Entero positivo con ciertas propiedades

Vamos con el problema de esta semana. Ahí va:

Demostrar que para todo entero positivo n, existe otro entero positivo que tiene las siguientes propiedades:

  1. Tiene exactamente n dígitos.
  2. Ninguno de sus dígitos es 0.
  3. Es divisible por la suma de sus dígitos.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

24 Comentarios

  1. Sí. Confío en no equivocarme: para todo entero positivo n, baste considerar el número 111…111 (n veces el dígito 1). Este número cumple las condiciones trivialmente. Más formalmente:

    Conforme a las condiciones del enunciado, se tendrá n = \displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1}{10^{i}a_{i}}} con a_{i} \neq 0 \forall i=0,1,\cdots,n-1 y n \equiv 0 \mod{\displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1}{a_{i}}}}.

    Ahora bien, ya que todos los dígitos son no nulos, a_i \geq 1 con lo que \displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1}{a_{i}}} \geq n. La única forma de que se dé, por tanto, la relación de divisibilidad es que \displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1}{a_{i}}} = n. Habiendo n dígitos, esto fuerza a que a_i = 1 \forall i=0,1,\cdots,n-1.

    Un saludo.

    (Te edito para arreglarte el código \LaTeX.)

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  2. No sé si he entendido el enunciado. 11, el número de dos cifras propuesto, tendría que ser divisible por 2, 1111 por 4, etc. ¿no?

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    • Sí, has entendido bien. Y ésa es una razón por la que el razonamiento de Lufcu no es correcto, o al menos no es completo.

      Lufcu, según tu razonamiento, para n=2 elegiríamos el número 11, pero resulta que 11 no es divisible entre 2, y por tanto incumpliría la tercera condición.

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      • Me he dado cuenta después con el comentario de Mestrillo, entendí mal el enunciado. Ya decía yo que era demasiado fácil lo que me había planteado. Atacaré ahora el de verdad.

        Un saludo.

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  3. Pondré sólo un ejemplo para que otros más listos que yo puedan generalizar.

    Supongamos $n=18$. Busco el primer número $S=9\cdot 2^p$ tal que $n<S$, en este caso $S=9\cdot 2^2=36$. Ésta será la suma de las cifras del número, $m$, que busco.

    El número $m$ lo construyo ajustando la cifras de las unidades, decenas, etc., las que necesite, para que $m$ se divida entre 4. El resto de cifras lo ajusto para que sumen 36 entre todas. ¿Se puede hacer siempre?

    El resultado es $m=111111111111111696$ (con quince 1's). Como 4 divide a $m$ (por el arreglo de las últimas cifras) y 9 divide a $m$ (porque sus cifras suman múltiplo de 9) y 4 y 9 son coprimos, entonces $S=9\cdot 4$ divide a $m$.

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    • Lo primero que se me ocurre es pensar en subconjuntos de numeros naturales como por ejemplo el conjunto de numeros enteros positivos que tienen 1 digito, 2 digitos… n digitos con n > 0, y hay que averiguar si existen aplicaciones de un conjunto que cumplan las 3 condiciones. Por definicion de los conjuntos sabemos que los numeros son todos enteros positivos y como son aplicaciones sobre conjuntos de n digitos los dos numeros enteros positivos van a tener los mismos n digitos. Dejo la última condición para más adelante.

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  4. Voy a dar un esquema de una prueba que funciona bastante bien, pero que hace aguas en un sitio. Creo que puede ser útil para subsanar el agujero o crear nuevas ideas partiendo de ella.

    Consideremos el número 2^n y supongamos que tiene k dígitos. Es evidente que 2^n divide a 10^m siempre que m \geq n. Sea j el menor múltiplo de k que es mayor o igual que n. Sea t=2^n + 2^n \cdot 10^k + 2^n \cdot 10^{2k} + … + 2^n \cdot 10^{j-1}, es decir ir haciendo copias del número 2^n y pegarlas hasta llegar a al menos n dígitos.

    Es también evidente que cualquier número de la forma x=a_s \cdot 10^s + a_{s-1} \cdot 10^{s-1} + … + a_j \cdot 10^j + t que verifique que a_s + a_{s-1} + …+ a_t + \frac{j}{k} \cdot b = 2^n (donde b es la suma de los dígitos de 2^n) verifica el enunciado para el caso de s dígitos por las razones de divisibilidad expuestas anteriormente (t era divisible y los otros sumandos también al ser $j > n$).

    Esta construcción permite para cada $n$ hacer construcciones que van desde los X_n= \frac{2^n - \frac{j}{k} \cdot b}{9}+j dígitos (metiendo gran parte de los a_i=9 para alcanzar la suma de cifras 2^n muy rápido) hasta los Y_n = 2^n -\frac{j}{k} \cdot b + j (metiendo los a_i=1).

