Expresar un número decimal en forma de fracción

Después de unas semanas sin artículo propiamente (fiestas y época de exámenes de mis alumnos han tenido la culpa) volvemos a la carga con un artículo que aunque no sea excesivamente avanzado nunca está de más: vamos a (re)aprender a expresar un número decimal en forma de fracción

Introducción

Para comenzar, aunque para muchos es evidente, vamos a delimitar nuestro campo de acción, es decir, vamos a ver qué números podemos expresar en forma de fracción. Éstos son los números racionales, conjunto que se denota \mathbb{Q}. Es decir, los números decimales que podemos expresar como fracción son los números decimales exactos, como 7,3 o 0,527, y los números decimales en cuya expresión decimal se repite a partir de un cierto momento una misma cantidad de cifras, denominada período, como 23,\widehat{4} o 5,43\widehat{78}. Los números decimales que no podemos expresar como fracción son los números irracionales, que suele denotarse como \mathbb{I} o \mathbb{R-Q}. Algunos ejemplos de estos números han aparecido ya en este blog en varias ocasiones: el número \pi, el número e o el número \sqrt{2}. La expresión decimal de estos números (como la de todos los irracionales) es infinita y no periódica. Por ello no pueden expresarse como una fracción.

Como último comentario antes de comenzar decir que la fracción que vamos a obtener de cada número decimal no va a ser en general una fracción irreducible, es decir, cuando ya tengamos la fracción asociada al número decimal podremos encontrar una fracción equivalente a la obtenida que será irreducible dividiendo numerador y denominador por el máximo común divisor de ambos. Veremos ejemplos en el desarrollo.

Desarrollo

Para conseguir nuestro objetivo vamos a distinguir tres casos:

1.- Número decimal exacto

Este es el caso más sencillo de todos. La fracción buscada es:

-Numerador: Número completo sin coma
-Denominador: Un uno seguidos de tantos ceros como cifras decimales tenía el número inicial

Si la fracción obtenida no es irreducible podemos simplificarla como comentamos antes dividiendo por el máximo común divisor de numerador y denominador. Expliquemos por qué con un ejemplo:

Sea x=4,1347. Multiplicamos x por 10000 y queda:

10000x=41347

Despejando x obtenemos lo buscado

x=4,1347=\cfrac{41347}{10000}

Al ser una fracción irreducible nos quedamos con ella.

Por el mismo procedimiento, para este otro número llegamos a la siguiente fracción:

0,18=\cfrac{18}{100}=\cfrac{9}{50}

Como en este caso la fracción obtenida no es irreducible la simplificamos dividiendo entre 2 numerador y denominador.

2.- Número decimal periódico puro

En este caso la fracción buscada es la siguiente:

-Numerador: Parte entera del número inicial junto con el período-parte entera del número inicial
-Denominador: Tantos nueves como cifras tenga el período

Si la fracción obtenida no es irreducible también podemos simplificarla. Explicamos el tema con un ejemplo:

Sea x=1,\widehat{8}. Multiplicamos x por 10 (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el período) y después restamos x al resultado. Queda:

10x-x=18,\widehat{8}-1,\widehat{8}=17

Tenemos entonces 9x=17. Despejamos x y llegamos al resultado esperado:

x=1,\widehat{8}=\cfrac{17}{9}

Como lo que obtenemos es una fracción irreducible nos la quedamos.

De la misma forma, para este otro número llegamos a lo siguiente:

13,\widehat{273}=\cfrac{13273-13}{999}=\cfrac{13260}{999}=\cfrac{4420}{333}

Como en este caso obtenemos una fracción no irreducible la simplificamos dividiendo por 3 numerador y denominador.

3.- Número decimal periódico mixto

En este caso la fracción quedaría de la siguiente manera:

-Numerador: Parte entera junto con parte no periódica junto con período-parte entera junto con parte no periódica
-Denominador: Tantos nueves como cifras tiene el período seguidos de tantos ceros como decimales no periódicos teníamos

Vamos a explicar este caso también mediante un ejemplo:

Sea x=0,3\widehat{4}. Multiplicamos x por 10 (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) y restamos x:

10x-x=3,\widehat{4}-0,3\widehat{4}=3,1

Tenemos entonces que 9x=3,1. Volvemos a multiplicar por 10 (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal que ha quedado):

90x=31

Despejando x obtenemos los buscado:

x=0,3\widehat{4}=\cfrac{31}{90}

Como la fracción obtenida es irreducible nos la quedamos.

