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Expresar un número decimal en forma de fracción

Después de unas semanas sin artículo propiamente (fiestas y época de exámenes de mis alumnos han tenido la culpa) volvemos a la carga con un artículo que aunque no sea excesivamente avanzado nunca está de más: vamos a (re)aprender a expresar un número decimal en forma de fracción

Introducción

Para comenzar, aunque para muchos es evidente, vamos a delimitar nuestro campo de acción, es decir, vamos a ver qué números podemos expresar en forma de fracción. Éstos son los números racionales, conjunto que se denota $\mathbb{Q}$ . Es decir, los números decimales que podemos expresar como fracción son los números decimales exactos, como $7,3$ o $0,527$ , y los números decimales en cuya expresión decimal se repite a partir de un cierto momento una misma cantidad de cifras, denominada período, como $23,\widehat{4}$ o $5,43\widehat{78}$ . Los números decimales que no podemos expresar como fracción son los números irracionales, que suele denotarse como $\mathbb{I}$ o $\mathbb{R-Q}$ . Algunos ejemplos de estos números han aparecido ya en este blog en varias ocasiones: el número $\pi$ , el número $e$ o el número $\sqrt{2}$ . La expresión decimal de estos números (como la de todos los irracionales) es infinita y no periódica. Por ello no pueden expresarse como una fracción.

Como último comentario antes de comenzar decir que la fracción que vamos a obtener de cada número decimal no va a ser en general una fracción irreducible, es decir, cuando ya tengamos la fracción asociada al número decimal podremos encontrar una fracción equivalente a la obtenida que será irreducible dividiendo numerador y denominador por el máximo común divisor de ambos. Veremos ejemplos en el desarrollo.

Desarrollo

Para conseguir nuestro objetivo vamos a distinguir tres casos:

1.- Número decimal exacto

Este es el caso más sencillo de todos. La fracción buscada es:

-Numerador: Número completo sin coma
-Denominador: Un uno seguidos de tantos ceros como cifras decimales tenía el número inicial

Si la fracción obtenida no es irreducible podemos simplificarla como comentamos antes dividiendo por el máximo común divisor de numerador y denominador. Expliquemos por qué con un ejemplo:

Sea $x=4,1347$ . Multiplicamos $x$ por $10000$ y queda:

$10000x=41347$

Despejando $x$ obtenemos lo buscado

$x=4,1347=\cfrac{41347}{10000}$

Al ser una fracción irreducible nos quedamos con ella.

Por el mismo procedimiento, para este otro número llegamos a la siguiente fracción:

$0,18=\cfrac{18}{100}=\cfrac{9}{50}$

Como en este caso la fracción obtenida no es irreducible la simplificamos dividiendo entre $2$ numerador y denominador.

2.- Número decimal periódico puro

En este caso la fracción buscada es la siguiente:

-Numerador: Parte entera del número inicial junto con el período-parte entera del número inicial
-Denominador: Tantos nueves como cifras tenga el período

Si la fracción obtenida no es irreducible también podemos simplificarla. Explicamos el tema con un ejemplo:

Sea $x=1,\widehat{8}$ . Multiplicamos $x$ por $10$ (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el período) y después restamos $x$ al resultado. Queda:

$10x-x=18,\widehat{8}-1,\widehat{8}=17$

Tenemos entonces $9x=17$ . Despejamos $x$ y llegamos al resultado esperado:

$x=1,\widehat{8}=\cfrac{17}{9}$

Como lo que obtenemos es una fracción irreducible nos la quedamos.

De la misma forma, para este otro número llegamos a lo siguiente:

$13,\widehat{273}=\cfrac{13273-13}{999}=\cfrac{13260}{999}=\cfrac{4420}{333}$

Como en este caso obtenemos una fracción no irreducible la simplificamos dividiendo por $3$ numerador y denominador.

