Gaussianos http://gaussianos.com Porque todo tiende a infinito Tue, 09 Feb 2010 06:30:59 +0000 http://wordpress.org/?v=2.6.1 en Suma de fracciones positiva http://gaussianos.com/suma-de-fracciones-positiva/ http://gaussianos.com/suma-de-fracciones-positiva/#comments Tue, 09 Feb 2010 06:30:59 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=2214 Os dejo el problema de esta semana:

Probar que dados cualesquiera números reales \{x_i \}_{i=1, \ldots ,n} se verifica que:

\displaystyle{\sum_{i,j=1}^n \cfrac{x_i x_j}{i+j}} \geq 0

Suerte.

]]> http://gaussianos.com/suma-de-fracciones-positiva/feed/ Curiosidades sobre algunas funciones complejas http://gaussianos.com/curiosidades-sobre-algunas-funciones-complejas/ http://gaussianos.com/curiosidades-sobre-algunas-funciones-complejas/#comments Mon, 08 Feb 2010 06:00:50 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=2209 Introducción

Como ya hemos visto en alguna ocasión los números complejos son un conjunto fascinante donde además ciertas propiedades de los números reales dejan de cumplirse o cambian de forma. Un ejemplo claro de ello es la imposibilidad de definir en \mathbb{C} un orden total coherente con las operaciones y con el orden de los números reales, hecho que vimos en este artículo.

Las funciones definidas sobre los números complejos tampoco se salvan de esto. Generalmente cumplen muchas de las propiedades que cumplen las correspondientes en \mathbb{R}, pero habitualmente aparece algún detalle que hace perdamos algo (o que ganemos). En este artículo vamos a ver tres funciones complejas y las compararemos con las reales para que se aprecien dichos cambios.

Seno y coseno complejos

Las dos primeras funciones complejas que vamos a presentar son el seno y el coseno complejos. Vamos a definirlas:

\begin{matrix} sen(z)=\cfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \\ cos(z)=\cfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \end{matrix}

Quien no las conociera seguro que está sorprendido (al menos yo me sorprendí de que estas definiciones fueran tan extrañas). De hecho sería normal intentar buscar qué diabólico artificio matemático ha hecho que dos funciones trigonométricas sencillas en los números reales deriven en estas definiciones en los números complejos. Y también sería lógico no encontrarlo. Vamos a darle luz al asunto.

La clave de estas estas definiciones es la fórmula de Euler (cuya demostración vimos en este artículo):

e^{iz}=cos(z)+i sen(z)

Sustituimos en ella z por -z

e^{-iz}=cos(z)-i sen(z)

Y ahora operamos en cada una de las expresiones anteriores. Para la primera:

\begin{matrix} \cfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\cfrac{cos(z)+isen(z)-cos(z)+isen(z)}{2i}= \\ =\cfrac{2isen(z)}{2i}=sen(z) \end{matrix}

Y para la segunda:

\begin{matrix} \cfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\cfrac{cos(z)+isen(z)+cos(z)-isen(z)}{2}= \\ =\cfrac{2cos(z)}{2}=cos(z) \end{matrix}

Por tanto las dos definiciones son coherentes.

Evidentemente por ello también se cumple que son coherentes con el seno y coseno reales (es decir, que cuando las utilizamos para calcular el seno o el coseno de un número real el resultado es el mismo que si realizáramos el cálculo de la manera habitual). Pero esto no significa que mantengan las mismas propiedades.

Sabemos que el seno y el coseno reales están acotados entre -1 y 1 (es decir, el seno y el coseno de un número real no pueden tomar ningún valor que no esté entre -1 y 1). Pero en los números complejos perdemos esta acotación. Las funciones seno y coseno complejos no están acotadas. Por ello existen números complejos cuyo coseno es 2, 3, etc.

De todas formas no lo hemos perdido todo. Generalmente las identidades trigonométricas que se cumplen en los números reales sí se mantienen en los números complejos. Por ejemplo, la famosa identidad

cos^2 (z)+sen^2 (z)=1

se sigue manteniendo en \mathbb{C}. Las fórmulas relativas al coseno y al seno de una suma también se cumplen en los números complejos.

Logaritmo complejo

La última función compleja de la que vamos a hablar es el logaritmo complejo. Partiendo de que de todo número complejo z se puede calcular su módulo, |z|, y su argumento principal, arg(z) (como vimos en este artículo), el logaritmo complejo se define de la siguiente forma:

log(z)=ln(|z|)+i(arg(z)+2k \pi); \; \mbox{con } k \in \mathbb{Z}

Para empezar, ya no hay sólo un logaritmo, sino que hay infinitos (porque un número complejo tiene infinitos argumentos). De todas formas, por norma general suele considerar la que se denomina rama principal del logaritmo (o simplemente logaritmo principal), que es el siguiente:

log(z)=ln(|z|)+i arg(z)

Lo primero de lo que nos damos cuenta a partir de esta definición es que el logaritmo complejo se es una extensión razonable del logaritmo neperiano real en el sentido de que los dos dan el mismo resultado al aplicarlos a un número real positivo (recordemos que el logaritmo neperiano real sólo está definido para los números reales positivo y que arg(z)=0, si z \in \mathbb{R}^+). Pero además hemos ganado lo siguiente:

Podemos calcular el logaritmo complejo de todo número complejo distinto de cero.

