Esfera, cilindro y una constante inesperada

Las matemáticas nunca dejarán de sorprendernos. Independientemente de la cantidad de matemáticas que uno sea capaz de aprender, siempre habrá resultados que por singulares le seguirán sorprendiendo.

Esto mismo fue lo que me ocurrió a mí cuando tuve conocimiento de lo que os traigo en el artículo de hoy. Los elementos protagonistas son cilindros, esferas y trocitos de estas últimas, y la relación entre todos ellos.

Imaginemos que tenemos una esfera en tres dimensiones, centrada en (0,0,0) (podría ser cualquier otro punto) y de radio R y le cortamos una rebanada en vertical. Es decir, cortamos la esfera por dos planos paralelos a cierta anchura y nos quedamos con la parte que queda entre ellos, la rebanada, como se ve en la figura

Calculamos el área del trozo de esfera correspondiente a esa rebanada y dejamos ahí el resultado.

Tomemos ahora otra rebanada de la misma anchura. Dependiendo de si está más cerca del ecuador de la esfera o de alguno de sus polos tendrá una forma u otra, pero que sea de la misma anchura. Calculemos ahora el área de esa rebanada. ¿Qué creéis que pasará?

Efectivamente, las áreas son iguales. No importa de dónde tomemos la rebanada, ya que si la anchura es igual el área siempre será la misma.

¿No os lo creéis? Vamos a calcular el área de una de estas rebanadas.

Por conveniencia, pero sin perder generalidad, tomaremos la esfera como una superficie de revolución que surge al girar una semicircunferencia de centro (0,0) y radio R respecto al eje X, cuya ecuación es y=\sqrt{R^2-x^2}, con x \in [-R,R ]. Una rebanada surgiría de girar solamente una porción de esta semicircunferencia. Por ejemplo, la que aparece en verde en la figura:

En general, el cálculo del área, A, de una superficie de revolución generada al girar respecto del eje X, entre a y b, una función f(x) se realiza mediante la siguiente expresión:

A= 2 \pi \; \displaystyle{\int_a^b f(x) \; \sqrt{1+(f^\prime (x))^2} \; dx}

Llamando a y b a los valores de X para los que obtenemos dicha porción de semicircunferencia, tendremos que el área de una rebanada de nuestra esfera de revolución se calcularía de la siguiente manera:

A= 2 \pi \; \displaystyle{\int_a^b \sqrt{R^2-x^2} \; \sqrt{1+ \left (\frac{-2x}{2 \sqrt{R^2-x^2}} \right )^2} \; dx}

Vamos a realizar algunos cálculos en la función a integrar:

\begin{matrix} \displaystyle{\sqrt{R^2-x^2} \; \sqrt{1+ \left (\frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}} \right )^2}=\sqrt{R^2-x^2} \; \sqrt{1+\frac{x^2}{R^2-x^2}}=} \\  \\  =\displaystyle{ \sqrt{R^2-x^2} \; \sqrt{\frac{R^2-x^2+x^2}{R^2-x^2}}=\sqrt{R^2-x^2} \; \sqrt{\frac{R^2}{R^2-x^2}}=} \\  \\  =\displaystyle{ \sqrt{R^2-x^2} \; \frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}}}= R \end{matrix}

Es decir, la función a integrar es en realidad una constante igual al radio de la circunferencia (y por tanto al radio de la esfera). Entonces, el área quedaría como sigue:

A=2 \pi \; \displaystyle{\int_a^b R \; dx=2 \pi \; R(b-a)}

Llamando K=b-a a la distancia entre los dos puntos que generan la porción de circunferencia que gira (esto es, la distancia entre los dos planos con los que cortaríamos la esfera) tenemos el resultado que comentábamos:

El área de una rebanada de esfera de radio R generada al cortarla por dos planos paralelos que estén a distancia K es una constante que depende únicamente del radio de la esfera y de la distancia entre los planos. Concretamente, esa constante es

A= 2 \pi R K

Tomemos ahora la porción de cilindro que encierra a dicha esfera, que por tanto tendrá radio R y altura 2 R.

