Falacias geométricas (II)

En este artículo os voy a mostrar otras dos falacias geométricas que no son fáciles de refutar (las tres anteriores las podéis ver en Falacias geométricas (I)).

¿Que \pi es cuánto?

El valor de \pi, razón entre la longitud de una circunferencia y el diámetro de la misma, es bastante conocido por todo el mundo. Es un número irracional (podéis verlo aquí y aquí) cuyo valor redondeado a cinco decimales es 3,14159. Pues bien, vamos a demostrar el siguiente teorema:

Teorema:

El valor de \pi es 2.

Demostración:

Pi es igual a 2

Partimos de la conocido símbolo del yin-yang, como puede verse en la figura de la derecha. Supongamos que el diámetro AB es igual a 2. Sabiendo que la longitud de una circunferencia de diámetro 2 es L=2 \pi tenemos que la longitud de la semicircunferencia que va de A a B es \pi.

Los dos semicírculos de tamaño inmediatamente inferior, los que forman la curva central del típico símbolo del yin-yang, tienen longitud \textstyle{\frac{\pi}{2}} (son semicircunferencias de una de diámetro 1), por lo que la suma de sus longitudes vuelve a ser \pi. Si dibujamos otros dos semicírculos del mismo tipo dentro de cada uno de los dos semicírculos anteriores tenemos que cada uno de ellos tendrán longitud \textstyle{\frac{\pi}{4}}. Como tendremos cuatro semicírculos así, la suma de sus longitudes vuelve a ser \pi.

Continuando con el proceso obtenemos siempre un conjunto de semicírculos, cada vez más pequeños, cuya suma de longitudes es \pi. El límite de la curva formada por esos semicírculos es el diámetro AB. Esto es, si realizamos esta construcción infinitas veces, tenemos que cuando el límite de los diámetros de las circunferencias sea {0} la curva formada por los semicírculos coincide con el diámetro AB. Pero la curva mide \pi y AB mide 2. Por tanto \pi=2.

Que nooooo, que el quinto postulado no es independieeeeente

El quinto postulado de la geometría euclídea, el conocido postulado de las paralelas, afirma (utilizando una de sus versiones más sencillas) que a partir de una recta y un punto exterior a la misma sólo puede trazarse una única recta paralela a la dada que pase por dicho punto. Está demostrado que ese postulado es independiente de los otros cuatro y que tanto tomándolo como cierto como tomando cualquiera de los dos enunciados que obtendríamos negándolo obtenemos geometrías consistentes.

¿Seguro? Vamos a demostrar el siguiente teorema:

Teorema:

El postulado euclídeo de las paralelas puede ser demostrado a partir de los restantes axiomas de la geometría euclídea.

Demostración:

Paralelas

En la figura adjunta tenemos un gráfico de la demostración. La recta de la que partimos es la recta AB y el punto dado es C. Trazamos desde C una perpendicular a AB (puede construirse sin utilizar el postulado de las paralelas que sólo puede construirse una perpendicular como ésta), obteniendo así el punto D. Por el punto C trazamos la recta EF, perpendicular a CD (también única, por lo dicho anteriormente).

El teorema que afirma que dos rectas perpendiculares a una dada son paralelas puede demostrarse sin necesidad de utilizar el postulado de las paralelas, por lo que las rectas AB y EF son paralelas.

Queda demostrado entonces el postulado de las paralelas.

El reto

¿Podéis refutar estas dos demostraciones?

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

41 Comentarios

  1. En el primer caso, pensando así muy rápidamente, ¿puede ser que no exista el paso al límite?

    La sucesión de sucesivas curvas siempre da longitud \pi
    El diámetro siempre vale 2
    No hay límite porque no hay una sucesión de valores convegente.

    Saludos

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  2. Y el segundo demuestra que la recta EF es la única que se puede construir con ese proceso, pero no se ha demostrado lo fundamental, es decir: que la recta EF no se corta con la AB.