En particular, podemos calcular el logaritmo complejo de un número real negativo. El resultado, evidentemente, no será un número real, pero bueno, al menos lo podemos calcular. De hecho, dado x < 0, su logaritmo complejo tiene el siguiente valor:

log(x)=ln(-x)+i \pi

ya que el argumento principal de un número real negativo es \pi.

El logaritmo complejo también sigue cumpliendo las propiedades del logaritmo real, además de seguir siendo la función inversa de la exponencial compleja. Estos hechos nos sirve para poder definir la potencia compleja.

Dados z,w \in \mathbb{C}, se define z^w como sigue:

z^w=e^{wlog(z)}

Esta definición de la potencia compleja hace que dicha función sea bastante manejable.

¿Conocéis más propiedades curiosas o interesantes de estas funciones? ¿Y otras funciones complejas dignas de mención? Los comentarios, como siempre, son vuestros.

]]> http://gaussianos.com/curiosidades-sobre-algunas-funciones-complejas/feed/ Factorización de un primo de la forma 4k+1 en el anillo de los enteros gaussianos http://gaussianos.com/factorizacion-de-un-primo-de-la-forma-4k1-en-el-anillo-de-los-enteros-gaussianos/ http://gaussianos.com/factorizacion-de-un-primo-de-la-forma-4k1-en-el-anillo-de-los-enteros-gaussianos/#comments Thu, 04 Feb 2010 06:00:51 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=2200

Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Introducción

Un número primo de la forma 4k+1 es suma de los cuadrados de dos números enteros. Además la representación p=x^2 + y^2 es única si 0 < x < y.

Como x^2 + y^2 = (x+iy)(x-iy), la representación anterior da una factorización de un primo natural p = 4k+1 en el anillo de los enteros gaussianos. Además los factores (x+iy) y (x-iy) son primos en ese anillo.

Este post describe cómo obtener los enteros x,y que son solución de p=x^2 + y^2.

Describiendo el algoritmo

Podemos probar con un programa valores sucesivos de x hasta que encontremos la solución de x^2+y^2=p, y eso puede funcionar para primos pequeños como 100123456789 y 100987654321, pero no sirve para primos algo más grandes como el primo gemelo titánico más pequeño o el primo más pequeño de 2000 dígitos decimales.

La demostración de Zagier de que un primo de la forma 4k+1 es suma de dos cuadrados tampoco da un método práctico para encontrar la solución, ni las de Euler, Lagrange o Dedekind.

Tampoco la fórmula explícita de Gauss

x \equiv \dfrac{(2k)!}{2(k!)^2} \pmod{p}, \quad y \equiv (2k)!x \pmod{p}

es útil para calcular los valores de x e y.

Sin embargo existe un algoritmo muy simple para obtener la solución. Podemos describirlo de la siguiente forma:

Obtenemos un r < p tal que r = \pm \sqrt{-1} \pmod{p}, es decir, r^2 \equiv -1 \pmod{p}.

A continuación aplicamos el algoritmo de Euclides a \dfrac{p}{r}. El primer resto que encontramos menor que \sqrt{\dfrac{p}{2}} es el valor de x y el resto anterior es el valor de y.

El algoritmo se deriva de las demostraciones de Serret, Hermite y H.J. Smith, las primeras publicadas en el “Diario de Liouville” en 1848 y la última en el “Diario de Crelle” en 1855.

Calculadora de las componentes de los factores

Podéis probar el algoritmo introduciendo un primo en la casilla de abajo. Para encontrar primos de algunos centenares de dígitos, podéis copiar y pegar en la casilla de abajo primos cuyas 2 últimas cifras sean de la forma 4k+1 desde las páginas de “Prime Curios!”.

                                                   

  Paso  Resultado  Duración
1. Validación de entrada   
2. Busca no-residuo   
3. Calcula raíz de -1   
4. Alg.Euclides sobre p/r   
5. Comprobación  
 x =
 y =

Descripción de la calculadora

  • El paso 1 sólo verifica que el número introducido sea de la forma 4k+1.

    Los dos siguientes pasos sirven para obtener r = \sqrt{-1} \pmod{p}, y están basados en los resultados de la teoría elemental de residuos cuadráticos.

  • En el paso 2 se busca un no-residuo cuadrático t (es decir, un número que no sea un cuadrado \pmod{p}). Como la mitad de los números menores que p son no-residuos, y es rápido determinar si un número es o no un residuo cuadrático (calculando el símbolo de Jacobi), probando con números al azar podemos obtener rápidamente un no-residuo cuadrático.

    Sin embargo no está demostrado (todavía) que exista algoritmo determinista en tiempo polinomial para obtener un no-residuo cuadrático.

    La implementación devuelve el menor no-residuo, si éste es menor que 2000.

  • Una vez que tenemos un no-residuo t, en el paso 3 se obtiene r = t^{(p-1)/4} \pmod{p}.

