Falsedad e inducción al error en dos cuestiones sobre el cálculo de integrales

Como hemos comentado en algún otro momento (como cuando hablamos sobre integración por partes), el tema de la integración es, en muchas ocasiones, un arte. Y hasta llegar a dominar este arte mucha gente sufre, suda sangre y necesita invertir una gran cantidad de tiempo (cada vez más). ¿Tiene algún sentido entonces complicar aún más la vida al personal? Parece que algunos piensan que sí…

Voy a hablaros de un par de cuestiones que mis chicos se han encontrado en clase este año, relacionadas con integrales, que a mí me parecen sinsentidos. Y en las dos los protagonistas son profesores universitarios.

Cálculo de las constantes en integración de funciones racionales

En integración de funciones de una variable se considera función racional a un cociente de polinomios, por lo que el objetivo en este caso es calcular la integral

\displaystyle{\int \cfrac{P(x)}{Q(x)} \; dx}

donde tanto P(x) como Q(x) son polinomios.

Sin entrar en muchos detalles sobre su resolución, la cuestión es que cuando el grado del polinomio de arriba es menor que el grado del polinomio de abajo debemos factorizar el de abajo y expresar el cociente de polinomios como suma de fracciones simples en cuyos numeradores aparecen constantes que hay que determinar. Nos situamos, ¿verdad?

Bien, hay dos métodos para calcular esas constantes, para los cuales primero hay que expresar esa suma de fracciones simples como una única fracción cuyo denominador será el inicial, Q(x). Después igualamos numeradores, el inicial, P(x), y el que nos queda en dicha fracción, con lo que obtenemos una igualdad de polinomios. Los dos métodos son los siguientes:

  1. Igualamos los coeficientes pertenecientes al mismo monomio de los dos polinomios. Con esto obtenemos un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son las constantes que queremos calcular. Resolvemos el sistema y ya tenemos dichas constantes.
  2. Sustituimos x por tantos valores distintos como constantes haya que calcular. Con cada valor sustituido obtenemos una ecuación. Resolviendo el sistema formado por todas ellas obtenemos también nuestras constantes.

Los dos son válidos, ya que se basan en las propiedades de la igualdad de polinomios:

  1. Si dos polinomios son iguales, entonces los coeficientes del mismo monomio de cada polinomio son iguales.
  2. Si dos polinomios son iguales, entonces los valores que dejan al sustituir la variable por cualquier número real son iguales.

Bien, pues este año un profesor de uno de los grupos que tengo les ha comentado que el segundo método no siempre sirve, que no nos va a dar las soluciones correctas en todos los casos. Así, sin más, sin dar ninguna explicación o al menos un ejemplo en el que eso ocurra.

La cuestión es que este segundo método suele dejar ecuaciones más sencillas que el primero, por lo que el cálculo de las constantes es mucho más rápido y, por tanto, más sencillo. ¿Por qué decirles que no sirve siempre? Lo único que se me ocurre es que él prefiera que resuelvan estos ejercicios igualando los coeficientes de ambos polinomios, pero ¿es necesario decirles algo que no es cierto? Yo creo que no.

Colocación de los diferenciales en una integral doble

En la segunda cuestión nos adentramos ya en la integración múltiple, en concreto en este caso en integración doble. Otra vez sin entrar demasiado en detalles, la integral doble de la función f(x,y) sobre la región bidimensional \Omega se escribiría de esta forma:

\displaystyle{\int \int_{\Omega} f(x,y) \; dx \; dy}

El procedimiento para resolver esta integral consiste en calcular los límites de integración de x y de y y después integrar primero respecto de una variable y después respecto de la otra. ¿En el orden que queramos? En general no, dependerá de los límites de integración. Pero no nos vamos a meter en eso.

La cuestión es que después de calcular los límites de integración los colocaríamos en las integrales (aquí es donde hay que tener algo de cuidado) y después colocaríamos los diferenciales de manera coherente con la colocación de los límites de integración. Con esto ya tenemos la integral totalmente planteada, y la podemos resolver calculando la integral interior y después la integral exterior del resultado de la interior.

¿Qué significa eso de “…colocaríamos los diferenciales de manera coherente con la colocación de los límites de integración“? Muy sencillo. Si observáis la forma en la que se resuelve la integral (primero la de dentro y después la de fuera), se entiende que lo más lógico es que el diferencial que se escribe al final (el externo, el de fuera) sea el de la variable cuyos límites de integración están colocados en la primera integral que se escribe (la externa, la de fuera), y que el diferencial de dentro vaya con la integral de dentro, ¿verdad? Os pongo un ejemplo:

Si \Omega = \{ (x,y) \; / \; a \le x \le b, c \le y \le d \}, entonces la integral doble de una función f(x,y) sobre \Omega se puede plantear de estas dos maneras:

\displaystyle{\int_a^b \int_c^d f(x,y) \; dy \; dx} \qquad \qquad \displaystyle{\int_c^d \int_a^b f(x,y) \; dx \; dy}

(Por comodidad se han tomado números reales para todos los límites de integración. En general, como hemos comentado, habría que tener algo más de cuidado al colocarlos.)

