¿Es “Pares o Nones” un juego justo en Los Simpson?

“Pares o Nones” es el juego justo por antonomasia. Conocido por todos prácticamente desde nuestros primeros años de vida, es el juego utilizado por la gran mayoría para discernir ciertas disputas tipo “quién comienza una actividad” (que muchas veces es otro juego). Y es el más usado para ello por no necesitar de ningún instrumento y, como comentábamos en el post del juego de Penney (y al principio de este párrafo), es un juego justo, ya que la probabilidad de sacar un número par es la misma que la de sacar un número impar…

…o al menos eso es lo que tenemos en nuestra mente. ¿Habéis pensado alguna vez en ello? Seguro que muchos sí, pero estoy convencido de que otros muchos piensan que es un juego justo simplemente porque es lo que han visto/oído desde siempre. Y sí, es un juego justo, claro que lo es, pero en mundos como el nuestro, no en todos.

Vamos a la cuestión clave: ¿cómo podemos comprobar si el juego es justo o no? Muy sencillo: con probabilidad. Y más concretamente con la regla de Laplace, que es la que dice que la probabilidad de que algo ocurra es el cociente entre el número de casos en los que eso ocurre entre el número de casos posibles que se nos puedan presentar.

Vamos a calcular la probabilidad de que salga un número par. En “Pares o Nones”, el número de casos posibles es 36, número que resulta de multiplicar las seis posibilidades (0, 1, 2, 3, 4 ó 5) de uno de los jugadores por las seis (las mimas) del otro. ¿Y los favorables? Pues serán todos los resultados pares que se puedan obtener: 0 (sí, 0 es un número par), 2 ó 4. Pero en cada caso habrá que contar todas las posibilidades que hay de formar esos números. Vamos a ver todos los resultados posibles en una tabla y allí contaremos cuántos pares hay. En la fila de arriba tenemos los posibles dedos que puede sacar el jugador A, en la columna de la izquierda los del jugador B y dentro de la tabla la suma de los dos en cada caso:

Como se puede ver contando los cuadros rellenos de amarrillo, hay 18 resultados pares, y, por tanto, 18 impares, por lo que la probabilidad de sacar un número par es

P(Par)=\cfrac{18}{36}=\cfrac{1}{2}

Vamos, que como habíamos dicho es un juego justo.

¿Qué ocurre en “Los Simpson”? Pues que el juego deja de ser justo. Y este hecho radica en algo tan sencillo como en el número de dedos de las manos de nuestros amigos amarillos:

(Tomada de aquí.)

Exacto, las manos de los Simpson tienen 4 dedos. Veamos cómo sería la tabla en este caso:

Ahora hay 13 resultados pares y 12 impares (que suman los 25 posibles), por lo que la probabilidad de que salga par es

P(Par)=\cfrac{13}{25}=0.52

y la de que salga impar es

P(Impar)=\cfrac{12}{25}=0.48

por lo que en el mundo de los Simpson el juego “Pares o Nones” favorece ligeramente a quien elige pares, y por tanto esta forma de elegir quién comienza no es tan justa como lo es en nuestro mundo.

Así que ya sabéis, si alguna vez os veis convertidos en un personaje de “Los Simpson” y tenéis que decidir algo por “Pares o Nones”, lo mejor es que vuestra elección sea “Pares”. Si la contienda es con Homer podéis estar tranquilos, posiblemente no se dará cuenta. Pero si es con Lisa intentad elegir primero…


Los comentarios a el post que publiqué el sábado anunciando mi colaboración con el Cuaderno de Cultura Científica han sido los que me han hecho pensar que podría ser interesante publicar un post sobre este tema. Y también el hecho de que por cosas como ésta creo que es importante reflexionar antes cualquier tema que aparezca delante de nosotros en vez de creérselo a pies juntillas sin ni siquiera hacer pensado un poquito en ello.

Además, creo que temas como éste podrían utilizarse como forma de introducir conceptos matemáticos (como sería en este caso la probabilidad) entre los jóvenes estudiantes. ¿Qué pensáis sobre esto? ¿Qué otros ejemplos se os ocurren?

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

19 Comentarios

  1. Todo el análisis está basado en la idea de elegir un número de dedos al azar según una probabilidad uniforme. Que de eso dependa la “justicia” de un juego es dudoso. Otra definición más interesante es el resultado del equilibrio en el juego, que es mostrar un número par de dedos con probabilidad 1/2 (e impar también con probabilidad 1/2). Este es el equilibrio de Nash y proporciona a cada jugador una probabilidad 1/2 de ganar.

    Hay varias consideraciones que añadir. Pondré solo dos ejemplos:

    (i) Si los pagos son asimétricos (cuando gana el jugador 1, gana 100; pero cuando gana el 2, gana 100) el juego podrá ser tachado de injusto.