    Por el criterio de Euler para residuos cuadráticos, r= \pm \sqrt{-1} \pmod{p}.

  • Que el paso 4 nos da la solución se justifica por el teorema de Serret:

    Si r^2 \equiv -1 \pmod{p}, \ r < p, la lista de cocientes parciales del desarrollo en fracción continua de \dfrac{p}{r} es simétrica (omando la lista de longitud par, lo que siempre es posible porque {}[a_0, \ldots, a_n] = [a_0, \ldots, a_n-1, 1]).

    A partir de los resultados mencionados en el post sobre fracciones continuas finitas, y con la notación usada alli, resulta que p = N[a_0,\ldots,a_h,a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_h]^2 + N[a_0,\ldots,a_{h-1}]^2 .

    Por ser simétrica la fracción continua, los restos que se obtienen al aplicar el algoritmo de Euclides a \dfrac{p}{r} son los numeradores de los convergentes parciales (en orden inverso) y por tanto no hace falta calcular los numeradores de dichos convergentes parciales. Basta con aplicar el algoritmo de Euclides a \dfrac{p}{r} hasta que obtengamos un resto menor que \sqrt{\dfrac{p}{2}} .

  • Por último, en el paso 5 se comprueba si los valores obtenidos cumplen x^2 + y^2=p. Si no se cumple la igualdad, se concluye que el número p introducido no es primo (y los valores de t,r no serán, en general, correctos).

El teorema de Serret se demuestra fácilmente usando la relación entre numeradores y denominadores de los convergentes parciales consecutivos y las reglas de formación de esos numeradores y denominadores. De ese teorema se obtiene una demostración de que un primo de la forma 4k+1 es suma de dos cuadrados, que pertenece al grupo de demostraciones que parten de que, para un primo de esa forma, -1 es un cuadrado \pmod{p}

En cambio la demostración de H.J. Smith que exponemos a continuación no hace uso de este hecho.

La demostración de H.J. Smith

Usamos la notación {}[ a_0, a_1, \ldots, a_n ] para representar la fracción continua finita cuyos cocientes parciales son a_0,a_1, \ldots ,a_n. Designamos con N[ a_0, a_1, \ldots, a_n ] el numerador de la fracción {}[ a_0, a_1, \ldots, a_n ] .

Como {}[a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}, 1 ] = [a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} + 1 ], asumimos que el último cociente es siempre mayor que 1.

En el post sobre fracciones continuas vimos que se cumple

  • N[a_0, a_1, \ldots, a_n ] = N[a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 ] ,
  • N[a_0,\ldots,a_k,\ldots,a_n] = N[a_0,\ldots,a_k] N[a_{k+1},\ldots,a_n] + N[a_0,\ldots,a_{k-1}] N[a_{k+2},\ldots,a_n]

Estas identidades implican:

(1)   N[a_0,\ldots,a_h,a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_h]^2 + N[a_0,\ldots,a_{h-1}]^2 .
(2)   N[a_0,\ldots,a_h,a_{h+1},a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_{h}] ( N[a_0,\ldots,a_{h+1}] + N[a_0,\ldots,a_{h-1}] ) .

De esta última igualdad se concluye que si a_0 es mayor que 1 (y hay más de un cociente), N[a_0,\ldots,a_h,a_{h+1},a_h,\ldots ,a_0] no es primo.

Para un primo de la forma 4k + 1, sea S el conjunto de las fracciones \dfrac{p}{i}, \ \ 2 \le i \le \dfrac{p-1}{2} , desarrolladas en fracción continua.

En el desarrollo en fracción continua de \dfrac{p}{i} = [a_0, a_1, \ldots, a_n ] se tiene que a_0 \ge 2 , porque i \le \dfrac{p-1}{2} , y a_n \ge 2 porque asumimos que el último cociente es mayor que 1.

La función f([a_0, \ldots, a_n ]) = [a_n, \ldots, a_0] asocia a cada elemento de S otro elemento de S, porque el numerador de una fracción continua no se altera si se invierte el orden de los cocientes y el denominador es un número menor que \dfrac {p}{2}, porque a_n \ge 2.

La función f es entonces una involución de S.

Si p=4k+1, el número de elementos de S es 2k-1, un número impar, y entonces f tiene por lo menos un punto fijo, es decir, existe un r, \ 2 \le r \le \dfrac{p-1}{2} que da una fracción continua simétrica \dfrac{p}{r} = [a_0, \ldots, a_h, a_h, \ldots, a_0] (por la observación (2) anterior, el número de cocientes ha de ser par porque p es primo).

Entonces p es suma de 2 cuadrados por la observación (1) anterior.

Sea \dfrac{p}{r} = [a_0, \ldots, a_h, a_h, \ldots, a_0 ] = \dfrac{N[a_0, \ldots, a_h , a_h, \ldots, a_0]}{D[a_0, \ldots, a_h , a_h, \ldots, a_0]}.

