Falacias geométricas (I)

Introducción

Estoy convencido de que mucha gente piensa que la única obra de Euclides es Elementos. O al menos que es la única que se conservó o que se conoce. Nada más lejos de la realidad. Se conservan cinco obras más del gran matemático griego y además se conoce que escribió algunas más, que por desgracia no han llegado a nuestros días (en la entrada sobre Euclides de la Wikipedia inglesa podéis ver información sobre el tema).

Vamos a pararnos en una de las perdidas: Pseudaria (El Libro de los Engaños). Aunque no tenemos datos concretos sobre su contenido se sabe que en esta obra Euclides nos presentaba algunas falacias geométricas. Posiblemente dicha presentación se realizaría planteando un teorema absurdo y dando una demostración ilícita, analizando posteriormente la situación en conjunto. ¡Qué lástima que no hayamos podido disfrutar de ellas!

El caso es que en este artículo os voy a presentar tres falacias geométricas que bien podían haber sido parte del contenido de Pseudoria, ya que los conocimientos necesarios para desmontarlas no pasan de la geometría plana que se conocía en la época de Euclides. En todas ellas se plantea un enunciado totalmente contrario a la realidad y se incluye una demostración del mismo (las construcciones que se realizan en las mismas podéis consultarlas en Construcciones con regla y compás (I)). Encontrar el punto del camino en el que se encuentra el error es cosa vuestra. ¿Me acompañáis? ¡Adelante!

Ángulo rectuso

Teorema:

A veces un ángulo recto puede ser igual a un ángulo obtuso.

Demostración:

Ángulo recto igual a ángulo obtuso

Partimos de un cuadrado, digamos ABCD, como el de la figura de la derecha. Podéis seguir toda la demostración a partir de dicha figura.

Tomamos el punto E, punto medio del lado AB, y trazamos desde ese punto una perpendicular a AB que cortará al lado DC en un punto. Llamemos F a dicho punto. Es evidente que en esta situación el segmento DF es igual al segmento FC.

Trazamos ahora desde C un segmento de la misma longitud que el lado CB, pero un poco desplazado. Obtenemos el punto G, a partir del cual se cumple (por construcción) que CG=CB. Construimos el segmento AG, tomamos su punto medio, digamos H, y desde él se traza una perpendicular a AG.

Como AB y AG no son paralelas, EF y la perpendicular a AG trazada anteriormente desde H tampoco lo son. Por tanto deben cortarse en algún punto. Llamamos K a ese punto de corte entre ellas. DEsde este punto K tracemos los segmento KD, \, KA, \, KG y KC.

Los triángulos KAH y KGH son iguales, ya que AH=HG, HK es un lado común y los ángulos en H son rectos. Por tanto se tiene que KA=KG.

Lo mismo ocurre con los triángulos KDF y KCF. Son iguales ya que DF=FC, el lado FK es común y los ángulos en F son rectos. En consecuencia KD=KC, y el ángulo KDC es igual al ángulo KCD.

Por otra parte, se tiene que DA=CB (son dos de los lados del cuadrado inicial) y además también son iguales a CG (por construcción de este segmento). Esto significa que los triángulos KDA y KCG tienen iguales todos sus lados, por lo que los ángulos KDA y KCG son iguales.

Ya lo tenemos: como los ángulos KDC y KCD son iguales (visto antes), se los podemos restar a los dos ángulos que hemos visto que son iguales en el párrafo anterior, quedando por consiguiente dos ángulos iguales. Lo vemos:

\begin{matrix} KDA-KDC=ADC \\ KCG-KCD=GCD \end{matrix}

Es decir, los ángulos ADC y GCD deben ser iguales…pero el primero es un ángulo recto y el segundo un ángulo obtuso.

Con esto demostramos el teorema inicial: A veces un ángulo recto puede ser igual a un ángulo obtuso.

Isoscelosis

Teorema:

Todo triángulo es isósceles.

Demostración:

Isoscelosis

Tomamos un triángulo ABC cualquiera. Igual que en el caso anterior podéis seguir la demostración en la figura adjunta.