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  3. Sí. He visto (y me he rallado por) bastantes ejemplos como ése este año, sobre todo a la hora de fundamentar el cálculo infinitesimal y justificar principios como el de Cavalieri La falacia está en deducir del límite que las longitudes son las mismas. Un ejemplo más drámatico surge si consideramos f_n(x)=\frac{1}{n}\sin(\frac{1}{x}) Claramente \lim_{n\rightarrow \infty} Im(f_n)=\{0\}, es decir, la gráfica de está sucesión de funciones tiene a una recta, la recta y=0, sin embargo en cada intervalo que contenga al cero la longitud de la gráfica va a ser infinita.
    En general, cuando decimos que una curva tiende a otra queremos decir que si tenemos una sucesión de curvas cerradas en el plano (digamos C_n, y otra dada, (digamos S), dado un \varepsilon \in \mathbb{R}^+ siempre podemos encontrar un n_0 \in \mathbb{N} tal que \forall n\geq n_0, \quad C_n \subset \{ x \in \mathbb{R}^2 \, : \, \, d(x,S)\leq \varepsilon \} donde d(x,S) denota la mínima distancia entre el punto x y un punto de la curva S.(por lo menos esa es la definición que veo razonable, ^DiAmOnD^, si usas otra escríbela explicitamente ok? 🙂 ). Pero si nos fijamos cada uno de estos \{ x \in \mathbb{R}^2 \, : \, \, d(x,S)\leq \varepsilon \} son conjuntos BIdimensionales, por lo que aunque exijamos que nuestras curvas terminen cayendo cerca de la curva dada, no tenemos ningún control sobre las longitudes de estas, pues el hecho de estar contenidas en un conjunto de dos dimensiones les permite tener desde longitud cero hasta longitud infinita, como ocurría en mi ejemplo.

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  4. (por cierto, cuidado con “por lo que las rectas AB y CDparalelas.” creo que no es lo que quieres decir 😉 )

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  5. * Primero:
    si AB es 2… los diámetros pequeños son 2/N y las longitudes de semicircunferencias pequeñas son pi/N

    El límite de N* pi/N es pi. (que es el valor para cada N)

    El fallo es decir que “el límite de la curva es el diámetro AB” …

    Aunque, en el caso de los humanos, sí se cumple: pies igual a dos :-p (lo se, el chiste es malo pero tenía que decirlo)

    * Segundo:
    CD perpendicular a AB
    y EF perpendicular a CD
    NO IMPLICA que AB sea paralelo a EF.

    ejemplo: cuando AB y EF no están en un mismo plano… Por ejemplo, una carretera AB en dirección Norte-Sur que en un punto D tiene una columna DC que soporta un puente por el que pasa otra carretera en dirección Este-Oeste.
    Otro ejemplo sería una superficie curva como un globo terráqueo ideal… AB puede ser un meridiano y EF otro meridiano… y aunque tengan una línea CD perpendicular a ambos (un paralelo terrestre) sin embargo AB y EF no son paralelas ya que se cortan en los polos. En este caso, los ángulos del triángulo formado por Polo, C y D suman más de 180 grados!! (90+90+ángulo que forman AB y EF al cortarse en el Polo)

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  6. vengoroso,
    OK, la geometría esférica (el ejemplo del globo terráqueo) no es válida porque por dos puntos (polo norte y polo sur) pasan infinitas rectas… es decir, no cumple el primer postulado de Euclides.
    Y en el caso de la pregunta que me haces, por un punto C (el polo) exterior a una recta (Ecuador) no pasa una única perpendicular…

    De todas formas, no se me ocurrió un ejemplo donde pueda verse fácilmente que no se cumpla el quinto postulado y sí los demás.

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  7. El segundo caso es más sencillo que todo eso, no hace falta irse por las ramas con geometrías no ecluideas.

    La segunda demostración incurre en razonamiento circular justo al final, cuando concluye que las rectas son paralelas.