Como

D[a_0,a_1,\ldots a_n] = N[a_1,\ldots a_n], \ \ r=N[a_1,\ldots a_h, a_h, \ldots, a_0]

y como

N[a_0 \ldots,a_n] N[a_1, \ldots,a_{n-1}] - N[a_0 \ldots,a_{n-1}] N[a_1, \ldots,a_n] = (-1)^{n-1}

tenemos que

p N[a_1,\ldots,a_h,a_h,\ldots, a_1] - r^2 = 1

y por tanto

r^2 \equiv -1 \pmod{p}

.

]]> http://gaussianos.com/factorizacion-de-un-primo-de-la-forma-4k1-en-el-anillo-de-los-enteros-gaussianos/feed/ Hamilton-Einstein: conectando lo grande y lo pequeño http://gaussianos.com/hamilton-einstein-conectando-lo-grande-y-lo-pequeno/ http://gaussianos.com/hamilton-einstein-conectando-lo-grande-y-lo-pequeno/#comments Wed, 03 Feb 2010 15:28:55 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=2206 Con el sugerente título

La conexión entre lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño

mi amigo Juanjo se inicia en el mundo de los blogs (¡¡ya era hora!!).

Como él mismo dice:

El objetivo de este blog es el de compartir conocimientos de Física, una ciencia que me apasiona y a la que trato de dedicarle tiempo. Espero que me acompañéis en mi viaje. El nombre del blog viene de dos grandísimos físico-matemáticos: Hamilton y Einstein. La unión de ambos pretende simbolizar lo que se va buscando hoy día en física: la Teoría Unificada, la Gran Teoría…

Teniendo en cuenta los conocimientos que posee estoy convencido de que hará de su blog un lugar muy interesante para todos los aficionados a la física y a las matemáticas.

]]> http://gaussianos.com/hamilton-einstein-conectando-lo-grande-y-lo-pequeno/feed/ La fuente http://gaussianos.com/la-fuente/ http://gaussianos.com/la-fuente/#comments Wed, 03 Feb 2010 06:00:19 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=2194

La fuente primordial de todas las matemáticas son los números enteros.

Herman Minkowski

INFINITUM. Citas matemáticas

Cuando uno conoce conjuntos así no puede más que estar de acuerdo con Minkowski.

¿Qué pensáis vosotros?

]]> http://gaussianos.com/la-fuente/feed/ Raíces y probabilidad http://gaussianos.com/raices-y-probabilidad/ http://gaussianos.com/raices-y-probabilidad/#comments Tue, 02 Feb 2010 06:00:14 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=2192 Hoy, como es habitual, os traigo el problema de la semana. Es el siguiente:

Calcular la probabilidad de que la ecuación de segundo grado con coeficientes reales

ax^2+bx+c=0

tenga raíces reales.

Se entiende dicha probabilidad en el caso límite cuando N \to \infty, tomando coeficientes a,b,c \in \[ -N,N \].

]]> http://gaussianos.com/raices-y-probabilidad/feed/ Los curiosos enteros gaussianos http://gaussianos.com/los-curiosos-enteros-gaussianos/ http://gaussianos.com/los-curiosos-enteros-gaussianos/#comments Mon, 01 Feb 2010 06:00:26 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=2187 Introducción

Un joven Gauss

Un joven Gauss

El conjunto \mathbb{Z}=\{ \ldots -3,-2,-1,0,1,2,3 \ldots \} de los números enteros es un conjunto numérico bien conocido por todos nosotros. Y, aunque seguro que en menor medida, también lo es el conjunto \mathbb{C}=\{ a+bi; \; a, b \in \mathbb{R} \} de los números complejos, conjunto numérico muy interesante y muy útil en gran cantidad de problemas relacionados con muchas ramas de las matemáticas.

¿Qué ocurriría sin mezclamos las dos definiciones de estos conjuntos? Me explico:

¿Tendrá alguna utilidad considerar el conjunto de los números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros?

No habría sido extraño que fuera algo así lo que pensó Gauss al introducir este conjunto en 1832 (aunque en realidad su motivación fue el estudio sobre sumas de cuadrados). Y la verdad es que acertó (como muchas otras veces). Encontró un conjunto realmente especial. Vamos a hablar un poco sobre él y sobre sus interesantes y curiosas propiedades.

El conjunto de los enteros gaussianos

El conjunto al que nos referimos se denomina en la actualidad conjunto de los enteros gaussianos, se representa como \mathbb{Z} \lbrack i \rbrack y su definición es la siguiente:

\mathbb{Z} \lbrack i \rbrack=\lbrace x+iy; \; x,y \in \mathbb{Z} \rbrace

Es decir, los enteros gaussianos son los números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros.

Este conjunto de enteros gaussianos es un anillo con las operaciones suma y producto habituales en los números complejos. Por tanto es un subanillo de \mathbb{C}. De hecho es más: es un dominio de factorización única (DFU). Esto significa que la factorización de un entero gaussianos como producto de sus factores primos es única (salvo el orden de colocación de dichos factores). Eso no ocurre en todos los conjuntos de este tipo. Por ejemplo, el conjunto

\mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-5} \rbrack=\lbrace a+b \sqrt{-5}; \; a,b \in \mathbb{Z} \rbrace

es un anillo, pero no es un DFU, ya que hay elementos de dicho conjunto que tienen varias factorizaciones esencialmente distintas. Por ejemplo el 6:

6= 2 \cdot 3 y 6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})

Y con esto entramos en uno de los temas que más interés puede suscitar en este conjunto de enteros gaussianos: todo lo referente a sus elementos primos, es decir, los primos gaussianos. Por ello les dedico un punto separado del resto.