Veamos otro ejemplo:

Sea x=12,23\widehat{7}. Multiplicamos x por 100 (un uno seguidos de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) obteniendo 100x=1223,\widehat{7}. Multiplicamos ahora por 10 (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte periódica que nos queda) llegando a 1000x=12237,\widehat{7}. Ahora tomamos el número por el que multiplicamos a x en el primer paso, que en este caso es 100, lo multiplicamos por x y se lo restamos a lo que habíamos obtenido:

1000x-100x=12237,\widehat{7}-1223,\widehat{7}=11014

Nos queda entonces:

900x=11014

De donde obtenemos el resultado despejando x:

x=12,23\widehat{7}=\cfrac{11014}{900}=\cfrac{5507}{450}

Como la fracción obtenida no era irreducible la simplificamos dividiendo por 2 numerador y denominador.

Y uno más:

Sea x=31,775\widehat{5692}. Multiplicamos x por 1000 (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) y nos queda 1000x=31775,\widehat{5692}. Ahora multiplicamos por 10000 (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el período que nos ha quedado) y obtenemos 10000000x=317755692,\widehat{5692}. Tomamos ahora el número por el que multiplicamos en el primer paso, 1000 en este caso, lo multiplicamos por x y se lo restamos a lo que habíamos obtenido:

10000000x-1000x=317755692,\widehat{5692}-31775,\widehat{5692}=317723917

Obtenemos

9999000x=317723917

Despejando x:

x=31,775\widehat{5692}=\cfrac{317723917}{9999000}

Como la fracción obtenida es irreducible nos quedamos con ella.

Conclusión

Como habéis podido ver la cosa no es ni mucho menos difícil, pero nunca viene mal saber cómo hacer estos cambios de decimal a fracción ya que, por norma general, es mucho más engorroso operar con varios números decimales de distintos tipos, con distinto períodos, etc, que hacerlo con fracciones. Con estos procedimientos conseguimos precisamente expresar cualquier número decimal (racional) en forma de fracción, es decir, pasar cualquier tipo de numero decimal (racional) a un único tipo de número, una fracción, para así simplificar el manejo y las operaciones entre los mismos.

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77 comentarios

  1. Reinaldo | 21 de enero de 2008 | 07:48

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    Recuerdo la clase de expresar un número en fracciones. En esa ocación le pregunté al profesor lo siguiente: cuando expreso 4,\widehat9 el resultado es igual a cinco:
    x=4,\widehat9
    10x=49,\widehat9
    10x-x=49,\widehat9-4,\widehat9
    9x=45
    x=5

    Si los números reales forman un conjunto denso (entre dos números reales existe un número infinito de números reales). y al buscar un número entre 5 y 4,\widehat9 obtendríamos que no hay ningún número entre ellos dos. ¿LA conclución que podríamos sacar es que 5 y 4,\widehat9 son representaciones del mismo número?

    En ese momento no obtuve respuesta y quisiera que me aclararan esa interrogante. Si esta interrogante es afirmativa mi mente vuela y se pregunta: ya que lo pude expresar con lo que pareciera un número por debajo de él… podría expresarlo tambien con lo que pareciera un número por encima de él? Me parece una barbaridad, pero algo que se pareciera a esto… 5,\widehat01

  2. Tito Eliatron | 21 de enero de 2008 | 09:53

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    Esa pregunta tiene una respuesta matemática y todo. Creo recordar que en Álgebra II se decía que un sistema decimal (o algo así) era aquél en que todo número tenía una única representación decimal con ciertas características (hablo muyyyyyyy de memoria) Y la inclusión de ÚNICA era para evitar duplicidad de escrituras como la del 9 periódico.

  3. Omar-P | 21 de enero de 2008 | 10:58

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    Reinaldo, el error en tus fórmulas es el siguiente:
    49,999… – 4,999… no es 45 sino 44,999…
    Saludos.

  4. Asier | 21 de enero de 2008 | 11:12

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    En este viejo post se habló un poco de que 0.999… = 1: http://gaussianos.com/igualdad-extrana/

  5. cua | 21 de enero de 2008 | 11:14

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    Reinaldo: efectivamente, son dos formas de representar el mismo numero. Respecto al numero que dices al final (5,\hat{0}1), creo que no es correcto escribir digitos después del periodo, pues obviamente no puede haber nada despues de infinitos ceros, asi que, salvo error, creo que 5 solo puede expresarse así o como 4,\hat{9}

  6. cua | 21 de enero de 2008 | 11:20

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    por cierto, se me ha olvidado comentar que recuerdo perfectamente en el instituto que el profesor comentó que no hay ningún número x menor estricto que 1, tal que entre ese número x y 1 no haya un tercero y distinto de ambos. Sorprendido, le dije que y=0,\hat{9} debería ser ese número, a lo cual el me contestó con la demostración de que son iguales (x=y) que aparece en el post de Reinaldo.

