Comments on: Entre sucesiones anda el juego http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/ Porque todo tiende a infinito... Fri, 10 Feb 2012 21:24:04 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 By: Omar-P http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6439 Omar-P Fri, 22 Feb 2008 01:02:04 +0000 http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6439 Aquí hay una interesante animación de un hipercubo: http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:8-cell-simple.gif Aquí hay una interesante animación de un hipercubo:
http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:8-cell-simple.gif

]]> By: Domingo H.A. http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6438 Domingo H.A. Wed, 20 Feb 2008 18:44:47 +0000 http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6438 Resulta que partiendo de un hipercubo $latex (-R,R)^n$ de arista $latex 2R$, la hiperesfera inscrita tiene radio $latex R$, y los volúmenes respectivos son $latex V_{\textrm{cubo}}=(2R)^n$ y $latex V_{\textrm{esfera}}=\cfrac{2\pi^{n/2}}{n\Gamma(n/2)}\cdot R^n$, donde $latex \Gamma(x)$ es la función gamma de Euler. La razón entre los volúmenes es $latex \mathfrak{R}_1=\cfrac{V_{\textrm{cubo}}}{V_{\textrm{esfera}}}= \cfrac{n\cdot 2^{n-1}\cdot \Gamma(n/2)}{\pi^{n/2}}$. Del mismo modo, si ahora partimos de una hiperesfera de radio $latex R$, el hipercubo inscrito tiene semiarista $latex \cfrac{1}{\sqrt{n}}\cdot R$, donde $latex n$ es la dimensión. Ahora la razón entre los volúmenes es $latex \mathfrak{R}_2=\cfrac{V_{\textrm{esfera}}}{V_{\textrm{cubo}}}= \cfrac{(n\pi)^{n/2}}{n\cdot 2^{n-1}\cdot \Gamma(n/2)}$. Interesa saber para qué dimensiones ocurre que $latex \mathfrak{R}_1\leq \mathfrak{R}_2$ (es decir, ver si sobra menos volumen al encajar una esfera en un cubo, o al encajar un cubo en una esfera). Pero $latex \cfrac{\mathfrak{R}_1}{\mathfrak{R}_2}= \cfrac{1}{4}\left(\cfrac{4}{\pi}\right)^n\cdot n^{2-\frac{n}{2}}\cdot \Gamma(\frac{n}{2})^2\leq 1$ si y sólo si $latex n\leq 8$. Es decir, de dimensión 9 para arriba sobra menos volumen encajando un cubo en una esfera. Encuentro muy espectaculares los resultados que dependen de la dimensión. ¿Alguien quiere indicar algún resultado de este estilo (una propiedad que se verifique hasta una cierta dimensión, y luego ocurran otras cosas)? Resulta que partiendo de un hipercubo (-R,R)^n de arista 2R, la hiperesfera inscrita tiene radio R, y los volúmenes respectivos son V_{\textrm{cubo}}=(2R)^n y V_{\textrm{esfera}}=\cfrac{2\pi^{n/2}}{n\Gamma(n/2)}\cdot R^n, donde \Gamma(x) es la función gamma de Euler. La razón entre los volúmenes es \mathfrak{R}_1=\cfrac{V_{\textrm{cubo}}}{V_{\textrm{esfera}}}= \cfrac{n\cdot 2^{n-1}\cdot \Gamma(n/2)}{\pi^{n/2}}.

Del mismo modo, si ahora partimos de una hiperesfera de radio R, el hipercubo inscrito tiene semiarista \cfrac{1}{\sqrt{n}}\cdot R, donde n es la dimensión. Ahora la razón entre los volúmenes es

\mathfrak{R}_2=\cfrac{V_{\textrm{esfera}}}{V_{\textrm{cubo}}}= \cfrac{(n\pi)^{n/2}}{n\cdot 2^{n-1}\cdot \Gamma(n/2)}.

Interesa saber para qué dimensiones ocurre que \mathfrak{R}_1\leq \mathfrak{R}_2 (es decir, ver si sobra menos volumen al encajar una esfera en un cubo, o al encajar un cubo en una esfera). Pero

\cfrac{\mathfrak{R}_1}{\mathfrak{R}_2}= \cfrac{1}{4}\left(\cfrac{4}{\pi}\right)^n\cdot n^{2-\frac{n}{2}}\cdot \Gamma(\frac{n}{2})^2\leq 1 si y sólo si n\leq 8. Es decir, de dimensión 9 para arriba sobra menos volumen encajando un cubo en una esfera.

Encuentro muy espectaculares los resultados que dependen de la dimensión. ¿Alguien quiere indicar algún resultado de este estilo (una propiedad que se verifique hasta una cierta dimensión, y luego ocurran otras cosas)?

