1. Sea el -ésimo término de la sucesión , sucesión que comienza con el , número impar, que sigue con dos pares (los siguientes al ), después tres impares, y así sucesivamente. Si , ¿cuál es el valor de ?.
2. Encontrar todas las ternas de enteros tales que , con .
3. Encontrar el mayor número entero que es menor que .
4. Demostrar que no existen funciones tales que para todo .

Ánimo y a por ellos.

Por cierto, a ver si terminan las fiestas y vuelvo a la publicación más o menos habitual. Estas fechas son magníficas para trastocar todo tipo de planificación.

Como ya hice el año pasado os dejo lo que considero que ha sido lo mejor de Gaussianos del año 2008:

Enero

Expresar un número decimal en forma de fracción
El teorema de Morley
Nuevo récord de dígitos de Pi de memoria…¿seguro?
La paradoja del cumpleaños

Febrero

Cómo demostrar que Pi es irracional
Gaussianos en La Gran Guía de los Blogs

Marzo

Números irracionales cebra
Circunferencias tangentes y rectas perpendiculares
Cómo demostrar que Pi es irracional (II)
Número normal

Abril

Yin-yang matemático
La hipopede de Eudoxo
Geometría curiosa

Mayo

Los puentes de Königsberg: el comienzo de la teoría de grafos
¿Sabía que…

Junio

saber si un número es divisible entre 11 y 19
La paradoja de la banda esférica
Graves confusiones sobre el número Pi

Julio

Alberto Coto, nuevo campeón del mundo de cálculo mental
Gaussianos cumple 2 años de vida
Concurso: Logo para Gaussianos

Agosto

La cuadratriz
El teorema de Pick
resultados del concurso “Logo para Gaussianos”

Septiembre

Gaussianos cambia de cara
¡¡Tenemos dos nuevos primos de Mersenne!!
En ocasiones veo 3′14… (y II)
La línea de Euler

Octubre

Demostración topológica de la infinitud de los números primos
El teorema de Wilson

Noviembre

Grafos de Kuratowski

Diciembre

coincidencias matemáticas
Representar gráficamente funciones polinómicas de segundo y tercer grado
1974: aquel maravilloso año (y la explicación)

Bueno, como podéis ver este año ha sido menos prolífico que los anteriores. En parte la falta de tiempo, en parte la falta de ideas en los momentos en los que disponía de tiempo, a veces desgana y pereza (es complicado no tenerlas) y, supongo, alguna otra razón han hecho que publique menos. De todas formas quiero aprovechar esta última anotación de 2008 para aseguraros que seguiré con esto, que intentaré aumentar el ritmo de posteo o, si no es así, subir la calidad de los artículos, vamos, que mantengo las fuerzas y la ilusión. Y espero que vosotros sigáis estando ahí, conmigo, ya sea como comentaristas, colaboradores o simplemente lectores, como siempre habéis estado.

Tened cuidado con los excesos (de todo tipo) esta noche. Y ya sabéis, el próximo resumen anual el 31 de diciembre de 2009. Aquí nos veremos.

Sea un conjunto de puntos del plano tales que por cada cuatro puntos de pasa una circunferencia. Demostrar que todos los puntos de pertenecen a la misma circunferencia.

El contenido de la entrada pertenece a un artículo de Martin Gardner aparecido en Scientific American el 1 de abril de 1975 (recordemos que en el mundo anglosajón el 1 de abril es el equivalente a nuestro día de los Santos Inocentes). Lo he sacado del libro Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas del mismo Gardner perteneciente a la colección Desafíos Matemáticos de RBA.

Pasemos a comentar los seis puntos del artículo:

1. El teorema de los cuatro colores

   Este teorema es un resultado muy interesante de teoría de grafos. Fue demostrado con la ayuda de un programa de ordenador en 1976, aunque antes ya se intuía como cierto. El mapa que aparece en el artículo fue, según Gardner, realizao por un correponsal llamado William McGregor. Al señor Gardner le llegaron muchas cartas con el para coloreado con cuatro colores. Hernan, en este comentario, nos muestra algunas formas de colorearlo así.