Construimos el punto D, punto medio del lado BC, y desde él trazamos el segmento DE, perpendicular a BC. Ahora construimos la bisectriz del ángulo BAC, a partir de la cual pueden darse dos casos:

1.- La bisectriz no corta a DE: entonces ambas rectas son paralelas. Por tanto la bisectriz es perpendicular a BC. Esto nos lleva a que AB=AC, esto es, el triángulo ABC es isósceles.

2.- La bisectriz corta a DE: llamemos F al punto de intersección entre ellas. Trazamos FB y FC y también FG y FH, perpendiculares a AC y a AB respectivamente.

A partir de aquí se tiene que los triángulos AFG y AFH son iguales, al tener a AF como lado común y los ángulos FAG y AGF iguales a los ángulos FAH y AHF respectivamente. Por tanto, AH=AG y FH=FG.

Por otra parte, los triángulos BDF y CDF son iguales, al ser BD=DC, DF lado común y los lados del vértice D iguales. De aquí FB=FC.

Además los triángulos FHB y FGC son rectángulos. Por ello, el cuadrado de FB es igual a la suma de los cuadrados de FH y HB (teorema de Pitágoras) y el cuadrado de FC es igual a la suma de los cuadrados de FG y GC. Pero tenemos que FB=FC y FH=FG. Por ello el cuadrado del lado HB es igual al cuadrado de GC. Entonces HB=GC. Como teníamos de antes que AH=AG se cumple que AB=AC, lo que implica que el triángulo ABC es isósceles.

Conclusión: todo triángulo ABC es isósceles.

Ángulo=Ángulo, lado=lado \Rightarrow paralelogramo

Teorema:

Si en un cuadrilátero ABCD se cumple que el ángulo A es igual al ángulo C y el lado AB es igual al lado CD, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

Demostración:

Paralelogramo

Tomamos un cuadrilátero ABCD, como el de la figura. Trazamos BX, perpendicular a AD y DY, perpendicular a BC. Ahora trazamos el segmento BD.

Los triángulos ABX y CYD son congruentes (es decir, sus lados y sus ángulos son iguales, aunque no están colocados en la misma posición). Por ello BX es igual a DY y AX es igual a CY. De aquí los triángulos BXD y DYB también son congruentes, por lo que XD es igual a YB.

Como AB es igual a CD y AD es igual a BC, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.

Conclusión

Como hemos comentado antes, es evidente que los tres teoremas son falsos. Lo suyo sería que encontráramos los errores de las demostraciones, si puede ser junto a un contraejemplo. ¿Podremos?

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Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

12 Comentarios

  1. En el primer caso el error esta al decir que KDA y KCG tienen los tres lados iguales por tener dos de ellos iguales, lo que es un absurdo ya que existen infinitos triángulos con dos lados iguales pero eso no implica que el tercero también lo sea.

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  2. Perdón, no había visto que ha conseguido demostrar que los tres lados son iguales, de todas formas sigo pensando que esos triángulos no son iguales.

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  3. En el ángulo rectuso es correcto que los triángulos KDA y KCG son iguales. El problema radica en el dibujo, en el cual nunca hay que confiar. El error está en la resta KCG – KCD = GCD la cual es incorrecta.

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  4. En el primer caso el punto C siempre esta al otro lado del csegmento KG, en el segundo el punto F (supuesto que la mediatriz y la bisectriz no son paralelas) siempre esta fuera del triangulo.

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  5. Hace relativamente poco que me pelié con la falacia de la “Isoscelosis” y el problema radica en que, en general, dependemos mucho de las figuas y dibujos para hacer demostraciones geométricas, es por eso, entre otras cosas, que se sentaron después sistemas axiomáticos como el de Hilbert.