]]> By: Omar-P http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6437 Omar-P Wed, 20 Feb 2008 14:24:12 +0000 http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6437 Me resulta interesante este tema, Domingo H.A. Espero, paciente, tu comentario. Me resulta interesante este tema, Domingo H.A. Espero, paciente, tu comentario.

]]> By: Domingo H.A. http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6436 Domingo H.A. Wed, 20 Feb 2008 12:55:46 +0000 http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6436 Gracias por la corrección Omar-P, quise decir $latex n\leq 8$. Cuando tenga un tiempo, y si nadie tiene ganas de hacerlo antes, intentaré explicar algo al respecto. Gracias por la corrección Omar-P, quise decir n\leq 8. Cuando tenga un tiempo, y si nadie tiene ganas de hacerlo antes, intentaré explicar algo al respecto.

]]> By: Omar-P http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6435 Omar-P Tue, 19 Feb 2008 22:47:01 +0000 http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6435 ¿ Es correcto n => 8 ? ¿ Es correcto n => 8 ?

]]> By: Domingo H.A. http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6434 Domingo H.A. Tue, 19 Feb 2008 21:50:13 +0000 http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6434 Teniendo en cuenta la expresión del volumen y área lateral de las esferas en función de la dimensión http://en.wikipedia.org/wiki/Hypersphere , se ve que una hiperesfera está mejor envasada en un hipercubo que un hipercubo en una hiperesfera si y sólo si $latex n\geq 8$, donde $latex n$ es la dimensión. Teniendo en cuenta la expresión del volumen y área lateral de las esferas en función de la dimensión http://en.wikipedia.org/wiki/Hypersphere , se ve que una hiperesfera está mejor envasada en un hipercubo que un hipercubo en una hiperesfera si y sólo si n\geq 8, donde n es la dimensión.

]]> By: Domingo H.A. http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6433 Domingo H.A. Tue, 19 Feb 2008 14:05:56 +0000 http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6433 Otra curiosidad, por si alguien tiene interés: se puede comprobar fácilmente que en dimensión 3 (resp., 2) es mejor encajar una esfera (resp., círculo) dentro de un cubo (resp., cuadrado), que un cubo (resp. cuadrado) dentro de una esfera (resp., círculo). ¿Ocurre eso en cualquier dimensión? Decimos (informalmente) que una figura encaja mejor dentro de otra si sobra menos volumen. Otra curiosidad, por si alguien tiene interés:

se puede comprobar fácilmente que en dimensión 3 (resp., 2) es mejor encajar una esfera (resp., círculo) dentro de un cubo (resp., cuadrado), que un cubo (resp. cuadrado) dentro de una esfera (resp., círculo). ¿Ocurre eso en cualquier dimensión?

Decimos (informalmente) que una figura encaja mejor dentro de otra si sobra menos volumen.

]]> By: Domingo H.A. http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6432 Domingo H.A. Tue, 19 Feb 2008 13:46:03 +0000 http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6432 En dimensión 9 "vemos" que la hiperesfera central tiene radio 2, que es igual a la semi-arista del hipercubo. Así que ahora la esfera central "llena" el hipercubo, siendo tangente a cada una de las hipercaras en su centro, pero aún así deja suficiente espacio en cada uno de los $latex 2^9= 512$ vértices como para incluir 512 esferas de dimensión 9 de radio 1. En dimensión 9 “vemos” que la hiperesfera central tiene radio 2, que es igual a la semi-arista del hipercubo. Así que ahora la esfera central “llena” el hipercubo, siendo tangente a cada una de las hipercaras en su centro, pero aún así deja suficiente espacio en cada uno de los 2^9= 512 vértices como para incluir 512 esferas de dimensión 9 de radio 1.

]]> By: Domingo H.A. http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6431 Domingo H.A. Tue, 19 Feb 2008 12:44:52 +0000 http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6431 jejeje, sí señor Toro Sentado...paradójico el resultado, no? jejeje, sí señor Toro Sentado…paradójico el resultado, no?

]]> By: Toro Sentado http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6430 Toro Sentado Mon, 18 Feb 2008 22:57:25 +0000 http://gaussianos.com/entre-sucesiones-anda-el-juego/#comment-6430 Lo he pensado un poco por encima. Las respuestas son: 1. $latex \sqrt{2}-1$ 2. $latex \sqrt{3}-1$ 3. $latex \sqrt{n}-1$ 4. A partir de n>=10 la esfera tangente se sale del hipercubo $latex (-2,2)^n$ Lo encuentro paradójico pero no se si me he equivocado en algo, o cómo debe interpretarse este resultado. Lo he pensado un poco por encima. Las respuestas son:

1. \sqrt{2}-1

2. \sqrt{3}-1

3. \sqrt{n}-1

4. A partir de n>=10 la esfera tangente se sale del hipercubo (-2,2)^n
Lo encuentro paradójico pero no se si me he equivocado en algo, o cómo debe interpretarse este resultado.

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