Este juego tiene ganancia esperada infinita. ¿Cuánto pagarías por jugar?

Estamos en época navideña y, por tanto, en una época en la que la lotería es protagonista, más protagonista que el resto del año. Principalmente la Lotería de Navidad, rodeada por un montón de mitos infundados, aunque también la Lotería del Niño tiene su lugar en estas fechas. Lotería de Navidad y Lotería del Niño, ambas, al igual que cualquier juego tipo lotería que se precie, con esperanza negativa. Es decir, ambas son juegos en los que el jugador tiene una ganancia esperada negativa, algo así como que el jugador espera perder dinero. Por ejemplo, la de la Lotería de Navidad es -0,3, lo que significa que por cada euro jugado esperamos perder 30 céntimos. Y con todo y con eso jugamos, y en ocasiones demasiado.

Para todos los que jugáis, y también para los que no jugáis, va la siguiente cuestión:

Si os ofrezco un juego con una ganancia esperada muy grande, ¿cuánto estaríais dispuestos a pagar por jugar?

Posiblemente muchos diréis que como máximo un poco menos de esa ganancia esperada. Bueno, es razonable. Ahora, ¿y si la ganancia esperada fuera infinita?

Un momento, ¿ganancia esperada infinita? Sí, infinita. Esto es, esperamos ganar una cantidad infinita de dinero si jugamos a este juego…Creo que ya va siendo hora de que os cuente de qué va el jueguecito:

El juego consiste en lo siguiente:

Tiro una moneda al aire. Si sale cara continúo tirando, hasta que sale la primera cruz (excluimos la posibilidad de que caiga de canto), momento en el que el juego termina. Si esa cruz ha salido en la tirada n yo te pago 2^n euros.

La pregunta es: ¿cuánto dinero estarías dispuesto a pagar inicialmente por jugar?

Antes de responder analicemos el juego con algo más de detenimiento. Si la primera cruz sale en la primera tirada el jugador gana 2^1=2 euros; si sale en la segunda tirada gana 2^2=4 euros; si es en la tercera 2^3=8 euros…Y así sucesivamente. Conforme aumenta el número de tiradas realizadas hasta la aparición de la primera cruz la cantidad a pagar sube considerablemente (recordad, no subestiméis el crecimiento exponencial). Por ejemplo, si la primera cara sale en la tirada 10 ya iríamos por 2^{10}=1024 euros a pagar. Después de estos datos repito la pregunta: ¿cuánto dinero estarías dispuesto a pagar inicialmente por jugar?

La esperanza del juego (es decir, la cantidad que esperamos ganar al jugar) puede ser una buena medida para decidir cuánto estaríamos dispuestos a pagar por jugar, ¿no? Pues vamos a calcularla. Recordemos que la esperanza de una variable aleatoria discreta (como la que tenemos entre manos) se calcula sumando los productos que se obtienen al multiplicar cada valor de la variable por la probabilidad de que se dé dicho valor. En nuestro caso, los valores de la variable son las ganancias obtenidas según la posición en la que salga la primera cruz (2 euros si es en tirada 1, 4 euros si es en la tirada 2, 8 euros si es en la 3,…), y la probabilidad de cada uno de ellos es la probabilidad de que la primera cruz salga en cada posición. Dicha probabilidad es:

  • 1/2 para la primera tirada, ya que tenemos dos casos posibles (cara y cruz);
  • 1/4 para la segunda tirada, ya que también tenemos dos casos posibles (cara y cruz), por lo que la probabilidad sería 1/2, pero para llegar a esta opción debió salir cara en la primera, hecho que tiene también probabilidad 1/2 de suceder. Como las tiradas son independientes (el resultado de una tirada no influye en el resultado de la siguiente), la probabilidad de que la primera cruz salga en la segunda tirada es 1/2 \cdot 1/2=1/4;
  • 1/8 para la tercera, por el mismo razonamiento anterior;
  • y así sucesivamente. En general, esta probabilidad, p_n, vale 1/2^n, siendo n la tirada en la que sale la primera cruz.

Ya podemos calcular la ganancia esperada al jugar a este juego:

E=2 \cdot \cfrac{1}{2} + 4 \cdot \cfrac{1}{4} + 8 \cdot \cfrac{1}{8} + \ldots=1+1+1+ \ldots \; (infinitas \; veces)= \infty

¡¡Ganancia esperada infinita!! ¡¡Esperamos ganar infinitos euros si jugamos!! Estaréis de acuerdo conmigo en que con estas condiciones deberíamos estar dispuestos a pagar cualquier cantidad de dinero, por grande que sea. Qué digo yo, ¿100000 euros por ejemplo? ¿No? ¿Os parece mucho? Veamos…¿10000? Sigue siendo demasiado…¿1000 euros quizás?

Estoy convencido de que la mayoría de vosotros seguirá pensando que todavía es demasiado dinero, aun teniendo una ganancia esperada de infinitos euros. Esta aparente paradoja es la razón por la que este juego es conocido como paradoja de San Petersburgo. Bueno, esto y la relación que en sus inicios tuvo con esta ciudad rusa. Parece ser que este problema fue planteado por primera vez por Nicolaus Bernoulli en 1713. Nicolaus pasó un tiempo reflexionando sobre él, pero en 1715, al ver que no obtenía resultados concluyentes, se lo pasó a su primo Daniel Bernoulli, que para Nicolaus tenía mayor capacidad matemática que él mismo. Éste, después de unos años de estudio y reflexión, publicó su análisis y su propuesta de solución en las Actas de la Academia de Ciencias de San Petersburgo en 1738. De aquí que esta paradoja lleve ese nombre.

Volvamos a nuestro juego-paradoja. ¿Cómo solucionamos el tema? Por un lado tenemos ganancia esperada infinita, pero por otro parece una locura pagar una cantidad muy grande (de hecho hasta lo parece con una cantidad relativamente grande) por jugar, ya que es bastante probable que la primera cruz salga bien pronto. Pues parece que no hay lo que podríamos llamar una solución de esta paradoja, aunque es cierto que sí se han realizado muchos estudios sobre ella y hay propuestas interesantes.

Daniel BernoulliPosiblemente la idea más interesante sea la que tuvo el propio Daniel Bernoulli, que fue considerar que una cantidad concreta de dinero no tiene el mismo valor para todo el mundo. Me explico: 1000 euros es algo extremadamente valioso para alguien que no tiene ningún tipo de recurso, pero no lo es tanto para alguien que sea millonario. Esto es, la utilidad del dinero es subjetiva, depende de la persona, por lo que el jugador decidirá qué cantidad máxima estaría dispuesto a jugar en función de la utilidad que para él tenga dicha cantidad de dinero. Este argumento puede parecer muy obvio y sin mucho interés, pero en la práctica ha derivado en lo que actualmente se conoce como teoría de la utilidad, introducida por Von Neumann y Morgenstern a mediados del siglo XX. De todas formas es cierto que argumentos como éste se adentran en muchas ocasiones en cuestiones de índole psicológica y abandonan en parte las matemáticas.