¿Os habéis fijado en la colocación de los límites de integración y los diferenciales? En cada uno de los planteamientos la integral de fuera corresponde con el diferencial de fuera, y la integral de dentro con el diferencial de dentro (las de fuera están con una tipografía y las de dentro con otra):

\displaystyle{ \mathbf{ \int_a^b } \int_c^d f(x,y) \; dy \; \mathbf{ dx }}

Y hemos dicho que esa es la mejor forma de colocarlos para evitar errores y para que la gente no se líe, ya que así nos queda completamente planteada la integral de dentro, que es la primera que hay que hacer, y tenemos todo colocado para hacer después la integral de fuera:

\displaystyle{\mathbf{ \int_a^b } \left [ \int_c^d f(x,y) \; dy \right ] \; \mathbf{ dx }}

¿No os parece la manera más razonable de colocar las cosas? Bien, pues parece que a algunos profesores de por aquí no les parece la manera más coherente. Hay un profesor que obliga a colocar los diferenciales al contrario en el planteamiento inicial. ¿La razón? No la sé, simplemente que hay que colocarlo así y punto. Vamos, que el planteamiento inicial de la integral anterior quedaría así:

\displaystyle{\int_a^b \int_c^d f(x,y) \; dx \; dy}

¿Entonces hay que integrar primero respecto de x? No, el orden de integración sigue siendo el marcado por el orden en el que hemos colocado los límites de integración, por lo que en el siguiente paso hay que cambiar los diferenciales de sitio y seguir el ejercicio como hemos comentado antes. Esto es, la cosa se escribiría tal que así, según este profesor:

\displaystyle{\int_a^b \int_c^d f(x,y) \; dx \; dy = \int_a^b \left [ \int_c^d f(x,y) \; dy \right ] \; dx}

Y digo yo: si en el siguiente paso vamos a colocar las cosas bien, ¿qué sentido tiene obligar a que se coloquen al revés en el planteamiento inicial? Lo único que se consigue con esto es que los chavales se confundan, y creo que no es ése el objetivo que se persigue, ¿verdad?

Ah, este tema es aún más grave, ya que este profesor que coloca los diferenciales al revés de como debería ha obligado al profesor del primer curso (él da en un curso superior) a colocar los diferenciales también al revés, cuando éste último los colocaba bien hasta el año pasado. Lo que decía al principio, un sinsentido.


Con todo esto no pretendo criticar a los profesores en conjunto, ni siquiera a estos dos profesores. Lo que pretendo es hacer ver que debemos intentar poner todo lo posible por nuestra parte para que la comprensión de los contenidos sea completa. Quizás así tampoco lo consigamos con todo el mundo, pero seguro que complicando las cosas de manera innecesaria tampoco lo haremos. Posiblemente lo mejor que se puede hacer es acordar unas Reglas de higiene matemática razonables, que ayuden en vez de molestar, y que sean coherentes con los principios matemáticos y con la manera en la que se realizan los propios cálculos.

Me interesa especialmente vuestra opinión sobre todo esto. Os agradeceré mucho que lo hagáis en los comentarios.


Por cierto, estos profesores no son los que protagonizaron el affaire de la condición suficiente de diferenciabilidad, pero dan clase en el mismo sitio, donde también dio clase la profesora de la que os hablé aquí. Y os aseguro que hay muchas más cosas que contar, pero por ahora voy a dejarlo aquí. De todas formas creo que va tocando un poquito de reflexión.


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37 comentarios

  1. Juanjo | 16 de mayo de 2012 | 12:11

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    Realmente es una pena que los profesores de matemáticas hagan “imposiciones” de nomenclatura o método sin demostrar nada…¿No va eso en contra de lo que son las matemáticas?

    Creo que así los chavales se desaniman, se vienen abajo y encima se les complica la existencia. El año que viene llega otro profesor que les “obligue” a escribir las cosas de otra forma y ya tienen el pisto montado….

    Espero que este tipo de sinsentidos estén en extinción o servidor va a pasarlo mal estudiando matemáticas :P.

  2. Trackback | 16 may, 2012

    Bitacoras.com

  3. sheriff | 16 de mayo de 2012 | 13:32

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    Con el primero de los casos me he encontrado alguna vez, y puedo verle una explicación al intento del profesor de convencer a los alumnos por el 1er método. Supongamos que tenemos (x+1)/((x^2+1)(x^2+2)). Si por algún casual el alumno intenta ponerlo como A/(x^2+1)+B/(x^2+2) (y no como Ax+C y Bx+d) acostumbrado a las más simples, puede proceder con el método de sustituir la x después y pensar que está haciéndolo bien, cuando claramente no es así. Y como hay prisa no se comprueba.

    Con el otro método, en principio, te das cuenta de la mala suposición y no fallas. Claro está que mejor sería explicarlo todo al detalle, peeero…

  4. Alejandro | 16 de mayo de 2012 | 14:07

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    Yo siempre he preferido la forma que me enseñaron en ecuaciones diferenciales. Después del signo de integral, el diferencial:
    \displaystyle{ \mathbf{\int_a^b } dx  { \int_c^d f(x,y) \; dy  }  \; }
    Así no hay confusiones. Luego separas (si es posible por Fubini) e integras.

  5. Enzo | 16 de mayo de 2012 | 14:15

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    Quería comentar porque algunos docentes toman la decisión de que el primer método no es válido. Creo que el el tema es que a la izquierda de la igualdad que nos queda, tenemos un polinomio y a la derecha una suma de términos factoreados. Por ejemplo:

    1 = A(x-2)(x-3) + B(x-3)(x-1) + C(x-2)(x-1) y para abreviar se toma x = 2, x = 3, x = 1 y de esa manera se pueden calcular A, B y C, pero al tomar esos valores estamos haciendo cero los denominadores de la cual provino la igualdad y creo que ahí es donde se produce el corto circuito para estos profesores. Espero haber sido claro.
    Un saludo cordial

  6. Antonia | 16 de mayo de 2012 | 15:19

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    Enzo, aun asi pienso que el método es correcto.Al menos no se me ocurre un caso para el que no valga..Las ecuaciones resultantes son más sencillas.

