¿Existen poliedros cuyas caras sean todas distintas?

Vamos a realizar un pequeño “experimento”. Echa un vistazo por tu casa, ahora mismo si quieres, y busca una caja que tenga todas sus caras distintas. No, no te vale una caja de zapatos, ya que sus caras son (habitualmente) iguales por parejas. ¿Encuentras alguna?

Posiblemente no, ya que normalmente las cajas que tenemos a mano suelen tener todas forma de cuboide (la de zapatos). Aunque bueno, puede que alguno de vosotros tenga por ahí alguna con una forma extraña que nos pueda servir como ejemplo de caja con todas sus caras distintas, ya que en realidad sí pueden encontrarse cajas con esta característica. Por ejemplo, podemos tomar un cuboide y cortarle un trocito de la siguiente forma:

Evidentemente, cuando hablamos de “caja” en este contexto queremos decir poliedro (es decir, una figura geométrica en tres dimensiones cuyas caras son planas (polígonos) y el volumen interior es finito) convexo (es decir, que cumple que todo segmento que une dos puntos del poliedro está contenido en el interior del propio poliedro). Pero en lo relativo a que sus caras sean todas distintas vamos a afinar un poco más. Hemos visto que hay poliedros que tienen todas sus caras distintas, pero ¿habrá poliedros cuyas caras sean todas polígonos con un número distinto de lados? Es decir, buscamos un poliedro donde no se repita ningún polígono en lo que a número de lados se refiere: que no haya dos o más triángulos, ni dos o más pentágonos, etc. ¿Podremos encontrar ahora algún poliedro con esta característica?

Antes de responder intentad que no os influya la idea de regularidad poliédrica que solemos tener en la cabeza (lo que comenté antes de que habitualmente las cajas que tenemos cerca son esencialmente iguales) y pensad en la tremenda variedad que podemos encontrar en el mundo de los poliedros, y también en la barbaridad de polígonos que pueden hacer de cara de un poliedro…

…¿lo habéis pensado ya? Bien, pues ahí va la respuesta: no se puede encontrar ningún poliedro cuyas caras sean todas polígonos con números distintos de lados. ¿Os lo creéis? ¿Así, sin más? ¿Tan fácil ha sido? Hombre, quizás sería necesaria una demostración, ¿verdad? Bien, pues vamos a ver una que aparece en el libro Mapas del metro y redes neuronales, de Claudi Alsina.

Supongamos que tenemos un poliedro convexo P que tiene un número de caras igual a C. Vamos a llamar R a la cantidad de números naturales i para los cuales el poliedro P tiene al menos una cara con i aristas. Por ejemplo, un cubo tiene R=1, ya que solamente hay un número natural para el cual el cubo tiene caras con esa cantidad de aristas: el 4. Y llamemos ahora K al número de aristas que tiene la cara de P con más aristas. En el cubo tendremos que K=4, ya que ésa es la mayor cantidad de aristas que tiene una cara de un cubo.


Veamos otro ejemplo para aclarar un poco más el asunto. Si P es el prisma de base hexagonal que podemos ver a la derecha, se tiene que R=2, ya que hay dos números naturales para los cuales este prisma tiene al menos una cara con esas cantidades de aristas: el 4 y el 6. Por otro lado, K=6 en este prisma, que es el mayor número de aristas que tiene una cara del mismo.