  7. cua | 21 de enero de 2008 | 11:21

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    perdón, arriba, donce dice x=y, debería decir y=1

  8. Domingo H.A. | 21 de enero de 2008 | 12:25

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    Se ha visto que todo decimal exacto o periódico (puro o mixto) corresponde a un número racional. ¿Alguien tiene ganas de demostrar el recíproco? Es decir, ¿Por qué podemos estar seguros de que toda fracción admite una representación decimal exacta o periódica?

  9. Latex no | 21 de enero de 2008 | 14:55

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    Se ve muy bien con el algoritmo de la división. Los posibles restos al dividir por n son n-1. Al poner más y más decimales en el cociente, necesariamente llegaremos a repetir el resto antes de haber metido n de esos decimales. A partir de aquí se repetirán necesariamente los restos en el mismo orden. Es pues, periódico (puro o mixto, según).

  10. coquejj | 21 de enero de 2008 | 20:31

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    Cuando se le explica este método a los alumnos de 3ºESO se les dice previamente que cálculos como 3,55…-2,11… no es riguroso hacerlos “a pelo”, por lo que los pasamos primero a fracción y luego operamos con ellas. Y después en el método calculamos una resta del tipo 34,44…-3,44…
    Problemas de la falta de rigor, que se subsanan con la suma de series.

  11. Domingo H.A. | 21 de enero de 2008 | 22:32

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    Aunque “Latex no” respondió a la cuestión sobre la expresión decimal de las fracciones, me gustaría proponer una cuestión sencilla:

    “Si p es un número primo distinto de 2 y 5, demostrar que entonces la fracción \cfrac{1}{p} admite una expresión periódica (pura), de modo que el número de cifras del periodo divide a p-1.”

  12. JUAN CARLOS | 22 de enero de 2008 | 04:18

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    4,999…. no es un número sino un límite

  13. Reinaldo | 22 de enero de 2008 | 05:05

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    Gracias a todos por sus respuestas… Y el 5,\widehat{0}1 fue solo una ocurrencia. Se que no es correcto agregar un uno despues de infinitos ceros. Lo siento

  14. hdur | 22 de enero de 2008 | 05:09

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    Me acuerdo cuando vi esto en clases hace algunos años. Por pura curiosidad traté de ver la forma de fracción de 0,\hat{9} y resultó ser 1. En ese entonces no lo entendía bien y le pregunté a mi profesora al respecto, pero no me lo pudo explicar de manera contundente. Me dijo que “el resultado se aproximaba”, que era “una excepción a la fórmula”, que “la aritmética no era suficiente para poder representar ese resultado sin que las leyes de la matemática se rompan” y cosas así. Mucho después supe que los números eran iguales…

  15. Domingo H.A. | 23 de enero de 2008 | 21:08

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    Bueno, voy a responder a la cuestión planteada arriba…

    “Si p es un número primo distinto de 2 y 5, demostrar que entonces la fracción \cfrac{1}{p} admite una expresión periódica (pura), de modo que el número de cifras del periodo divide a p-1.”

    Sabemos que x=\cfrac{1}{p} admite una expresión decimal periódica pura (¿Por qué?). Sea “a” el número de cifras del periodo.

    Como p\neq 2,5 entonces por el pequeño (gran!) teorema de Fermat podemos tomar b el menor natural tal que 10^b\equiv 1 \;(p) y de hecho b|(p-1).

    Así que \cfrac{10^b-1}{p}=10^b\cdot x-x\in \mathbb{N}. De aquí que b también es un “periodo” de x, y puesto que es el menor natural que verifica 10^b\equiv 1 \;(p) debe ser que b=a.