  7. Maestrillo | 16 de mayo de 2012 | 15:47

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    Estoy más que de acuerdo con sheriff. Veamos

    Lo peor que puede hacer uno es tomar por su valor nominal lo que dice un alumno, por niversitario que sea. El estilo indirecto del relato es muy engañoso. Vamos, que me gustaría saber (sobre todo en el primer caso) las palabras textuales del profesor. El estilo indirecto no lleva a esto:

    “Bien, pues este año un profesor de uno de los grupos que tengo les ha comentado que el segundo método no siempre sirve,”

    A lo mejor lo que ha dicho literalmente es “el método no OS sirve” o alguna variante. Yo al segundo método le veo pedagógicamente muchos inconvenientes y no es mala práctica docente plantear las cosas de manera que en los exámenes tengan las complicaciones justas.

    Veámoslo al reves y con los datos que sabemos ciertos: ¡ese profesor les ha enseñado los dos métodos! es evidente porque si no ¿a santo de qué sale la disquisición sobre su uso? Claro que pueden haber sido algunos alumnos los que hayan traido por su cuenta el segundo. Pero lo dudo. Y en cualquier caso ha admitido el tema en sus clases.

    Es un lugar común que vienen menos preparados a la universidad cada curso que pasa. Son gente con los conceptos y la capacidad de cálculo muy limitada y muy poco ejercitada. El segundo método es un agujero de equivocaciones. Está lo que dice sheriff y, sobre todo, que el método pasa por una elección que se ha de hacer con tino para que resulte un ahorro y no un callejón sin salida. Hay que tener mucha soltura para saber apreciar un método que no sea de carril y los universitarios no la tienen, al menos no los suficientes como para ser indiferente respecto a cuál emplear.

    Yo apuesto a que te lo ha contado un alumno que se ha pasado un poquito de listo y nos nos cuenta todos los pronombres que el profesor utiliza.

    Un alumno puede ser hasta brillante, muchas veces arrogante, pero nunca, nunca, algo remotamente semejante a una grabadora de sonido.

  8. Maestrillo | 16 de mayo de 2012 | 15:55

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    El segundo caso me parece, en efecto, bien relatado y una pura manía del profesor.

    Pero es irrelevante. Tu pretensión es tan estética como la del profesor: parece que los dos estáis de acuerdo en qué variables hay que poner primero cuando se introducen los paréntesis que separan (anidan) las dos integrales.

  9. Javier | 16 de mayo de 2012 | 16:00

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    Si no hacemos el estudio más sencillo para los chavales, tardarán al menos dos milenios y pico en volver a descubrirlo todo paso por paso, error por error… estamos para facilitar, no para dar por saco o parecer muy inteligentes (por ser incomprensibles).

    Aunque con frecuencia sean estos últimos mucho más valorados que los son tan buenos que los alumnos exclaman: “Ah, pero es solamente eso?”

    Muchas gracias por la mención, ya que estamos…

    Saludos

    Javi

  10. tonibueno | 16 de mayo de 2012 | 16:03

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    Hombre, yo la verdad es que escucho algunas cosas que no me las creo del todo. Conozco a la gente que me cuenta sus “historias” y algunas son más que eso; cada uno cuenta lo que le interesa y exageran muchísimo las cosas.

    ¿Mi experiencia? No tengo queja ninguna. Lejos de imponernos una notación (que en algunos casos no hay más remedio) la mayoría de las veces los profesores nos preguntan si la notación que usamos es la suya, y si no es así el profesor cambia la suya por la nuestra.

    Es verdad que hay ciertas asignaturas que, al ser la primera vez que las ves, te enseñan su notación. Pero repito, la mayoría de las veces los profesores nos preguntan si la notación que ellos van a usar es a la que estamos acostumbrados en otras asignaturas.

    Mi experiencia es de Granada.

  11. Lola | 16 de mayo de 2012 | 16:46

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    Yo explico los dos y ellos usan el que prefieran (que suele ser el más sencillo), pero es cierto que algunos profesores tienen unas manías impresionantes. Yo creo que sólo le tengo tirria a la regla de tres y sólo en 1º y 2º de eso, por aquello de que entiendan la proporcionalidad.

    El post me ha recordado las barbaridad que he visto explicadas en algunas clases particulares, jajaja. Pero lo más gracioso fue cuando el profesor cogió mis apuntes (hechos por mí enteros) colgados en el blog del grupo del curso anterior (en pdf), recortó la cabecera con el nombre del centro y puso el nombre de su academia. De traca.

  12. Tobal | 16 de mayo de 2012 | 18:20

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    En el de las integrales múltiples sólo le veo la explicación de la manida notación de la composición de funciones, que también se las trae en el orden de ponerlas en algunos profesores. O también el orden de poner las parciales en varias variables.

  13. Mauriciojc | 16 de mayo de 2012 | 18:33

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    Diamond, es bueno tu artículo, a mi me interesan mucho estos temas (la enseñanza de las matemáticas).