3.- Número decimal periódico mixto

En este caso la fracción quedaría de la siguiente manera:

-Numerador: Parte entera junto con parte no periódica junto con período-parte entera junto con parte no periódica
-Denominador: Tantos nueves como cifras tiene el período seguidos de tantos ceros como decimales no periódicos teníamos

Vamos a explicar este caso también mediante un ejemplo:

Sea $x=0,3\widehat{4}$ . Multiplicamos $x$ por $10$ (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) y restamos $x$ :

$10x-x=3,\widehat{4}-0,3\widehat{4}=3,1$

Tenemos entonces que $9x=3,1$ . Volvemos a multiplicar por $10$ (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal que ha quedado):

$90x=31$

Despejando $x$ obtenemos los buscado:

$x=0,3\widehat{4}=\cfrac{31}{90}$

Como la fracción obtenida es irreducible nos la quedamos.

Veamos otro ejemplo:

Sea $x=12,23\widehat{7}$ . Multiplicamos $x$ por $100$ (un uno seguidos de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) obteniendo $100x=1223,\widehat{7}$ . Multiplicamos ahora por $10$ (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte periódica que nos queda) llegando a $1000x=12237,\widehat{7}$ . Ahora tomamos el número por el que multiplicamos a $x$ en el primer paso, que en este caso es $100$ , lo multiplicamos por $x$ y se lo restamos a lo que habíamos obtenido:

$1000x-100x=12237,\widehat{7}-1223,\widehat{7}=11014$

Nos queda entonces:

$900x=11014$

De donde obtenemos el resultado despejando $x$ :

$x=12,23\widehat{7}=\cfrac{11014}{900}=\cfrac{5507}{450}$

Como la fracción obtenida no era irreducible la simplificamos dividiendo por $2$ numerador y denominador.

Y uno más:

Sea $x=31,775\widehat{5692}$ . Multiplicamos $x$ por $1000$ (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) y nos queda $1000x=31775,\widehat{5692}$ . Ahora multiplicamos por $10000$ (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el período que nos ha quedado) y obtenemos $10000000x=317755692,\widehat{5692}$ . Tomamos ahora el número por el que multiplicamos en el primer paso, $1000$ en este caso, lo multiplicamos por $x$ y se lo restamos a lo que habíamos obtenido:

$10000000x-1000x=317755692,\widehat{5692}-31775,\widehat{5692}=317723917$

Obtenemos

$9999000x=317723917$

Despejando $x$ :

$x=31,775\widehat{5692}=\cfrac{317723917}{9999000}$

Como la fracción obtenida es irreducible nos quedamos con ella.

Conclusión

Como habéis podido ver la cosa no es ni mucho menos difícil, pero nunca viene mal saber cómo hacer estos cambios de decimal a fracción ya que, por norma general, es mucho más engorroso operar con varios números decimales de distintos tipos, con distinto períodos, etc, que hacerlo con fracciones. Con estos procedimientos conseguimos precisamente expresar cualquier número decimal (racional) en forma de fracción, es decir, pasar cualquier tipo de numero decimal (racional) a un único tipo de número, una fracción, para así simplificar el manejo y las operaciones entre los mismos.

Escrito por ^DiAmOnD^, 21 de Enero de 2008 en Aprenda como

21 comentarios

Trackback para este post

Reinaldo - 21 de Enero de 2008 7:48

Recuerdo la clase de expresar un número en fracciones. En esa ocación le pregunté al profesor lo siguiente: cuando expreso $4,\widehat9$ el resultado es igual a cinco:
$x=4,\widehat9$
$10x=49,\widehat9$
$10x-x=49,\widehat9-4,\widehat9$
$9x=45$
$x=5$

Si los números reales forman un conjunto denso (entre dos números reales existe un número infinito de números reales). y al buscar un número entre 5 y $4,\widehat9$ obtendríamos que no hay ningún número entre ellos dos. ¿LA conclución que podríamos sacar es que 5 y $4,\widehat9$ son representaciones del mismo número?