2. Número entero

   Evidentemente el número no es un número entero. Jose, en este comentario nos da el valor que muestra el programa Mathematica con 100 dígitos:

   

   La referencia a Ramanujan que se hace en esta parte del artículo es cierta en parte, ya que el matemático indio sí publicó una familia de números que eran casi enteros, aunque él sabía que ninguno de ellos lo era. De hecho se puede demostrar que no es un número entero viendo que el número en cuestión es trascendente.

3. El ordenador inteligente

   Esta noticia es completamente falsa. Según Gardner, es una historia inventada basada en el programa MacHack escrito por Richard Greenblatt, del MIT.

4. Contradicción en la teoría de la relatividad especial

   La paradoja de la que se habla en este punto es conocida, pero de hecho no es una paradoja, tiene solución desde hace tiempo. Jose, en este otro comentario, nos habla sobre el asunto.

5. El dibujo perdido de Leonardo

   Otra historia falsa. El dibujo fue realizado por Anthony Ravielli, artista gráfico famoso por su excelentes ilustraciones en libros deportivos, científicos y matemáticos. Augusto Macaroni es un personaje ficticio cuyo nombre está basado en Augusto Marinoni, especialista en Da Vinci de la Universidad Católica de Milán; Ramón Paz y Bicúspide también es un personaje inventado y está basado en Ramón Paz y Remolar, que fue quien verdaderamente descubrió los dos cuadernos desaparecidos de Da Vinci.

6. Energía psi

   El rotor Ripoff es, según cuenta Gardner, una modificación de un motor psíquico descrito en la extravagante y fantasiosa revista Science and Invention en 1923. En realidad el movimiento no se debe a nuestra energía psíquica, sino a alguna de estas tres fuerzas: leves corrientes de aire en la habitación, corrientes de convección producidas ppor el calor de la mano y corrientes provocadas por la respiración. JLPR, en este comentario, nos comenta algo sobre el tema. Templario, de verdad, era una inocentada.

Bueno, espero que nadie se haya molestado con el artículo y que todos os lo hayáis tomado como lo que era: una pequeña (bueno, grande, que la entrada es bien larga) broma. Quería que el post, además de como inocentada, sirviera para que las mentes pensantes que suelen leer Gaussianos, después de identificarlo como broma, se comieran la cabeza para intentar refutar los hechos de los que habla en él. Y en cierto modo lo he conseguido. Si os digo la verdad esperaba que alguien intentara colorear el mapa y me lo enviara al mail o lo enlazara en algún comentario, pero bueno, como he dicho antes Hernan nos ha puesto un enlace con varias maneras de hacerlo.

Gracias a todos por tomaros las cosas tan bien. Y en particular a chema por no cargarse el artículo a las primeras de cambio, ya que deduzco de este comentario que tiene el libro donde aparece este artículo.

Si buscamos información sobre acontecimientos sucedidos en 1974 podemos encontrar hechos reseñables en diversos y variados ámbitos. Os dejo unos cuantos a modo de ejemplos:

• En Portugal se desarrolla la Revolución de los Claveles.
• Fallece Juán Domingo Perón.
• Richard Nixon, presidente de los Estados Unidos, dimite de su cargo a raíz del famoso escándalo Watergate.
• Emerson Fittipaldi gana su segundo, y último, campeonato del mundo de pilotos de Fórmula 1.
• El Padrino II, que además gana el Óscar a la mejor película.

Pero posiblemente nos sea muy complicado (diría que casi imposible) encontrar información sobre ciertos descubrimientos científicos acontecidos en este año que a la postre resultaron enormemente importante e influyentes.

Aunque en los últimos tiempos parece que poco a poco se está desarrollando una cierta preocupación por que los grandes acontecimientos y avances científicos sean conocidos por todo el mundo todavía, bajo mi punto de vista, nos queda mucho para llegar a un conocimiento, digamos, pleno de estos temas, aunque sólo sea en lo que a noticias se refiere. A veces, como ocurre en este caso, ni entre la propia comunidad científica queda constancia de ciertos estudios y aspectos que muchas veces rompen de una manera crucial con el pensamiento de la época en cuestión.