    Algo importante a mi parecer de este post, es que quien enseña (si está interesado en el aprendizaje del alumno) trate de hacer que las cosas sean más fáciles para el alumno, y que esté abierto a que hay más de un camino para resolver un problema, el hecho de que él personalmente prefiera un método sobre otro no significa que deba imponerlo a sus alumnos.

    Sin embargo me he encontrado con cosas realmente sin sentido acerca de cómo enseñan algunos profesores, parece que más bien quisieran que el alumno se confunda, y que tenga la impresión de “las matemáticas son difíciles”. Como dice Javier, tal vez lo hacen para parecer inteligentes por ser incomprensibles.

    Hace poco una amiga me pidió ayuda con una integral, su profesor creo les había dicho que si lo resuelven tendrían algunos puntos:

    \displaystyle{\int{\frac{1-x^3-x^7-x^{11}}{x(1-x)^2(8-x^3)^3}dx}}

    Esta integral se puede resolver por fracciones parciales, ¿pero qué sentido tiene poner un poliniomio de grado 12 abajo? lo cual implica por ambos métodos descritos, una serie de larguísimos cálculos (en uno de los métodos implica la resolución de un sistema de ecuaciones de 12 incógnitas). No digo que no se pueda resolver (en efecto tengo la resolución) sino lo que pregunto es ¿qué sentido educativo tiene poner aquella integral como ejercicio? Para mi ninguno, pienso que el profesor pone aquella integral justamente para que los chicos no puedan resolverla (¿y qué impresión les deja a ellos sobre las matemáticas? son chicos de arquitectura y de primer año de universidad)

    En vez de hacer que los chicos gasten el tiempo en cálculos engorrosos y sin sentido, se puede proponer problemas tan interesantes, que como sabemos son abundantes, y hacer que los chicos tengan una visión y actitud positiva hacia la matemática y la resolución de problemas.

    Y como veo, experiencias así han tenido muchos; creo que podríamos trabajar para que cosas así de absurdas se erradiquen, simplemente haciéndolas notar. Contándolas.

  14. Manzano | 16 de mayo de 2012 | 20:14

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    Cada uno puede hacer lo que quiera, siempre que sea tolerante con la notación de los demás. Sin embargo, esto no quita que haya notaciones más intuitivas que otras. Como dijo el gran matemático Alfred North Whitehead:

    ‘Gracias al simbolismo avanzamos en el razonamiento casi mecánicamente, sólo con la mirada; sin él tendríamos que utilizar centros más especializados del cerebro. Una buena notación nos libera de trabajo innecesario y nos permite concentrarnos en los aspectos más difíciles de los problemas.’

  15. gaussianos | 16 de mayo de 2012 | 21:35

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    Exacto, la notación debe ser la mejor posible, debe tener como objetivo mejorar la comprensión de los contenidos en vez de provocar errores y problemas.

    Maestrillo, cierto es que a veces los chavales cuenta “su historia”, que luego ves que no corresponde con la realidad. De todas formas te puedo garantizar que después de unos años ya he desarrollado un sexto sentido que me indica cuándo me están contando algo que puede ser cierto y algo que es una mala interpretación del asunto.

    Sobre el tema del cálculo de las constantes, la disquisición salió porque después de enseñarles únicamente el método de igualar coeficientes un alumno preguntó si se podía usar el de dar valores, que era el que le habían enseñado a él. En ese momento el profesor comentó que ese método no era válido siempre.

    Todo esto, evidentemente, depende de la confianza que tengamos en lo que han comentado mis alumnos. Y te aseguro que al menos de uno de los que me lo ha comentado me fío bastante.

  16. Maestrillo | 16 de mayo de 2012 | 22:24

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    No es por polemizar, pero el primer caso necesita de las palabras textuales del profesor y, luego, del contexto. “No siempre es válido” no es lo mismo que “no siempre vale”, que es parecido pero no igual a “no siempre sirve”, a su vez parecido aunque no igual a “no siempre funciona” o “no siempre va bien”. La primera es una aseveración matemática fuerte, los otras expresiones tienen un componente práctico progresivamente más importante. Por el parecido pueden darse sin más por iguales sin que, como vemos, lo sean. Y aún siendo la realidad primer caso, está el contexto, si ha habido urgencia o descuido en la expresión o cualquier circunstancia.

    No veo tan claro el caso, la verdad del caso, como en el segundo ejemplo o en el de la profesora del teorema imposible.

  17. gaussianos | 17 de mayo de 2012 | 01:45

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    Maestrillo, yo entendí lo que me comentaron los chicos como que el profesor quería decir que “no sirve en todos los casos”. Vamos, que hay casos en los que el método no sirve, y eso es falso. Aunque sí tienes razón en que deberíamos haber estado allí para escuchar qué decía.

    Por ejemplo, a mí tampoco me valdría preguntarle ahora para confirmar que dijo eso, porque ya me ha ocurrido que una profesora ha dicho una cosa en clase que era mentira (confirmada a través de los apuntes y testimonios de multitud de alumnos) y luego intentó retractarse delante de mí intentando salir del lío en el que se había metido ella sola.

  18. Yrekthelas | 17 de mayo de 2012 | 13:52

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    Entiendo el “no siempre es válido” como que hay casos en que hay que tener especial cuidado. Por ejemplo, si el denominador tiene una raiz múltiple, hay que poner el factor correspondiente multiples veces (o poner un numerador de grado superior). Pero en esos casos, si por simplificar cogemos las raices como valores, nos faltarán ecuaciones.