    DC forma cuatro angulos rectos con AB y EF, pero para concluir que “por tanto AB y EF no se cortan (o son paralelas)”, hay que usar precisamente el axioma que tratamos de demostrar. Es decir, falacia lógica como la copa de un pino.

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  8. @sive: Al contrario, es necesario irse a geometrías no euclídeas porque en geometría euclídea el quinto postulado es cierto. Cualquier “demostración” del quinto postulado lo estará empleando falazmente en alguna parte. Lo que hace euclídea a la geometría euclídea es la ausencia de curvatura.

    @Alberto Cid: El plano hiperbólico es un ejemplo que satisface los 4 primeros postulados pero no el quinto. Ahí también se puede ver que la demostración falaz hace aguas: perpendicular a perpendicular no tiene por qué ser paralela.

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  9. Como veo que ya habéis refutado el segundo como yo pensaba hacerlo voy a dar otra forma de demostrar que \pi\neq2:

    Cuando suponemos que cuando el límite de los diametros de las curvas es 0 entonces \pi=2, porque la curva se cierra y se va pegando cada vez más al diametro. Pero entonces si aplicamos la fórmula que hemos usado anteriormente para encontrar la medida de la curva nos daría
    esto: \pi\cdot r, si d=0, \frac{d}{2}=r=\frac{0}{2}=0, entonces tendríamos que la curva mide\pi\cdot0=0 y entonces tenemos que la suma de infinitas curvas que miden 0 es igual a 0 lo que quiere decir que el diámetro de la circunferencia grande es igual a cero, pero ya sabemos que es 2 entonces tenemos que 2=\pi=0\Longrightarrow2=0, pero 2\neq0.

    ¡Reductio ad absurdum!

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  10. que es falso es evidente (pues como tú bien dices la reducción al absurdo junto con la conclusión de que \pi=2 nos dice que algo ha de estar mal). todo el punto es encontrar la falacia en el razonamiento que conduce al error.

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  11. Pues la falacia es afirmar que la longitud de la circunferia cuando el diámetro tiende a cero es algo, dado que están relacionadas. ¿No?

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  12. No. La longitud de cada cirumferencia de cada uno de los semicírculos tiene a cero, pero como el número de semicírculos también crece y tiende a infinito de manera adecuada, la suma de las longitudes de las semicircumferencias siempre es \pi. Hasta ahí bien. La falacia es deducir del hecho de que como la construcción tiende al segmento AB, también debe tender la longitud de cada conjunto de semicirumferencias a la longitud del segmento AB. Esto no es cierto, como expliqué arriba 🙂

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  13. He leído tú deducción pero creo que te equivocas, esa curva no está en R^2 como tu dices sino en R dado que no está cerrada y si se estirara de cada extremo acabaría dando una recta, una sola dimensión, como el diámetro.

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  14. Quisiera dar una pequeña de vuelta de tuerca más a la primera cuestión: en la iteración n\geq 1 del proceso hay 2^{n-1} circunferencias de radio \frac{1}{2^{n-1}}. Para cada una de ellas la longitud será \pi veces el radio: \frac{\pi}{2^{n-1}}. Sumando las 2^{n-1} vemos que la suma da \pi independientemente de n.

    La falsedad proviene de usar indiscriminadamente la aproximación para n suficientemente grande de la longitud de la semicircunferencia por el valor del diámetro. Si ponemos L\sim 2\frac{1}{2^{n-1}}, n grande, vemos que ahora la suma da 2.

    Precisamente el error que se comete al aproximar la longitud por el diámetro es \frac{\pi-2}{2^{n-1}}, y si sumamos los 2^{n-1} errores da un error acumulado \pi-2. Newton decía algo así como que en Matemáticas ni los errores más diminutos deben ser menospreciados 🙂

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  15. \mathbb{R}^2 es el plano real… las curvas están contenidas en un plano, no en una recta (no serían curvas entonces, como mucho segmentos). No se me ocurre como explicártelo de otra manera hoy, pero de todas maneras no tengas tanta ansia, que creo que ninguno solemos estar pendientes del blog 24 horas al día.
    M, no entiendo tu argumento. ¿En qué momento se usa la aproximación de la que hablas?