Hay otras ideas de estudio y propuestas de solución del juego, principalmente relacionadas con la imposibilidad de que puedan darse los infinitos resultados posibles del mismo o de que pueda existir una banca que pueda cubrir un posible premio descomunal. En los enlaces que podéis encontrar al final del texto podréis encontrar información sobre todo esto.

Y ahora os toca a vosotros: ¿qué os parece este juego? ¿Jugaríais? ¿Cuánto? Todas vuestras opiniones serán bienvenidas.


Fuentes y enlaces relacionados:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

75 Comentarios

  1. Típico problema que estudia en las asignaturas de Microeconomía para dejar claro que el valor esperado de una apuesta no lo es todo, y que lo que de verdad importa es la función de utilidad sobre esa lotería que el individuo tenga.

    Se dice que un “individuo racional” no apostaría más de 20, ¿me equivoco?

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  2. Ofreceme el juego pagando menos de 100 euros y acepto:D. Y no porque 100 sea la cantidad tope, sino porque a ojo lo es para mi banca, si tuviera más dinero, más podría pagar, porque hace disminuir mi riesgo de bancarrota.

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  3. ¿Cual es el precio mínimo a pagar?, ¿cuantas veces puedo jugar?

    Sin esos datos, yo jugaria 1€ de manera permanente

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  4. He realizado unas pruebas aleatorias con Excel con 36 series jugadas cada vez, y pese ha haber cobrado dos premios de 128 y 2 de 64, el cobro medio estaba entre 5.5 y 8.5 en las 4 series que he hecho.

    Así que pagar 6€ o mas entra en la zona de loteria.

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  5. Juanjo Escribano, el premio inicial lo pone quien te ofrece el juego. Por eso la pregunta es cuánto dinero estarías dispuesto a pagar.

    GOB xDDD.

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  6. Diamond

    De acuerdo, pero si no hay precio mínimo para jugar ni nº de partidas máximo ya he puesto el ejemplo en el que gano tantos euros como tenga el el que haga de banca (posiblemente con mucho sueño, pero a 3 manos al minuto y 36 horas aguantaría, pese a la edad).

    36h = 36* 60 m = 2160m = 2160 * 3 partidas = 6480 partidas y aprox 30.000€ segun mi segundo comentario.

    Dos dias de recuperación, una nueva sesión, y con 4 sesiones me jubilo (no caerá esa breva).

    Máximizo mi negocio, pagando solo 1 cm de euro a 36.000€ largos por sesión y me jubilo (ufff) igualmente en 4 sesiones

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  7. JEJE, el otro día (no recuerdo a santo de qué) mi mujer se preguntaba cómo algo podía ser “teóricamente factible” pero “prácticamente no factible” y buscaba ejemplos no demasiado complicados.

    Yo le propuse exactamente este juego como ejemplo. Es teóricamente factible ganar muchísimo dinero (es posible que la primera cruz salga en la tirada 100000). Pero en la práctica, suele salir a la 3ª o 4ª tirada, con lo que la ganancia se queda en unos 5 euros.

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  8. Desde el momento en que se pregunta “cuánto estás dispuesto a pagar por entrar en el juego” se está saliendo del terreno de las matemáticas y entrando en el de las preferencias personales, donde la psicología, la actitud frente al riesgo y mil cosas más influirán en la decisión. La teoría de la utilidad esperada da una respuesta y requiere, en particular, que esta esté acotada para no caer en este tipo de paradojas. (Para de San Petersburgo en particular no hace falta que esté acotada, con poner que la utilidad es el log de la cantidad de dinero ganada ya vale.)

    Las soluciones basadas en lo irreal de la situación (la imposibilidad de una banca que cubra los premios muy grandes) no son soluciones. El problema está establecido en un modelo formal perfectamente definido y en él se deber resolver. Si en la práctica no es posible tener ese problema, pues en la práctica no hay que resolverlo. Esto no quiere decir que la resolución del problema teórico no tenga implicaciones para nuestra manera de modelizar la realidad, de hecho, el entender esta paradoja teórica ha permitido avanzar en la teoría de la utilidad esperada (o en alternativas) y poder estudiar mejor numerosos comportamientos económicos en situaciones de incertidumbre.

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  9. Dado que el premio es el inverso de la probabilidad de obtenerlo, independientemente de la cantidad apostada, parece que lo más rentable es pagar la mínima cantidad permitida para poder participar.
    Cada participante habitual en juegos de azar suele dedicar cada vez una cantidad casi fija en ellos, que depende de su capacidad económica y de su nivel de adicción. Lo lógico sería que fijara esa cantidad, como tope máximo, para sustituir alguna vez por este juego (si estuviera disponible) el que habitualmente utiliza.

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  10. Objetivo: ganar. Ergo, pagaré lo adecuado a un equilibrio entre lo seguro de ganar y el riesgo de perder. Seguro que ganaré sólo si pago 0, no hay un beneficio asegurado. Todo beneficio deberá medirse contra el riesgo de perder. Es cierto que la esperanza final se jugar y jugar es infinito, pero en infinitas partidas., por lo que bien dice Juanjo, uno puede valorar el tiempo dedicado versus la ganacia esperada.
    ¿cuánto pagaría? Si se paga sólo una vez, valoraría el tiempo dedicado versus el beneficio (ojo a la paradoja de cuanto más juegas aparecen premios mayores!). Puede darse el caso que un jugador nunca cobre su enorme beneficio porque murió sin salirle ninguna cruz de todas las veces que tiró la moneda.

    Otro asunto es si hay que pagar a cada juego, pero eso sería una apuesta normal, y tiene otras connotaciones.

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  11. Bah! la ganancia esperada es infinita pero numerable.

    Yo si no voy a poder biyectar mi fortuna con la recta real, no me pringo.

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  12. Con 10^7 muestras y

    ###
    from random import random

    def paga():
    … n = 0;
    … while random() > 0.5:
    …… n += 1
    … return 2.0**n

    ###

    In [16]: r = []

    In [17]: for i in range(10000000): r.append(paga())

    In [18]: sum(r)
    ###

    en Python el promedio de ganar está alrededor de 12 euros. Muy a veces hasta 14, pero de ahí no pasa.

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  13. Me sorprende que no se cite en este artículo (que por otra parte muy interesante) la varianza.

    Pero encontramos un pequeño problema: partimos con desventaja.

    Paso 1: pagamos 2 euros por lanzar la moneda
    paso 2: lanzamos la moneda y a) cara RECUPERAMOS (que no ganamos) los 2 euros anteriores; b) perdemos los 2 euros.

    Si sale cara y decidimos jugar, “recuperarmos” los 2 euros iniciales y nos encontramos ante la “barrera” del 50% para cobrar los 4 euros (es decir, NO GANAMOS 4 euros, ya que habría que descontar de ahí los 2 euros iniciales) y teniendo sólo, un 0,25% de que se dé el caso de ambas tiradas sean cara.