    Es decir, no es que no sea válido, si no que hay que pensar un poco al utilizarlo.

    La cuestión, para mi, es que quisiera decir lo que quisiera decir, incluso aunque fuera cierto y hubiera casos donde no funcionara, les estaría haciendo un flaco favor a sus alumnos sencillamente diciendo “hay casos donde no sirve”, sin explicarles cuales ni porqué.

    Así, parece, les simplificamos las matemáticas, dando métodos que funcionan siempre y en los que no hace falta pensar, pero no les estamos ayudando a aprender.

  19. Anónimo | 18 de mayo de 2012 | 16:37

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    Pues está bien esto de ir recordando posts anteriores con alguna relación, gracias a éste he llegado a las condiciones “necesarias y suficientes” de la diferenciabilidad, incluso tuve que aprenderme de memoria cuándo poder afirmar una cosa y cuándo poder negarla.

    Con tan simple concepto lo habría/mos aprendido casi al instante.

  20. Manuel | 18 de mayo de 2012 | 21:12

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    A muchos chavales ya les empiezan a “confundir” de pequeñinos. Os explico: en un instituto público de Asturias una profesora de la asignatura de Física y Química de 1º de Bachillerato les dijo a unos alumnos que para resolver un problema de dos móviles, separados una distancia, que van en la misma dirección pero en sentido contrario, uno al encuentro del otro, no se podía aplicar la técnica de colocar el origen de un sistema de referencia en uno de ellos, calcular las ecuaciones de la posición de ambos respecto a dicho SR en función del tiempo, t, e igualar finalmente dichas ecuaciones para así obtener el instante en que se cruzan… y ante la insistencia de los alumnos llegó a decirles que “ese caso no se podía resolver usando sistemas de referencia”. Ver y no creer pero cierto, y tan cierto que en un examen, a los que resolvieron el problema así, la “profesora” les puso un 0 en ese problema!!

  21. Sive | 19 de mayo de 2012 | 21:09

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    Más que estos errores que se localizan y corrigen con facilidad, me preocupan los otros… los que no se detectan, y se propagan como una peste. Hay errores así en todas las áreas del conocimiento, y las matemáticas no son una excepción.

    En física por ejemplo, son muchos los físicos que creen que el desplazamiento al rojo observable en la luz de las galaxias lejanas, se debe al efecto doppler (o una versión relativista del mismo), cuando en realidad se debe a que el universo se ha expandido desde que la luz salió de la fuente, y también se ha “expandido” con él.

    ¿Y en matemáticas? Pues por ejemplo, si yo afirmo que es imposible demostrar que a \cdot 0 = 0, estoy convencido de que muchos intentarían sacarme de mi error.

    Pero la verdad es que no se puede, a \cdot 0 = 0 por definición.

  22. Ratoncillo de biblioteca | 19 de mayo de 2012 | 22:56

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    Sive, depende de los axiomas que tomes. Lo habitual no es tomar que  a\cdot 0 = 0 por definición. Es una consecuencia inmediata de las propiedades de cuerpo:

     a\cdot 0=a\cdot(0+0)=a\cdot 0+a\cdot 0\Longrightarrow a\cdot 0 = 0

  23. Sive | 20 de mayo de 2012 | 08:03

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    Ratoncillo ¿Y cómo sabes que el producto cumple la propiedad distributiva con respecto a la suma sin conocer previamente el valor de a \cdot 0?

    Lo único que has demostrado es que en una estructura de anillo, la operación que llamamos producto de un elemento cualquiera del conjunto, por el elemento neutro de la operación que llamamos suma, da como resultado necesariamente el elemento neutro de la operación que llamamos suma.

    Pero para que esto sea válido para el producto y la suma convencionales, es necesario demostrar antes que, efectivamente, tienen estructura de anillo con, pongamos, los números reales.

    Y eso no se puede hacer sin conocer previamente el valor de a \cdot 0.

    Alguien podría decir que podemos definir el producto (y la suma) en base a una serie de propiedades que no incluyan el valor de a \cdot 0, y a partir de ahí, demostrar dicho valor.

    Pero esto sólo sería una demostración desde el punto de vista formal. En realidad, lo único que estaríamos probando es que nuestra definición de producto es coherente con algo que previamente ya sabíamos acerca del producto. A saber: que cero veces lo que sea, es cero… por definición.

  24. Ratoncillo de biblioteca | 20 de mayo de 2012 | 10:37

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    Sive, estaría de acuerdo contigo si en lugar de decir que no se puede demostrar que  a\cdot 0 =0 dijeses que no se puede demostrar la propiedad distributiva en un anillo, ya que ésta última se toma por definición. Pero es claro que  a\cdot 0 = 0 es una consecuencia de la definición de anillo, formal o no, pero al fin y al cabo una consecuencia no una definición. Otra cosa, es que definas que en un conjunto se cumple  a\cdot 0=0, pero lo que decía que esto no es lo más habitual.

  25. Sive | 20 de mayo de 2012 | 17:54

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    Ratoncillo lo que digo es que no se puede demostrar la propiedad distributiva del producto con respecto de la suma, al menos cuando uno de los operandos es cero, sin usar el resultado a \cdot 0 = 0.

    Por tanto, no se puede, sin incurrir en razonamiento circular, usar la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma para probar que a \cdot 0 = 0.

    Haz la prueba, intenta probar que a \cdot (b + 0) = a \cdot b + a \cdot 0 sin apoyarte en a \cdot 0 = 0.

