• Con el objetivo de impulsar la comprensión pública de la ciencia, la Asociación Nexociencia organiza el V Certamen Teresa Pinillos de ensayos de divulgación científica y humanística, Ensaya’10, cuya convocatoria hemos abierto recientemente.

  El certamen Teresa Pinillos está abierto a todos los campos del conocimiento, desde las ciencias experimentales hasta las sociales y humanas. Los trabajos, que tendrán una extensión de entre 1500 y 2500 palabras, pueden versar sobre diversos temas científicos, desde aquellos de orientación divulgativa hasta otros centrados en el análisis crítico de la situación actual de la ciencia. Un jurado formado por profesionales reconocidos de la divulgación científica y
  el mundo académico evaluará los ensayos de acuerdo a su capacidad divulgativa, calidad literaria e interés social y otorgará un primer premio de 2500 euros y un segundo de 1000, así como varios premios especiales a los mejores ensayos en determinados campos del conocimiento.

  Los ensayos deberán ser enviados por correo electrónico a participantes.ensaya@nexociencia.org antes del próximo 15 de junio. Para obtener más información sobre el certamen, así como las bases completas de esta quinta edición, se puede consultar la página Web www.unirioja.es/ensaya o ponerse en contacto con Nexociencia a través del correo electrónico nexociencia (arroba) nexociencia (punto) org.

Así que ya sabéis, si queréis participar en el certamen poneos en contacto con ello mediante alguno de los cauces anteriormente citados. Y si alguien lo hace me encantaría que nos comentara con qué tipo de ensayo ha participado.

Un científico merecedor de tal nombre, sobre todo un matemático, experimenta en su trabajo la misma impresión que un artista; su placer es tan grande y de la misma naturaleza.

Jules Henri Poincaré

INFINITUM. Citas matemáticas

Aunque mucha gente no lo entienda, el matemático experimenta una magnífica sensación realizando su trabajo. Como dice Poincaré, un gran placer; y, como dice Isa, un subidón.

¿Qué pensáis?

Demostrar que para cualesquiera números reales positivos se verifica que

Suerte.

Breve reseña biográfica de Nagel

Christian Heinrich von Nagel

En 1821 Nagel comenzó a estudiar Teología, terminando sus estudios en 1825. Pero durante esos cuatro años sus intereses también se dirigieron hacia las matemáticas y la física.

Tanto fue así que llegó a ser profesor de matemáticas de secundaria en la ciudad alemana de Tübingen. Pero la cosa no quedó ahí. En 1826 Nagel se doctora gracias a su trabajo De triangulis rectangulis ex algebraica aequatione construendis (Sobre triángulos rectángulos construibles desde una ecuación algebraica). Más tarde, en 1830, Nagel se traslada a Ulm donde trabaja en el Gymnasium (escuela de secundaria preparatoria para estudios superiores) de esa localidad.

Su principal contribución a las matemáticas se encuadra en la geometría del triángulo. En este artículo vamos a ver, entre otras cosas, dos construcciones relacionadas con el triángulo que llevan su nombre: el punto de Nagel y la línea de Nagel.

Introducción

Como la distancia del baricentro a un vértice es el doble de la distancia de al punto medio del lado opuesto, la homotecia con centro y razón -1/2 transforma el triangulo , antimedial o anticomplementario de , en el triángulo , y éste en su triángulo medial o complementario .

El applet GeoGebra-Java no ha podido ejecutarse.

En geometría del triángulo se llama a veces complemento de un punto a su imagen en la homotecia y anticomplemento de a su imagen en la homotecia

El punto , un punto , su complemento , y su anticomplemento están alineados, y situados de forma que es el punto medio de y .

Si en la figura colocamos el punto en el circuncentro de , el punto es el circuncentro del triángulo antimedial (que es el ortocentro de ), el punto es el circuncentro del triángulo medial (es decir el centro del círculo de 9 puntos), y la linea es la linea de Euler del triángulo.

En cambio si colocamos el punto en el incentro de , el punto es el incentro del triángulo antimedial, el punto el incentro del triángulo medial, y la linea es la linea que en Wolfram MathWorld han decidido llamar un tanto arbitrariamente línea de Nagel, por el hecho de que el incentro del triángulo antimedial es el punto de Nagel , como demostraremos a continuación.

Por otro lado el punto de Spieker es por definición el incentro del triángulo medial, y de las observaciones anteriores se concluye que el incentro , el baricentro , el punto de Spieker y el punto de Nagel están alineados, es el punto medio del segmento y .