    A mi parecer, para descontar esa desventaja inicial que ya he comentado para tener un beneficio hemos de invertir 1/4 de 2€ para que, estadísticamente (varianza) sea equitativo, es decir, los factores riesgo/recompensa nos dé un balance neutro (0 ganancias / 0 pérdidas) Ojo, con esto me refiero tras lanzar millones de veces la moneda.

    Si bajamos el coste de “entrada” en el juego nos sería más rentable en proporción al riesgo peeeeeero solo si nos quedamos en el umbral del segundo lanzamiento de moneda, ya que si pasásemos al tercero la dificultad se incrementaría demasiado y tendríamos que bajar aún más el dinero invertido para que a la larga nos saliera rentable.

    Espero que se me haya entendido y en caso de equivocarme en algún punto pues soy todo ojos 😉

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  14. 1000 euros en una moneda cargada y otros mil para jugar. Nah, en serio. Creo que el precio lo marca las pretensiones. Si yo organizara la apuesta pondría tramos. Ejemplo: el apostante va a por 10 tiradas con lo que opta a 1024 euros. Precio juego 5 euros. Si vas a más tiradas menos cuesta la apuesta y viceversa. con las reglas descritas 20 euros.

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  15. Si apostas una cantidad K de dinero, siendo N el número entero mayor tal que 2^N<K entonces la probabilidad de perder dinero es del orden de (1-2^N) por lo tanto mientras mas chica sea la cantidad menor la probabilidad de perder dinero.

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  16. Si en la práctica te pasa eso es que la moneda está trucada. Debería salirte cruz en la primera tirada la mitad de las veces, no?
    Yo creo que hay un error de base en todo esto. El valor de UN juego es 1 euro. Estás sumando infinitos juegos, no calculando el valor esperado de un único juego. En un único juego solo cobras una vez, no una vez por cada posible resultado. Si sales en la primera cobras 2*1/2 = 1 y cero en todas las demás. Si sales en la segunda cobras 4*1/4 =1 y cero en todas las demás, etc…
    El error está en que esperas cobrar en todas las hojas del árbol jugando sólo una vez y eso no es posible.

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  17. Lo que no he entendido muy bien es donde está la paradoja. No se puede esperar ganar una cantidad infinita de dinero cuando no se espera que caiga una cantidad infinita de veces cara. Y aún en el mejor de los resultados, es decir, si efectivamente cayese una cantidad infinita de veces cara, significaría que nunca jamás podrías cobrar tu premio… no importa cuan lejos te situases en tu línea sucesoria. ¡El juego muy bien podría sobrevivir al universo, y tú sin cobrar!

    Yo creo que llegado a un número de ceros, llega un punto en el que te da igual que siga sumando. Lo importante es como percibes esa esperanza de juego. Cuanto menos evidente es su mecánica y más sencilla es su participación, más positiva debería de ser la percepción de lo que se espera ganar en el juego y más se estaría dispuesto a pagar.

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  18. Los que intentais interpretar o encontrar un error en el planteamiento del problema, o su solución, os equivocáis. El juego realmente tiene ganancia esperada infinita.

    Yo, como en economía soy austriaco, aplico la teoría del valor marginal al dinero y la paradoja desaparece.

    Los de otras escuelas de economía no sé como las arreglarán, supongo que mal, como siempre xD.

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  19. JS, el experimento no es correcto, la media aumenta con el número de muestras:

    10E4 – 6.2
    10E5 – 9.5
    10E6 – 11.7
    10E7 – 14.3

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  20. Y si x ejemplo acordaramos empezar desde la jugada 10 por 10000??

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  21. Hice unas simulaciones en Excel y me da que, apostando 20, es casi imposible ganar, aun si se juega un número muy grande (pero razonable) de veces (10.000, por ejemplo). Para más de 1000 juegos, apostando 4 prácticamente se asegura la ganancia.

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  22. “Repetir infinitas veces…”

    ¡Trollscience tiene la solución!

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  23. “…parece que lo más rentable es pagar la mínima cantidad permitida para poder participar.”

    Esa es precisamente la pregunta, JJGJJG: ¿cuál sería el precio del “boleto” que estarías dispuesto a jugar por participar? Por ejemplo, si la casa cobra 100EUR, ¿pagarías por jugar? Si cobra 1000EUR, ¿entrarías al juego? ¿10,000? ¿100,000?

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  24. Jeje, tan es correcto que encontramos una posible clave.

    Supongamos que jugamos siete (2^3 – 1) veces. De esas, esperaríamos que (más o menos) cuatro paguen 2^1, que dos paguen 2^2, y que una pague 2^3. El promedio es de 3.42 (si fuera entre 8 sería exactamente 3.0)

    Ahora juguemos (2^4 – 1) = 15 veces. Esperamos que ocho veces paguen 2^1, cuatro 2^2, dos 2^3 y una 2^4, o sea 4.26 (otra vez, si fuera entre 16 sería 4.0 exacto).

    Entonces, esperamos que el promedio cambie según cuantas veces jugamos. Interesante, porque la esperanza calculada (infinita) depende de que sigamos jugando para siempre – cosa que obviamente no va a pasar; eso cuadra bastante bien con la intuición y con el cálculo.

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  25. He hecho el experimento en python, de la siguiente manera:

    El costo por jugar es de 8 euros, luego juego o hasta ganar 10mil euros o hasta perder 10000 euros, bueno jugué la primera vez, y adivinen cuanto gané:

    254644 euros.

    Iba perdiendo 7440 euros (con las primeras 3643 jugadas), es decir cada vez perdía los 8 euros y ganaba muy poco, a veces 2, a veces 4, y cómo máximo 16, o 32, pero la jugada 3645 me salieron 18 caras.

    ¿Increíble, no?

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  26. Es cierto que el valor esperado de la ganancia es infinita, pero el 93.75% de las veces solo se ganan 16 EUR o menos, y el 99.22% a lo más 128 EUR. Así que, en la práctica, pagar demasiado con la esperanza de (al menos) duplicar lo invertido es peor que jugar a la lotería.

    La probabilidad de llegar a tener ganancias repitiendo el juego consecutivamente es 1, pero sospecho que el valor esperado del número de veces que hay que jugar para recuperar lo invertido (incluyendo lo perdido en los juegos anteriores) es infinito, si se apuesta más de 2 EUR.

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  27. Yo me inclino por el nivel de confianza estadística. Por debajo de un porcentaje, calificamos un suceso como raro (el 5% por ejemplo). Así que no es habitual que ocurra eso y no contamos con ello. En nuestro caso, llegar a la 5 tirada ya supera ese nivel (1/32) por lo que yo no contaría con llegar a ella. Yo pagaría menos de 16, que es la ultima ganancia que entra en mi nivel de confianza.

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  28. Respuesta, dos euros. De esa forma hay esperanza nula en el peor caso (cruz a la primera y ni gano ni pierdo) y esperanza positiva en sucesivas tiradas. De esa forma, independientemente del resultado, es imposible perder independientemente de las veces que se juegue. Apostar mas de dos euros tiene el problema de que en el peor caso hay perdidas en la primera tirada con lo cual no apuestas sobre seguro.

