Ah, reconozco al león por su garra.

(Refiriéndose a Newton.)

Johann Bernoulli

INFINITUM. Citas matemáticas

Como comentamos el otro día en el post sobre la cicloide, esta curva ha dado lugar a muchas historias y disputas entre matemático. La frase de este post fue el final de una de ellas.

El león

En 1696 Johann Bernoulli planteó a los miembros de la Royal Society dos problemas (a la postre relacionados con la cicloide). Los consideraba tan complicados que dio un plazo de seis meses para la presentación de las soluciones y ofreció como premio un valioso libro de su colección personal a quien resolviera los dos problemas. Al cabo de esos seis meses sólo Leibniz había resuelto el primero de ellos. A la vista de los resultados Bernoulli dio otros seis meses de plazo…pero todo siguió igual: ninguna nueva solución del primero ni ninguna solución para el segundo.

A raíz de esto Leibniz le sugirió que le hiciera llegar estos problemas a Newton. Éste ya había pasado su mejor momento y por ello, según parece, Bernoulli vio en este envío una manera de ridiculizarle (Bernoulli era partidario de Leibniz en la disputa sobre la invención del cálculo).

El caso es que los problemas llegaron a manos de Newton una tarde…y en la madrugada del mismo día ya los había resuelto. A la mañana siguiente envió a la Royal Society sus soluciones, pero sin identificarse. Bernoulli sólo necesito echarles una ojeada para reconocer al león como autor de las mismas.

Si y son enteros positivos, encuentra todas las soluciones de la siguiente ecuación:

Suerte.

Introducción

El mundo de las curvas es un mundo realmente interesante. Podemos encontrarnos formas de muchos tipos, desde las más conocidas comoun segmento (sí, aunque a mucho les sorprenda un segmento es una curva en el sentido matemático del concepto) o una porción de circunferencia, hasta algunas la hipopede de Eudoxo o la cuadratriz.

Siento este mundo de las curvas tan extenso podemos encontrar muchas con características muy interesante. La cicloide es, sin lugar a dudas, una de ellas. Tiene unas propiedades muy curiosas que al ser vistas chocan con nuestra propia intuición. Esta curva va a ser la protagonista de este artículo.

¿Qué es la cicloide?

Comencemos este punto presentando a nuestra amiga la cicloide:

La cicloide es la curva trazada por un punto de una circunferencia (llamada circunferencia generatriz) cuando ésta gira sobre una línea (llamada recta directriz) sin deslizarse por ella.

Es decir, la cicloide es la curva que aparece en rojo en el siguiente gráfico:

Dada una circunferencia de radio y un punto de la misma situado en el origen de coordenadas, las ecuaciones paramétricas de un arco de la cicloide generada por ese punto al girar la circunferencia sobre el eje son:

, con

La cicloide ha sido una curva muy estudiada a lo largo de la historia. Ya a finales del siglo XVI, Galileo había estudiado esta curva, obteniendo ciertas aproximaciones sobre cálculos relacionados con ella (en concreto sobre el área encerrada por un arco de cicloide). Mersenne, posiblemente después de conocer estos estudios de Galileo, llamó la atención de los matemáticos de esta época (estamos ya en el siglo XVII) hacia esta curva. Y muchos fueron los que acudieron al llamamiento. Tanta fue la expectación creada por esta curva que acabó por conocerse como la Helena de los geómetras por la cantidad de disputas entre matemáticos que provocaron los estudios relacionados con ella.

El caso es que uno de los primeros que consiguieron resultados sobre la cicloide fue Roberval. Mersenne le propuso en 1628 el estudio de esta curva y unos años después, sobre 1634, Roberval demostró que el área encerrada por un arco de cicloide es exactamente tres veces el área de la circunferencia que la genera. Más adelante también encontró un método para trazar la tangente a la cicloide un punto cualquiera de la misma (problema resuelto también por Fermat y Descartes) y realizó cálculo relacionados con volúmenes de revolución asociados a la cicloide.