El punto de Nagel

Llamamos ceviana de Nagel a la línea, en la figura, que une un vértice con el punto de tangencia de la circunferencia exinscrita opuesta al vértice con el lado opuesto.

El punto , al ser la intersección de una tangente común a las circunferencias inscrita y exinscrita opuesta a con la linea que une los centros de estas circunferencias es centro de una homotecia que transforma la circunferencia exinscrita en la circunferencia inscrita. Esa homotecia lleva el radio al radio , paralelo a y por tanto perpendicular a .

Por tanto la ceviana pasa por el punto , diametralmente opuesto en el círculo inscrito al punto de tangencia de ese círculo con el lado opuesto a .

Como vimos en el post sobre los círculos tritangentes y por tanto si es el punto medio de , .

Como también , resulta que las líneas y son paralelas.

Y como la homotecia , que transforma el triángulo en su antimedial, transforma la linea en una línea que pasa por paralela a , es decir en la ceviana de Nagel $AE$, resulta que las cevianas de Nagel concurren en un punto, el punto de Nagel y ese punto es el incentro del triángulo antimedial.

Del post sobre círculos tritangentes concluimos también que las cevianas de Nagel bisecan el perímetro del triángulo, es decir las dos partes del perímetro del triángulo situadas a uno y otro lado de cada ceviana de Nagel tienen igual longitud.

El punto de Spieker

El punto de Spieker es el centro del circulo inscrito en el triangulo medial, o circulo de Spieker, y tiene algunas propiedades bastante interesantes.

Si en la figura es el punto medio de y prolongamos el lado hasta de forma que , y es el punto medio de , y son paralelas y .

Camo es perpendicular a , y esta línea es la bisectriz exterior de , es paralela a la bisectriz interior de , y por tanto es una bisectriz del triángulo medial.

Por tanto las lineas que unen el punto medio de cada lado con el punto de Spieker, es decir las bisectrices del triángulo medial, bisecan el perímetro del triángulo, como las cevianas de Nagel.

Si , los segmentos son respectivamente iguales a los segmentos , y los puntos medios de esos segmentos iguales están situados a la misma distancia de la recta .

Entonces el centro de gravedad de una masa distribuida uniformemente por el perímetro del triángulo está en la linea . Como también está en las otras bisectrices del triángulo medial, resulta que el punto de Spieker es el centro de gravedad del perímetro del triángulo.

El punto medio de es equidistante de los puntos de tangencia de las circunferencias exinscritas opuestas a y con el lado , y por tanto está en el eje radical de esas circunferencias.

Como el eje radical es perpendicular a la línea que une los centros, que es la bisectriz exterior del ángulo en , resulta que el eje radical de las dos circunferencias exinscritas es la bisectriz del triángulo medial, y por tanto el punto de Spieker es el centro radical de las tres circunferencias exinscritas, es decir las tangentes desde el punto de Spieker a las circunferencias exinscritas tienen la misma longitud.

Las circunferencias de Jenkins de son las tres circunferencias tangentes interiormente a una circunferencia exinscrita y exteriormente a las otras dos.

Las tres circunferencias de Jenkins se cortan en el punto de Spieker, puesto que la inversión respecto al círculo ortogonal a las tres circunferencias exinscritas, cuyo centro es el punto de Spieker, transforma los lados del triángulo en las circunferencias de Jenkins.

Y además si el punto de Spieker está sobre la circunferencia inscrita en , las tres circunferencias de Jenkins son tangentes a una recta perpendicular a la línea de Nagel, y en otro caso el centro de la circunferencia tangente a las tres circunferencias de Jenkins está en la línea de Nagel, porque esa circunferencia es inversa de la circunferencia inscrita.

Por cierto este último punto no está, me parece, en la ETC. ¿Será nuevo? Según Geogebra su primera coordenada trilineal para (6,9,13) es 166.495..y no se encuentra en la página de búsqueda de la ETC.

La siguiente figura intenta ilustrar las propiedades anteriores.

El applet GeoGebra-Java no ha podido ejecutarse.

Fuentes utilizadas para la reseña biográfica:

• Página personal de Clark Kimberling, de la Universidad de Evansville, de donde también he sacado la imagen de Nagel que ilustra el comienzo del artículo.
• Christian Heinrich von Nagel en la Wikipedia inglesa.