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  29. Si pones una entrada ilimitada al problema (suma de apuestas distintas e indefinidas por jugador), ¿como vas a obtener una ganancia limitada y definida para cada uno? la simple lógica te responde que será también una ganancia infinita e indefinida, ¿no?

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  30. Yo creo, si los he entendido bien, que lo que plantean los austriacos que hace la gente al plantear sus inversiones es respecto a la probabilidad de recuperar la inversión de ese dinero que “les sobra”. Y esta probabilidad es muy baja para apuestas sólo un poco altas. Los mismos comentarios, la práctica totalidad, dan a entender que su cálculo va por esa probabilidad, no por la esperanza matemática.

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  31. La pregunta sólo tiene sentido si se dan las condiciones del juego. Si se me permite jugar infinitamente (suponiendo que viviera infinitamente), cualquier suma valdría la pena (me resulta sorprendente que la gente calcule valores en el ordenador con aleatoriedad teórica, que no real, y se atañe a ellos, a pesar de las explicaciones del artículo).

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  32. Qué gracia!

    Me pregunto en el mundo real quién haría de contraparte de un juego de ganancia esperada infinita.

    Este juego con estas condiciones no tiene sentido económico, pues no habría quien le ofreciera, ya que su pérdida esperada es infinita.

    Ahora, como paradoja matemática es muy interesante.

    ¿Por qué la gente se empeña en confundir economía y matemáticas?

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  33. 2€ de forma permanente favorece al comprador del boleto, porque hay más de un 50% a que te devuelven lo invertido; concretamente, más de un 25% a que doblas tu inversión. Por eso, a 2€ nadie aceptaría venderte un boleto.

    La cuestión objetiva es que cuanto más boletos te permitan comprar más probable será que recuperes la inversión tarde o temprano.

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  34. Pues me recuerda al chiste en que la unión europea desea ampliar la producción de leche y llama a diferentes grupos de expertos que exponen sus métodos para conseguirlo. Cuando le toca a los matemáticos empiezan su disertación diciendo “sea una vaca esférica de radio r”.

    Quiero decir que aunque en teoría puede salir cruz en la tirada mil, la realidad es que sale en seis o siete tiradas o menos. Siempre me he preguntado por qué a las matemáticas las llaman “ciencias exactas” cuando en realidad son lo contrario, inexactas, porque dan una aproximación a la realidad, pero nunca la realidad exacta.

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  35. y yo me pregunto, ¿hay un juego en el q siempre ganemos todos y mandemos a los politicos a hacer puñetas? 😛 😀

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  36. La respuesta es:

    – Si puedo jugar sólo una vez, acepto la apuesta y le pido que no tire la moneda al aire, 2^0 = 1, me tiene que dar un euro y he debido apostar menos de esa cantidad.

    – Si puedo jugar varias veces, superaré el importe máximo que haya ofertado otro jugador para apostar (si no hay competidores por jugar, como el importe de lo apostado no afecta al premio, la apuesta sería la mínima permitida). Una vez aceptada la apuesta no hay más que hacer lo anterior cuantas veces quiera…. “Jugamos otra vez, no tires la moneda, dame un euro, jugamos otra vez, no tires la moneda, dame un euro…….” y así sucesivamente, hasta cuando quiera parar.

    Aficionaos….

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  37. Veo un fallo en el paso 2: Si apostamos 2€, (que es para mi lo que habría que apostar), en todos los casos recuperaríamos los 2€, con lo que el riesgo es nulo. Todo lo que sea pasar de la primera tirada (n=1) son ganancias.

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  38. Para mí el planteamiento es este: ¿en qué tirada esperamos que acabe el juego?

    Las probabilidades de finalizar en la tirada 1,2,3… n son estas:

    1: 0.5
    2: 0.25
    3: 0.125
    4: 0.0625
    5: 0,03125
    6:0,015625
    7: 0,0078125
    8: 0,00390625
    9: 0,001953125
    10: 0,000976563
    11: 0,000488281
    12: 0,000244141

    La probabilidad de que la partida acabe en la jugada 12 o antes es de 99,99% aproximadamente (suma de las probabilidades anteriores). Como este 99% me parece suficiente nivel de “seguridad”, me quedo con una jugada a 12 tiradas como el caso más largo a estudiar.

    Si ahora ponderamos el número de tirada en la que se acaba la partida por su correspondiente probabilidad vemos que el resultado esperado de finalización de partida es en la jugada 1,9966 (para estas 12 tiradas). Es decir, que más normal es que todo se acabe en la segunda tirada.

    En la segunda tirada la ganancia para el apostante es de 4€. Por tanto para el organizador tendrá sentido un precio de participación superior a los 4€, y para el jugador tendrá sentido un precio inferior. Esto siempre pensando en que el jugador va a jugar un cierto número de jugadas (perspectiva del participante) o que hay un número relevante de jugadores (perspectiva de la banca)

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  39. a ver si lo he entendido:
    premio 2^n
    probabilidad de premio 1/2^(n-1)
    probabilidad de que obtenga un premio mayor o menor 1/2(^n-2)

    o sea, si mi inversión para jugar es x€ la probabilidad que obtenga un premio mayor a la inversión es de 1/2^(log2(inversion-1)) OJO! si invierto menos de 1€ siempre tendré beneficios -se supone que la banca no me dejará-.

    si invierto 1€ la mitad de las veces me quedo como estoy y la otra mitad gano dinero -no se cuanto-
    si invierto 2€ la mitad de las veces pierdo dinero, 1/4 de las veces me quedo como estoy y 1/4 de las veces obtengo beneficios -no se cuanto-
    si invierto 2^(n+1)€ tengo una probabilidad 1/2^(n-1) de perder dinero, 1/2^n de quedarme sin ganancias ni beneficios y 1/2^n de tener beneficios -sin saber todavía cuanto dinero-

    Es decir, cuanto mas pago por partida, más posibilidades tiene la banca de quedarse con beneficios.
    ¿Es así?

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  40. Con un ejemplo se entiende mejor lo que está pasando.

    Supongamos que pagamos 1000 euros, pues introduzcamos estos 1000 euros en el planteamiento del juego y calculemos la ganancia esperada.

    Si sale cruz en la primera tirada, nos dan sólo 2 euros, es decir que perdemos 998, que dividido entre 2, para calcular el primer sumando nos da -499.

    El segundo sumando sería (4-1000)/4 = -249

    El siguiente sería (8-1000)/8 = -124

    Y así nos encontraríamos sumandos negativos hasta llegar al décimo, el primero que sería positivo, con un valor de 0,024. Los siguientes son todos positivos, tendiéndo muy rápido a 1, pero sin alcanzarlo nunca ya que el numerador siempre va a ser menor que el denominador.

    Ahora hagámosnos la siguiente pregunta: ¿Cuántos sumandos tendríamos que calcular para que la ganancia esperada sea positiva? Pues incluso si somos optimistas y consideramos que todos los sumandos positivos valen 1 (no es un redondeo tan generoso como parece), incluso en ese caso, tendríamos que calcular unos 1000 sumandos para que la ganancia esperada empiece a ser positiva.