  16. Karl Friedrich - Juan - Gauss | 24 de enero de 2008 | 06:18

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    Hola a todos gaussianos !!! , me llamo Juan David , estudio Ingenieria pero mi verdadera vocacion son las matematicas , y en la universidad el profesor de Matematicas I propone problemas, en el tema de Funciones , los problemas con Maximo Entero, los mas increibles que se puedan imaginar , lo digo en serio …..algo se de matematicas xq me gusta investigar y se cuando algo es de un nivel complicado , no se si estarian dispuestos a colaborar conmigo , necesito ayuda , pues como les digo soy alumno de 1er ciclo recien , de paso que comparto mis problemas con todos uds, de veras son problemas de un nivel superior – mas dificiles ke cualkier libro “tradicional” de calculo – bueno me despido mi correo es jdveg14@hotmail.com , si alguien desea compartir conocimientos sobre las mates ….Se despide un gaussiano mas ….Juan David

  17. Pasito | 29 de enero de 2008 | 00:27

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    necesito ke porfa me digan como escribir un decimal periodico en forma racional..les agradesco…

  18. darian | 29 de enero de 2008 | 02:07

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    me pueden dar la explicacion de como se expresa un numero decmal………….. porfa

  19. didy | 1 de febrero de 2008 | 02:11

    Vótalo Thumb up 2

    mas que decir un comentario me gustaria preguntar como puedo distinguir si un numero decimal es racional o irracional y si es racional como puedo encontrar los dos numeros que divididos lo origuinan

  20. felipe | 4 de marzo de 2008 | 02:51

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    ¿Cual es la explicacion matematica de cuando transformamos un decimal periodico a fraccion se ponen 9 de denominador?

  21. Belen | 11 de marzo de 2008 | 16:34

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    La explicación es la siguiente. Voy a hacerlo de forma básica, pero es extensible. Imagínate que hay un número de período p (p=1234, por ejemplo), o sea 0.ppppppp. A este número se le va a llamar q $q=0.ppppp…$.

    p tiene una longitud m (en el caso 1234, pues m=4)

    luego se puede afirmar que 10^m 0.pppp = p.ppppp

    Entonces si restamos 10^m q - q = p.ppppp - 0.ppppp=p
    luego q=\dfrac{p}{10^m - 1} expresado de forma racional.

    En el caso 0.1234 tenemos 10000 q - q = 1234.12341234 - 0.12341234 luego (10000-1)q=1234 y q=\dfrac{1234}{9999}

    Hay que fijarte que para cualquier valor de m, esto se llena de nueves.
    10^1 - 1 = 9
    10^2 - 1 = 99
    10^3 - 1 = 999
    10^4 - 1 = 9999

    y así sucesivamente.

  22. Sergio | 6 de agosto de 2008 | 10:33

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    No quiero ofender a nadie, pero esto nos lo enseñó nuestra profesora el año pasado en 1ero de ESO con un planteamiento que yo creo más sencillo: cuentas las cifras que haya desde la coma y luego pones el número completo en el numerador de una fracción, poniendo como denominador un 1 seguido del número del mismo número de ceros que de las cifras que antes contaste. Perdón si ofendí a alguien.
    Por cierto, Tito Eliatron, ¿eres el mismo del foro de Cálico?

    Suerte.

  23. ^DiAmOnD^ | 6 de agosto de 2008 | 15:12

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    Sergio pero no es todos los casos es así. Lee el post con detenimiento :).

  24. quimey | 22 de agosto de 2008 | 21:53

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    ¿Por que se utiliza un 9 como denominador cuando queremos pasar un numero decimal periodico a fraccion?

  25. matias | 26 de septiembre de 2008 | 19:20

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    tengo otra formula para sacar fracciones a los decimales: la explico aquí y le doy gracias al que escribio las instruciones de arriba. bueno aqui dejo las mias.
    * la barra (/) es lo k dibide la fraccion porque no se escribirla como sale en los libros.

    SACAR LA FRACCION DE UN DECIMAL EXACTO.
    7`2= 7`2 x 10/10 = 72/10. y ahora simplificamos.
    lo que e echo es multiplicar pero no dividir y ya consigo una fracción. esta forma de hacerlo es correcta y para algun@s es mas sencilla.

    SACAR LA FRACCION DE UN DECIMAL PERIODICO PURO.

    1º ejemplo luego esplicacion:

    7,222…
    7,222… = F(a la fracción generatriz)
    72,222…= 10 F
    ahora restamos estas dos igualdades:
    72,222…= 10 F. ESTA PRIMERO PUESTO QUE ES MAYOR.
    -
    7,222… = F
    ————-
    65,000…= 9F
    65 = 9 F.
    AHORA DESPEJAMOS LA F Y OBTENEMOS LA FRACCION GENERATRIZ QUE BUSCAMOS.
    65/9= F.