Tomemos una rebanada de altura K y calculemos su área. Para ello habrá que calcular el producto entre la longitud de la circunferencia resultante al cortar el cilindro, que es 2 \pi R, y la altura de la rebanada, que es K. Es el mismo resultado. Y aquí está mucho más claro que el área es independiente de dónde cortemos la rebanada. Obtenemos, por tanto, el siguiente chocante resultado:

El área de una rebanada de esfera de radio R generada al cortarla por dos planos paralelos que estén a distancia K es una constante que depende únicamente del radio de la esfera y de la distancia entre los planos y que coincide con el área de una rebanada de la misma altura de un cilindro de radio R. Concretamente, esa constante es

A= 2 \pi R K

Lo dicho, las matemáticas nunca dejarán de sorprendernos…


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13 comentarios

  1. Christian | 16 de abril de 2012 | 11:06

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    Curioso…

  2. Trackback | 16 abr, 2012

    Bitacoras.com

  3. Trackback | 16 abr, 2012

    Esfera, cilindro y una constante inesperada

  4. Ignacio Larrosa Cañestro | 16 de abril de 2012 | 14:53

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    Lo que nos proporciona un procedimiento muy simple para hallar un punto situado sobre una esfera con sitribución uniforme. Si la esfera tiene radio R, basta con obtener un valor de z uniformemente distribuido en [-R, R]. La latitud sera arcsen(z/R). Si se prefiera la colatitud, no hay mayor problema. Y la longitud se toma uniformemente en (-pi, pi].

    Ignacio

  5. javier martinez | 16 de abril de 2012 | 16:29

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    Efectivamente, suponiendo que la distancia K fuera toda la esfera es decir que sería el diametro entero nos quedaria lo siguiente:

    A = 2πRK. Como K sería el diametro sustituimos:

    A = 2πRd. Y como el diametro es el doble del radio:

    A = 2πR(2R) = 4πR^2. Que es precisamente la formula (descubierta por Arquímedes) con la cual se haya el área de la esfera.

    En realidad no es un “chocante resultado” yo mismo obtuve este resultado hace ya un tiempo.

  6. zurditorium | 16 de abril de 2012 | 17:23

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    A mi también me sorprendió cuando me enteré. Lo curioso es que fue durante una charla científica donde un matemático extranjero nos estaba explicando un resultado suyo (en análisis funcional) sobre no recuerdo qué y en demostración usaba esto.

  7. Sebas | 16 de abril de 2012 | 17:40

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    Lo sorprendente es que ahora sorprenda, se estudiaba en el bachillerato en los años 60

  8. Christian | 16 de abril de 2012 | 23:06

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    Aunque no tenga nada que ver, nuevamente quedaría mejor con Tau ;-)

    Al final esto caerá por su propio peso, creo.

  9. Mmonchi | 17 de abril de 2012 | 01:07

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    En la tumba de Arquímedes colocaron una esfera y un cilindro. No solo por la relación entre sus superficies, sino también entre sus volúmenes, que es la misma: 2/3, incluyendo las caras del cilindro.

  10. Garin | 17 de abril de 2012 | 09:43

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    En la ESO también se estudia, sin demostración obviamente.

  11. Sebas | 17 de abril de 2012 | 15:59

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    En mi nota anterior dije que aparecía en el bachillerato de los años 60, rectifico, eran los años 50, y con demostración que dista mucho de las integrales, apta para lo que en aquel entonces se llamaba Bachiller Elemental

  12. Puestos en sorprendernos | 18 de abril de 2012 | 00:04

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    Ya puestos en descubrir el mundo: en un cono no pasa lo mismo porque tiene diferente forma.

  13. Trackback | 10 may, 2012

    Sorpresa calculando el volumen de una cuenta de un collar - Gaussianos | Gaussianos

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