    Sí, ya se que podríamos haber deducido lo mismo, más fácilmente, del artículo. Pero intento hacer comprender el resultado, no llegar hasta él.

    Aquí conviene pararse un momento a meditar lo que supone que salga 1000 veces seguidas cruz, y en como afecta eso a las simulaciones por ordenador que habéis hecho algunos de vosotros.

    Por supuesto, si seguimos añadiendo sumandos llegamos de nuevo a la ganancia esperada infinita, pero a estas alturas nos debería haber quedado claro que este resultado depende de considerar sucesos extraordinaria e inimaginablemente improbables, que nos reportarían premios extraordinaria e inimaginablemente altos.

    Hasta aquí el análisis objetivo.

    Mi explicación de por qué no es buena idea invertir 1000 euros, es que el modelo matemático que estamos usando presupone que, por ejemplo, el valor de 1000 millones de euros, es un millon de veces mayor que el valor de 1000 euros, lo cual es falso.

    Con esos mil euros puedo comer, dar de comer a mi gente, pagar las facturas, etc. Con mil millones puedo hacer lo mismo, pero mejor y además darme la vidorra padre. Que está muy bien, pero ese extra que consigo no vale un millón de veces lo que vale todo lo que me dan esos primeros 1000 euros. Es lo que viene a decir la teoría del valor marginal, si la aplicamos al caso concreto del dinero.

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  41. Esta paradoja se da porque no se tiene en cuenta una variable inherente al ser humano: No se puede jugar infinitas veces.
    Siendo n el número de veces que jugaría, la apuesta que garantizaría ganancia >= 0 sería 2n.

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  42. No vale. Imagina que solo se lo ofrecen a una persona. Si tu pagas un euro, yo pago uno y medio y juego yo. Quiero decir, que matemática o económicamente hablando la puja debería empezar en dos euros, que es el dinero que tenemos asegurado ganar. Ofrecer menos de dos euros implica una ganancia segura y no tendría sentido el juego, ya no sería una lotería; sería el equivalente a regalar duros a cuatro pesetas.

    Saludos

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  43. Yo jugaría exactamente la cantidad mínima cuyo exponente >1 no sea el mismo. Teniendo en cuenta que la moneda ” no es divisible” yo jugaría exactamente 2€. Ahora bien, si el número de juegos y de tiradas es infinito, me iría a hacer otra cosa y no perdería el tiempo en jugar. Puesto que por probabilidad ganaré 0€ y perderé 0€ juegue la cantidad que juegue. ¡Mas vale una retirada a tiempo!

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  44. He meditado sobre lo dicho anteriormente y no es cierto, solo con obtener una racha de caras de dos o mas veces, el dinero acumulado te daría para una racha de cruces muy superior. El problema que veo es que la racha de caras no está garantizado y puedes perder todo tu dinero antes de que aparezca. Por ello y aunque no me garantice que salga una racha positiva, me guardaría para poder jugar unas 1000 veces, esperando con ello que aparezcan varias rachas buena. Siempre jugaría la misma cantidad. Si tuviera 10.000€ jugaría 10€ de cada vez. Con cada racha de 2 caras, me garantizo recuperar 10 rachas de cruces. Con una de tres recuperaría 1/10 de mi dinero.Y con una de cuatro recuperaría todo mi dinero.

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  45. Canduterio (y otros), el juego no depende de ninguna manera de que se jueguen infinitas veces, o muchas, o pocas. Si nos ofrecen jugar una sola vez, las matemáticas implicadas dicen que debemos aceptar, a cualquier precio. Otra cuestión diferente es que el modelo usado sea aplicable a este juego concreto, que es donde está el quid de la cuestión, creo yo.

    Supongamos el siguiente juego, para alcarar conceptos:

    Tiramos un dado normal y si el resultado es diferente de 6, pierdes el dinero que inviertas. Si el resultado es 6, ganas 8 veces lo invertido.

    ¿Debemos jugar? Claramente sí. Si jugamos muchas veces, a la larga ganamos dinero.

    ¿Y si nos ofrecen jugar una sola vez, debemos jugar? Pues claramente, también. Podemos perder nuestro dinero, más aún, ese es el escenario más probable, pero el beneficio (muy alto) supera al riesgo (también alto, pero menos) así que jugamos.

    Pues en el problema del artículo sucede exactamente lo mismo, con la salvedad de que, a poco que el pago inicial sea un poco alto, los números implicados son descabelladamente grandes.

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  46. Hola,

    Después de mirarme alguna distribucción de probabilidad he visto que el planteamiento de problema coincide con una distribución geométrica. Que es la distribución de la probabilidad en una serie de ensayos de Bernoulli (cara o cruz, por ejemplo) de obtener X fallos antes de obtener el primer éxito. En este caso sería que saliese la primera cruz. La definición de fallo/éxito en la distribución de geométrica es inversa a la de este enunciado, aunque tampoco importa mucho al ser la probabilidad en ambos casos de 0.5.

    Así que si vamos a la wikipedia y cúal es el valor esperado de una variable aleatoria X distribuida geométricamente http://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_geométrica:

    E[X]=1/p
    y sabemos que p=1/2
    por tanto E[X]=2

    Podemos calcular la ganancia esperada como 2^{E[X]}=4

    Así que yo no pagaría más de unos 3,50€ 🙂

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  47. Si la ganancia es infinita yo jugaría la cantidad mínima (¿1 céntimo?)

    ¿Qué más da cuánto juegues si la ganancia es INFINITA?

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  48. Se obtiene una esperanza infinita porque tiene una cola relativamente poco probable, pero que da una alta remuneración. Es como un juego donde hay que elegir un número entre mil millones, y solo hay un único premio de dos mil millones para un número: si se juega poco, no se alcanzará ningún retorno.

    La cola es dificil de alcanzar si se juegan pocas veces. Así, he realizado una estimación muy conservadora de la media que se podría obtener despreciando la cola que considero no alcanzable, dependiendo del número de apuestas; la cola la supongo, conservadoramente, cuando tiene una probabilidad menor de 1/n, donde n es el número de veces que voy a jugar. Así, dependiendo del número de juegos, los retornos esperados por cada juego son:

    10 juegos: 4
    100 juegos: 7
    1000 juegos: 10
    10^{4} juegos: 14
    10^{5} juegos: 17
    10^{6} juegos: 20
    10^{7} juegos: 24
    10^{8} juegos: 27
    10^{9} juegos: 30
    10^{10} juegos: 34
    10^{11} juegos: 37
    10^{12} juegos: 40
    10^{13} juegos: 44
    10^{14} juegos: 47

    Si se supone una cola menor, sube el retorno, pero para número de juegos grandes no es significativo.

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  49. La cantidad idónea a apostar, sea cual sea esta, no depende del número de veces que podamos jugar, depende sólo de como evaluemos subjetivamente las posibles ganancias, en función de su valor objetivo numérico.