    AIOSS DE NADA Y GRACIAS

  26. Alejandra | 29 de septiembre de 2008 | 02:24

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    alguien me podria explicar como pasar el numero 0,9999999…. a fraccion? por lógica seria 9/9, pero como sabemos eso es la unidad. gracias

  27. Unai | 13 de octubre de 2008 | 03:02

    Vótalo Thumb up 1

    Cuál es la fracción generatriz de 0,999999…. ?

  28. ^DiAmOnD^ | 13 de octubre de 2008 | 03:48

    Vótalo Thumb up 1

    Unai: Si el número que has escrito tiene infinitos nueves la respuesta es 1. Si no te cuadra échale un ojo a este post.

  29. day | 17 de noviembre de 2008 | 21:29

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    aaa ya entiando gracias

  30. Trackback | 31 dic, 2008

    (Lo que yo considero) Lo mejor de 2008 en Gaussianos | Gaussianos

  31. christian | 17 de enero de 2009 | 01:28

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    me podrian decir como calcular la cantidad de cifras períodicas que tiene 2/49.

  32. mper23 | 17 de enero de 2009 | 23:26

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    Divide y vencerás:
    0’04081 63265 30612 24489 79591 83673 46938 77551 02
    04081 63265 30612 24489 79591 83673 46938 77551 02….

    Así que son 42 cifras.

  33. jose | 21 de enero de 2009 | 21:09

    Vótalo Thumb up 1

    y para acerlo mnediante series???

  34. flor.. | 25 de enero de 2009 | 04:14

    Vótalo Thumb up 1

    HOLAASS!!NECESITO CON SUMA URGENCIA QUE ME AYUDEN CON ESO!!SÉ, QUE SEGURAMENTE DEBE SER UNA TONTERÍA DE RESOLVER, PERO NO ME ACUERDO CÓMO!!Y EN CASA NADIE SE ACUERDA TAMPOCO..

    ..”ESCRIBA EL NÚMERO 8,3454545… COMO COCIENTE DE DOS NÚMEROS ENTEROS”..

    AYUUDAAA!!porfavooooooor..:)

    Gracias..si podes contestar a mi correo, mejor!!
    Muchas muchas gracias!!
    Saludos..Fló..

  35. para entender | 25 de enero de 2009 | 13:45

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    pero como pasar un periodico puro con denominador 17,2315

  36. alberto | 26 de enero de 2009 | 20:42

    Vótalo Thumb up 2

    como encuentro la fraccion de estos decimales
    9.21771
    7.99853
    8.40666

  37. elizabeth | 16 de febrero de 2009 | 22:08

    Vótalo Thumb up 1

    Hola, cuando realice todo los q indican arriba no saque la fraccion exacta a este decimal 4,151515151515 supuestamente sería 411/99 pero al final de esta division sale un 2 q no viene al número original del decimal

  38. ja | 28 de abril de 2009 | 19:30

    Vótalo Thumb up 1

    Completamente de acuerdo ( aún no lo he leído) pero seguro que está bien.

  39. camila | 1 de julio de 2009 | 19:31

    Vótalo Thumb up 2

    Necesito pasar este numero decimal periodico a fraccion…por favor que alguien me ayude…
    2,0444…

  40. Américo Tavares | 4 de julio de 2009 | 11:12

    Vótalo Thumb up 1

    Em Set 20, 2008 publiquei o seguinte artigo

    http://problemasteoremas.wordpress.com/2008/09/20/numeros-racionais-exercicio-sobre-dizimas-periodicas-e-serie-geometrica/

    pdf: ver caderno

    Prove que qualquer número representado por uma dízima periódica é racional.

    Se considerar, como exemplo, o número 0,\overline{150}, em que a barra, nesta notação, significa que o grupo de 3 dígitos 150 se repete indefinidamente
    0,\overline{150}=0,150\,150\,150\,\ldots