    (ii) Si la complejidad de la estrategia de equilibrio es mayor para alguno de los jugadores también podrá tacharse de injusto.

    Ninguno de las dos circunstancias concurren en el juego descrito.

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  2. Nunca me lo había planteado. Muy bueno. Simplemente lanzo la idea de que no hay que ser de Springfield para que nos favorezca la elección de pares: si se juega con las dos manos ocurre lo mismo 😀

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  3. Hay un error de concepto en el planteamiento, y es que el número que yo saco NO ES ALEATORIO.
    Si yo jugase contra un simpson y me tocaran nones, yo ESCOGERIA un numero impar, ya que de esta forma 3 de sus opciones me dan la victoria (0,2,4), frente a 2 que me hacen perder(1,3). Entre humanos, esto es un 3vs3.
    Ahora bien, si jugara contra Lisa, sin duda ella sabría este detalle, con lo que tendríamos un juego psicológico muy interesante…. ¿Sabrá que lo se? ¿Jugara mas impares aun siendo menos probables? ¿Deberia por tanto sacar yo pares aun sabiendo que me son desfavorables ya que ella espera un impar?

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  4. Si juegas contra Homer da igual si eliges pares o nones: si eliges pares, sacas pares (0, 2 o 4) y tu probabilidad de ganar es 3/5; si eliges nones, sacas nones (1 o 3) y tu probabilidad de ganar vuelve a ser 3/5.

    Un saludo a Ácido y Golvano, que me lo aclararon. 😉

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  5. Me quedo con la conclusión de ^Diamond^: lo importante es plantearse y cuestionar las cosas en lugar de aceptarlas porque sí.
    Sin embargo, a grandes problemas, grandes soluciones: si limitamos el número de opciones de al menos uno de los jugadores, volveremos a tener un juego justo.

    Esto se debe, obviamente, a que el juego es justo si (y sólo si) el número total de posibilidades tiene mitad entera, es decir, si es par. Para ello, nos vale con que uno de los dos jugadores tenga un número par de opciones. Por ejemplo, si eliminamos la opción de no sacar dedo a uno de ellos, el juego vuelve a ser justo… ¿o no?

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  6. Supongamos que transformamos el juego en lo siguiente:
    Cada jugador tiene que elegir obligatoriamente un número primo (sin importar el numero de dedos que tiene)
    Gana como antes el que eligió par o impar el resultado de la suma.

    Con el razonamiento expuesto, la probabilidad de obtener impar debería ser nula, ya que solo hay un par (el 2) e infinitos impares. Y por tanto lo probable sera impar + impar = par.

    Al menos yo, jamás me planteé que jugando a pares y nones me salgan los dedos al azar. Yo siempre saco 1 o 2 ( impar o par), eso sí, arbitrariamente.

    En cualquier caso creo que como siempre lo importante es la definición. ?qué Es justo?
    Yo creo que el juego esta equilibrado y ningún jugador tiene ventaja, incluso considerando que los dedos de la mano sean pares. Sea cual sea el análisis me basta decidir sacar un dedo mas o menos para darle la vuelta al razonamiento.

    Coincido con Jose luis y Dani.

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  7. Mmmmm, pensando el caso de Lisa y Homer y el tema de sacar un numero aleatorio de dedos, creo que el juego sigue siendo completamente justo y equilibrado.
    Lisa vs Homer: gana Lisa 3/5, porque sabe analizar el juego y sabe que Homer no.
    Homer vs Homer: obviamente 1/2, ninguno sabe como mejorar sus porcentajes.
    Lisa vs Lisa: 1/2, ninguna parte puede establecer una estrategia ganadora.

    Quiero decir que es justo y equilibrado porque ambos tienen la misma oportunidad de ganar. Que Homer no sepa rentabilizar sus opciones no significa que el juego no sea justo.

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  8. Ya que comentamos el juego de pares y nones, me parece pertinente discutir sobre el que, para mí, es el otro gran juego nacional: LOS CHINOS. (Si alguien no lo conoce que busque en Google “chinos-wikipedia”).
    Entre dos jugadores es obvia la estrategia del primer jugados de decir TRES tenga las monedas que tenga en la mano. Esto iguala las probabilidades de ganar de ambos jugadores a 1/4.
    En el caso de tres jugadores es más difícil no dar pistas a los demás en la salida. ¿Alguien se atreve a recomendar una estrategia que mejore las posibilidades de cualquiera de los jugadores?
    Para más de tres jugadores creo que el incremento de posibilidades equilibra el juego o dificulta extraordinariamente el análisis. Por ello me gustaría que los comentarios que se produzcan se refieran, preferentemente al caso de tres.

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  9. Al final todo depende de qué suspuesto hagamos sobre el comportamiento de los jugadores… en algunos casos es razonable suponer que juegan óptimamente, en otros casos al azar… y en algunos casos, en forma completamente predecible, como Bart jugando piedra, papel o tijeras:

    http://www.youtube.com/watch?v=NMxzU6hxrNA

    “Good old rock… nothing beats that!”