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  16. Ghibertti, tranquilidad. Como dice Dani creo que ninguno de nosotros, ni siquiera yo, podemos estar pendientes del blog en todo momento. Te pediría, en la medida de lo posible, que si esto vuelve a ocurrir no escribas tantos comentarios como lo has hecho aquí. Si no te importa voy a borrar algunos de ellos.

    Las interrogaciones las escribí porque no entendía este comentario tuyo. Sólo eso.

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  17. En la segunda demostración, como dicen más arriba, el problema está en que da por supuesto que nos encontramos en un plano.

    Por tanto, sólo se ha demostrado que el quinto axioma depende de los demás dentro de la geometría plana.

    En la primera demostración, el problema está en suponer que a medida que “avanzamos” vamos aproximando la longitud del conjunto de semicircunferencias a la longitud del diámetro principal.

    Desde mi punto de vista se me ocurren varias posibles refutaciones, para una de ellas sólo hay que ver que estamos tratando con un fractal y que por tanto, aunque nos parezca que la longitud tiende a cero, sólo se trata de una cuestión de escala.

    Otra forma más sencilla de verlo sería “acotar por abajo” la longitud de cada pequeño semicírculo usando el diámetro de cada semicírculo.

    Imaginemos que cada semicírculo está inscrito en un rectángulo de altura igual al radio y anchura igual al diámetro del semicírculo… así, incluso sin necesidad de cálculos, así se observa que la diagonal de dicho rectángulo es menor que la longitud de la circunferencia del semicírculo.

    Por tanto, aunque las longitudes tiendan a cero, siempre serán mayores que 2.

    Eso sí, aquí también estamos usando el hecho de que se trata de un fractal… y por lo tanto no estamos hablando de geometría euclídea.

    (Se nota que a ^DiAmOnD^ le gustan la geometría y los fractales!!).

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  18. Corrección:
    “Por tanto, aunque las longitudes tiendan a cero, sempre serán mayores que 2… AL SUMARLAS

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  19. Ghibertti, olvida lo que dije sobre curvas cerradas, da igual, el punto importante es el que recalca mimetist, que es el hecho de que por “acercarnos” al diametro por las semicircumferencias se deben ir “acercando” las longitudes también. Esto es falso. El ejemplo de las gráficas de la sucesión de funciones \frac{1}{n}\sin(\frac{1}{x}) (en un intervalo apropiado) es aun más claro. Cojamos el intervalo (0,1) En cada oscilación, el seno va desde -\frac{1}{n} hasta \frac{1}{n}, con lo cual la longitud de la gráfica en cada oscilación es mayor que \frac{2}{n}, un número que decrece muy rápido pero es finito para cada n natural. Pero Desde el cero hasta el uno oscilla infinitas veces, luego la longitud de la curva desde el cero hasta el uno es infinita. Por otra parte esta sucesión converge a la función cero, que tiene longitud 1 desde el cero hasta el uno.

    Esto ocurre por el hecho de que la convergencia sin más de una curva a otra no nos permite deducir nada sobre las longitudes de las curvas en cuestión, que es la falacia del primer argumento. La convergencia tal como la definí solo va metiendo nuestra sucesión de curvas en “cajas” o “salchichas” alrededor de la curva a la que converge, en este caso al diametro, pero como cada una de estas “cajas” es un objeto de dos dimensiones cada curva de la sucesión tiene la libertad de tener la longitud que quiera, y desde luego no tiene por que acercarse a la longitud de la curva a la que se acerca. Espero haber aclarado lo que quería decir.