    ¿Y que pintan en todo esto las estruturas algebraicas que se estudian en álgebra abstracta?

    Pues que probablemente debido al modo en que se explican en clase, en particular, cuando llega el turno de estudiar los anillos, son muchos los que salen de clase convencidos de que el profesor les acaba de demostrar que a \cdot 0 = 0, cuando no es así.

    Tal vez se deba a que el profesor no hizo suficiente hincapié en que los signos +, \cdot , 0 y 1 que escribió en la pizarra, no están por la multiplicación, la suma, el cero y el uno que manejamos normalmente, sino que representan operaciones y elementos genéricos que cumplen determinadas condiciones.

    Y que lo que ha demostrado en la pizarra es que en cualquier estructura de anillo, el resultado de la operación que hace las veces de \cdot entre cualquier elemento del conjunto y el elemento que representamos con 0, es 0.

    Pero no podemos apresurarnos a concluir que, por tanto, como el producto convencional, la suma convencional, y el conjunto de los reales, forman un anillo entonces hemos demostrado que a \cdot 0 = 0 (entendidos estos signos ahora en su sentido habitual).

    Y no podemos porque antes hay que demostrar que (·, +, R) forman efectivamente un anillo. Y para demostrar eso tenemos que probar antes que cumplen la propiedad distributiva. Y para demostrar eso tenemos que usar el resultado que pretendemos probar.

    Es decir, que sólo hemos hecho el razonamiento circular más grande.

  26. Rafa | 22 de mayo de 2012 | 16:55

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    Yo creo que es importante que en cualquier área del conocimiento se deje claro qué es una preferencia personal y qué es un procedimiento incorrecto. Transmite una mala imagen de ese área que se argumente como “no me gusta” respecto de un procedimiento para que éste no lo pueda aplicar el alumno. Me he encontrado en muchos casos profesores que permiten que se utilicen procedimientos para resolver un problema que no han enseñado, e incluso en ocasiones, que le son desconocidos al profesor, siempre que el alumno lo entienda. Sin embargo, tampoco es raro encontrar profesores que tachan de incorrectos a algunos métodos (penalizando su uso en un examen, o amenazando con hacerlo) simplemente porque no lo conocen. El paradigma ha cambiado y el profesor no es ya la única fuente de información, sino que ésta puede proceder de muy diversas fuentes. Que el profesor sancione como correcto o no esa información o que ayude a saber como hacerlo, es una labor que debe hacerse desde la razón, no el capricho.
    La capacidad de elección del método más adecuado a cada situación es algo que se debe premiar, no penalizar. En su caso, si el método es original, con más motivo. En el caso de profesores de secundaria y bachillerato y concretando al ámbito de las matemáticas, el no hacerlo incumple la ley. No es lógico quejarse por un lado de la falta de capacidad para elegir la mejor manera de proceder y por otro no enseñar a hacerlo, o peor, penalizarlo.
    La enseñanza procedimental no debe desaparecer, aunque es evidente que con las herramientas informáticas que disponemos y lo accesibles que son, tenemos la oportunidad de poner el acento en la modelización de situaciones reales. Este es un planteamiento funcional e instrumental de las matemáticas que es criticable y quizá no siempre válido, pero pienso que es apropiado para la mayoría de grados donde se cursan estudios de matemáticas y también en el bachillerato y la secundaria.
    Respecto de errores conceptuales, en física son muy variados. En este caso, sobre todo en bachillerato, una de las causas es la mala formación de los profesores que imparten esta asignatura. El perfeccionamiento de la didáctica debe ir parejo a una mejor formación que elimine los errores conceptuales que se adquieren incluso en la universidad, tal y como acabamos de ver.

  27. Rafa | 22 de mayo de 2012 | 16:56

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    Yo creo que es importante que en cualquier área del conocimiento se deje claro qué es una preferencia personal y qué es un procedimiento incorrecto. Transmite una mala imagen de ese área que se argumente como “no me gusta” respecto de un procedimiento para que éste no lo pueda aplicar el alumno. Me he encontrado en muchos casos profesores que permiten que se utilicen procedimientos para resolver un problema que no han enseñado, e incluso en ocasiones, que le son desconocidos al profesor, siempre que el alumno lo entienda. Sin embargo, tampoco es raro encontrar profesores que tachan de incorrectos a algunos métodos (penalizando su uso en un examen, o amenazando con hacerlo) simplemente porque no lo conocen. El paradigma ha cambiado y el profesor no es ya la única fuente de información, sino que ésta puede proceder de muy diversas fuentes. Que el profesor sancione como correcto o no esa información o que ayude a saber como hacerlo, es una labor que debe hacerse desde la razón, no desde el capricho.
    La capacidad de elección del método más adecuado a cada situación es algo que se debe premiar, no penalizar. En su caso, si el método es original, con más motivo. En el caso de profesores de secundaria y bachillerato y concretando al ámbito de las matemáticas, el no hacerlo incumple la ley. No es lógico quejarse por un lado de la falta de capacidad para elegir la mejor manera de proceder y por otro no enseñar a hacerlo, o peor, penalizarlo.
    La enseñanza procedimental no debe desaparecer, aunque es evidente que con las herramientas informáticas que disponemos y lo accesibles que son, tenemos la oportunidad de poner el acento en la modelización de situaciones reales. Este es un planteamiento funcional e instrumental de las matemáticas que es criticable y quizá no siempre válido, pero pienso que es apropiado para la mayoría de grados donde se cursan estudios de matemáticas y también en el bachillerato y la secundaria.
    Respecto de errores conceptuales, en física son muy variados. En este caso, sobre todo en bachillerato, una de las causas es la mala formación de los profesores que imparten esta asignatura. El perfeccionamiento de la didáctica debe ir parejo a una mejor formación que elimine los errores conceptuales que se adquieren incluso en la universidad, tal y como acabamos de ver.

