Comments on: Evaluemos la integral http://gaussianos.com/evaluemos-la-integral/ Porque todo tiende a infinito... Fri, 10 Feb 2012 21:24:04 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 By: Américo Tavares http://gaussianos.com/evaluemos-la-integral/#comment-11195 Américo Tavares Sat, 06 Mar 2010 19:57:28 +0000 http://gaussianos.com/?p=1420#comment-11195 <strong><a href="http://problemasteoremas.wordpress.com/2010/03/06/problema-do-mes-problem-of-the-month-4/" rel="nofollow">Problema</a></strong>: Prove ou infirme: $latex \pi =\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos x-\cos 3x}{x^{2}}dx$ Problema: Prove ou infirme: \pi =\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos x-\cos 3x}{x^{2}}dx

]]> By: Américo Tavares http://gaussianos.com/evaluemos-la-integral/#comment-11194 Américo Tavares Thu, 04 Mar 2010 12:19:34 +0000 http://gaussianos.com/?p=1420#comment-11194 josejuan Muito obrigado pela sua resposta. A minha dúvida estava relacionada com os gráficos das duas funções integrandas que são muito diferentes. Você exprimiu o integral em termos do Seno Integral. - - - <i>Meus cálculos auxiliares</i> (<i>para explicitar os limites que indica</i>): 1. $latex \left. \dfrac{2x\func{Si}\left( 2x\right) +\cos \left( 2x\right) -1}{2x}\right\vert _{0}^{\infty }$ $latex =\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\dfrac{2x\func{Si}\left( 2x\right) +\cos \left( 2x\right) -1}{2x}-\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{2x\func{Si}\left( 2x\right) +\cos \left( 2x\right) -1}{2x}$ $latex =\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\dfrac{2x\func{Si}\left( 2x\right) }{2x}+\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\dfrac{\cos \left( 2x\right) }{2x}-\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\dfrac{1}{2x}$ $latex -\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{2x\func{Si}\left( 2x\right) }{2x}-\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{\cos \left( 2x\right) }{2x}+\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{1}{2x}$ $latex =\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\func{Si}\left( 2x\right) +0-0-\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\func{Si}\left( 2x\right) -0+0$ $latex =\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\func{Si}\left( 2x\right) -\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\func{Si}\left( 2x\right) $ 2. $latex \left. \func{Si}\left( x\right) \right\vert _{0}^{\infty }=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\func{Si}\left( x\right) -\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\func{Si}\left( x\right) $ 3. $latex \underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\func{Si}\left( 2x\right) =\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\func{Si}\left( x\right) $ $latex \underset{x\rightarrow 0}{\lim }\func{Si}\left( x\right) =\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\func{Si}\left( x\right) $ 4. Efectivamente $latex \left. \dfrac{2x\func{Si}\left( 2x\right) +\cos \left( 2x\right) -1}{2x}\right\vert _{0}^{\infty }=\left. \func{Si}\left( x\right) \right\vert_{0}^{\infty }$ - - - O primeiro integral pode ser calculado pelo método dos resíduos e o segundo pela transformada de Laplace. Eu publiquei, na última entrada do meu blog, o segundo, que foi calculado por um leitor meu pelas transformadas de Laplace. Quanto ao primeiro, vi em dois livros diferentes de Análise Complexa a aplicação do método/técnica dos resíduos das funções complexas a este integral real. josejuan

Muito obrigado pela sua resposta.

A minha dúvida estava relacionada com os gráficos das duas funções integrandas que são muito diferentes.

Você exprimiu o integral em termos do Seno Integral.

- – -

Meus cálculos auxiliares (para explicitar os limites que indica):

1.

\left. \dfrac{2x\func{Si}\left( 2x\right) +\cos \left( 2x\right) -1}{2x}\right\vert _{0}^{\infty }

=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\dfrac{2x\func{Si}\left( 2x\right) +\cos \left( 2x\right) -1}{2x}-\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{2x\func{Si}\left( 2x\right) +\cos \left( 2x\right) -1}{2x}

=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\dfrac{2x\func{Si}\left( 2x\right) }{2x}+\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\dfrac{\cos \left( 2x\right) }{2x}-\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\dfrac{1}{2x}
-\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{2x\func{Si}\left( 2x\right) }{2x}-\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{\cos \left( 2x\right) }{2x}+\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{1}{2x}

=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\func{Si}\left( 2x\right) +0-0-\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\func{Si}\left( 2x\right) -0+0

=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\func{Si}\left( 2x\right) -\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\func{Si}\left( 2x\right)

2.

\left. \func{Si}\left( x\right) \right\vert _{0}^{\infty }=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\func{Si}\left( x\right) -\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\func{Si}\left( x\right)

3.

\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\func{Si}\left( 2x\right) =\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\func{Si}\left( x\right)

\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\func{Si}\left( x\right) =\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\func{Si}\left( x\right)

4.

Efectivamente

\left. \dfrac{2x\func{Si}\left( 2x\right) +\cos \left( 2x\right) -1}{2x}\right\vert _{0}^{\infty }=\left. \func{Si}\left( x\right) \right\vert_{0}^{\infty }

- – -

O primeiro integral pode ser calculado pelo método dos resíduos e o segundo pela transformada de Laplace.