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  20. ( Y Ghibertti, una curva en el plano es, POR DEFINICIÓN -por lo menos en geometría diferencial- una aplicación C:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^2 de un intervalo cerrado de la recta real [a,b] \subset \mathbb{R} en el plano real. No quería decir nada más, ni sobre su topología ni sobre nada, era solo una manera de expresar rigurosamente lo que pensaba 🙂 )

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  21. Para el primero, como muchos ya dicen, la falacia está en dar por supuesto que como el límite (de los grafos) de la curva de semicircunferencias es (el grafo de) el diámetro, el límite de la longitud también será el diámetro.

    El problema es que el concepto de “longitud” no puede definirse para toda curva continua. La noción de longitud no depende sólo del grafo de una curva, sino de cómo esté parametrizada. Y las parametrizaciones de la curva de semicircunferencias no tienden a la parametrización del diámetro. En palabras técnicas, la curva límite no es rectificable, por lo que no tiene sentido hablar de su longitud, y mucho menos afirmar que es igual al límite de las longitudes.

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  22. que cosas! puedes poner algún ejemplo de una curva parametrizada de dos maneras distintas que tenga distintas longitudes con cada parametrización, o eso solo es cierto cuando consideras un “limite de parametrizaciones” y el “limite de longitudes” apropiado? (como haya un ejemplo para la primera flipo jajajaj!!!) ajajaj
    ah! y me podríais decir si estáis de acuerdo con mi definición de “limite de una sucesión de curvas a otra curva”? es que me la inventé al intentar explicarme y no estoy seguro si está bien construida!

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  23. @mimetist: El quinto postulado es independiente de los demás en la geometría plana euclídea. La “demostración” presentada por ^DiAmOnD^ es también inválida en el plano.

    @vengoroso: Precisamente porque cualquier demostración del quinto postulado es inválida en la geometría euclídea, es por lo que no es necesario salirse de ella para refutar dicha demostración. Es cierto que salirse de la geometría euclídea fue el camino para demostrar que el axioma es independiente, pero el reto que plantea ^DiAmOnD^ no es tan ambicioso.

    @^DiAmOnD^: ¿Has cambiado un poco el enunciado al final o lo lei yo mal ayer? El error sigue estando en el mismo sitio, pero ahora he visto que afirmas que dos perpendiculares a una dada son paralelas y que eso es un teorema independiente del quinto postulado. Eso es falso, ni es verdad que se pueda demostrar sin el quinto postulado, y aunque lo fuera, no demostraría que las paralelas por esos puntos son únicas.

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  24. Dani, la cuestion es lo que entendemos por curva. Intuitivamente identificamos “curva” con su grafo, pero para poder trabajar matematicamente (tomar limites y ese tipo de cosas) necesitamos una definicion mas adecuada. Una curva (plana, con extremos) es simplemente una funcion continua \gamma: [0,1] \to \mathbb{R}^2 , tambien podemos definir curvas sin extremos usando el intervalo abierto en vez de cerrado. Las nociones de “limite” y demas se reducen entonces a limites de funciones. El grafo de la curva es simplemente la imagen \gamma([0,1]); cuando tenemos una propiedad de la curva que se reduce a una propiedad del grafo, entonces esa propiedad es “independiente de la parametrizacion”. Por ejemplo, “ser acotada” (i.e. el grafo contenido en una region acotada del plano) es una propiedad que no depende de la parametrizacion. La “longitud” es problematica porque no es facil dar una definicion. Suele definirse empleando integrales de Lebesgue, pero para esto necesitamos que la curva sea limite uniforme de curvas rectilineas a trozos. Todos los problemas surgen del hecho de que el espacio de funciones continuas es un espacio de dimension infinita y tenemos varias nociones de convergencia no equivalentes, y no todas compatibles con las propiedades que nos gustarian. Pero esto se sale ya de mi area de especializacion, creo que M o Tito Eliatron pueden dar mejores explicaciones al respecto.