En ese momento no obtuve respuesta y quisiera que me aclararan esa interrogante. Si esta interrogante es afirmativa mi mente vuela y se pregunta: ya que lo pude expresar con lo que pareciera un número por debajo de él… podría expresarlo tambien con lo que pareciera un número por encima de él? Me parece una barbaridad, pero algo que se pareciera a esto… $5,\widehat01$
Tito Eliatron - 21 de Enero de 2008 9:53

Esa pregunta tiene una respuesta matemática y todo. Creo recordar que en Álgebra II se decía que un sistema decimal (o algo así) era aquél en que todo número tenía una única representación decimal con ciertas características (hablo muyyyyyyy de memoria) Y la inclusión de ÚNICA era para evitar duplicidad de escrituras como la del 9 periódico.
Omar-P - 21 de Enero de 2008 10:58

Reinaldo, el error en tus fórmulas es el siguiente:
49,999… - 4,999… no es 45 sino 44,999…
Saludos.
Asier - 21 de Enero de 2008 11:12

En este viejo post se habló un poco de que 0.999… = 1: http://gaussianos.com/igualdad-extrana/
cua - 21 de Enero de 2008 11:14

Reinaldo: efectivamente, son dos formas de representar el mismo numero. Respecto al numero que dices al final ( $5,\hat{0}1$ ), creo que no es correcto escribir digitos después del periodo, pues obviamente no puede haber nada despues de infinitos ceros, asi que, salvo error, creo que $5$ solo puede expresarse así o como $4,\hat{9}$
cua - 21 de Enero de 2008 11:20

por cierto, se me ha olvidado comentar que recuerdo perfectamente en el instituto que el profesor comentó que no hay ningún número $x$ menor estricto que $1$ , tal que entre ese número $x$ y $1$ no haya un tercero $y$ distinto de ambos. Sorprendido, le dije que $y=0,\hat{9}$ debería ser ese número, a lo cual el me contestó con la demostración de que son iguales ( $x=y$ ) que aparece en el post de Reinaldo.
cua - 21 de Enero de 2008 11:21

perdón, arriba, donce dice $x=y$ , debería decir $y=1$
Domingo H.A. - 21 de Enero de 2008 12:25

Se ha visto que todo decimal exacto o periódico (puro o mixto) corresponde a un número racional. ¿Alguien tiene ganas de demostrar el recíproco? Es decir, ¿Por qué podemos estar seguros de que toda fracción admite una representación decimal exacta o periódica?
Latex no - 21 de Enero de 2008 14:55

Se ve muy bien con el algoritmo de la división. Los posibles restos al dividir por n son n-1. Al poner más y más decimales en el cociente, necesariamente llegaremos a repetir el resto antes de haber metido n de esos decimales. A partir de aquí se repetirán necesariamente los restos en el mismo orden. Es pues, periódico (puro o mixto, según).
coquejj - 21 de Enero de 2008 20:31

Cuando se le explica este método a los alumnos de 3ºESO se les dice previamente que cálculos como 3,55…-2,11… no es riguroso hacerlos “a pelo”, por lo que los pasamos primero a fracción y luego operamos con ellas. Y después en el método calculamos una resta del tipo 34,44…-3,44…
Problemas de la falta de rigor, que se subsanan con la suma de series.
Domingo H.A. - 21 de Enero de 2008 22:32

Aunque “Latex no” respondió a la cuestión sobre la expresión decimal de las fracciones, me gustaría proponer una cuestión sencilla:

“Si $p$ es un número primo distinto de 2 y 5, demostrar que entonces la fracción $\cfrac{1}{p}$ admite una expresión periódica (pura), de modo que el número de cifras del periodo divide a $p-1$ .”
JUAN CARLOS - 22 de Enero de 2008 4:18

4,999…. no es un número sino un límite
Reinaldo - 22 de Enero de 2008 5:05

Gracias a todos por sus respuestas… Y el $5,\widehat{0}1$ fue solo una ocurrencia. Se que no es correcto agregar un uno despues de infinitos ceros. Lo siento
hdur - 22 de Enero de 2008 5:09