Unos cuantos decimales de Pi

Todos los años escribo algo relacionado con Pi este día. Y este año no va a ser menos. Vamos a celebrar el día de Pi de forma infinita.

¿De forma infinita?

Vamos a celebrar este día de Pi de forma infinita mostrando diversas sumas y productos infinitos donde aparece este maravilloso número. Vamos con ellas:

• Según parece, fue François Viète quien dio la primera expresión numérica exacta en la que aparece Pi. Concretamente fue este producto infinito:

  

• Esta expresión, también como producto infinito, fue descubierta por John Wallis:

  

• La famosa suma del problema de Basilea (y II) descubierta por Leonhard Euler:

  

• Pero ni mucho menos fue esta suma la única expresión relacionada con Pi descubierta por Euler. El gran Leonhard encontró también expresiones del tipo anterior al menos ¡¡hasta exponente 26!!. Para exponente 4 tenemos esta expresión:

  

  Y para exponente 6 ésta:

  

• Pero Euler descubrió muchas más expresiones infinitas, tanto sumas como productos, relacionadas con Pi. Algunas de ellas son las siguientes:

  

  En ella los numeradores de las fracciones son los números primos excepto el 3 y los denominadores llevan una suma cuando el número primo es de la forma y una resta cuando es de la forma .

  

  Aquí aparecen como denominadores los números impares y se alternan los signos + y - entre las fracciones.

  

  Y en esta expresión aparecen en los denominadores de los cuadrados de todos los números impares que no son múltiplos de 3.

• Newton descubrió la siguiente expresión relacionada con Pi:

  

• A partir de ciertos resultados descubiertos por Euler podemos llegar a la siguiente relación:

  

• Más adelante en el tiempo, concretamente en 1997, Bailey encontró la siguiente suma sobre Pi:

  

• Capítulo aparte merecen las expresiones relacionadas con Pi descubiertas por Ramanujan. Por ejemplo:

  

  Os recomiendo el enlace a MathWorld que aparece al final del artículo para ver otras expresiones de este estilo cuyo descubridor fue Ramanujan.

• Y para finalizar os dejo un monstruo de expresión numérica descubierta por los hermanos Chudnosky. Es una de las expresiones más poderosas a la hora de calcular decimales de Pi (calcula 14 decimales exacto en cada paso).

  Es la siguiente:

  

Me he dejado muchísimas expresiones cuyo protagonista es Pi. Si conocéis alguna que no aparezca en este artículo y creéis que es importante o interesante no dudéis en escribirla en los comentarios.

Otros días de Pi en Gaussianos:

• El día de Pi y El día de Pi (II) en 2007.
• Cómo demostrar que Pi es irracional (II) en 2008.
• Celebrando el día de Pi con una aguja y una medusa en 2009.

Fuentes:

• Historia de la matemática, de Carl B. Boyer.
• Introductio in Analysin Infinitorum, de Leonhard Euler.
• Pi formulas en MathWorld.
• La imagen que ilustra este artículo está sacada de este set de Flickr.

Ah, reconozco al león por su garra.

(Refiriéndose a Newton.)

Johann Bernoulli

INFINITUM. Citas matemáticas

Como comentamos el otro día en el post sobre la cicloide, esta curva ha dado lugar a muchas historias y disputas entre matemático. La frase de este post fue el final de una de ellas.

El león

En 1696 Johann Bernoulli planteó a los miembros de la Royal Society dos problemas (a la postre relacionados con la cicloide). Los consideraba tan complicados que dio un plazo de seis meses para la presentación de las soluciones y ofreció como premio un valioso libro de su colección personal a quien resolviera los dos problemas. Al cabo de esos seis meses sólo Leibniz había resuelto el primero de ellos. A la vista de los resultados Bernoulli dio otros seis meses de plazo…pero todo siguió igual: ninguna nueva solución del primero ni ninguna solución para el segundo.

A raíz de esto Leibniz le sugirió que le hiciera llegar estos problemas a Newton. Éste ya había pasado su mejor momento y por ello, según parece, Bernoulli vio en este envío una manera de ridiculizarle (Bernoulli era partidario de Leibniz en la disputa sobre la invención del cálculo).

El caso es que los problemas llegaron a manos de Newton una tarde…y en la madrugada del mismo día ya los había resuelto. A la mañana siguiente envió a la Royal Society sus soluciones, pero sin identificarse. Bernoulli sólo necesito echarles una ojeada para reconocer al león como autor de las mismas.