    Llegado a este punto podría hacer la comprobación de que la unión de los intervalos [X_n,Y_n] recubre todos los naturales mayores o iguales que dos lo cual acabaría nuestra prueba. No obstante, está el problema de que el número que construyo tiene ceros cuando la potencia 2^n tiene ceros, lo cual impide usar algunos valores de n (que creo que a medida que crece n van a ser muchos los que no se puedan usar). En cualquier caso, igual con algo de cirugía/maquillaje sacamos algo (pensé en meter también potencias de 5, pero no veo que arregle nada).

    Doy un ejemplo de como funciona la construcción para n=5.

    Como 2^5=32 construimos el número 98323232 que es divisible entre 32 (suma de sus cifras). También construimos 11111111111111111323232 (que es divisible entre suma de sus cifras). Los números con una cantidad intermedia de cifras se construyen fácilmente (sumando y agrupando unos por ejemplo). Como decía, el único problema son las potencias de dos que tengan ceros, como 2^10, 2^11, 2^12.

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    • Las fórmulas que no aparecen son por orden:

      1) t=2^n+2^n \cdot 10^k + … + 2^n \cdot 10^{j-k} (concatenar j/k veces 2^n obteniendo un número de j dígitos)
      2) a_s \cdot 10^s + … + a_j \cdot 10^j + t (sumarle a la concatenación un cierto número con j ceros al final)
      3) a_s + … + a_t + b \cdot \frac{j}{k} (sumar los dígitos del anterior número).

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  5. Tenemos un entero positivo n. Queremos demostrar que existe x con n dígitos distintos de 0 que suman m y que cumple que m divide a x.

    Vamos a demostrar que para m=3^k, existe siempre algún valor de x cuando n varía desde 3^(k-1)+1 hasta 3^k. Por ejemplo, para n entre 10 y 27 se puede encontrar un número de n cifras distintas de 0 que sea divisible entre 27.

    Construimos x para los dos casos siguientes:

    1) Si n=3^k, x es un repunit de n unos: 111…111.
    2) En los demás casos construimos un número y de modo que ningún dígito sea 0 ni 9 y todos sumen 3^k-1.

    En el caso 1) hay que demostrar que un repunit de longitud 3^k es divisible entre 3^k. Para ello lo dividimos en grupos de 3 dígitos, que dan siempre un número divisible entre 3, y lo dividimos entre 3. El resultado lo dividimos en grupos de 3^2 dígitos, grupos que tienen que ser divisibles entre 3 porque hay un subgrupo de dígitos repetido 3 veces. Seguimos este proceso hasta el final, con tres grupos iguales de 3^(k-1) dígitos que dan un número divisible entre 3. Por tanto x es divisible entre m en el caso 1).

    En el caso 2) vamos a probar que para i de 0 a 3^(k-2)-1, alguno de los valores de y+10^i es divisible entre 3^k y por tanto es el x buscado. Por ejemplo, para n=12 y m=27 construimos y=111111111665. Si sumamos, 1, 10 y 100 obtenemos 111111111666, 111111111675 y 111111111765 respectivamente, y uno de los tres es necesariamente divisible entre 27 -concretamente, el primero. Para ver a qué se debe esto descomponemos la potencia de 10 que estamos sumando del siguiente modo: 10^i=1+9*(111…111), siendo el repunit de longitud i. El número resultante de la suma y+1+9*(111…111) es divisible entre 9 porque los dígitos de y+1 suman 3^k y el otro término está multiplicado por 9. Como los restos de dividir los primeros 3^(k-2) repunits entre 3^(k-2) son diferentes, tomarán todos los valores posibles entre 0 y 3^(k-2)-1, siendo el caso en el que dicho resto más el resto de dividir y+1 entre 3^(k-2) es 3^(k-2) el que nos da el valor de x que es divisible entre m en el caso 2).

    Falta demostrar que “los restos de dividir los primeros 3^(k-2) repunits entre 3^(k-2) son diferentes”, que aunque parece evidente es necesario hacerlo.

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    • Para demostrar que los restos de dividir los primeros 3^(k-2) repunits entre 3^(k-2) son diferentes multiplicamos ambos términos por 3^2. Los repunits se convierten en números del tipo 999…999 que podemos generalizar como potencias 10^i-1. Sumando 1 tenemos las 3^(k-2) primeras potencias de 10, empezando por 1. Si dividimos 1 entre 3^k vamos a obtener el número de restos diferentes que tiene esa operación. Dicho número de restos será el mismo que se obtiene al dividir las 3^(k-2) primeras potencias de 10 entre 3^k, y por tanto la división de los 3^(k-2) primeros repunits entre 3^(k-2). Si ese número de restos es 3^(k-2) queda demostrado.