Primos gaussianos

Comencemos con un ejemplo. En los números enteros el número 17 es primo, ya que sólo es divisible por 1 por él mismo. Pero en \mathbb{Z} \lbrack i \rbrack:

17=(1+4i)(1-4i)

Es decir, el número 17 tiene más divisores aparte del 1 y de él mismo, por lo que deja de ser primo si lo consideramos en el conjunto de los enteros gaussianos. Curioso, ¿verdad?

Pero eso no ocurre con todos los números primos de \mathbb{Z}. Por ejemplo, 7 es primo en \mathbb{Z} y también lo es en \mathbb{Z} \lbrack i \rbrack.

En este punto la pregunta está bastante clara:

¿Hay alguna forma de saber si un número primo en \mathbb{Z} sigue siéndolo también en \mathbb{Z} \lbrack i \rbrack?

Pues la respuesta es sí. Si p es un primo de \mathbb{Z} de la forma 4n+1 entonces deja de ser primo en \mathbb{Z} \lbrack i \rbrack (este es el caso del 17), pero si es de la forma 4n+3 entonces sigue siendo primo en \mathbb{Z} \lbrack i \rbrack.

El 2 es un caso especial, ya que no cumple ninguna de esas dos descripciones. Entonces, ¿es un primo gaussiano? Pues no:

2=(1+i)(1-i)

En general, dejando aparte el caso del 2, un entero gaussiano x+iy es un primo gaussiano si y sólo si:

  1. O x o y es cero y el otro es un primo de \mathbb{Z} de la forma 4n+3 (o su negativo, -(4n+3)).
  2. Ambos son distintos de cero y x^2+y^2 es un primo de \mathbb{Z}.

Por tanto, 7 es un primo gaussiano (es 7+0 \cdot i y 7=4 \cdot 1+3) y 2+3i también lo es (ya que 2^2+3^2=13, que es primo en \mathbb{Z}), pero 17 no es un primo gaussiano.

Aplicaciones

Una de las aplicaciones más interesantes de estos enteros gaussianos la encontró el propio Gauss y se refiere a la ley de reciprocidad cuadrática, resultado que ya ha aparecido por este blog varias veces. Concretamente Gauss encontró que esta ley puede plantearse y demostrarse más fácilmente utilizando enteros gaussianos.

En Gaussian Integer de la Wikipedia inglesa podéis ver algún otro detalle interesante sobre los enteros gaussianos.

]]> http://gaussianos.com/los-curiosos-enteros-gaussianos/feed/ Monstruos numéricos http://gaussianos.com/monstruos-numericos/ http://gaussianos.com/monstruos-numericos/#comments Thu, 28 Jan 2010 06:00:57 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=2179 Este artículo ha sido promovido para portada en Menéame. Si te ha gustado y quieres votarlo haz click en este enlace y pincha en Menéalo.

Introducción

La familia de los números naturales es muy grande, inmensa. En ella conviven infinitos (y numerables, es decir, contables) miembros que, aunque pueda parecer curioso tratándose de una familia, nunca nacieron y nunca morirán. Siempre han estado ahí y ahí continuarán.

Todos ellos son importantes y también todos ellos pueden ser útiles en cierto momento. En el transcurso de nuestro viaje por este camino temporal llamado vida nos encontramos (y nos seguiremos encontrando) con muchos de ellos. Bien es cierto que habitualmente toparemos con miembros más bien pequeños, de bajo valor númerico (aunque esto no significa que tengan poco valor). Pero de vez en cuando asistiremos a la aparición de algún miembro cuyo peso como número tiene cierta entidad.

Pero al fin y al cabo nuestra existencia es finita, terminará. Este hecho unido al carácter infinito de los números naturales hace que resulte imposible encontrarse con todos, que sea inviable conocer a todos los miembros de esta familia.

Uniendo estos dos hechos (generalmente nos encontraremos con números relativamente pequeños y nos es imposible conocerlos a todos en persona) es evidente que muchos números grandes quedarán fuera de nuestro alcance en el sentido de que no tendremos el placer de tenerlos delante.

Posiblemente los tres números que os voy a presentar hoy pertenezcan a estos últimos. Bueno, puede que el primero de ellos, por estar relacionado con un juego de mesa muy popular, sí sea conocido por vosotros, pero estoy convencido de que muchos de los que leáis este artículo añadiréis al menos dos números más a vuestra lista mental de miembros conocidos de la familia de los números naturales.