Si y son enteros positivos, encuentra todas las soluciones de la siguiente ecuación:

Suerte.

Introducción

El mundo de las curvas es un mundo realmente interesante. Podemos encontrarnos formas de muchos tipos, desde las más conocidas comoun segmento (sí, aunque a mucho les sorprenda un segmento es una curva en el sentido matemático del concepto) o una porción de circunferencia, hasta algunas la hipopede de Eudoxo o la cuadratriz.

Siento este mundo de las curvas tan extenso podemos encontrar muchas con características muy interesante. La cicloide es, sin lugar a dudas, una de ellas. Tiene unas propiedades muy curiosas que al ser vistas chocan con nuestra propia intuición. Esta curva va a ser la protagonista de este artículo.

¿Qué es la cicloide?

Comencemos este punto presentando a nuestra amiga la cicloide:

La cicloide es la curva trazada por un punto de una circunferencia (llamada circunferencia generatriz) cuando ésta gira sobre una línea (llamada recta directriz) sin deslizarse por ella.

Es decir, la cicloide es la curva que aparece en rojo en el siguiente gráfico:

Dada una circunferencia de radio y un punto de la misma situado en el origen de coordenadas, las ecuaciones paramétricas de un arco de la cicloide generada por ese punto al girar la circunferencia sobre el eje son:

, con

La cicloide ha sido una curva muy estudiada a lo largo de la historia. Ya a finales del siglo XVI, Galileo había estudiado esta curva, obteniendo ciertas aproximaciones sobre cálculos relacionados con ella (en concreto sobre el área encerrada por un arco de cicloide). Mersenne, posiblemente después de conocer estos estudios de Galileo, llamó la atención de los matemáticos de esta época (estamos ya en el siglo XVII) hacia esta curva. Y muchos fueron los que acudieron al llamamiento. Tanta fue la expectación creada por esta curva que acabó por conocerse como la Helena de los geómetras por la cantidad de disputas entre matemáticos que provocaron los estudios relacionados con ella.

El caso es que uno de los primeros que consiguieron resultados sobre la cicloide fue Roberval. Mersenne le propuso en 1628 el estudio de esta curva y unos años después, sobre 1634, Roberval demostró que el área encerrada por un arco de cicloide es exactamente tres veces el área de la circunferencia que la genera. Más adelante también encontró un método para trazar la tangente a la cicloide un punto cualquiera de la misma (problema resuelto también por Fermat y Descartes) y realizó cálculo relacionados con volúmenes de revolución asociados a la cicloide.

Roberval no publicó estos resultados en su momento, ya que quería guardarlos en cierto secreto para utilizarlos como problemas a proponer a los candidatos a su cátedra. Por ello, cuando Torricelli (matemático que también se interesó por esta curva) publicó sus soluciones a varias de las cuestiones resueltas por Roberval sin mencionarle, creyó que se trataba de plagio. Pero los estudios de Torricelli se habían desarrollado de forma independiente a los de Roberval. Al final la historia fue justa con los dos: Roberval fue el primero en encontrar las soluciones y Torricelli el primero en publicarlas.

Pero la cosa no quedó ahí. En 1658 Christopher Wren calculó que la longitud de un arco de cicloide es cuatro veces el diámetro de la circunferencia que genera dicha curva. Y muchos más fueron los matemáticos que dedicaron parte de su tiempo a ella, entre los que se encuentran los ilustres Pascal, Huygens, Leibniz, Newton, Jakob y Johann Bernoulli…

¿Qué propiedades tiene?

El gran interés suscitado por esta curva proviene de las curiosas características que posee. Aparte de los cálculos ya mencionados, la cicloide tiene dos propiedades realmente interesantes y que, como dije al principio del artículo, en cierto modo atentan contra nuestra intuición. Concretamente son su condición de braquistócrona y su condición de tautócrona. Vamos a intentar explicar qué significan estas dos propiedades.

Braquistocronía

El término braquistócrona significa el menor tiempo. El problema de la braquistócrona puede enunciarse de la siguiente forma:

Dado un punto en un plano y otro punto del mismo plano situado verticalmente más abajo que (sin llegar a estar verticalmente justo debajo de ), encontrar la curva que une y que hace mínimo el tiempo que tarda un punto móvil en llegar de a al estar sometido a la acción de la gravedad

La situación de los puntos es algo así:

En principio no sería extraño pensar que esa curva es una línea recta (un segmento en este caso), ya que en un plano una recta representa la distancia más corta entre dos puntos. Pero no estamos hablando de distancias, sino de tiempos. ¿La respuesta seguirá siendo también la recta? Veamos este vídeo en el que aparecen dos cicloides y un segmento y respondamos después:

Como se puede ver las bolas (el punto móvil ) llegan antes al destino cuando bajan por la cicloide. Es decir, que en la cicloide el tiempo de recorrido es menor que en un segmento. De hecho la cicloide minimiza este tiempo de recorrido, es decir, la cicloide es la braquistócrona. Curioso, ¿verdad?