Roberval no publicó estos resultados en su momento, ya que quería guardarlos en cierto secreto para utilizarlos como problemas a proponer a los candidatos a su cátedra. Por ello, cuando Torricelli (matemático que también se interesó por esta curva) publicó sus soluciones a varias de las cuestiones resueltas por Roberval sin mencionarle, creyó que se trataba de plagio. Pero los estudios de Torricelli se habían desarrollado de forma independiente a los de Roberval. Al final la historia fue justa con los dos: Roberval fue el primero en encontrar las soluciones y Torricelli el primero en publicarlas.

Pero la cosa no quedó ahí. En 1658 Christopher Wren calculó que la longitud de un arco de cicloide es cuatro veces el diámetro de la circunferencia que genera dicha curva. Y muchos más fueron los matemáticos que dedicaron parte de su tiempo a ella, entre los que se encuentran los ilustres Pascal, Huygens, Leibniz, Newton, Jakob y Johann Bernoulli…

¿Qué propiedades tiene?

El gran interés suscitado por esta curva proviene de las curiosas características que posee. Aparte de los cálculos ya mencionados, la cicloide tiene dos propiedades realmente interesantes y que, como dije al principio del artículo, en cierto modo atentan contra nuestra intuición. Concretamente son su condición de braquistócrona y su condición de tautócrona. Vamos a intentar explicar qué significan estas dos propiedades.

Braquistocronía

El término braquistócrona significa el menor tiempo. El problema de la braquistócrona puede enunciarse de la siguiente forma:

Dado un punto en un plano y otro punto del mismo plano situado verticalmente más abajo que (sin llegar a estar verticalmente justo debajo de ), encontrar la curva que une y que hace mínimo el tiempo que tarda un punto móvil en llegar de a al estar sometido a la acción de la gravedad

La situación de los puntos es algo así:

En principio no sería extraño pensar que esa curva es una línea recta (un segmento en este caso), ya que en un plano una recta representa la distancia más corta entre dos puntos. Pero no estamos hablando de distancias, sino de tiempos. ¿La respuesta seguirá siendo también la recta? Veamos este vídeo en el que aparecen dos cicloides y un segmento y respondamos después:

Como se puede ver las bolas (el punto móvil ) llegan antes al destino cuando bajan por la cicloide. Es decir, que en la cicloide el tiempo de recorrido es menor que en un segmento. De hecho la cicloide minimiza este tiempo de recorrido, es decir, la cicloide es la braquistócrona. Curioso, ¿verdad?

Tautocronía

La braquistocronía no es la única propiedad curiosa de la cicloide. De hecho tiene una que es más sorprendente si cabe. Podríamos enunciarla de la siguiente manera:

Supongamos que tenemos una cicloide que “cuelga” hacia abajo y que dejamos caer a lo largo de ella dos bolas desde diferentes puntos. La cuestión es que da igual desde qué puntos las dejemos caer ya que las bolas llegan a la vez al punto más bajo.

Esta propiedad se denomina tautocronía (que significa mismo tiempo). Vamos a verlo en un vídeo:

Para finalizar os dejo este enlace. Me ha parecido interesante porque pinchando en cada uno de las cuadrículas que aparecen creamos cicloides y podemos ver gráficamente las dos propiedades comentadas anteriormente.

Fuentes:

• Historia de la matemática, de Carl B. Boyer.
• Cicloide en la Wikipedia española.

Al menos ese fue mi caso. Tuve la suerte de encontrarme con muy buenas personas en mi etapa universitaria en Granada, personas que me ayudaron mucho en aquellos momentos y con las que compartí experiencias inolvidables. Por desgracia siempre queda gente con la que no llegas a relacionarte tanto, aunque no haya una razón para ello. Gente que comparte el día a día contigo pero con la que no tienes tanto contacto.