El benjamin

Claude Shannon

Claude Shannon

El primero de los miembros de la familia es el número de Shannon. Este número es una cota inferior (algo así como una estimación a la baja) del número total de partidas de ajedrez posibles (esto es, de lo que se conoce como complejidad del árbol de juego del ajedrez). En concreto es el siguiente número:

N \acute{u} mero \; de \; Shannon=10^{120}

Es decir, un 1 seguido de 120 ceros. El hecho de que el número de Shannon sea mayor que la estimación que se baraja para el número total de átomos del Universo, entre 4 \cdot 10^{79} y 10^{81}, deja entrever la magnitud de este número. Es decir, aunque le hayamos llamado benjamin en realidad no tiene nada de pequeño.

Esta estimación del número de partidas de ajedrez fue realizada por Claude Shannon, padre de la teoría de la información. Shannon se basó para ellos en que de media en una partida de ajedrez se realizan 40 movimientos y que en cada jugada que hay que realizar el jugador en cuestión elige entre unos 30 movimientos posibles. Con estos datos Shannon estimó que el número de partidas de ajedrez estaba alrededor de (30 \cdot 30)^{40}=900^{40}, que es aproximadamente 10^{120}.

Actualmente se estima que 10^{123} (un número mucho mayor que el anterior) como cota inferior de la complejidad del árbol de juego del ajedrez.

El hermano mayor

Stanley Skewes

Stanley Skewes

El segundo protagonista de hoy, al que he bautizado como hermano mayor del trío de números que estamos presentando, es el número de Skewes.

Bueno, en realidad son los números de Skewes. Vamos a ver quiénes son estos chicos.

El teorema de los números primos establece lo siguiente:

\pi(x) \sim li(x)

siendo \pi (x) la función que nos da la cantidad de números primos menores o iguales que x y li (x) la siguiente integral:

\displaystyle{\int_0^{\infty} \cfrac{1}{Ln(t)} dt}

Hasta principios del siglo XX todas las evidencias disponibles indicaban que \pi (x) era siempre menor que li (x). Pero en 1914 John Littlewood demostró que existía al menos un número real para el cual \pi (x) es mayor que li (x). De hecho fue más allá, demostrando que la diferencia \pi (x)-li (x) cambia de signo infinitamente a menudo. Esto es, que hay infinitos números reales para los cuales \pi (x) es mayor que li (x).

Pero no dio ningún valor de ese x. Ni siquiera una cota.

Y aquí es donde aparece Stanley Skewes. En 1933 Skewes, alumno del propio Littlewood, encontró tal cota. Más concretamente, asumiendo cierta la hipótesis de Riemann, demostró que el número natural x más pequeño que cumple que \pi (x) es mayor que li (x) es menor que el siguiente valor:

e^{e^{e^{79}}} \approx 10^{10^{10^{34}}}

Es decir, demostró que este tremendo número es una cota superior del menor número natural con dicha característica.

Más tarde, en 1955, demostró sin utilizar la veracidad de la hipótesis de Riemann que el siguiente número hace la función de cota superior para tal x:

10^{10^{10^{963}}}

(Inciso: ¿Alguien me puede decir cuántas cifras tiene este número?)

Más adelante esa cota se ha mejorado bastante, estando actualmente sobre:

1,397162914 \cdot 10^{316}

El padre de familia

Ronald Graham

Ronald Graham

¿Todavía hay algún número mayor que los anteriores que haya tenido una función concreta dentro de las matemáticas? Pues sí. Y es nuestro padre de familia. Dicho número es el número de Graham.

Este número está relacionado con un problema que pertenece a la denominada teoría de Ramsey. Sin entrar en detalles sobre el propio problema, la cuestión es parecida a la descrita en el número de Skewes. Se demostró que existía solución a ese problema y se dio una cota superior para esta solución. Más tarde el matemático Ronald Graham mejoró dicha cota, por lo que Martin Gardner bautizó a este número como “el número de Graham”, que denotaremos por G.

¿Cuál es este número exactamente?

Pues no es fácil representarlo con la notación habitual. Necesitamos una notación adecuada a la magnitud de este monstruo numérico. En concreto, la notación de Knuth nos va a ser muy útil para dar una idea de la entidad de G.

El otro día, en este post sobre la notación de Knuth, calculamos 3 \uparrow \uparrow \uparrow 3:

\begin{matrix} 3 \uparrow \uparrow \uparrow 3=3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow \uparrow 3=3 \uparrow \uparrow (3 \uparrow 3 \uparrow 3) = & \underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \ldots \uparrow 3} \\ & 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \mbox{ veces } 3 \end{matrix}

O sea, 7625597484986 treses colocados en forma de torres de exponentes. Bestial.

Y digo calculamos porque no llegamos a decir cuál es el resultado de esta expresión ya que se salía del rango del Mathematica. Vamos, tremendamente grande.

Bien, para calcular G procedemos de la siguiente forma:

  • Tomamos g_1 de la siguiente forma: g_1=3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3. Es decir, un número muchísimo más grande que el comentado antes (no os voy a marear con el desarrollo de g_1; podéis verlo en el enlace correspondiente de las Fuentes).
  • Ahora tomamos g_2 así: g_2= 3 \uparrow ^{g_1} 3. Esto es, entre los dos treses tenemos g_1 flechas, o sea, un número de flechas igual al resultado obtenido en el apartado anterior. Teniendo en cuenta que g_1 ya es absolutamente inconcebible para la mente humana, podéis imaginar cómo puede ser este g_2.