      Para hallar el número de restos basta calcular la longitud del periodo de 1/3^k, que es 3^(k-2). ¿Y por qué es ese valor? Ahí me atasco. Entre el orden multiplicativo, el grupo multiplicativo y el gaussiano me armo un lío del que no sé salir. Así que si alguien lo puede rematar se lo agradezco.

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      • Mmonchi en este y en el anterior comentario no se entiende nada, además, ¿cómo vas a obtener DIFERENTES restos dividiendo 1 entre 3^k si este resto es 1 y solo este 1? Igualmente un repunit de 3^(k-2) dígitos, dividido precisamente entre 3^(k-2) no da restos distintos, de hecho es una división exacta de cociente 1 y de resto 0.

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  6. La afirmación es falsa. He aquí un contraejemplo

    n = tres

    m = 111 (o sea, siete, única solución en base dos)

    la suma de cifras es tres, y tres no divide a siete.

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    • Shevek, en el enunciado no se habla para nada de base 2. De hecho, para n=3 el número 11 es perfectamente válido, cumple las condiciones del enunciado: tiene 3 dígitos, ninguno es 0 y es divisible entre la suma de sus cifras.

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      • Ok. No había leído bien las condiciones del problema.

        Pero lo que sí que he leído bien es que no se especifica la base en la que hay que construir el número.

        Se supone que el enunciado se ha de cumplir en cualquier base ¿no?

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  7. Fandral, voy a intentar explicar lo que hago con ejemplos.

    Primero agrupo los valores de n en grupos: {1}, {2,3}, {4,5,…,9}, {10,11,…,27}, {28,29,…,81}, etc. Cada grupo termina en una potencia de 3 y todos los n de un grupo van a generar un número de n cifras que se pueda dividir entre el último y no tenga ceros.

    Por ejemplo, tomamos un número del grupo {10,11,…,27}, digamos el 14. Generamos un número de 14 dígitos que sumen 26 (27-1) y no tenga ceros ni nueves, el más bajo es 11111111111168. Como el divisor es 27, tengo que probar 27/9=3 números. Para determinar qué números probar sumo a 11111111111168 los valores 1, 10 y 100. Obtengo 11111111111169, 11111111111178 y 11111111111268. Los restos de dividir entre 27 son 0, 9 y 18, luego 11111111111169 cumple los requisitos.

    Otro ejemplo: del grupo {28,29,…,81} tomo el 32. El primer número de 32 dígitos que suman 80 (81-1) sin nueves ni ceros es 11111111111111111111111117888888. Hay que sumar 81/9 números, que son 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000 y 100000000. Los resultados son 111…1117888889, 111…1117888898, 111…1117888988, 111…1117889888, 111…1117898888, 111…1117988888, 111…1118888888, 111…1127888888 y 111…1217888888. Si dividimos estos números entre 81 obtenemos como restos 36, 45, 54, 63, 72, 0, 9, 18 y 27, luego 11111111111111111111111117988888 cumple los requisitos.

    El sistema funciona porque al elegir los números para que no tengan ni ceros ni nueves, al sumarles una potencia de 10 sumamos 1 a algún dígito, por lo que no aparece ningún cero. Además, si suman una potencia de 3 menos 1, al añadir 1 queda una potencia de 3, porque la suma es sin llevadas.

    Que al sumar las potencias de 10 los restos sean diferentes es lo que garantiza que alguno de ellos sea cero, cumpliendo el otro requisito. Pero aquí es donde más me he liado con la explicación, además de no conseguir demostrar el último punto. La idea es que si al dividir 1/81 los restos que voy obteniendo son 1, 10, 19, 28, 37, 46, 55, 64 y 73, estos restos son los mismos que si divido entre 81 respectivamente 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000 y 100000000. Y si divido entre 81 un número cuyos dígitos sumen 80 el resto será 8, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71 u 80. Al sumar a este resto, el que sea, los nueve restos anteriores, siempre voy a obtener en uno de los nueve casos que la suma es 81, es decir, que el resto de dividir alguna de las nueve sumas entre 81 es cero.

    El punto que me falta por demostrar es el del número de restos diferentes de las potencias de 10 al dividirlas entre 3^k. El periodo de 1/3=0,3… es de longitud 1, el de 1/9=0,1… es de longitud 1, el de 1/27=0,037… es de longitud 3, el de 1/81=0,012345679… es de longitud 9, el de 1/243 es de longitud 27, y lo que necesito probar es que el periodo de 1/3^(k+2) es de longitud 3^k. A partir de ahí se demostraría que mi método funciona siempre.