Aunque hace ya unos cuantos años que terminó ese período sigo recordando a muchos de mis compañeros, tanto a los más cercanos (evidente) como a los que no lo fueron tanto. Isa pertenece, por desgracia, a este último grupo. Y digo por desgracia porque siempre me pareció una magnífica persona, siempre con una sonrisa en la boca, siempre dispuesta a echar una mano. Y, adentrándome ya en la parte académica, porque siempre fue una estudiante brillante. Y cuando digo brillante quiero decir tremendamente brillante. Lola, una de sus amigas en aquella época (no sé si antes de comenzar la carrera ya os conocíais), puede confirmar que Isa estuvo siempre por encima de todos los que compartimos clase con ella. Por este motivo no me extraña que haya llegado hasta donde ha llegado. Y por ser como es me alegro una barbaridad.

¿Quién es Isabel Fernández?

Isabel Fernández

Después de pasar por Murcia y Badajoz, actualmente es Profesora Contratada Doctora del departamento de Matemática Aplicada I de la Universidad de Sevilla.

Rumbo al ICM

Bueno, ¿y qué es lo que ha conseguido Isa? Pues algo tan importante como ser la primera mujer española que recibe una invitación para asistir como ponente en el ICM. Casi nada.

Pablo Mira

La noticia sobre esta invitación al ICM me llegó a través de Menéame (el enlace está al final de este artículo). Nada más verla me puse a buscar una manera de contactar con Isa para felicitarla y para comentarle que quería escribir algo sobre ella en Gaussianos, blog que, por cierto, ya conocía a través de Lola (gracias). Después cruzarnos unos cuantos correos, Isa me comentó que intentaría escribir algo explicando en qué consiste el trabajo que Pablo y ella han realizado y que les ha servido para ir al ICM. ¿Quién mejor que ella para explicarlo?

Los trabajos de Isa y Pablo

Bueno, ya va siendo hora de que sepamos por qué han invitado al ICM a Isa y Pablo. El siguiente texto es lo que Isa ha escrito para mí y para todos vosotros explicándonos sus trabajos.

Superficies de curvatura media constante (CMC)

Un concepto muy importante a la hora de estudiar superficies es el de la curvatura media, que nos da una medida de cómo se curva la superficie en el espacio. La idea es la siguiente: para cada punto P de la superficie consideramos todas las secciones normales de la superficie que pasan por ese punto, que son las curvas que se obtienen al cortar la superficie con todos los planos perpendiculares a la misma en el punto P. De todas estas curvas nos quedamos con las que tengan menor y mayor curvatura (las llamadas direcciones principales), estas direcciones marcan lo máximo que nos podemos curvar hacia un lado o hacia el otro en la superficie.

Si llamamos y a las curvaturas de las dos direcciones principales, la curvatura media en ese punto es, precisamente, la media aritmética entre las dos:

Las superficies que tienen la misma curvatura media en todos sus puntos se denominan superficies de curvartura media constante (CMC), y tienen propiedades geométricas que las hacen muy interesantes.

Por ejemplo, las superficies de CMC igual a cero se denominan superficies mínimas, nombre que proviene del hecho de que estas superficies son las que tienen menor área de entre todas las superficies con su mismo contorno (localmente, es decir, considerando trozos suficientemente pequeños de la superficie). Esta propiedad es precisamente la que caracteriza a las películas de jabón (es la primera de las famosas leyes de Plateu, que rigen el comportamiento de las películas de jabón). Esto nos permite caracterizar las superficies mínimas como aquellas en la que, si recortamos un pequeño trozo de la superficie y metemos el resto de la superficie en agua con jabón, la película que se forma en el hueco dejado por el recorte tiene justamente la misma forma que el trozo original.

