 3… Al final ha ganado la 3a. Concava hacia arriba o hacia abajo (que tiempos cuando el ruso de cálculo nos lo explicaba…)

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  46. por favor envienme mas informacion sobre inflexion de una curva, necesitaria saber cual es el primario y el secundario del giro de una curva, si es el interior de la curva o el exterior, ,uchisimas gracias, un saludo
    Jan

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  47. yo lo hago facil, ni una ni la otra ni la de mas alla…

    si la derivada segunda es positiva la funcion esta contenta y tiene esta forma:

    \biguplus

    Ahora si es negativa, esta triste:

    \bigcap

    Vieron q lindo!? Solo faltan los ojitos arriba y son caras! Esas son las cosas que uno aprende en la facultad 😛

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