Bien, aclarado esto vamos a jugar un poco con estos números. Evidentemente P tiene al menos una cara con K aristas (ya que K era el número máximo de aristas que tenía una cara de P). Pero cada arista de dicha cara es también arista de otra cara de P, lo que nos da K caras más. Por tanto, el número de caras de P es, al menos, K+1 (la que tiene K aristas más las K caras correspondientes a dichas aristas). Con esto llegamos a la primera expresión interesante:

C \geq K+1

Por otra parte, las caras de P podrán tener 3 aristas (no pueden tener menos, no serían polígonos), ó 4 aristas, ó 5,…,ó K (que era el número máximo de aristas de una cara de P). Si todas las caras tuvieran un número distinto de lados, todos esos números serían alguno del conjunto \{3,4,5, \ldots ,K \}, conjunto en el que hay K-2 números. Pero hemos dicho antes que R es la cantidad de números i para los cuales hay una cara con i aristas. Por tanto R no puede ser mayor que K-2. Y esto nos da una segunda relación

R \leq K-2

que vamos a escribir así:

K \geq R+2

Ya casi hemos terminado. Tenemos estas dos relaciones:

\begin{matrix} C \geq K+1 \\ K \geq R+2 \end{matrix}

De ellas obtenemos lo siguiente:

C \geq K+1 \geq R+2+1=R+3

Es decir, debe ser C \geq R+3.

Pero, y aquí está la clave, pensemos en cómo sería todo esto si nuestro poliedro inicial tuviera todas sus caras con un número distinto de lados. Hemos dicho que C es su número de caras y que R es la cantidad de “números de lados distintos”, es decir, de nuevo el número de caras (recordemos que estamos suponiendo que todas las caras tienen números de lados distintos). Esto significa que en un poliedro como el nuestro debería ser C=R, expresión que entra en contradicción con la obtenida hace unos instantes, C \geq R+3.

La conclusión de todo esto es que, como comentamos antes, no hay poliedros convexos en los que todas sus caras tengan un número distinto de lados. Por tanto, señores virtuosos de la papiroflexia, ni os molestéis en intentar construir una caja tan rara porque no podréis. Parece que por mucho “desorden” que tenga un poliedro en lo referido al número de lados de sus caras, este “desorden” nunca será “completo”, hecho que, por otra parte, seguro que más de uno considera inquietante…


Este post se publicó inicialmente en Naukas, donde lo podéis ver en ¿Se puede construir una caja que tenga todas sus caras distintas?.

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8 comentarios

  1. Trackback | 25 oct, 2012

    Bitacoras.com

  2. Trackback | 25 oct, 2012

    ¿Existen poliedros cuyas caras sean todas distintas?

  3. Sive | 26 de octubre de 2012 | 12:21

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    La verdad es que de entrada sorprende un poco el resultado.

    Pero la demostración sirve igual para todos los poliedros, no sólo para los convexos ¿no?.

  4. gaussianos | 26 de octubre de 2012 | 14:38

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    Llevo pensando en ello desde que en Naukas dejaron un comentario preguntándolo…y no, no se me ocurre ahora mismo ninguna razón por la que no valga para uno no convexo…aunque igual se nos está pasando algo.

  5. JJGJJG | 26 de octubre de 2012 | 14:43

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    O no he entendido bien el planteamiento o la imposibilidad está en el propio enunciado.
    Si hubiera un poliedro solución bastaría con fijarse en la cara con mayor numero de lados. Supongamos que son k lados.
    Esta cara estará unida a otra por cada una de sus aristas, es decir, tendrá k caras adyacentes. Esto quiere decir que el poliedro tiene k caras con menos de k lados, y k números enteros menores que k incluyen el 2, ell 1 y el 0 que no son lados válidos para la cara de un poliedro.

  6. gaussianos | 26 de octubre de 2012 | 16:41

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    JJGJJG, básicamente ésa es la idea de la demostración del post, aunque tengo que reconocer que tu razonamiento está expresado de manera mucho más simple. Enhorabuena :).

    Por cierto, sigo sin encontrar ninguna razón que obligue a que el poliedro sea convexo. ¿Alguien ve alguna?

  7. M | 26 de octubre de 2012 | 18:38

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    Muy buena, JJGJJG :D

  8. Willy | 26 de octubre de 2012 | 21:00

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    Mira que es curioso el mundo. Este mismo problema salió en la fase catalana para la Olimpiada Española de Matemáticas del curso 2008-2009. Evidentemente no lo hice…

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