Bueno, todo lo anterior se refería a superficies que viven dentro del espacio usual (el espacio euclídeo tridimensional), pero las superficies de CMC en general, y las superficies mínimas en particular, existen en cualquier tipo de espacios, y una rama de la Teoría de Superficies de gran relevancia en la actualidad es el estudio de las superficies de CMC en espacios homogéneos. ¿Y qué es un espacio homogéneo? Pues dicho a grandes rasgos, es un espacio que es igual en todos sus puntos, es decir, no tiene puntos especiales (aunque sí puede haber direcciones especiales). Obviamente el espacio euclídeo es un espacio homogéneo, pero hay más. Pensemos por ejemplo en un cilindro sobre una esfera, es decir, el espacio producto . En ese cilindro todos los puntos son iguales, pero resulta evidente que la dirección vertical (la del factor ) es especial. Los espacios homogéneos tridimensionales están muy estudiados, y su clasificación guarda mucha relación con las famosas geometrías de Thurston, relacionadas con la conjetura de Poincaré.

Y ése es el campo en el que hemos trabajado Pablo Mira y yo en los últimos años (desde 2005) y sobre el que nos han invitado a dar una conferencia en el ICM (que probablemente llevará por título Thusrton 3-dimensional geometries).

¿Que por qué nosotros? Pues básicamente gracias a dos artículos que publicamos sobre el tema y en los que resolvimos uno de los problemas abiertos sobre superficies mínimas en espacios homogéneos de más actualidad en ese momento. Intentaré explicar brevemente en qué consiste.

Uno de los problemas básicos sobre superficies mínimas es el llamado problema de Bernstein, que consiste en clasificar las superficies mínimas que son grafos sobre todo un plano. En el espacio euclídeo este problema fue resuelto en 1915 por el propio Bernstein, que demostró que los únicos grafos mínimos enteros son los planos.

Uno de los espacios homogéneos más estudiados es el espacio de Heisenberg. Este espacio es (topológicamente) como el espacio usual, pero con una métrica distinta. Es decir, la forma de medir distancias (y por tanto todo lo relacionado con la curvatura) es distinta. En este espacio la dirección vertical es especial, y tiene propiedades distintas a las direcciones horizontales. En el espacio de Heisenberg tiene por tanto sentido plantearnos el problema de Bernstein que comentamos anteriormente, es decir, clasificar los grafos enteros mínimos en el espacio de Heisenberg.

Resolver este problema ha sido nuestra mayor aportación a esta teoría. En 2007, y gracias a un primer trabajo de 2005, Pablo y yo clasificamos la familia de grafos enteros mínimos del espacio de Heisenberg que, contrariamente a lo que sucede en el espacio euclídeo, es una familia muy grande, parametrizada en términos de diferenciales cuadráticas holomorfas, que se obtienen a partir de una aplicación armónica sobre la superficie, pero eso ya es otro tema…

Enlaces relacionados:

• Entrevista a Isabel Fernández en El País.
• Isa y Pablo en Matemáticas y sus Fronteras.

No es posible que existan números carentes de interés, pues, de haberlos, el primero de ellos ya sería interesante a causa de esa misma falta de interés.

Martin Gardner

INFINITUM. Citas matemáticas

Interesante razonamiento del señor Gardner, que además viene al pelo después de ver la interesante propiedad del número 26 que os mostré hace un par de días.

Calcula el máximo común divisor siguiente:

Suerte.

Hace ya bastante tiempo comentamos una curiosa propiedad del número 26. Concretamente es ésta:

El número 26 es el único número natural que está situado entre un cuadrado () y un cubo ().

Al parecer fue Fermat quien demostró dicho resultado, pero en el post donde dábamos cuenta de esta característica del 26 no se daba ninguna prueba de este hecho. Fue Juanbuffer quien aportaba en un comentario un pdf con una demostración del mismo (que si no recuerdo mal no estaba en español). Por desgracia parece que ya no se puede acceder a dicho documento (al menos yo no puedo). Por este motivo me puse a buscar…y la he encontrado. Mi admirado Carlos Ivorra es quien me ha proporcionado dicha prueba. Bueno, en realidad no sé si es suya, pero aparece en uno de los libros en formato pdf que tiene disponibles en su web: Teoría de Números.