Tautocronía

La braquistocronía no es la única propiedad curiosa de la cicloide. De hecho tiene una que es más sorprendente si cabe. Podríamos enunciarla de la siguiente manera:

Supongamos que tenemos una cicloide que “cuelga” hacia abajo y que dejamos caer a lo largo de ella dos bolas desde diferentes puntos. La cuestión es que da igual desde qué puntos las dejemos caer ya que las bolas llegan a la vez al punto más bajo.

Esta propiedad se denomina tautocronía (que significa mismo tiempo). Vamos a verlo en un vídeo:

Para finalizar os dejo este enlace. Me ha parecido interesante porque pinchando en cada uno de las cuadrículas que aparecen creamos cicloides y podemos ver gráficamente las dos propiedades comentadas anteriormente.

Fuentes:

• Historia de la matemática, de Carl B. Boyer.
• Cicloide en la Wikipedia española.

Al menos ese fue mi caso. Tuve la suerte de encontrarme con muy buenas personas en mi etapa universitaria en Granada, personas que me ayudaron mucho en aquellos momentos y con las que compartí experiencias inolvidables. Por desgracia siempre queda gente con la que no llegas a relacionarte tanto, aunque no haya una razón para ello. Gente que comparte el día a día contigo pero con la que no tienes tanto contacto.

Aunque hace ya unos cuantos años que terminó ese período sigo recordando a muchos de mis compañeros, tanto a los más cercanos (evidente) como a los que no lo fueron tanto. Isa pertenece, por desgracia, a este último grupo. Y digo por desgracia porque siempre me pareció una magnífica persona, siempre con una sonrisa en la boca, siempre dispuesta a echar una mano. Y, adentrándome ya en la parte académica, porque siempre fue una estudiante brillante. Y cuando digo brillante quiero decir tremendamente brillante. Lola, una de sus amigas en aquella época (no sé si antes de comenzar la carrera ya os conocíais), puede confirmar que Isa estuvo siempre por encima de todos los que compartimos clase con ella. Por este motivo no me extraña que haya llegado hasta donde ha llegado. Y por ser como es me alegro una barbaridad.

¿Quién es Isabel Fernández?

Isabel Fernández

Después de pasar por Murcia y Badajoz, actualmente es Profesora Contratada Doctora del departamento de Matemática Aplicada I de la Universidad de Sevilla.

Rumbo al ICM

Bueno, ¿y qué es lo que ha conseguido Isa? Pues algo tan importante como ser la primera mujer española que recibe una invitación para asistir como ponente en el ICM. Casi nada.

Pablo Mira

La noticia sobre esta invitación al ICM me llegó a través de Menéame (el enlace está al final de este artículo). Nada más verla me puse a buscar una manera de contactar con Isa para felicitarla y para comentarle que quería escribir algo sobre ella en Gaussianos, blog que, por cierto, ya conocía a través de Lola (gracias). Después cruzarnos unos cuantos correos, Isa me comentó que intentaría escribir algo explicando en qué consiste el trabajo que Pablo y ella han realizado y que les ha servido para ir al ICM. ¿Quién mejor que ella para explicarlo?

Los trabajos de Isa y Pablo

Bueno, ya va siendo hora de que sepamos por qué han invitado al ICM a Isa y Pablo. El siguiente texto es lo que Isa ha escrito para mí y para todos vosotros explicándonos sus trabajos.

Superficies de curvatura media constante (CMC)

Un concepto muy importante a la hora de estudiar superficies es el de la curvatura media, que nos da una medida de cómo se curva la superficie en el espacio. La idea es la siguiente: para cada punto P de la superficie consideramos todas las secciones normales de la superficie que pasan por ese punto, que son las curvas que se obtienen al cortar la superficie con todos los planos perpendiculares a la misma en el punto P. De todas estas curvas nos quedamos con las que tengan menor y mayor curvatura (las llamadas direcciones principales), estas direcciones marcan lo máximo que nos podemos curvar hacia un lado o hacia el otro en la superficie.