    Imaginemos que nos dan una cantidad de dinero igual a 2^60 euros, es un disparate, redondeando es un millon de millones de millones (¡un trillón!). Nos alegraríamos mucho, ¿verdad?

    ¿Y si nos dan el doble? ¿Nos alegraríamos el doble? No ¿verdad? Nos alegraríamos practicamente lo mismo porque no se nos ocurre nada que podamos hacer con dos trillones, y que no podamos hacer con uno (y si esto no es cierto para un trillón, lo es para un trillón de trillones).

    Pues con sólo corregir en la fórmula (en los sumandos) las cantidades de dinero mayores que 2^60, truncándolas a 2^60, la suma converge, y nos arroja una ganancia esperada bastante pequeña (de cabeza y sin pensarlo demasiado, creo que son 61 euros solamente).

    Cada uno tendría que corregir los sumandos evaluando el valor marginal de cada uno de ellos, y obtener su ganancia esperada.

    A ojo, yo calculo que pagaría entre 15 y 20 euros por jugar.

    El valor marginal se calcularía haciéndose esta pregunta: “Supongamos que tengo ya 2^n euros ¿Cúanto mejor sería tener 2^{n+1}?”

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  50. Jajaja, que bueno ! esa es la solución, 2^0=1, apostar pero no lanzar, siempre ganas un euro…

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  51. El problema está perfectamente planteado, pero no hay paradoja.
    Yo no apostaría de igual a igual todas mis posesiones para digamos,
    triplicar esa cantidad. No le damos el mismo valor a nuestra primera casa
    que a la segunda, que a la tercera, etc.
    Pero sin duda hay un máximo que varía en función de la persona (y sus circunstancias personales) en que si conviene apostar.
    Como otro ejemplo, si tengo una fortuna con la que vivo bien, no la apostaría al 50% de probabilidad de perderla y el 50% de ganar dos fortunas iguales más.

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  52. Creo que has dado en el clavo. ¡No hay paradoja! La esperanza es infinita porque efectivamente siempre puedes ganar jugando menos de 2€ permanentemente. En la solución no se tiene en cuenta en ningún momento qué cantidad podría ser la mejor porque la esperanza te dice lo que ocurre en el mejor caso.

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  53. Yo creía que el problema estaba bien redactado, pero sois tantos los que lo estáis malinterpretando que ya no sé que pensar.

    La paradoja está en que, según el desarrollo matemático del artículo, es buena idea jugar a cualquier precio, puesto que la ganancia esperada es mayor que cualquier inversión inicial, por grande que sea.

    Por supuesto, dado que la ganancia neta no depende de la inversión, si yo puedo poner el precio que quiera, pues jugaré a cambio de dejar al dueño del “casino”, que me chupe un céntimo.

    Pero esa no es la cuestión, cuando se nos pregunta cuánto estaríamos dispuestos a pagar por jugar, se sobreentiende que se nos está preguntando la cantidad máxima que estaríamos dispuestos a pagar.

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  54. Donde puse:

    “Por supuesto, dado que la ganancia neta no depende…”

    Debí poner:

    “Por supuesto, dado que los premios no dependen…”

    He intentado editarlo pero no me deja.

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  55. Sive, evidentemente ésa es la cuestión clave del problema, pero sí es cierto que hay mucha gente malinterpretándolo.

    A ver, es evidente que si nos dejan pagar lo que queramos pagaremos lo menos posible. De hecho, ¿por qué no pagar 0 €? Así seguro que no perdemos…

    Señoras, señores, la cuestión sería qué cantidad de dinero máxima estaríais dispuestos a aceptar como cantidad a pagar para jugar, no qué cantidad eligiríais vosotros. Espero haberme explicado.

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  56. En mi opinión, el valor del juego es 3 euros, es decir, si pagas mas perderás dinero y si pagas menos ganarás. El enfoque correcto está en considerar la variable aleatoria “longitud del juego” y el valor de cada juego finito. Por cierto que son los únicos que existen, no existe un juego infinito (en ese caso el premio sería efectivamente infinito), todos acaban antes o después. El valor de un juego de longitud L es 1+L. La probabilidad de que el juego sea de longitud L es (1/2)**L. El valor medio es la esperanza de L, es decir la suma desde L=1 hasta infinito de (L+1)/(1/2**L) que es 3 (suma de series aritmético-geométricas).

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  57. Es cierto que el hecho de que la ganancia esperada sea infinita entorpece un poco nuestra capacidad de pensar con seguridad, sobre todo porque el que esta ganancia sea infinita depende de considerar un número infinito de tiradas.

    Pero me temo que la explicación de la paradoja no tiene nada que ver con el siempre perturbador infinito, ya que es muy fácil reformular las normas del juego de modo que la paradoja persista, pero la ganancia esperada sea un valor arbitrario tan alto como desee (sí, ya sé eso es precisamente “infinito”, pero se entiende mejor si se escribe así).

    Por ejemplo, podríamos añadir una regla que diga que el número máximo de tiradas será siempre x^4 + 10^6 siendo x la cantidad que decidamos pagar.

    Adiós infinito, hola paradoja.

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  58. No me había dado cuenta de que incluso cuando sale cruz al primer tiro, se ganan dos euros. Siendo así, me resulta que, si se juega, por ejemplo, 1000 veces, apostando 12 euros se tiene prácticamente la ganancia asegurada.

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  59. Voy a introducir un nuevo elemento que no creo haber leído en ninguno de los comentarios anteriores.
    Independientemente del aspecto exclusivamente matemático hay un componente psicológico que depende de este nuevo elemento: el número de veces que se permite jugar al candidato.
    Creo que si solo se me permite jugar una vez apostaría menos dinero que si me dejaran jugar tantas veces como quisiera.
    En una vez hay una alta probabilidad de que el juego termine a los pocos lanzamientos, sin embargo con un número largo de juegos es posible que aparezca una serie lo suficientemente larga como para hacerlo más rentable. Sé que matemáticamente las posibilidades reales de ganancia son las mismas pero psicológicamente el segundo caso “parece” más atractivo.
    Voy a ilustrarlo con un ejemplo que parece aclararlo mejor.
    Supongamos que el juego consiste en tirar una sola vez tres monedas y si sale alguna cruz gano lo apostado, pero si salen tres caras pierdo.
    Como tengo una probabilidad de 1/8 de perder (que es tangible) si solo puedo jugar una vez no apostaría demasiado, sin embargo, si puedo apostar pongamos veinte veces, creo que ganaría con más facilidad. Insisto en que matemáticamente el número de veces es indiferente. Esto creo que confirma el carácter paradógico del problema.