    posso escrevê-lo na forma
    0,\overline{150}=\dfrac{150}{10^{3}}+\dfrac{150}{10^{6}}+\dfrac{150}{10^{9}}+\cdots
    e calcular agora a soma da progessão geométrica de razão 10^{-3} e primeiro termo 0,150
    \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{150}{10^{3n}}=\dfrac{0,150}{1-10^{-3}}=\dfrac{150}{10^{3}-1}=\dfrac{50}{333}.
    No segundo exemplo tomo o número 0,3\overline{150} como ilustrativo do caso em que a dízima não começa imediatamente a seguir à vírgula. Assim, usando o resultado anterior
    0,3\overline{150}=0,3+0,1\times 0,\overline{150}=0,3+0,1\times \dfrac{50}{333}=\dfrac{1049}{3330}.
    No úlltimo exemplo, considero -2,3\overline{150}. Será
    -2,3\overline{150}=-\left( 2,3\overline{150}\right)=-\left( 2+0,3\overline{150}\right)=-\left( 2+\dfrac{1049}{3330}\right)=-\dfrac{7709}{3330}.
    O caso geral é simplesmente o de uma dízima periódica com p dígitos, bastando, como se viu, mostrar a propriedade para os números do tipo 0,\overline{a_{p-1}a_{p-2}\ldots a_{1}a_{0}} , porque os outros são uma consequência imediata.
    O número cujos dígitos são os que estão sob a barra tem o valor inteiro [corrigido, ver comentário]
    N=10^{0}a_{0}+10^{1}a_{1}+\cdots +10^{p-1}a_{p-1}
    Sendo assim, usando o mesmo raciocínio do primeiro exemplo, tem-se
    0,\overline{a_{p-1}a_{p-2}\ldots a_{1}a_{0}}=\dfrac{N}{10^{p}}+\dfrac{N}{10^{2p}}+\cdots =\dfrac{N/10^{p}}{1-10^{-p}}=\dfrac{N}{10^{p}-1}.

    Exemplo de aplicação: x=0,151515\ldots \;\;y=1,2151515\ldots
    Para x=0,\overline{15}, N=10^{0}\times 5+10^{1}\times 1=15,x=\dfrac{15}{10^{2}-1}=\dfrac{15}{99}. De x deduz-se y
    y=1,2\overline{15}=1+0,2+0,1x=\dfrac{12}{10}+\dfrac{1}{10}\dfrac{15}{99}=\dfrac{401}{330}.

    Exercício: determine o número racional representado na forma decimal por 0,\;3311111\ldots.
    Resposta:
    \dfrac{149}{450}

  41. Dani | 4 de julio de 2009 | 11:48

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    por lo que 2,0\overline{4} sería 2 + 0,0\overline{4} = 2 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{10^{n+1}}=2 + \frac{0,04}{1-10^{-1}}=2+\frac{2}{45}=\frac{92}{45}

  42. Dani | 4 de julio de 2009 | 11:52

    Vótalo Thumb up 1

    o con el método del post, si x=2,0\overline{4}, \quad 10x=20,\overline{4} por lo que tenemos 9x=18,4 \Rightarrow x=\frac{18,4}{9}=\frac{92}{45}

  43. Sergio | 25 de agosto de 2009 | 00:13

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    Gracias ^DiAmOnD^

  44. yarith | 19 de octubre de 2009 | 17:23

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    el racional que no corresponde a un numero decimal racional es
    a.-7/4
    b.1/6
    c.-3/10
    d.1/25

  45. yarith | 19 de octubre de 2009 | 17:29

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    el racional mayor -1/3 es
    a.-1/2
    b.-1/4
    c.-1
    d.-2/3

  46. Tobar | 15 de noviembre de 2009 | 16:36

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    Usando Series Geometricas

  47. fonti | 16 de diciembre de 2009 | 18:01

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    ¿hay alguna forma mas de representar la parte decimal?

  48. alf | 21 de diciembre de 2009 | 16:41

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    no entendi nada ! -_-

  49. rikcher | 20 de febrero de 2010 | 21:10

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    de donde sacan que:
    si x=4.9
    10x=49.9
    eso no tiene lógica
    hasta donde yo se 4.9 por 10 es 49

    que alguien despeje mi duda por favor

  50. gaussianos | 21 de febrero de 2010 | 22:17

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    rikcher, en el caso que comentas x no es 4,9, sino 4,999 \ldots, es decir, infinitos nueves. Por ello:

    10x=49,999 \ldots

    y sigue habiendo infinitos nueves.

  51. Ytyus | 22 de febrero de 2010 | 09:38

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    No e leido completamente los post, pero si se sigue la logica que sugiere en este caso el .. 5 y el 4,99999… se podria decir tambien que el numero 4,9999…..99998 es lo mismo que 4,999.. y que 4,999…9997 y asi susesivamente, por tanto llegariamos a que todos los numeros son el mismo.