Si llamamos y a las curvaturas de las dos direcciones principales, la curvatura media en ese punto es, precisamente, la media aritmética entre las dos:

Las superficies que tienen la misma curvatura media en todos sus puntos se denominan superficies de curvartura media constante (CMC), y tienen propiedades geométricas que las hacen muy interesantes.

Por ejemplo, las superficies de CMC igual a cero se denominan superficies mínimas, nombre que proviene del hecho de que estas superficies son las que tienen menor área de entre todas las superficies con su mismo contorno (localmente, es decir, considerando trozos suficientemente pequeños de la superficie). Esta propiedad es precisamente la que caracteriza a las películas de jabón (es la primera de las famosas leyes de Plateu, que rigen el comportamiento de las películas de jabón). Esto nos permite caracterizar las superficies mínimas como aquellas en la que, si recortamos un pequeño trozo de la superficie y metemos el resto de la superficie en agua con jabón, la película que se forma en el hueco dejado por el recorte tiene justamente la misma forma que el trozo original.

Bueno, todo lo anterior se refería a superficies que viven dentro del espacio usual (el espacio euclídeo tridimensional), pero las superficies de CMC en general, y las superficies mínimas en particular, existen en cualquier tipo de espacios, y una rama de la Teoría de Superficies de gran relevancia en la actualidad es el estudio de las superficies de CMC en espacios homogéneos. ¿Y qué es un espacio homogéneo? Pues dicho a grandes rasgos, es un espacio que es igual en todos sus puntos, es decir, no tiene puntos especiales (aunque sí puede haber direcciones especiales). Obviamente el espacio euclídeo es un espacio homogéneo, pero hay más. Pensemos por ejemplo en un cilindro sobre una esfera, es decir, el espacio producto . En ese cilindro todos los puntos son iguales, pero resulta evidente que la dirección vertical (la del factor ) es especial. Los espacios homogéneos tridimensionales están muy estudiados, y su clasificación guarda mucha relación con las famosas geometrías de Thurston, relacionadas con la conjetura de Poincaré.

Y ése es el campo en el que hemos trabajado Pablo Mira y yo en los últimos años (desde 2005) y sobre el que nos han invitado a dar una conferencia en el ICM (que probablemente llevará por título Thusrton 3-dimensional geometries).

¿Que por qué nosotros? Pues básicamente gracias a dos artículos que publicamos sobre el tema y en los que resolvimos uno de los problemas abiertos sobre superficies mínimas en espacios homogéneos de más actualidad en ese momento. Intentaré explicar brevemente en qué consiste.

Uno de los problemas básicos sobre superficies mínimas es el llamado problema de Bernstein, que consiste en clasificar las superficies mínimas que son grafos sobre todo un plano. En el espacio euclídeo este problema fue resuelto en 1915 por el propio Bernstein, que demostró que los únicos grafos mínimos enteros son los planos.

Uno de los espacios homogéneos más estudiados es el espacio de Heisenberg. Este espacio es (topológicamente) como el espacio usual, pero con una métrica distinta. Es decir, la forma de medir distancias (y por tanto todo lo relacionado con la curvatura) es distinta. En este espacio la dirección vertical es especial, y tiene propiedades distintas a las direcciones horizontales. En el espacio de Heisenberg tiene por tanto sentido plantearnos el problema de Bernstein que comentamos anteriormente, es decir, clasificar los grafos enteros mínimos en el espacio de Heisenberg.

Resolver este problema ha sido nuestra mayor aportación a esta teoría. En 2007, y gracias a un primer trabajo de 2005, Pablo y yo clasificamos la familia de grafos enteros mínimos del espacio de Heisenberg que, contrariamente a lo que sucede en el espacio euclídeo, es una familia muy grande, parametrizada en términos de diferenciales cuadráticas holomorfas, que se obtienen a partir de una aplicación armónica sobre la superficie, pero eso ya es otro tema…

Enlaces relacionados:

• Entrevista a Isabel Fernández en El País.
• Isa y Pablo en Matemáticas y sus Fronteras.

No es posible que existan números carentes de interés, pues, de haberlos, el primero de ellos ya sería interesante a causa de esa misma falta de interés.

Martin Gardner

INFINITUM. Citas matemáticas

Interesante razonamiento del señor Gardner, que además viene al pelo después de ver la interesante propiedad del número 26 que os mostré hace un par de días.