Entero con múltiplos pandigitales

Vamos con un juego a ver si lo sacamos entre todos:

¿Cuál es el único entero positivo n tal que 4n y 5n utilizan los números del 1 al 9 sólo una vez entre los dos?

Con un programa informático será muy sencillo. La cosa es resolverlo a mano.

Vía MathPuzzle

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

16 Comentarios

  1. La primera aportación:
    -4n ha de ser un número ABCD de cuatro cifras.
    -5n ha de ser un número EFGHI de cinco cifras.
    Sea entonces n=****

    -Para que esto sea posible 4n es menor que 10.000, y entonces n es menor que 2.500.
    -5n tiene que ser mayor o igual que 10.000, y entonces n mayor o igual que 2000.
    En ambos supuestos n=2***. Ya solo quedan 3 cifras.

    Saludos.

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  2. Segunda aportacion (con la notacion que ha instaurado sable)

    EFGHI sera de la forma 12***. (ya que un numero de la forma descrita por Sable, 5n solo puede ser 10***, 11***, 12***. Pero los dos primeros no cumplen la descripcion.
    Lo que implica, además, que n es mayor que 2400.

    Demas, ABCD es de la forma 9*** (12000-2500=9500 en el peor caso)

    I=5. Lo cual implica que el ultimo digito de n es impar.

    Bueno, entonces de momento tenemos lo siguiente:
    ABCD== 9BCD
    EFGHI== 12GH5
    n esta en el intervalo (2400, 2500)

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  3. N es 2469.

    He ido comprobando rangos de valores de 24?? donde 4n no tuviera valores repetidos y teniendo en cuenta que n es impar y no terminado en 5…

    n

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  4. N es 2469.

    He ido comprobando rangos de valores de 24?? donde 4n no tuviera valores repetidos y teniendo en cuenta que n es impar y no terminado en 5…

    n < 2475 porque 2475*4 = 9900, todos los de arriba incumplen
    n < 2470, porque 2470*4 = 9880, que incumple al repetir los 8 (y los superiores sólo pueden repetir el 9)

    y me topado con 2469 (tras 2499, 2489 y 2479), donde sale:

    4*2469 = 9876
    5*2469 = 12345

    Lo vuelvo a poner, que los signos “menor que” se han comido el comentario….

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  5. Exacto. Lo acababa de encontrar pero por el otro lado. Yo he dicho: no puede haber ni 0, ni repetirse el 1, ni repetirse el 2, por tanto, n será mayor que 2460 (para que 5n sea mayor que 12300). Y desde aquí, el mínimo valor con el que no aparece 0, ni se repite 1 ni 2, es 2469.

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  6. Eh, bueno, mi razonamiento me ha llevado inequívocamente a ese número…

    Se basa en caso lo mismo que el primer comentario, pero teniendo en cuenta que no se pueden repetir números. Así, 4n puede ser desde 1234 hasta 9876, mientras que 5n puede ir desde 12345 hasta 98765. Diviendo esas cantidades entre 4 y 5 respectivamente, aparecen las cotas para n, por un lado 309~2469 y por el otro 2469~19753. Por tanto, el único número que puede ser es el 2469, no hay más 😉

    Pero claro, este era fácil, ¿no? Porque si este problema no fuera tan ‘perfecto’, a ver quién lo saca de cabeza sin ayudas externas 😛

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  7. Me puse a pensar de nuevo en el tema y acotando al máximo he llegado a la genial solución de Víctor, que iba a poner ahora, pero ya no hace falta.

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  8. Esto se puede resolver por derivadas?…
    Uta, creo que eso es otro rollo y si alguien sabe buenas fuentes de aplicaciones que no sean de velocidad y aceleración sobre derivadas (que vengan resueltos) se los agradecería muchisimo!!
    Saludos…desde VEr MEX

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  9. Enhorabuena a todos, muy bien resuelto y muy bien explicado.

    No es que fuera ni fácil ni difícil, era más un problema para resolver por discusión de casos y con un poquitín de ingenio para sacar las cotas.

    Otra vez, enhorabuena 🙂

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  10. Flipao me dejáis Víctor y Sable… por solución simplona simplona, las más difíciles de conseguir 😀 A mí no se me había ocurrido hacer esa acotación tan directa, desde luego

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  11. hola…bueno la pagina es muy util para todois aquelos q se quieran sacar alguna duda bueno chau!
    beso_!

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