Explicación del teorema de Poincaré-Perelman

En el mundillo matemático se ha hablado mucho sobre la conjetura de Poincaré desde que Grigori Perelman publicara sus trabajos sobre la demostración de la misma en el arXiv. Y en los últimos tiempos la noticia sobre la validez de la demostración y la concesión (y posterior rechazo) de la medalla Fields por parte de Perelman ha circulado por todos los medios de comunicación (prensa, televisión, internet…).Nosotros mismos hablábamos de la concesión de la medalla Fields en este post y del rechazo del premio en este otro. Pero a pesar de toda esta información y de la relevancia que ha adquirido este tema en todos los ámbitos lo que he echado en falta es una explicación más o menos clara sobre qué es lo que dice este (ya) teorema que pueda ser comprensible para la gente que no esté muy en contacto con las Matemáticas a un cierto nivel. En casi todos los sitios donde he visto reseñas sobre la noticia se limitan a comentar el enunciado del resultado propuesto por Poincaré sin preocuparse de explicarlo. Y eso es lo que voy a intentar hacer ahora.

Para comenzar vamos a dar un enunciado más o menos formal del resultado propuesto por Poincaré:

Toda 3-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a S3

Este enunciado se generalizó más adelante a dimensión n:

Toda n-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a Sn

Los casos n = 1 y n = 2 son sencillos de comprobar. Los casos n > 3 también estaban demostrados (si no me equivoco e demostró de una sola vez para n > 6 y de forma independiente para n = 4, n = 5 y n = 6). Sólo faltaba el caso n = 3, que parecía resistirse.

Una persona que no esté muy familiarizada con la Topología lee este enunciado y se queda igual que estaba (o mucho peor al darse cuenta de que no entiende nada de lo que dice el enunciado). Lo que voy a intentar es explicarlo lo más claramente posible:

  • Variedad: Es una generalización de curva y superficie a espacios de mayor dimensión. Una curva en el plano R2 (recta, parábola…) es una 1- variedad, una superficie en R3 (esfera, cilindro…) es una 2-variedad, y así sucesivamente. Por tanto, una 3-variedad es una objeto matemático de R4 (sí, un espacio de 4 dimensiones). Un apunte: en todos los casos se toman los bordes de la figura. Por ejemplo, cuando hablemos de la esfera estaremos considerando la superficie exterior, es decir, la parte interior no cuenta. No es una esfera maciza, es simplemente la parte externa.
  • Compacto: Cerrado y acotado. Las definiciones matemáticas de estos dos conceptos no nos hacen falta, nos podemos quedar con las definiciones intuitivas que todo el mundo tiene.
  • Simplemente conexo: Para el caso que nos ocupa nos podemos quedar con que esto significa que la variedad en cuestión no tiene agujeros. Un ejemplo para entender mejor esto: la 2-variedad S2 (la esfera tal y como todos la conocemos) es simplemente conexa, pero la 2-variedad T (un toro) no lo es, ya que tiene un agujero en medio.
  • Homeomorfo: La definición de homeomorfismo necesita de ciertos conocimientos matemáticos que mucha gente no tiene y que además no son importantes para el objetivo que perseguimos. Básicamente se dice que dos n-variedades son homeomorfas si son topológicamente iguales, es decir, si al estudiar ciertas propiedades en cada una de ellas resultan coincidir. Geométricamente podríamos decir que deformando una sin romperla podemos llegar a la otra. Por ejemplo, una circunferencia y una elipse (1-variedades) son homeomorfas, ya que puedo deformar cada una de ellas (sin romperlas) y transformarlas en la otra.

Y ahora vamos a intentar explicarlo geométricamente. El resultado quiere decir más o menos algo así (lo haremos con 2-variedades, es decir, figuras en 3 dimensiones, ya que éstas sí las podemos ver con facilidad):

Tenemos una esfera:

Supongamos que cogemos una cuerda, rodeamos la esfera con ella (por ejemplo por el ecuador de la misma, aunque podría ser por cualquier otro sitio) y le hacemos un nudo corredizo. Ahora tiramos del extremo de la cuerda. ¿Qué pasa?. Pues que la cuerda deslizará por la superficie y poco a poco la circunferencia que formaba al principio se hará cada vez más pequeña hasta que en la parte superior o inferior de la esfera será como un punto. Y esto pasa con cualquier curva cerrada situada en cualquier parte de la esfera. Esto es a grandes rasgos el significado de simplemente conexo.

Intentemos hacer lo mismo con un toro, 2-variedad que no es simplemente conexa:

Supongamos que situamos la cuerda rodeando el toro en perpendicular a la figura. Si tiráramos de ella no pasaría lo mismo que en el caso anterior, seguiría siendo de la misma forma y del mismo tamaño, y lo mismo ocurriría si moviéramos la cuerda alrededor del toro.

Si rodeamos el toro en paralelo a la figura y tiramos de la cuerda sí conseguiremos deformarla, pero debido al agujero que el toro tiene en medio no podremos conseguir que la cuerda llegue a ser un punto, como en el caso anterior. Cuando llegáramos al borde interno no podríamos seguir. De esta forma podemos ver que efectivamente el toro es una 2-variedad que no es simplemente conexa.