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  60. Si el número máximo de tiradas es L = x**4+10**6 entonces la esperanza es 1 + L y el valor por tanto no puede ser infinito. La paradoja si desaparece. El truco de este problema es que nos da un hábil cambiazo de prestidigitador. Nos pregunta por el valor esperado de una infinidad de juegos finitos y luego calcula el valor esperado de un juego infinito. Son cosas distintas. Además infinito no es un valor, es solo una forma de decir que no sabemos calcularlo porque la serie no converge. Y no todas las distribuciones tienen necesariamente una esperanza, en algunas no se puede calcular, no existe, pero siguen siendo distribuciones de probabilidad.
    Dicho de otra forma, te preguntan cuanto estarías dispuesto a jugar por UN solo juego pero todo el mundo se lo plantea como si pudiera jugar infinitas veces. Pero entonces no pagas por 1 juego, pagas eso cada vez que juegas y el pago se vuelve tan infinito como la esperanza y no los puedes comparar.
    Si lo planteas como UN único pago que te da derecho a jugar INFINITAS veces, entonces es correcto. El valor es tan alto como quieras, yo jugaría todo lo que pudiera a ese juego, es seguro que a la larga vas a ganar. Pero si tengo que pagar cada vez que juego es muy diferente.
    Si limitas el número de jugadas, el valor se vuelve calculable, no hay paradojas. Es verdad que cuando sube el límite L sube el valor, que es L+1, no hay misterios. La paradoja depende de que el juego sea infinito y de calcular la esperanza de la variable PAGO cuando la variable del experimento es JUEGO que tiene un valor mucho menor.
    Y reconozco que 3 ES MUY POCO, pero es que no me gustan los juegos de azar, yo me aburriría y pararía muy pronto 😉

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  61. No Andrés, con mi modificación, tanto el número de tiradas como la ganancia esperada es finita (pues claro, eso pretendí) pero siempre muy superior a lo que decidamos jugar. Por tanto, las matemáticas nos dicen que debemos jugar sea cual sea el precio. La paradoja es exactamente la misma.

    Ni siquiera hace falta este juego, si yo ofrezco un premio único de 2^120 euros (un trillón de trillones), a cualquiera que sea capaz de sacar 100 cruces seguidas, e impongo un precio por intentarlo de mil euros, nadie en su sano juicio jugará, sin embargo la ganancia esperada es más o menos de un millón de euros.

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  62. Sive, no deberíamos jugar a cualquier precio. Si la ganancia esperada es de 1 millón no deberíamos jugar más que eso. Si bajas el premio a algo creíble en euros (aunque 1 trillón de trillones sería muy creíble, incluso calderilla en dólares de Zimbawe de 2004 hacia 2010) y el precio del juego en proporción seguro que tendrías jugadores. Juegos como la primitiva dan una esperanza de 0,1 euros por euro jugado aproximadamente. Tu juego sería muy bueno, da una esperanza de 1000 euros por cada euro que juegas. Pero tu te arruinarías si lo juegas repetidamente. Si bajas el premio a algo razonable, como mil millones de euros o 2**30, jugar 1 euro por un premio de mil millones si sacas 20 cruces seguidas es un juego muy atractivo si lo puedes jugar repetidamente. O jugar un euro contra 1 millon con 10 cruces seguidas. La primitiva es mucho más difícil y la gente juega.
    Yo sigo pensando que aquí hay un cambiazo. El cálculo de probabilidades admite tres interpretaciones, hasta donde yo sé: como teoría de la medida, como verosimilitud subjetiva y como límite de frecuencias. Como límite de frecuencias no existen los juegos infinitos y como teoría de la medida no puedes calcular la esperanza matemática porque la suma no converge (en este caso). La mayor parte de las cosas funcionan igual en las tres interpretaciones y cuando no se pueden trasladar las llamamos paradojas, pero sólo son líos que nos hacemos por no formalizar que interpretación estamos usando y saltarnos los límites de cada una.
    En cualquier caso es un placer discutirlo 🙂

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  63. Andrés, en mi modificación, el número máximo de tiradas depende de la cantidad que deseemos jugar, concretamente, usando tu nomenclatura, L = x^4 + 10^6 siendo x la cantidad que juguemos.

    Lo hice así, claro, precisamente para que la ganancia esperada estuviera siempre muy por encima de la cantidad que decidamos jugar, por muy alta que sea.

    No importa que el número máximo de tiradas sea virtualmente inalcanzable a poco que apostemos, ni que no haya dinero en el mundo para pagar los premios más improbables. Mi objetivo con ese cambio era demostrar que la paradoja no se sostenía en nuestras limitaciones con los razonamientos no finitistas.

    Feliz (2 \cdot 3 + 0 + 1)! - 2 \cdot 10^3 - 2^{10} - 3 a todos.

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  64. En teoría a un juego con esperanza positiva hay que jugar siempre, y este juego tiene esperanza positiva sea cuál sea la inversión inicial. Por lo tanto, es racional pagar 2^20 euros(aprox. un millón)? Parece que no y entiendo que ésta es la paradoja. La probabilidad de ganar dinero jugándote un millón es aprox. 1 entre 500.000. ¿Cuántas veces puede un individuo -sin capital infinito- jugar? En casi todas ellas perderá aunque la vez que gane pueda ganar mucho. Jarfil ha visto que el promedio de euros que se ganan aumenta con el número de muestras -por la aparición de las jugosas colas altamente improbables- pero lo hace MUY despacio. Planteémonos el suiguiente problema, ¿dada una inversión inicial de 2^k, si juego 2 veces, cuál es la probabilidad de que obtenga del juego más de 2^(k+1) euros? ¿Y si juego 2^t veces, la probabilidad de obtener más de 2^(k+t) euros? La probabilidad tiende a 1 en función de t pero para valores relativamente bajos de k el número de veces 2^t que hay que jugar ya es absurdamente alto. Pues bien, yo no tengo 2^(k+t) euros para invertir.

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  65. Después de ver el comentario de Sive sobre la esperanza truncada -sí, serían 61 euros- yo ofrecería el juego por 100€. En caso de que en algún momento vaya a perder dinero -como banca- desaparezco con el dinero ya conseguido o me pago un buen abogado que deshaga el contrato. Pregunta: ¿cúantas veces puedo esperar jugar antes de que eso ocurra?

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  66. Con “perder” no me refiero a perder en un juego -respuesta evidente- sino a perder en el acumulado de juegos.

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  67. Me ha encantado esta entrada, aunque después de 71 comentarios ya es dificil decir algo.

    Sin embargo me ha sorprendido un par de cosas:

    1. No se como se ha podido producir esa confusión entre pagar un máximo o un mínimo y cuántas veces se puede participar. Creo que no debe haber ninguna duda: Suponed que existe esa apuesta en algún sitio… ¿hasta que precio de apuesta estarías dispuesto a pagar? suponed que es real, en serio, ¿cuánto pondríais? Creo que muy pocos han cuantificado la pregunta, creo que alguno dijo que apostaría 2€, y alguno incluso 4€, pero a aparte de mucha “matemática y palabrería” pocos se han mojado de verdad.

    2. Creo que volvemos al sempiterno infinito. Como en alguna otra ocasión ya me “quejé” el infinito no es un número y por tanto, el no hay una media infinita. Este problema no tiene una esperanza definida. ¿Dónde está el valor medio del conjunto de los números naturales, por ejemplo?
    La verdadera paradoja es que la moda y la mediana del problema estén junto al 2 y la esperanza no exista, pues siempre puede ser mayor.