Me acuerdo cuando vi esto en clases hace algunos años. Por pura curiosidad traté de ver la forma de fracción de $0,\hat{9}$ y resultó ser $1$ . En ese entonces no lo entendía bien y le pregunté a mi profesora al respecto, pero no me lo pudo explicar de manera contundente. Me dijo que “el resultado se aproximaba”, que era “una excepción a la fórmula”, que “la aritmética no era suficiente para poder representar ese resultado sin que las leyes de la matemática se rompan” y cosas así. Mucho después supe que los números eran iguales…
Domingo H.A. - 23 de Enero de 2008 21:08

Bueno, voy a responder a la cuestión planteada arriba…

“Si p es un número primo distinto de 2 y 5, demostrar que entonces la fracción $\cfrac{1}{p}$ admite una expresión periódica (pura), de modo que el número de cifras del periodo divide a p-1.”

Sabemos que $x=\cfrac{1}{p}$ admite una expresión decimal periódica pura (¿Por qué?). Sea “a” el número de cifras del periodo.

Como $p\neq 2,5$ entonces por el pequeño (gran!) teorema de Fermat podemos tomar $b$ el menor natural tal que $10^b\equiv 1 \;(p)$ y de hecho $b|(p-1)$ .

Así que $\cfrac{10^b-1}{p}=10^b\cdot x-x\in \mathbb{N}$ . De aquí que $b$ también es un “periodo” de $x$ , y puesto que es el menor natural que verifica $10^b\equiv 1 \;(p)$ debe ser que $b=a$ .
Karl Friedrich - Juan - Gauss - 24 de Enero de 2008 6:18

Hola a todos gaussianos !!! , me llamo Juan David , estudio Ingenieria pero mi verdadera vocacion son las matematicas , y en la universidad el profesor de Matematicas I propone problemas, en el tema de Funciones , los problemas con Maximo Entero, los mas increibles que se puedan imaginar , lo digo en serio …..algo se de matematicas xq me gusta investigar y se cuando algo es de un nivel complicado , no se si estarian dispuestos a colaborar conmigo , necesito ayuda , pues como les digo soy alumno de 1er ciclo recien , de paso que comparto mis problemas con todos uds, de veras son problemas de un nivel superior - mas dificiles ke cualkier libro “tradicional” de calculo - bueno me despido mi correo es jdveg14@hotmail.com , si alguien desea compartir conocimientos sobre las mates ….Se despide un gaussiano mas ….Juan David
Pasito - 29 de Enero de 2008 0:27

necesito ke porfa me digan como escribir un decimal periodico en forma racional..les agradesco…
darian - 29 de Enero de 2008 2:07

me pueden dar la explicacion de como se expresa un numero decmal………….. porfa
didy - 1 de Febrero de 2008 2:11

mas que decir un comentario me gustaria preguntar como puedo distinguir si un numero decimal es racional o irracional y si es racional como puedo encontrar los dos numeros que divididos lo origuinan
felipe - 4 de Marzo de 2008 2:51

¿Cual es la explicacion matematica de cuando transformamos un decimal periodico a fraccion se ponen 9 de denominador?
Belen - 11 de Marzo de 2008 16:34

La explicación es la siguiente. Voy a hacerlo de forma básica, pero es extensible. Imagínate que hay un número de período p (p=1234, por ejemplo), o sea 0.ppppppp. A este número se le va a llamar q $q=0.ppppp…$.

p tiene una longitud m (en el caso 1234, pues m=4)

luego se puede afirmar que $10^m 0.pppp = p.ppppp$

Entonces si restamos $10^m q - q = p.ppppp - 0.ppppp=p$
luego $q=\dfrac{p}{10^m - 1}$ expresado de forma racional.

En el caso 0.1234 tenemos $10000 q - q = 1234.12341234 - 0.12341234$ luego $(10000-1)q=1234$ y $q=\dfrac{1234}{9999}$

Hay que fijarte que para cualquier valor de m, esto se llena de nueves.
$10^1 - 1 = 9$
$10^2 - 1 = 99$
$10^3 - 1 = 999$
$10^4 - 1 = 9999$

y así sucesivamente.

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