Al estar demostrada la generalización de la conjetura para n = 2 lo expuesto anteriormente nos dice que las 2-variedades esfera y toro no son homeomorfas. Es decir, que de las propiedades topológicas de una de ellas no podemos sacar información de las propiedades topológicas de la otra, debemos estudiar cada 2-variedad por separado.

Sin embargo, si por ejemplo tomamos un elipsoide

podemos ver que el experimento de la cuerda nos da los mismos resultados que los obtenidos con la esfera. Al ser también el elipsoide una 2-variedad compacta tenemos, por el (en este caso sí) teorema de Poincaré que la esfera S2 y el elipsoide son homeomorfos. Esto también se puede ver intuitivamente en este caso, ya que por ejemplo podemos deformar el elipsoide (sin romperlo) y convertirlo en una esfera.

Esto es lo que ocurre con 2-variedades. Aunque el estudio de las 3-variedades no se puede realizar igual geométricamente creo que la explicación anterior puede servir para que todo el mundo entienda de manera intuitiva el enunciado del teorema.

Y para terminar un apunte más: ¿Por qué puede ser importante un resultado así?. Pues muy sencillo. Un homeomorfismo es una cosa muy gorda. Decir que dos cosas son homeomorfas es decir que, como dije antes, son topológicamente iguales, es decir, que comparten muchas propiedades topológicas. Si el resultado es cierto comprobando que una 3-variedad es compacta y simplemente conexa sabremos muchísimas más cosas de ella, ya que las propiedades topológicas de S3 son conocidas, y al ser homeomorfas la otra 3-variedad hereda todas ellas. A simple vista puede parecer sencillo, ya que es normal pensar solamente en 3 dimensiones, es decir, en 2-variedades y en sus representaciones gráficas. El problema viene cuando queremos estudiar cosas que no podemos ver ni representar gráficamente. En estos casos si necesitamos sacar información sobre un cierto objeto y tenemos teoremas como éste el trabajo necesario para ello se reduce bastante. Además este tipo de resultados ayudan a clasificar los objetos. Ahora podemos decir que topológicamente hablando sólo hay una 3-variedad compacta y simplemente conexa: la 3-esfera S3, ya que cualquier otra 3-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a ella.

Y aquí acaba este post. Espero que os haya ayudado a comprender un poquito mejor este tema de la conjetura de Poincaré. De todas formas si hay alguna duda, observáis algún error o queréis hacer algún apunte no os cortéis y hacedlo en los comentarios.

P.D.: En menéame dan un detalle que se me olvidó poner: en realidad lo que Perelman ha demostrado no es la conjetura de Poincaré, sino un resultado más general del cual la conjetura es un caso particular: la conjetura de geometrización de Thurston (que supongo que ahora pasará a llamarse teorema de Thurston-Perelman), propuesta por William Thurston, medalla Fields en 1982. Gracias jorginius.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

30 Comentarios

  1. Teorema de Poincaré – Perelman para dummies

    Después de un tiempo escuchando el nombre de Grigori Perelman y de cómo ha rechazado la medalla Fields, ésta web nos ofrece algo nuevo: una explicación bastante entendible del teorema que le ha hecho merecedor de tan distinguido premio.

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  2. Enhorabuena por la explicación. Creo que, en este caso, no se puede decir más con menos. Meneado y saludos.

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  3. Genial, ya era hora de que alguien nos lo explicara fácilmente jejeje.

    Por cierto, ¿¿la definición de “simplemente conexo” es la misma que la de “conexo”??:

    SCR^n es conexo si NO existen A1, A2 abiertos tales que:
    1) C1 = A1 ∩ S ≠ ∅
    C2 = A2 ∩ S ≠ ∅
    2) C1 ∩ C2 ≠ ∅
    3) C1 U C2 = S

    ¿Se refiere a Conexión por arcos? ¿Es otro tipo? :S

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    • No es la misma,
      X espacio topológico es simplemente conexo (“sin agujeros”) si cualquier subespacio topológico homeomorfo a S^1 (la circumferencia, o cualquier camino cerrado dado por una aplicación continua de un subintervalo de R a X) se puede contraer (existe aplicación continua de X a X) a un punto (la aplicación envía toda la S^1 a un elemento x de X).

      El toro es conexo pero no simplemente conexo.

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  4. Según Tio Petros te ha faltado decir que es Orientable (creo)

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  5. No, no hace falta pedir orientable, ya que una variedad de dimension 3 simplemente conexa lo es automaticamente.

    Simplemente conexo no es lo mismo que conexo. Significa esencialmente que toda circunferencia dibujada en el espacio en cuestion puede ser deformada en un punto sin romperla.

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  6. mimetist ya ten han solucionado la duda. Miguel Bermudez lo ha explicado perfectamente.

    Para que veas que simplemente conexo no es lo mismo que conexo vale echar un ojo a la esfera y el toro en R3. La esfera es conexa y simplemente conexa. El toro es conexo pero no es simplemente conexo.