En este artículo vais a poder ver esta demostración.

La unicidad del 26

En realidad la demostración que os voy a presentar del hecho de que el 26 sea el único número natural con la propiedad mencionada anteriormente es relativamente elemental. Lo interesante de la prueba es que se sale del conjunto de los números naturales para demostrar una característica en . El hecho apoyarse en un conjunto mayor que para demostrar algo en él es un argumento bastante útil, hecho del que se aprovecharon muchos matemáticos cuando se convencieron de la potencia de dicho argumento.

Centrémonos en el tema. Vamos a hacer la demostración en (los números enteros). Entonces el enunciado del resultado a demostrar el el siguiente:

Teorema:

Las únicas soluciones enteras de la ecuación

son .

Demostración:

Un simple vistazo a la ecuación nos dice que no puede ser un número par. Si lo fuera tendríamos que también sería par. La contradicción se encontraría en el hecho de que la parte derecha de la igualdad sería divisible entre 8, pero la parte izquierda no sería ni siquiera divisible entre 4. Por tanto ha de ser un número impar.

Nos salimos ahora de para adentrarnos en el anillo . Consideramos la ecuación anterior en este anillo su expresión puede darse factorizada de la siguiente manera:

Consideramos en este anillo la norma siguiente:

Es sencillo comprobar que dicha norma es multiplicativa, esto es, que es positiva para todo elemento distinto de cero de , que es cero para el elemento cero y que la norma de un producto de dos elementos de es el producto de las normas de dicho elementos.

Supongamos ahora que cumplen la ecuación inicial y tomemos los elementos y de . Cualquier elemento que sea un divisor común de ellos dos debe dividir también a su suma, , y a su diferencia, . Tomando normas en esta situación tendríamos lo siguiente:

Por tanto . Los únicos pares de valores que cumplen esto son los siguiente:

Con las dos primeras posibilidades obtenemos los elementos y -1$ de , que son unidades de este anillo. En los demás casos obtenemos los elementos y , todos ellos con norma par (2 ó 4), por lo que no pueden dividir a , cuya norma () es impar.

Con esto llegamos a lo siguiente: y son primos entre sí.

Ahora, teníamos la ecuación inicial factorizada de la siguiente forma:

Uniendo estos dos hechos tenemos que el producto de dos elementos de que son primos entre sí es igual a un cubo. Ello obliga a que cada uno de estos elementos sea él mismo un cubo. En particular:

Desarrollemos ahora la parte derecha de esta última igualdad:

Igualando coeficientes de de las expresiones inicial y final llegamos a la siguiente igualdad:

Un sencillo análisis de los valores de y nos lleva a que los únicos valores posibles son y (recordemos que y son números enteros). Para obtenemos que y de ahí que . Y para obtenemos y por tanto , que es el resultado buscado.

¿Conocéis alguna otra demostración de este hecho? Los comentarios son vuestros.

Introducción

Como ya hemos comentado alguna vez, Leonhard Euler es el matemático más prolífico de la historia. Podemos encontrar su nombre en casi todas las ramas de las matemáticas, desde álgebra hasta análisis complejo, pasando por geometría y topología. Pero cuanto más indaga uno en sus trabajos más se sorprende. Por más que pensemos que conocemos los trabajos de Euler siempre aparece por sorpresa con un tema nuevo que nos era ajeno. Esto mismo es lo que me ha pasado a mí hace unos días. Y, cómo no, os lo voy a contar.

Numeri idonei

En una carta dirigida al físico suizo Nicolas Béguelin, Euler comentaba lo siguiente:

Todos los números contenidos de una sola forma en son primos o dobles de primos donde e son primos entre sí. He observado que otras expresiones similares de la forma gozan de la misma propiedad dando a la letra valores convenientes.