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  10. Para todos: creo que estaba bastante claro que en el post se sobreentiende que la elección de la cantidad de dedos que saca cada jugador es aleatoria, ya que al final comento que puede ser una buena forma de introducir la probabilidad en clase. Si no es así ya estamos hablando de “otro juego” (bueno, el mismo juego pero con otras condiciones).

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  11. No lo entiendo. El número de dedos es totalmente irrelevante salvo para consideraciones de tipo par/impar, que es lo único que importa. Parece contradictorio, pero no lo es en absoluto.

    Yo elijo pares. Mi contrincante nones. Decido mi jugada. pero la decisión no es “¿qué número de dedos saco?”, sino “¿saco un número par de dedos o impar?” Punto. Un jugador con 1 dedo amputado puede dar el mismo juego como contrincante que otro que haya nacido con seis dedos. La decisión sigue siendo la misma “¿saco par o impar?”. El número no influye en nada más que eso.

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  12. Muy buenas, buen articulo, aunque la justicia en el azar y las probabilidades es relativa.
    Otra cuestión es que en realidad casi nadie usa todos los dedos de las manos, en la mayoría de los casos sacan un dedo o dos, algunas veces tres y raramente 4 o 5, si tienes eso en cuenta, seguramente las probabilidades cambian. Es decir lo mas común es que por cada 5 juegos 4 habran sido uno o dos dedos. Las probabilidades puras de un juego solo indican los posibles resultados, sin embargo los jugadores normalmente se restringen a un modo de juego por lo que las probabilidades aunque existir existen no deciden la realidad del resultado de un juego.
    Es como poner una simulación en el ordenador de una batalla, segun los miembros del ejercito, armamento, y aun incluso introduciendo parametros de experiencia, edad, conocimiento de la zona de batalla, etc… el resultado real depende de decisiones simples tomadas por soldados en una situación extrema, lo hagan como lo hagan estarán entre las probabilidades, pero si algo ha n demostrado las guerras y la historia es que las probabilidades no explican como sucedio algo o como sucedera, solo te dice posibilidades.

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  13. Me sorprende lo poco que saben las personas de probabilidades. Sobre todo los comentaristas de meneame, que se hacen un mundo. Pero acá también veo que no comprenden lo que gaussianos está planteando.

    Realmente, el número de dedos si que importa. Es una cuestión también de proporciones, como la regla de 3. Todo se debe al porcentaje reducido.

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  14. Yo es que cuando juego a pares o nones simplemente pienso en sacar pares o nones, no en qué número sacar. Y así hace la mayoría de la gente por lo que al menos en mi caso la probabilidad de sacar pares o nones sería 1/2 para cada uno independientemente del número de dedos que tenga (que tengo cinco, pero aunque fueran cuatro pues sería igual).

    Lo que si que es cierto es que lo mismo cuando era pequeño sí que sacaba más un número al azar y por tanto lo dicho aquí fuese aplicable.

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  15. Muy bueno el artículo. Efectivamente es un juego justo. Para los que no ven que el número de dedos importa, haced el ejercicio de pensar en casos extremos (otro de los consejos que dejaba Gaussianos en un post no hace mucho). Pensad en dos jugadores, en los que por desgracia, no les quedan dedos en las manos. ¿Podrá ganar quien elija nones?

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  16. Respecto a sí los jugadores usan o no estrategia, da igual. Un juego justo, es justo, lo demuestra la matemática. No importa la estrategia, da igual que uno sea un genio, que se devane los sesos durante horas, que piense sí su contrincante pensará como él y por tanto invertir la estrategia, da igual, la probabilidad matemática de que uno de los dos gane es 1/2 y por tanto justo. En otras palabras, jugad 1000 veces, sacando dedos sin pensar (o tirando un dado numerado de 0 al 5), repetid la operación pensando cada jugada, en una estrategia correcta, psicológica y mordaz….a la larga habrás ganado unas 500 veces y habrás perdido otras 500.

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  17. Este análisis es suponiendo que los jugadores eligen 0,1,2,3,4 o 5 indistintamente. Suponiendo que se elige par o impar indistintamente (como ocurre en realidad) el juego es justo.

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  18. Estoy con Dani. Con 4 dedos el caso es saber que si quiero par y saco un número par de dedos hay un 60% de posibilidades de que tu contrincante saque un número par (0, 2 o 4 en lugar de 1 o 3), a menos que él sepa el truco. Y si quiero impar saco un número impar de dedos, así gano si él saca también 0,2 o 4, frente a 1 o 3 que me harían perder. Con 5 dedos en ambos casos hay tres posibilidades para tu contrincante para darte par y tres para impar. El truco, no abusar del juego para que no se de cuenta.

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