    Una figurilla para mejor visualización:

    http://www.fon.gs/Isoscelesosis

    El problema está en que, en nungún caso la bisectriz y la mediatriz del lado opuesto de un triángulo (DE en este caso) se cortan en el interior del mismo, se cortan justo en la circunferencia circunscrita del triángulo (Es fácil demostrarlo). Así que los puntos G y H tienen distinta posición. Además, el teorema de la línea de Simson asegura que estos pies de las perpendiculares trazadas desde E (que son H,D y G) a los lados del triángulo son colineales. Por lo que uno de los dos puntos G ó H queda dentro o “entre” un lado del triángulo y el otro queda fuera de otro lado del triángulo. Así no son válidos varios de los argumentos presentados que indican aquello de la isoscelosis. Jeje.

    Saludos.

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  6. El tercero me ha costado mas… La proyeccion del punto B sobre la recta AD no tiene por que caer dentro del segmento AD. Cuando no se da esta condicion el cuadrilatero no es un paralelogramo.

    PS: Este tipo de problemas se prestan muy bien a ser estudiados “interactivamente” con programas como Geogebra: http://www.geogebra.org/

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  7. En el tercer ejemplo, creo que la prueba falla no por la ubicación interior o exterior de los puntos X o Y, sino más bien en la afirmación “De aquí los triángulos BXD y DYB también son congruentes”.

    Estos triángulos tienen un ángulo recto y uno de los catetos iguales (BX=DY), pero al afirmar que son congruentes estamos diciendo que \angle BDX=\angle DBY. Pero, aunque hayamos trazado la diagonal BD, estamos haciendo uso implícito de que los lados BC y AD son paralelos (¡y esto es lo que queremos demostrar!).

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  8. En cuanto al ejemplo 1, estoy de acuerdo con Apokathastasis. La prueba me parece correcta hasta llegar a la afirmación KCG - KCD = GCD. Lo que se tiene es que esa resta define un ángulo que sumado al \angle KCG da 360^\circ, y por tanto la igualdad pretendida sólo es posible si \angle KCG=180^\circ. Pero entonces K,C, G no determinan ningún triángulo y no tiene sentido plantear la igualdad con el triángulo KDA. Notar que el ángulo \angle KDA no puede ser de 180^\circ, ya que K está en el segmento EF.

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  9. En lo que respecta al ejemplo 2, es como dice P. De AH=AG y HB=GC sólo se llega (restando o sumando) a que AB=AC si ambos puntos H y G tienen la misma posición interior/exterior en los respectivos segmentos, y de hecho lo que se da es que cuando uno está dentro, el otro está fuera.

    Por cierto, ^DiAmOnD^, hay una pequeña errata en el párrafo que dice “A partir de aquí se tiene que los triángulos AFC y AFH son iguales”: debe ser “A partir de aquí se tiene que los triángulos AFG y AFH son iguales”.

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  10. EL FALSEDAD DEL PRIMER CASO ES EN DECIR QUE EL LADO CB=CG, YA QUE HACIENDO LAS CORRECTAS MEDICIONES ES INCORRECTO POR QUE EL LADO CG < CB, POR LO TANTO ESTA MAL LA SIGUIENTE FRASE DE LA DEMOSTRACION:
    Por otra parte, se tiene que (son dos de los lados del cuadrado inicial) y además también son iguales a (por construcción de este segmento). Esto significa que los triángulos y tienen iguales todos sus lados, por lo que los ángulos y son iguales.

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  11. LA FALSEDAD EN EL SEGUNDO PROBLEMA ES QUE ESTA EN LA GEOMETRIA VISUAL O DIBUJO, YA QUE BD <DC, YA QUE PARTIENDO DEL LADO CORRECTO,EN UN TRIANGULO EQUILATERO CON LOS MISMOS VERTICES ABC SE CUMPLE LA PRIMERA HIPOTESIS DE QUE LA BISECTRIZ NO CORTA AL LADO “DE” Y AL IR AUMENTANDO LOS LADOS AC Y BC PARA QUE VAYA TOMANDO FORMA DE UN TRIANGULO ESCALENO, EL PUNTO F QUEDA FUERA DEL TRIANGULO, Y EN LA DEMOSTRACION QUEDO ADENTRO HACIENDO TRAMPA VISUAL AL PONER EL LADO BD < DC

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