Esto es, todo número que puede expresarse de una única forma como , para e primos relativos, es primo o el doble de un primo. En particular, todo número impar que pueda expresarse de una única forma en el sentido anterior es primo.

Pero aún hay más. No sólo sirve una expresión del tipo , sino que existen ciertos valores de tales que una expresión del tipo cumple la misma propiedad. A estos valores de es a los que se les llama numeri idonei (números convenientes o números idóneos en español y suitable numbers o idoneal numbers en inglés).

Al menos esta era la definición inicial de número idóneo. Pero esta forma de definir este tipo de números presenta algunos problemas. Por ejemplo, es un número idóneo (lo veremos más adelante) y para él se cumple que:

es la única representación del número 9 como . Pero como todos sabemos 9 no es primo, aunque sí es potencia de un primo, ya que . Por tanto deberíamos decir que es un número idóneo si todo número impar que pueda expresarse de una única forma como es primo o potencia de un primo, pero se puede afinar un poco más para eliminar esta nueva posibilidad, esto es, que el número sea una potencia de un número primo (en el primer enlace de las fuentes podéis ver algunas de las condiciones que se podemos añadir a la definición para evitar esto).

Conociendo un poco la forma de trabajar de Euler cualquiera puede imaginar que no se quedó ahí, que sus investigaciones sobre este tema no terminaron en el establecimiento de la definición de este tipo de números. Sabiendo de su carácter indagador uno tiende a pensar que intentó profundizar más en el asunto. Y teniendo un poco de información sobre sus logros no es difícil convencerse de que lo hizo, y muy profundamente. Pues sí, así fue. Euler elaboró una lista de números idóneos. Es la siguiente:

En total 65 números que Euler comprobó que eran idóneos (en el sentido comentado anteriormente). De hecho indagó más: utilizó esta lista para construir números primos hasta de ocho cifras.

Llegados a este punto lo más lógico es que nos hagamos la siguiente pregunta: ¿es infinito el conjunto de números idóneos? La respuesta es no. En 1934, el matemático Sarvadaman Chowla demostró que el conjunto de números idóneos es finito.

Sabiendo esto nos surge otra cuestión: ¿hay más números idóneos aparte de los encontrados por Euler? Por desgracia para esta pregunta todavía no hay respuesta, aunque sí se tienen datos. Concretamente se sabe que como mucho existe un número idóneo más, aparte de los que se encuentran en la lista. Y que si este último número idóneo en realidad existe, debe ser mayor que 100000000.

Mayor número primo encontrado con los números idóneos

Hemos comentado antes que Euler utilizó estos números para encontrar números primos relativamente grades (hasta ocho cifras). El mayor número primo que encontró Euler con esta téctica fue . Para demostrar que este número de ocho cifras es primo habría que comprobar que la única solución de la ecuación

es . ¿Alguien se atreve?

Fuentes:

• Numeri Idonei en Math Pages.
• Idoneal number en la Wikipedia inglesa.
• Euler y la teoría de números (pdf), de Fernando Chamizo.
• Numeri idonei en la Enciclopedia de las secuencias de números enteros, donde además podréis encontrar un código para Mathematica que genera todos los números idóneos hasta 10000.

En compañía de amigos, los escritores pueden discutir sobre sus libros, los economistas sobre el estado de la economía, los abogados sus últimos pleitos y los hombres de negocios sus últimas adquisiciones, pero los matemáticos no pueden hablar sobre sus matemáticas en absoluto. Y cuanto más profundo es su trabajo, menos comprensible es.

Alfred Adler

INFINITUM. Citas matemáticas

Estoy de acuerdo con Adler. Para un matemático es muy complicado explicarle a alguien que no esté muy metido en el asunto qué es lo que hace. Seguro que algunos de vosotros os habéis encontrado en una situación así alguna vez. Los comentarios son la mejor manera de contar vuestras experiencias.

Encontrar todos los valores de para los cuales las curvas

y

son tangentes entre si.

A por él.