    No sé si lo he aclarado o lo he liado todavía más…

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  8. Hola! Yo lo planteé de otra manera también:
    Demostrar que para todo entero positivo m, compuesto por n dígitos distintos de cero, existe al menos un entero positivo p, tal que m es igual a p multiplicado por la sumatoria de los n dígitos.
    A partir de ahí tengo que el valor de la sumatoria siempre varía entre n y 9n (obviamente), por lo que existen 8n+1 números consecutivos que multiplicados por p dan como resultado un m, compuesto por n dígitos distintos de cero. siendo que p es prácticamente un número que cuanto más grande n, más variantes suma, es prácticamente imposible no hallar un valor que resuelva la ecuación; pero bueno… me falta demostrar.

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    • La verdad es que me da vergüenza participar en este blog porque mi nivel dista mucho de lo que veo, pero este caso lo tengo planteado de otro modo que comentáís. Os pongo el ejemplo de cómo veo los impares.

      Ni impares (1-3-5-7….)

      Tomamos siempre la secuencia de referencia “todo cincos” que sumarán , 5,15,25… y además serían los casos más frecuentes.

      Obviamos el caso 1

      Caso n=3; No es muy difícil observar que podemos ir obteniendo la secuencia 195/285/375…. todos con diferencia 90. En este caso no problema porque todos son mútiplos de 3 y 5.

      Caso n=5; idem secuencia 11995/12985/… todos suman 25 y todos son múltiplos de 5, luego de cada 5 de ellos 1 será lo que buscamos, si coincide con “uno que tenga cero”, en la siguiente tanda de 5 cae seguro. Todos tienen diferencia 990

      Caso n= 7 secuencia 1119995/1129985/… diferencia 9990. Idem que anterior, ahora es uno de cada 7…

      Esto nos permitiría llegar a una generalización para esos casos impares.

      Los pares, hay que seleccionar otro elemento de partida y tengo algún candidato sólo que no termino de pulirlo como el comentado.

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      • En el caso n=11 se suma 999990, la serie es 11111999995, 11112999985, …, 11118999925, 11119999915 y 11120999905. Como tiene ceros no podemos garantizar la solución.

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        • Ya he anticipado que si coincide con un cero, en la siguiente tanda de 11 no va a coincidir otra vez con el cero, luego entra en el caso.
          Todos suman 55.

          11111999995
          11112999985
          11113999975
          11114999965
          11115999955
          11116999945
          11117999935
          11118999925
          11119999915
          11120999905
          11121999895
          11122999885
          11123999875
          11124999865
          11125999855
          11126999845
          11127999835
          11128999825
          11129999815
          11130999805
          11131999795
          11132999785
          11133999775
          11134999765
          11135999755
          11136999745
          11137999735
          11138999725
          11139999715
          11140999705
          11141999695
          11142999685
          11143999675
          ….

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  9. Para los pares barajo series parecidas con dos cuatros fijos que suman ( a partir de 4 elementos)

    18-28-38… cuyas sucesiones también siguen la pauta 9990 en este caso. En este caso al ser todos multiplos de 2, cada 19 tendremos una, y si da en cero, en la siguiente tanda es obligada.

    41119994
    41129984
    41139974
    41149964
    41159954
    41169944
    41179934
    41189924
    41199914
    41209904
    41219894
    41229884
    41239874

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  10. Me parece que en cualquier n dígitos, debe verse que sea múltiplo de n.
    Si n es un digito, omitamos el caso en el que n=a, y sea el caso de que n|a entonces a es múltiplo de n…
    Si n es de más de un dígito debería cumplirse que la suma sea múltiplo de n, ¿no es así? Creo que esa es la idea.

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  11. Intente algo de este problema, se veía sencillo pero no es tan sencillo. Con la simple regla de los multiplos de 2,3,5,7 pude conseguir hasta n=10, los cual los muestro aquí.

    n=1 es evidente

    n=2 $ \Longrightarrow $ 12=(1+2)*4

    n=3 $ \Longrightarrow $ 135 = (1+3+5) *15

    n=4 $ \Longrightarrow $ 1215= (1+2+5+9) * 135

    n=5 $ \Longrightarrow $ 42315 = (4+2+3+1+5)*2821

    n=6 $ \Longrightarrow $ 132225 =(1+3+2+2+2+5)*8815

    n=7 $ \Longrightarrow $ 1222215 = (1+2+2+2+2+1+4)*81481

    n=8 $ \Longrightarrow $ 25395335=(2+5+3+9+5+3+3+5)*725581

    n=9 $ \Longrightarrow $ 111111111= (1+1+1+1+1+1+1+1+1)*1235679

    n=10 $ \Longrightarrow $ 1342222225 = (1+3+4+2+2+2+2+2+2+5)* 53688889

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