Eu publiquei, na última entrada do meu blog, o segundo, que foi calculado por um leitor meu pelas transformadas de Laplace. Quanto ao primeiro, vi em dois livros diferentes de Análise Complexa a aplicação do método/técnica dos resíduos das funções complexas a este integral real.

]]> By: josejuan http://gaussianos.com/evaluemos-la-integral/#comment-11193 josejuan Thu, 04 Mar 2010 08:35:26 +0000 http://gaussianos.com/?p=1420#comment-11193 Américo Tavares, es por el límite al infinito, la primera integral (indefinida) queda como $latex \func{Si}\left( x\right) $ mientras que la segunda queda como $latex \frac{2x\func{Si}(2x)+\cos (2x)-1}{2x}$ al evaluar tanto en cero como en +inf dan lo mismo. No se si es eso lo que preguntas (si no es así, tu pregunta es ambigua). Américo Tavares, es por el límite al infinito, la primera integral (indefinida) queda como

\func{Si}\left( x\right)

mientras que la segunda queda como

\frac{2x\func{Si}(2x)+\cos (2x)-1}{2x}

al evaluar tanto en cero como en +inf dan lo mismo.

No se si es eso lo que preguntas (si no es así, tu pregunta es ambigua).

]]> By: Américo Tavares http://gaussianos.com/evaluemos-la-integral/#comment-11192 Américo Tavares Wed, 03 Mar 2010 23:29:35 +0000 http://gaussianos.com/?p=1420#comment-11192 Alguém me sabe explicar porque é que estes dois integrais dão o mesmo resultado? $latex \displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin x}{x}dx=\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}x}{x^{2}}dx=\dfrac{\pi }{2}$ Alguém me sabe explicar porque é que estes dois integrais dão o mesmo resultado?

\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin x}{x}dx=\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}x}{x^{2}}dx=\dfrac{\pi }{2}

]]> By: jbm http://gaussianos.com/evaluemos-la-integral/#comment-11191 jbm Tue, 07 Jul 2009 19:22:15 +0000 http://gaussianos.com/?p=1420#comment-11191 Fantástico. Acabo de aprender la potencia de derivar bajo el signo de la integral. Gracias. $latex G(t)=\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{\arctan(t\tan(x)}{\tan(x)}dx}$ Fantástico. Acabo de aprender la potencia de derivar bajo el signo de la integral. Gracias.

G(t)=\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{\arctan(t\tan(x)}{\tan(x)}dx}

]]> By: gaussianos http://gaussianos.com/evaluemos-la-integral/#comment-11190 gaussianos Sun, 28 Jun 2009 15:28:36 +0000 http://gaussianos.com/?p=1420#comment-11190 Saqué el problema del link que ha puesto <strong>Americo</strong>, es decir, esa era mi propuesta :). Saqué el problema del link que ha puesto Americo, es decir, esa era mi propuesta :) .

]]> By: Emmanuel http://gaussianos.com/evaluemos-la-integral/#comment-11189 Emmanuel Sun, 28 Jun 2009 03:51:29 +0000 http://gaussianos.com/?p=1420#comment-11189 ahora k ya vimos una manera de resolverlo con el link de americo cual era tu propuesta de solucion ^DiAmOnD^ ? :O ahora k ya vimos una manera de resolverlo con el link
de americo
cual era tu propuesta de solucion ^DiAmOnD^
? :O

]]> By: Américo Tavares http://gaussianos.com/evaluemos-la-integral/#comment-11188 Américo Tavares Thu, 25 Jun 2009 23:14:51 +0000 http://gaussianos.com/?p=1420#comment-11188 Só para informar que o método de frikis4ever | 24 de Junio de 2009 | 11:29 é essencialmente o indicado no Exemplo 3.3 <a href="http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Mathematics/18-304Spring-2006/80FAFE90-0273-499D-B3D6-EDECAFE3968D/0/integratnfeynman.pdf" rel="nofollow">INTEGRATION: THE FEYNMAN WAY</a> por um Anónimo. Tomei conhecimento deste método no blog "topologicalmusings", onde comentei, em Dezembro 5, 2008 ( http://topologicalmusings.wordpress.com/2008/10/12/solution-to-pow-10-another-hard-integral/#comment-640 ) Só para informar que o método de frikis4ever | 24 de Junio de 2009 | 11:29 é essencialmente o indicado no Exemplo 3.3 INTEGRATION: THE FEYNMAN WAY por um Anónimo. Tomei conhecimento deste método no blog “topologicalmusings”, onde comentei, em Dezembro 5, 2008

( http://topologicalmusings.wordpress.com/2008/10/12/solution-to-pow-10-another-hard-integral/#comment-640 )

]]> By: carlos torres http://gaussianos.com/evaluemos-la-integral/#comment-11187 carlos torres Thu, 25 Jun 2009 19:13:31 +0000 http://gaussianos.com/?p=1420#comment-11187 Excelente frikis4ever Excelente frikis4ever

]]> By: M http://gaussianos.com/evaluemos-la-integral/#comment-11186 M Wed, 24 Jun 2009 15:31:36 +0000 http://gaussianos.com/?p=1420#comment-11186 jejeje, muy buena, frikis4ever (me río por la simpleza con respecto a la demostración que dí más arriba). jejeje, muy buena, frikis4ever (me río por la simpleza con respecto a la demostración que dí más arriba).

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