  28. Pablo | 23 de mayo de 2012 | 21:43

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    Sobre las integrales iteradas, yo pongo los paréntesis y listo. No cuesta nada, los alumnos no confunden la notación con la dxdy de la integral doble, y explica mejor qué hay que hacer. Y es que a veces nos da por montar unos follones para ahorrar notación que no veas…

    Sobre el tema de coeficientes indeterminados, parece el típico ejemplo de teléfono roto. A mí me han pasado cosas similares.

    Por ejemplo, para probar que una función de 2 variables no es continua en el origen muchas veces hay que encontrar 2 trayectorias hacia el origen a lo largo de las cuales la función tenga límites distintos. Pero ¿y si es continua? En ese caso no las vas a encontrar.

    Yo les digo: si no encontráis límites distintos entre rectas y parábolas, tratad de probar que el límite existe, porque no voy a ser tan mala gente de poner un caso donde el límite no exista pero coincida al acercarse por las curvas más sencillas.

    Luego me encuentro que dicen por ahí “si los límites a lo largo de rectas y parábolas coinciden, existe el límite”.

    Me puedo imaginar varias formas en las que algo parecido ocurra con los distintos métodos de coeficientes indeterminados que comentas.

  29. gaussianos | 24 de mayo de 2012 | 01:56

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    Pablo, sí, yo pongo corchetes, como viene en este post, creo que es lo mejor.

    Sobre lo de los coeficientes, sí, quizás sea por eso, pero es que me lo ha comentado más de uno…No sé.

    Sobre lo de los límites dobles, sí, es cierto. Yo suelo recalcar mucho eso para que no se interprete mal, pero siempre hay alguien que quiere simplificar demasiado las cosas tiene el error que comentas. Pero bueno, habrá que seguir intentándolo :).

  30. Pablo | 24 de mayo de 2012 | 22:59

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    Otra cuestión interesante que no sé si habrás tratado en alguna otra entrada es qué tipo de contenidos tiene sentido dar en una Ingeniería y cuáles no.

    Por ejemplo, yo hace años que no me meto en lo de los límites dobles. Con la reducción de créditos que muchas asignaturas sufren hay que dejarse contenidos por el camino. Y yo, la verdad, veo más importante enfatizar multiplicadores de Lagrange o aplicaciones adicionales de la integral múltiple que algo más académico y menos aplicable como la continuidad o diferenciabilidad en el origen de una función “ad hoc”.

    En fin, es una opinión muy personal que otros profesores no comparten, pero no conozco ninguna razón de peso por la que explicar ese tipo de contenidos en una Ingenería.

    ¿Qué opinas?

  31. gaussianos | 26 de mayo de 2012 | 17:46

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    Pablo, pues creo que tienes razón. Por aquí, en Ciudad Real, prácticamente ha desaparecido el estudio del límite doble de una función en el origen. Antes se daba en Ingeniería Industrial, en Ingeniería Química, en Lic en Químicas, en Empresas, etc., y este año ya no se ha dado en ninguna de ellas. Lo mismo ocurre con la diferenciabilidad, que casi ha desaparecido también (se mantiene, creo, en Ingeniería Industrial).

    Como te decía, yo también creo que es más importante enfatizar en multiplicadores de Lagrange (de cara a la optimización, que por aquí aparece en muchas titulaciones) y en integración múltiple. Parece que los profesores de la zona están de acuerdo con nosotros :).

  32. Cartesiano Caotico | 14 de junio de 2012 | 00:02

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    O existe un convenio para todos, o debemos indicar de forma explicita lo que queremos expresar.
    A mí me enseñaron de forma estricta así:

    \displaystyle \int_{x=a} ^{x=b} \int_{y=c} ^{y=d} \textstyle f(x,y)\, dx\, dy

    aunque, yo lo escribía de cualquier manera. Total, yo sabía cual era cual :)

  33. DavidTarifa | 5 de agosto de 2012 | 18:14

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    Creo que uno de los problemas de estos post es que a menudo nos preocupamos por que es correcto, y se desechan todas las ideas de tipo práctico, cuando en todos los estudios hay 2 variantes, el tiempo, (que no es infinito), y la necesidad de cierta “objetividad” a la hora de asignar una nota a la asignatura, (que se solventa tiendo una prueba escrita), que obligan ha hacer cosas absurdas a menudo.

    Recuerdo cuando mi profesor de primaria me explico que multiplicar por cero era sumar cero veces la cantidad y por esto siempre daba cero de resultado. A veces el tiempo necesario, los conocimientos previos del alumno y otros factores influyen en la forma de explicar los conceptos.

    También esta el hecho de que hay profesores que tienen que resolver exámenes de 200 alumnos por curso o mas. Si encima no comprenden la notación que están usando, es difícil que puedan entregar una nota en tiempo razonable.

    No quiere esto decir que esté de acuerdo con los casos expuestos. Creo que todos hemos sufrido en nuestras carnes las consecuencias de un buen profesor que he tenido varios, y de uno malo, que también los he sufrido. Nunca olvido a aquel profesor que en un examen sin errores me puntuó con un notable porque según sus propias palabras “los sobresalientes son para los profesores”.