    Es cierto que la paradoja permanece aún cuando como dice Sive, se corta a partir de algún número. Pero la ecuación de Sive metiendo el número de tiradas en la ecuación me parece trampa y desvirtúa el problema. Aunque entiendo que lo que quería era mostrar que no importa lo grande que podamos elegir el número de tiradas o la apuesta sigue apareciendo la paradoja.

    Realmente la paradoja es que la esperanza de cobrar INFINITO consiste en no cobrar NUNCA, es decir que siempre salga cruz eternamente. Si sale en algún momento cara cobraría una cantidad FINITA y por tanto siempre por debajo de la esperanza.

    Creo que lo suyo es estudiarlo como alguien comentó por ahí: hay que analizar que presupuesto tenemos para poder apostar continuamente con la confianza de no quedarnos en bancarrota y no poder seguir apostando. En ese sentido yo estudiaría la posible distribución de resultados y miraría intervalos de confianza. Pero eso ya para otro dia.

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  68. me uno a la pregunta que pasaria si  1+1+1+1+1+1+1+1+1+..= \zeta (0)=-1/2 y finalmente nos sale esperanza negativa ??

    pr otro lado si necesitas INFINITO dinero para ganar INFINITO dinero no merece la pena 🙂 para eso me quedo con mi infinito dinero en particular… ahora si hay un tope que puedes meter y es finito, digamos 10000 euros estoy dispuesto a jugar si la ganancia es superior a lo que ingresas..

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  69. La verdad no entiendo este juego.
    Si han tirado n veces una moneda y en esa n-ésima vez salió cruz, ¿me pagan hasta la tirada n-1? ¿o pierdo todo?.
    Además, si me pagan hasta la n-1 tirada, ¿me pagan sumando todas las veces que salió cara, o sólo por el último tiro?. En la primera versión del pago sería la sumatoria de una sucesión geométrica: \sum_{k=0}^{n-1} 2^k = 2^n-1. En la segunda versión sólo cobraría 2^{n-1}.
    En la variante me pagan hata la n-1 tirada, no importa lo que yo juegue, igual me van a pagar. Y puestas así las cosas, les doy 2$ para iniciar el juego, y eso porque soy bueno, porque igual podría haberles dado, un centavo de pesos, si ellos no me ponen tope.
    La paradoja se crea al preguntarme ¿cuánto estarías dispuesto a pagar si sabes que tenés una esperanza infinita de ganar? en un juego que sólo podés perder si la cruz sale en la primer tirada.
    Ahora, si al salir cruz no me pagan nada, ni siquiera lo anterior, entonces ahí la cosa se complica, porque puedo perder en cualquier momento, y aunque el juego siga al infinito, tampoco cobrare nada, porque como se menciono más arriba, mientras el juego sigue no cobro.

    Se podría hacer más real el juego, si ponemos la condición de tener que pagar una cantidad fija puesta al inicio del juego. Digamos que por cada tirada voy a pagar 2$, entonces en n-1 tiradas pagaré $2(n-1), con el riesgo de perderlo todo si en la n tirada sale cruz.

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  70. Hablando de negocios y leyes, si una persona jurídica de patrimonio K, 100% líquida y sin deudas te ofrece jugar este juego entonces Lo máximo que te podría pagar es K y el resto no sería exigible dado que estaría en quiebra.
    Entonces por ejemplo si K=2^{20}, el costo de cada juego es 10 y las ganancias son 2 elevado al número de caras seguidas menos 1 el valor esperado sería aproximadamente de -5 en la primera jugada (en la segunda cambia porque el patrimonio también cambia).
    Entonces como existen recursos limitados en la tierra no existe situación donde siempre el valor esperado sea infinito, esa situación solo se da en la teoría por lo que jugaría este juego evaluando la capacidad de pago de quien me ofrece jugar (considerando liquidez, valor de la empresa, patrimonio, deudores, entre otras variables).

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  71. En realidad hay una solución a este problema utilizando el Reductio ad Absurdum, es dicir, suponiendo que esto sea una paradoja demostrar que hay una contradicción para, luego, concluír que realmente no es una paradoja (o “paradoja” con solución). A por ello:

    Si llamamos n a número de tiradas hasta salir cruz (que también se incluye). En consecuencia, ganaríamos 2^n. En este caso no nos interesa la esperanza matemática, ya que sería sumar tantos unos (que se obtienen como dijo este mismo blogger) como en número de tiradas, es dicir, 1 por n que va ir siendo el mismo n. Vamos a verlo mejor:

    (1) n=1 ; ganaríamos: 2^1=2€
    (2) n=2 ; ganaríamos: 2^2=4€
    (3) n=3 ; ganaríamos: 2^3=8€

    Como dijimos antes (para tener esto más esquematizado):

    (4) n ; ganaríamos: 2^n

    Ahora, n∈N (natural) al ser el número de tiradas, con que sería un número contable. El dinero que ganaríamos, al ser una una potencia de base un número natural elevado a un número natural, también sería contable.

    Así como n es contable, en el infinito también sería contable, o que es lo mismo, ℵ_0 (alef-0). Aplicando lo anterior:

    (5) n=ℵ_0; ganaríamos 2^ℵ_0

    Nos atopamos ante la expresión 2^ℵ_0, que representa exactamente P(N), que tiene la propiedad de:

    |N|<|P(N)|; cuyo |A| se lee: "la cardinal del conjunto A".

    O que es lo mismo:

    ℵ_0<2^ℵ_0

    Así que la 2^ℵ_0 corresponde a un infinito mayor que ℵ_0, es dicir, un infinito no numerable. Pero dijimos que la cantidad de ganaríamos es contable para cualquier n contable, y como demostré que en ℵ_0 (que es contable) ganaríamos una cantidad incontable de dinero, entonces llegamos a una contradicción suponiendo que esto fuera una paradoja sin soluciones.

    Por lo tanto, he resuelto la paradoja.

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  72. Aclaración: decir que hay una cantidad de dinero incontable contradice el mismo concepto de dinero. Sería absurdo que existiera billetes y monedas que representa una cierta cantidad si la cantidad misma de dinero fuera incontable a sabiendas que el dinero está compuesta de monedas y billetes (o por algo que represente que, evidentemente, sería una cantidad contable).

    Además que la esperanza matemática sería ℵ_0, que es contable. Ahí viene otra contradicción: como aclaré que el dinero es contable es absurdo tener una esperanza matemática contable a sabiendas de que ganas realmente una cantidad incontable a la cual ni existe económicamente. Por eso mismo, decir que haya alguna esperanza matemática es absurdo.

    Y por eso lo mejor es ni siquiera participar o participar gratuitamente, ya que esperas una cantidad al que ni siquiera existe. Por eso explica que la gente no va a arriesgar su dinero a pesar de que su esperanza sea infinita. ¿Sería esto la más razonable?

    De hecho, utilizando el razonamiento nprados, sería mucho más razonable jugar y pedir el oponente que no tire (ya que ganarías 2^0=1€) y así infinitas veces. XD

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