    La problematica de la existencia de algo entre un numero y otro consecutivo era un problema discutido ya por los griegos, cuando aun no tenian concepto de los decimales y se hablaba de las proporciones de las cosas, por ejemplo, si un objeto era 3/4 del otro puede ser leido como tres veces la cuarta parte del objeto inicial o referencia inicial.

    El meollo de la discusión es que no todas las magnitudes tienen proporción exacta entre si. Si bien 7/9 es una expresión operable, teóricamente manipulable, no existe tal razón de manera exacta.

    La solucion que pienso resuelve el asunto fue considerar mas grupos de numeros (naturales, racionales,Irracionales, complejos, etc).

    El principio de lo infinitesimal fue ampliamente discutido en su tiempo (hace un par de miles de años), y por demas rechazado, luego volvieron a discutirlo. Hoy lo usamos como algo completamente obvio o sencillo. Visualizar el asunto como que 5 es igual a 4,999 son numeros consecutivos es violar la primera hipotesis realizada, esta hipotesis era lo infinitesimal en el 4,99999, por eso se llega a una contradiccion.

    Aunque la observacion es válida, en este caso se aplica el concepto de Limite, pero eso ya es otro cuento, que tuvo su debido debate en algun momento.

    Saludos, espero haber aclarado alguna duda… pero ojala que se les creen mil mas hehehehe.

  52. marisa | 24 de febrero de 2010 | 15:19

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    quiero resolver este problema ” en un curso 1/3 le gusta matematica, a otro 1/3 le gusta lengua y al resto ingles. cuantos chicos hay en el curso?

  53. josejuan | 24 de febrero de 2010 | 16:25

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    “marisa”, si:

    N es el número total de alumnos en el curso.
    M son a los que les gustan las mates.
    L son a los que les gustan las letras.
    I son a los que les gusta el inglés.

    Sabemos que

    “1/3 le gusta matematica”
    M = N / 3

    “a otro 1/3 le gusta lengua”
    L = N / 3

    “y al resto ingles”
    I = N – M – L

    A la pregunta “cuantos chicos hay en el curso?” sólo podemos responder

        ¡N!

    Podemos hacer conjeturas como que:

    N>=0 “puede no haber alumnos, pero no puede haber alumnos negativos”

    N es entero “parece razonable exigir que no puede haber 3.2 alumnos”

    N es múltiplo de 3 “si nos dicen que a un tercio les gustan las mates, no puede ser que si N=10 les gusten las mates a 3.3333 alumnos”

    Podemos sacar conclusiones como que:

    M=L “está claro que si a un tercio les gustan las mates y a un tercio les gustan las letras, entonces son el mismo número”

    Como I = N-M-L = N-N/3-N/3 = N-2N/3 = N/3 entonces

    M=L=I “hay tantos a los que les gustan las mates como a los que les gustan las letras como a los que les gusta el inglés”

    Etc…

    ¡Pero no podemo saber que N exactamente es!

  54. jeny | 2 de marzo de 2010 | 21:03

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    algien me puede decir cual es la fraccion de 20%
    forfis

  55. Américo Tavares | 2 de marzo de 2010 | 23:56

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    Ytyus | 22 de Febrero de 2010 | 9:38

    Aplicando a 4,99999\ldots o método geral indicado em Américo Tavares | 4 de Julio de 2009 | 11:12

    resulta

    4,99999\ldots =4+0,99999\ldots =4+0,\overline{9} =4+\frac{9}{10^{1}-1}=4+\frac{9}{9}=4+1=5

  56. yoa | 17 de marzo de 2010 | 23:17

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    necesito tu ayuda nc comno debe ser el denominador de una fraccion irreducible para que su expresion decimal sea pediodica mixta

  57. Américo Tavares | 17 de marzo de 2010 | 23:38

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    Na wikipédia está escrito em

    http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional

    “Decimales periódicos mixtos: Tendrá como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el número escrito sin la coma, y b es el número sin la parte decimal periódica, escrito como número entero. El denominador tendrá tantos “9″ como cifras tiene el periodo y otros tantos “0″ como cifras decimales no periódicas haya. Ejemplo: Sea el número 12,345676767 . . . entonces a = 1234567 y b = 12345, por lo que el número buscado será

    \dfrac{1234567-12345}{99000}.”

    Pretende uma justificação?