    Creo que la solución a estos problemas sería una base de datos común y extensa de problemas resueltos con una notación unificada. Los ejercicios deberían estar identificados no solo por tema y apartado, sino también por dificultad. Y que cada guía de cada asignatura indicase que ejercicios se incluyen para superar la asignatura y la dificultad máxima de cada uno de ellos. Esta base de datos estaría publicada en Internet para libre acceso.

    Por supuesto, esto no se lograría en 2 días. Pero es muy factible realizarla en poco tiempo con ayuda de toda la comunidad matemática. Solo en España he contado 78 universidad, y seguro que me dejo alguna.

    Saludos.

  34. Bruno Fasce | 12 de diciembre de 2012 | 21:32

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    Hace un par de semanas mi profesor de matemáticas de la universidad nos dijo lo mismo, que si aplicamos la segunda forma que comentas esta podría llevarnos a error (luego nos dijo que aplicaramos el que más fácil nos pareciera pq duda mucho que nos pasara). No nos dio ni un maldito ejemplo…

  35. miguel paredes hernandez | 18 de febrero de 2013 | 17:13

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    RESPUESTA:

    Supongamos que estamos en la situación,P(x)/Q(x)=A(x)/Q(x), de aquí P(x)=A(x). Donde A(x) es un polinomio que incluye las constantes que queremos calcular.
    Supongamos que máx {gradoP(X),grado A(x)}=n, entonces P(x), A(x) son vectores del espacio vectorial R[x]n, polinomios de grado menor o igual a n con coeficientes en R, donde sabemos que el sistema de las potencias de x : {1,x,x2, x3,…,xn} es una base de R[x]n, y por lo tanto todo vector de R[x]n se expresa de forma única como combinación lineal de los vectores de esta base; luego si P(x)=A(x) los coeficientes de P(x) y A(x) deben ser iguales (si el grado de P(x) o de A(x) es menor que n, los coeficientes de las correspondientes potencias de x hasta xn que falten se considerarán nulos) igualando los términos constantes y los coeficientes de las potencias de x en P(x) y A(x) se llega a un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas el cual (por la unicidad de la combinación lineal) tiene solución única y que una vez resuelto tenemos calculadas las constantes. Luego el primer método funciona siempre.

    Segundo método; puesto que tenemos n constantes para calcularlas podemos buscar n ecuaciones que verifiquen estas constantes dando valores distintos a x. De esta forma obtenemos un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas el cual es siempre compatible; si es determinado la solución única nos da el valor de las constantes, pero puede que sea indeterminado, es decir, que tenga infinitas soluciones y en este caso no nos sirve y por lo tanto esta incertidumbre hace que el segundo método no sea recomendable.

    Voy a exponer un tercer método que es mejor que los otros dos pues nos ahorra en general mucho tiempo y es una mezcla de ambos.
    a)Si Q(x) tiene todas las raíces complejas no reales, es decir, las soluciones de la ecuación Q(x)=0 son todas complejas no reales, inevitablemente debemos usar el primer método.
    b)Si Q(x) tiene raíces reales, sustituimos en la igualdad P(x)=A(x), x por los valores de estas raíces reales, y cada valor de estos x nos da de forma inmediata el valor de una constante, de esta forma obtenemos de una manera muy corta el valor de tantas constantes como soluciones reales distintas tenga la ecuación Q(x)=0; si el nº de soluciones reales distintas coincide con el nº de constantes el problema queda resuelto.
    En otro caso para encontrar las constantes que faltan por calcular usamos el primer método, es decir, igualamos términos constantes y los coeficientes de las potencias de x en P(x) y A(x) pero haciendo tantas igualdades como constantes nos faltan y con la libertad de que podemos igualar los coeficientes que queramos; de esta forma obtenemos un sistema de ecuaciones lineales que tiene solución única y una vez resuelto tenemos calculadas todas las constantes. Observar que el sistema de ecuaciones lineales que tenemos que resolver tiene menos ecuaciones que el que se obtendría si hubiéramos utilizado de entrada el primer método; cuantas más raíces reales tenga Q(x) menos ecuaciones tendrá el sistema y el poder bajar el nº de ecuaciones hace ganar en general mucho tiempo en la resolución del sistema y por lo tanto en el cálculo de las constantes.

  36. Daniel Cao | 12 de marzo de 2014 | 18:24

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    El segundo método siempre vale (yo nunca lo había usado). La justificación de que vale siempre debería de ir por el tema de que n puntos determinan de modo unívoco (existe solución y es única) al problema de interpolación polinómica. Por tanto, creo que el último comentario está equivocado en su comentario sobre el segundo método. La clave de la demostración de la existencia y unicidad de solución del problema de interpolación sale (si no recuerdo mal) argumentando que el determinante de la matriz de coeficientes es de Vandermonde; y entonces, como los n valores en los que sustituyes son evidentemente abscisas distintas, se sigue que el determinante es no nulo y las n ecuaciones con n incógnitas dan lugar a una única solución.

  37. Dog_69 | 31 de mayo de 2014 | 18:29

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    Sive | 19 de mayo de 2012
    No entedi tu explicacion del corrimiento al rojo de una estrella. Quiero decir, si no tienes en cuenta el efecto doppler, por que la luz que emite una estrella, cumulo o galaxia va a estar desplaza simplente por moverse?

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