    Antes me he explicado mal, si una curva es rectificable (tiene una longitud bien definida) entonces se puede demostrar que la longitud es independiente de la parametrizacion. Lo que queria decir es que aunque el limite de los grafos sea el diametro, la sucesion de funciones no converge a la misma curva que el diametro sino a una curva con el mismo grafo pero que no es rectificable.

    Las “curvas malas” (no rectificables) son casi siempre ejemplos patologicos que aoarecen como paso al limite. Cuando las curvas son bonitas (diferenciables, admitiendo parametrizaciones por el arco y demas) las definiciones (y las demostraciones) se vuelven mucho mas sencillas.

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  25. sive: de acuerdo, pero lo que no puedes hacer sin salirte de la geometria euclidea es dar un contraejemplo que invalide el punto conflictivo. Una cosa es decir “B no se deduce necesariamente de A” y otra “este es un ejemplo donde se tiene A pero no B”.

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  26. Eso si vengoroso, para los contraejemplos las geometrías no euclídeas vienen de maravilla, incluso para detectar donde está el error, pero como ya sabemos que la demostración es falsa no creí que el camino de dar un contraejemplo fuera una forma válida de superar el reto planteado por ^DiAmOnD^.

    Pero sí reconozco que a mí estos contraejemplos me han venido mu y bien para localizar rápidamente el error (si es que está donde yo creo que está).

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  27. Sive, sí, cambié algo una frase ya que me di cuenta de que estaba mal escrita. Ya escribiré las soluciones un día de estos.

    Sobre la foto de hoy perdón, ha sido error mío. Se publicará a las 15:30.

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  28. ups, perdón… ^_^ tienes toda la razón, sive, metí la pata hasta más allá del fondo al decir que en la plana sí depende.

    Aunque supongo que el resto de la idea sí es correcta: la demostración funciona porque se trata de un caso concreto. 😀

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  29. como se puede hacer cinco circunferencias que pasen por los extremos de un segmento

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  30. Aunque un poco tarde, creo que tengo otra demostración para refutar la primera falacia.

    El diámetro de cualquier semicircunferencia que obtengamos al subdividir será \frac {2}{n} (n es el número de subdivisiones que hagamos). Por lo tanto, la longitud de esa semicircunferencia será \frac{\pi \frac {2}{n}}{2} \Rightarrow \frac{\pi}{n} , y su suma será la longitud de la semicircunferencia por el número de subdivisiones que tengamos: \frac{\pi}{n}n. Si simplificamos, nos queda que la suma es \pi para cualquier número.

    Si ahora entramos en el caso particular en el que el radio sea 0:  \frac {2}{n}=0 \Rightarrow n=\infty. Cuando sustituimos el valor de n en la fórmula anterior (\frac{\pi}{n}n) tenemos una indeterminación (\frac {\infty}{\infty} o 0*\infty según se opere). Por lo tanto, no podemos asegurar que la suma valga \pi .

    No estoy seguro de que sea válida ni correcta, así que no me linchéis mucho 😛

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  31. Aquí otra que creo es sencilla (y que por cierto me viene de un engaño que hizo alguien que tenía que construir un cable o algo así, pero no lo recuerdo).

    Aproximemos el semiperímetro por un triángulo isósceles al que le quitamos la base (de base 2 y altura 1) pudiendo afirmar trivialmente que el perímetro (del semicírculo) deberá ser mayor que el del triángulo (sin contar la base, obviamente), entonces, siguiendo el simil recursivo del yen&yan, un triángulo isósceles se divide en dos triángulos isósceles más pequeños uno mirando arriba y otro mirando abajo (sus respectivos de la división del yen&yan).

    Es trivial ver que, por mucho que dividamos los triángulos isósceles, la longitud se mantiene fija y por tanto el valor de Pi por muchas divisiones que se hagan nunca será 2 (es, al menos, mayor que 2*raíz(2) ), de hecho permanece fija.

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  32. alguien se dio cuenta que la longitud del circulo es 2*pi*radio?
    en fin,un año tarde pero encantado de ver esto

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