  58. Trackback | 20 sep, 2010

    Fracción continua, o cuál es la mejor aproximación | Gaussianos

  59. MANUEL VARGAS | 21 de octubre de 2010 | 18:53

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    me he dado cuenta de que 1`9 (el 9 periodo) es = 2 y así pasa con todos.Ejemplo / 2`9(periodo) = 3
    0`9 (periodo) = 1,

    Manolo Rama, gracias

  60. oscar | 23 de noviembre de 2010 | 03:55

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    necesito ayuda para expresar los numeros decimales como fraccion ejemplo:
    2.97 como lo expresaria en fraccion

  61. rocio | 9 de marzo de 2011 | 06:20

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    esta muy buena la pagina, pero pongan buscador asi va a ser mas lindo, igual muchas gacias¡¡¡ se la recomiendo.

    BESOS

  62. romina | 13 de marzo de 2011 | 17:19

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    en esta operacion 43,5+—- como hago para saber que me da 5 enteros

  63. Catalina | 22 de marzo de 2011 | 09:28

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    Pq 40/9 es lo mismo que 4 4/9

  64. Iara | 23 de marzo de 2011 | 01:39

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    Hola! Por favor necesito que me expliquen eso, del porque se colocan el 9? no necesito ejemplos ni nada, solo el porque es 9 y no otro numero. Gracias!

  65. gaussianos | 23 de marzo de 2011 | 02:23

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    Catalina, porque:

    4+\frac{4}{9}=\frac{40}{9}

    lara, está explicado en el post. Por ejemplo, en el punto 2. Queda 10x-x=9x. Por eso, al despejar x queda debajo un 9.

  66. Gonzalo | 7 de abril de 2011 | 02:44

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    Hola, Tengo Una duda, Si yo tengo -4,506,

    ¿me Quedaria de la Siguiente manera?

    - 4506
    ——
    1000

    Ademas, se pueden sumar dos tipos de estas fracciones luego de averlas terminado:

    40 30
    —- + —–
    100 100

    Desde ya gracias.

  67. Javiera | 17 de abril de 2011 | 23:52

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    Un nº decimal cuyos primeros 30 decimales son todos = a 4.

    ¿es cierto que es un numero decimal periodico?

  68. gaussianos | 18 de abril de 2011 | 23:05

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    Javiera, no. Para ser un decimal periódico debería haber un conjunto de números que se repitiera indefinidamente. Por ejemplo, infinitos cuatros.

  69. gaston | 1 de junio de 2011 | 22:01

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    necesito saber 1 ejemplo de nº irracional cualquier ejemplo si pueden contestar esto les agradecere

  70. gaussianos | 2 de junio de 2011 | 01:51

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    gaston, pues por ejemplo \pi.

  71. Nikol | 4 de diciembre de 2011 | 10:26

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    Gracias, me acuerdo la mayoria, te agradezco, si lo entendes no es tan dificil, pero cuando ves la pagina y te topas con tantas X, y tantos gorritos y todo eso,y mas que nada con números es horrible!!! Pero de todas formas gracias.

  72. nayelis | 5 de febrero de 2013 | 00:12

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    que beta
    :*

  73. selma | 8 de agosto de 2013 | 04:14

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    quien me puede ayudar necesito 5 ejemplos de numeros representados en forma de fraccion soloo esooooo porfaa

  74. Juanjo Escribano | 8 de agosto de 2013 | 14:43

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    1.5 = 3/2

    1.25 = 5/4

    1.333333333333333… = 4/3

    4.21 = 421/100

    5 = 5/1

  75. florgunner | 25 de agosto de 2013 | 17:14

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    no entiendo esta parte Sea . Multiplicamos por (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el período) y después restamos al resultado. Queda:

    Tenemos entonces . Despejamos y llegamos al resultado esperado:

    Como lo que obtenemos es una fracción irreducible nos la quedamos.

    De la misma forma, para este otro número llegamos a lo siguiente:

    Como en este caso obtenemos una fracción no irreducible la simplificamos dividiendo por numerador y denominador.

  76. abaca | 22 de noviembre de 2013 | 02:30

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    ¿Alguién me podría dar una pista para demostrar lo que afirma Domingo H.A. arriba?: “Sabemos que x=\cfrac{1}{p} admite una expresión decimal periódica pura”. Yo he supuesto que admite una expresión decimal mixta, le aplico las transformaciones de los ejemplos, pero no encuentro ningún absurdo. Gracias.

  77. zoe | 15 de julio de 2014 | 20:47

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    ¿Cuál de estas fracciones no puede escribirse de manera equivalente en una fracción decimal? a:1/4 b:8/24 c:119/500

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