    • .
    .
    .

  • Continuamos así hasta el paso 64. Sí, hasta el 64. Esto significa lo siguiente:

    G=g_{64}=3 \uparrow ^{g_{63}} 3

Sí, hay g_{63} flechas entre los dos treses. Si con tres flechas obteníamos 7625597484986 treses…la cantidad de treses que obtenemos en la torre de exponentes de G escapa totalmente a cualquier concepción humana. Vamos, como dice el título del post, un auténtico monstruo.

Aunque bueno, se sabe que acaba en 7. Algo es algo.

Y para terminar una pregunta:

¿Conocéis más números “con nombre” que puedan ser catalogados como “monstruos numéricos”?

Fuentes:

]]> http://gaussianos.com/monstruos-numericos/feed/ Aleatoriedad sin azar http://gaussianos.com/aleatoriedad-sin-azar/ http://gaussianos.com/aleatoriedad-sin-azar/#comments Wed, 27 Jan 2010 06:00:46 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=2177

La generación de números aleatorios es una cuestión demasiado importante para dejarla al azar.

Donald Knuth

INFINITUM. Citas matemáticas

Curiosa frase, paradójica en cierto sentido, del protagonista de nuestro artículo de ayer.

]]> http://gaussianos.com/aleatoriedad-sin-azar/feed/ La notación de Knuth, o cómo escribir ciertos números sin morir en el intento http://gaussianos.com/la-notacion-de-knuth-o-como-escribir-ciertos-numeros-sin-morir-en-el-intento/ http://gaussianos.com/la-notacion-de-knuth-o-como-escribir-ciertos-numeros-sin-morir-en-el-intento/#comments Tue, 26 Jan 2010 06:00:10 +0000 ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/?p=2140 Introducción

Los seres humanos tenemos 2 ojos, 5 dedos en cada mano y cada pie y la esperanza de vida en España ronda los 80 años actualmente. Un euro tiene 100 céntimos y un mileurista cobra 1000 euros mensuales. Podemos tener un coche de 12000 euros y una vivienda que nos cueste 200000 y ha habido semanas en las que el premio para la primera categoría del Euromillón ha rondado los 70 millones de euros (70000000 €).

Todas esas cantidades pueden ser escritas utilizando la notación habitual. Pero es evidente que cuanto mayor es el número esta forma de escribirlos se hace cada vez más engorrosa. Por suerte tenemos la potencias, gran arma para simplificar la escritura de ciertos números grandes.

Por ejemplo, si quisiéramos escribir la edad de la Tierra deberíamos escribir este número:

4550000000

que es la cantidad (en años) que se estima como edad de nuestro planeta. Utilizando las potencias la forma de escribirlo es más corta:

4,55 \cdot 10^9

Para esta cantidad puede que todavía no se perciba en toda su magnitud la utilidad de las potencias para esta tarea. Probemos con otra. Para escribir el número de átomos que se estima que hay en la Tierra tendríamos que escribir un 1 seguido de 51 ceros. Es decir, un número que ya tiene una cierta magnitud y, por qué no decirlo, bastante engorroso de escribir de la manera habitual. Nuestras amigas las potencias nos ayudan a simplificar esta tarea:

10^{51}

Hemos escrito el mismo número pero, como es evidente, de una forma bastante más cómoda.

Otro ejemplo más. A estas alturas casi todo sabréis qué es un googol. Sí, exacto, un 1 seguido de cien ceros. Escribir este número con la notación habitual alcanza ya el nivel de tarea insufrible. Otra vez las potencias nos ayudan con ella:

10^{100}

Pero, ¿qué ocurre si queremos escribir el número googelplex? Este número es un 1 seguidos de un googol de ceros y tiene ya unas dimensiones inimaginables para el ser humano. Bueno, os echo una mano:

10^{10^{100}}

Para representarlo hemos necesitado no sólo una potencia, sino dos. Vamos, una torre de potencias.

Con la ayuda de estas torres de potencias podemos representar número enormes que, como dije antes, escapan a nuestra percepción. La pregunta es: ¿podemos necesitar en algún momento escribir algún número cuya representación no pueda hacerse de forma sencilla con estas notaciones? La respuesta es sí. Y la notación de Knuth es una de las opciones más recomendables.

La notación de Knuth

La forma de representar números que vamos a ver fue introducida por Donald Knuth en 1976 y podemos decir que responde a la necesidad de representar ciertos números tremendamente grandes cuya representación en la forma habitual es extremadamente pesada.

Básicamente utiliza la idea comentada antes sobre torres de potencias, pero introduciendo nuevos símbolos para representarlas, ya que los números a los que está enfocada esta notación necesitan de una torre de potencias que se sale de lo admisible en lo que a escritura se refiere. Veamos cómo se hace todo esto.