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  7. Había intentado hacerme una idea de lo que significaba la maldita conjetura/teorema de Poincaré, y por fin lo he conseguido.

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  8. Claro, por eso me surgió la duda en el aspecto de la conexión… veía que el toro era conexo y por eso me etrañaba esa parte.

    Aún no he visto nada sobre los conjuntos simplemente conexos pero esta pequeña introducción me va a servir para que en cuanto acabe los exámenes me ponga con ellos :)

    Gracias :P

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  9. Calabria me alegro mucho de haber contribuído a ello. Ese tipo de comentarios me llevan a pensar que he conseguido el objetivo que perseguía, y eso me hace sentir muy bien :)

    mimetist yo vi ese concepto por primera vez en Topología de segundo de carrera si no me equivoco. Si no te lo han comentado todavía te lo comentarán.

    Por cierto, espero no equivocarme pero creo que otra forma de decir que un espacio topológico es simplemente conexo es decir que es 1-conexo. Que alguien que lo sepa con seguridad lo confirme o lo desmienta.

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  10. Hola, soy un estudiante universitario que anda algo jodido con las matemáticas de L.A.D.E. (Administración y Dirección de Empresas) y en concreto necesito saber como sacar una matriz Hessiana porque no termino de aclararme con ello. Si alguien pudiera explicarmelo se lo agradecería muchísimo.

    Os dejo mi e-mail por si alguien puede ayudarme: salva_ros@hotmail.com

    Un Saludo!

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  11. Buenas Salva. Aunque no va mucho con el tema del post te echo una mano gustosamente:

    Los elementos que forman la matriz hessiana son las derivadas parciales segundas de la función de la que la quieres calcular. Supongamos que tenemos una función en dos variables f(x,y). Entonces su matriz hessiana será de orden 2×2. Sus elementos son:

    a11: Parcial segunda de f respecto de x dos veces
    a12: Parcial segunda de f primero respecto de x y después respecto de y
    a21: Parcial segunda de f primero respecto de y y después respecto de x
    a22: Parcial segunda de f respecto de y dos veces

    Teniendo en cuenta que el teorema de Schwartz nos dice que las derivadas cruzadas son iguales tenemos que a12 y a21 son iguales. Por tanto sólo te hace falta calcular uno de ellos.

    Para funciones en 3 variables tendremos que la matriz hessiana es de orden 3×3. Los elementos de la misma se sacan de manera análoga:

    a11: Parcial de f respecto de x dos veces
    a12: Parcial de f respecto de x y después respecto de y
    a13: Parcial de f respecto de x y después respecto de z

    Y así sucesivamente. Ten en cuenta aquí también que las derivadas cruzadas son iguales. Por tanto sólo te hace falta calcular 6 derivadas segundas.

    Espero haberte ayudado. Si tienes alguna otra duda no tienes más que preguntar.

    Saludos :)

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  12. Gracias por la explicación, Diamond. Había leído el enunciado, y varias explicaciones en otros blogs, pero creo que esta es la más clara de las que he visto.

    A ver si vas preparando la versión “for dummies” de la demostración :-)

    Saludos!

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  13. De nada homero, es lo que intentaba.

    Me da que el tema de la demostración for dummies va a ser algo más complicado :P . A ver si el señor Perelman nos abre un blog y nos la explica :P

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  14. Pues la verdad es que está bastante bien explicado para los neófitos en la materia como yo.

    Enhorabuena, ^DiamonD^

    Saludos :D

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  15. Yo creo que los amantes de las matemáticas agradecemos a Perelman la solución, por lo que representará y … porque nos recuerda la enorme, profunda satisfacción que uno siente cuando resuelve un problema, sea matemático o de la vida misma.
    ¡Larga vida a los solucionadores de problemas!

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  16. Tras leer las tesis de Steven Pinker sobre la disminución de la violencia en el mundo, algo que sorprende muy gratamente a quien, como yo, ha pensado siempre que la violencia iba en aumento, me propuse entender la paradoja de Poincaré y ver si era capaz de entender la solución de Perelman. Por ese camino he llegado hasta aquí y no sólo lo he entendido con la magnífica explicación que dio ^DiAmOnD^, sino que me ha emocionado ver la generosidad de los comentaristas que aportan su saber para satisfacer las necesidades de quienes preguntan.
    Gracias a todos por este magnífico rato que me habéis hecho pasar y por la alegría que me produce que en este mundo con tanta porquería haya reductos de gente buena, inteligente y generosa capaz de mantener vivo lo mejor de la Humanidad.

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  17. Muchas gracias, me permito sugerir que para hacer mas clara la explicación seria conveniente que se dibuje la cuerda de la que se habla, particularmente de la que se propone en el toro y sus diferentes posiciones en el proceso, esto ayudaria a hacer mas fácil entender

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  18. Lo mas importante no se explica y es que es el trabajo que hizo Perelmann?,aveces pienso que simplemente no lo entienden,pinche los link y tampoco dan explicación o estan rotos.

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  19. La generalización a que te refieres debe decir más bien: Toda n-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a S**3, de aquí la grandeza del teorema de Perelman, ¡que tal vez nuestro universo sea “esférico”!

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