Todos sabemos que al elevar un número natural (base) a otro (exponente) lo que hacemos es multiplicar la base tantas veces como indica el exponente, es decir:

\begin{matrix} m^n = & \underbrace{m \cdot \ldots \cdot m} \\ & n \mbox{ veces} \end{matrix}

Por ejemplo:

\begin{matrix} 5^3= & \underbrace{5 \cdot 5 \cdot 5} \\ & 3 \mbox{ veces } 5 \end{matrix}

Bien, pues Knuth introduce un nuevo símbolo para esta potencia con un único exponente:

m^n= m \uparrow n

A partir de aquí comienza la generalización. El siguiente paso sería este:

\begin{matrix} m \uparrow \uparrow n & = {\ ^{n} m} = & \underbrace{m^{m^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^m}}}}}} & = & \underbrace{m \uparrow (m \uparrow(\ldots\uparrow m))} \\ & & n \mbox{ veces } m & & n \mbox{ veces } m \end{matrix}

Un ejemplo de esto:

\begin{matrix} 5 \uparrow \uparrow 3 & = {\ ^{3} 5} = & \underbrace{5^{5^5}} & = & \underbrace{5 \uparrow (5 \uparrow 5)} & = & 5^{3125} \approx 1,911012597945478 \cdot 10^{2184} \\ & & 3 \mbox{ veces } 5 & & 3 \mbox{ veces } 5 \end{matrix}

Fijáos de qué manera tan sencilla hemos escrito un número que tiene la nada despreciable cifra de 154 dígitos.

Vamos a ver unos cuantos ejemplos con el mismo número como base para que se pueda entender de forma más clara cómo van creciendo los resultados con esta doble flecha:

2 \uparrow \uparrow 2= 2^2=4
2 \uparrow \uparrow 3=2^{2^2}=2^4=16
2 \uparrow \uparrow 4=2^{2^{2^2}}=2^{16}=65536
2 \uparrow \uparrow 5=2^{2^{2^{2^2}}}=2^{65536} \approx 2,003529930406846 \cdot 10^{19728}

Es decir, al subir una unidad el segundo término lo que hacemos es elevar el primer término al número obtenido antes. Por ello podemos definir esta operación doble flecha por recurrencia de la siguiente forma:

m \uparrow \uparrow 1=m
m \uparrow \uparrow (n+1)=m^{m \uparrow \uparrow n}

Se puede deducir fácilmente que esta notación doble flecha puede ampliarse, es decir, podemos utilizar más flechas, lo que nos llevará a obtener números cada vez más grandes. Veamos cómo sería la notación triple flecha:

\begin{matrix} m \uparrow \uparrow \uparrow n = & \underbrace{m\uparrow \uparrow (m \uparrow \uparrow (\ldots \uparrow \uparrow m))} \\ & n \mbox{ veces } m \end{matrix}

Y, claro está, podemos pasar a cuádruple flecha:

\begin{matrix} m \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n= & \underbrace{m \uparrow \uparrow \uparrow (m \uparrow \uparrow \uparrow (\ldots \uparrow \uparrow \uparrow m))}\\ & n \mbox{ veces } m \end{matrix}

Y así sucesivamente. En general, y utilizando el símbolo \uparrow ^k para representar k flechas seguidas, la notación n-flecha se definiría de la siguiente manera:

m \uparrow ^k n= m \uparrow ^{k-1} m \uparrow ^{k-1} m \ldots m \uparrow ^{k-1} m

donde m aparece n veces.

Vamos a poner un par de ejemplos de la notación triple flecha:

3 \uparrow \uparrow \uparrow 2=3 \uparrow \uparrow 3=3 \uparrow 3 \uparrow 3= 3^{3^3}=3^{27}=7625597484987

Ahora

\begin{matrix} 3 \uparrow \uparrow \uparrow 3=3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow \uparrow 3=3 \uparrow \uparrow (3 \uparrow 3 \uparrow 3) = & \underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \ldots \uparrow 3} \\ & 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \mbox{ veces } 3 \end{matrix}

que da un número de repeticiones del 3 que se sale del rango del Mathematica (podéis imaginar qué cantidad números 3 puede tener esta expresión).

Utilidad de la notación de Knuth

Hemos comentado que esta notación sirve principalmente para representar de una forma relativamente simple ciertos números tremendamente grandes. Y habíamos hecho la siguiente pregunta:

¿Podemos necesitar en algún momento escribir algún número cuya representación no pueda hacerse de forma sencilla con estas notaciones?

(Hablamos de necesidad en el sentido de que dicho número sea útil, es decir, que sirva de algo, que aparezca en algún lugar de las matemáticas realizando una función.

Nuestra respuesta fue un rotundo sí, pero no habíamos dado nombre a este engendro. Y no hay mejor momento que éste para hacerlo. Hay al menos un número que ejerce una función concreta dentro de las matemáticas que sólo se puede escribir de manera mínimamente razonable utilizando una notación tipo la notación de Knuth. Nuestro protagonista se llama número de Graham y aparece en la demostración de un teorema haciendo la función de cota. Pero la descripción de este monstruo numérico (junto con la de otros monstruos de este tipo, aunque más modestos) la dejamos para otro momento (que no tardará mucho en llegar).

Fuente:

]]> http://gaussianos.com/la-notacion-de-knuth-o-como-escribir-ciertos-numeros-sin-morir-en-el-intento/feed/