Esta entrada pretende paliar el desconocimiento que, con casi total seguridad, se tiene de este gran año 1974.

Los seis grandes decubrimientos

Leyendo la introducción de esta entrada puede deducirse que este año fue importante para la ciencia en general y, teniendo en cuenta la temática de este blog, para las matemáticas en particular. El año 1974 fue un año de cambios en lo que al conocimiento científico se refiere. Vamos a ejemplificar esto con unos comentarios sobre seis grandes descubrimientos científicos que acontecieron en esta época:

1. El teorema de los cuatro colores

   Posiblemente éste es el descubrimiento más sensacional de este año. El, mal llamado a partir de 1974, teorema de los cuatro colores (en adelante conjetura, que es como debería llamarse desde ese momento), afirma que todo mapa plano puede colorearse con cuatro colores exactamente cumpliendo que ningún par de regiones con frontera común sean del mismo color. Es sencillo construir mapas que sólo exijan cuatro colores y, por otra parte, la topología ha conseguido demostrar que como mucho hacen falta cinco colores para colorear cualquier mapa plano. La cuestión es que el tema de los cuatro colores era algo que parecía cierto pero que, a falta de demostración, no dejaba de ser una conjetura. De hecho una conjetura que parecía escaparse de las manos de los expertos con una pericia directamente proporcional al esfuerzo y al tiempo que éstos le dedicaban.

   De todas formas la conjetura de los cuatro colores era un resultado que casi todos los matemáticos creían cierto con casi total convencimiento. Algunos otros sugerían que era un resultado indecidible en un sentido, digamos, gödeliano. Pero también había expertos que creían el enunciado falso. Posiblemente el más representativo sea H.S.M. Coxeter, geómetra de la Universidad de Toronto.

   Esta intuición, por llamarlo de alguna forma, resultó acertada en noviembre de 1974 cuando William McGregor, especialista en teoría de grafos, construyó un mapa plano con 110 regiones imposible de colorear con cuatro colores siguiendo la condición expuesta anteriormente (recordemos: no puede haber dos regiones con frontera común del mismo color). Aquí podéis ver el mapa en cuestión:

   

   El informe técnico de McGregor apareció en Journal of Combinatorial Theory en 1978.

2. Número entero

   El acontecimiento más sorprendente en lo que a teoría de números se refiere que se produjo en 1974 fue el descubrimiento de que el número es un número entero. Ramanujan ya lo había conjeturado en una nota publicada en el Quaterly Journal of Pure and Applied Mathematics (vol. 45, 1913-1914, pág, 350). A mano, el gran matemático indio obtuvo que el valor de este número era . Debido a lo tedioso de los cálculos no pudo determinar el resto de decimales. Con todo y con eso Ramanujan conjeturó que segurían apareciendo nueves indefinidamente.

   En 1972 un programa de ordenador desarrollado en Francia consiguió llevar el cálculo de este número mucho más allá obteniendo dos millones de nueves. La intuición de Ramanujan se afianzaba con este resultado.

   En mayo de 1974 John Brillo, de la Universidad de Arizona, desarrolló un ingenioso método para aplicar la constante de Euler al cálculo de este número obteniendo el siguiente resultado:

   

   A partir de aquí los esfuerzos se han dedicado a estudiar de qué forma el número primo consigue que esa potencia tan característica llegue a convertirse en tal número entero.

3. El ordenador inteligente

   En 1973 Richard Pinkleaf, de Laboratorio de Inteligencia Artificial de MIT, diseñó un programa ajedrecístico con la ayuda del excampeón mundial de ajedrez Mikhail Botvinnik. Pinkleaf bautizó a su máquina como ¡MacHip!; ya que en ciertas ocaciones parecía que jugaba borracha.

   La cuestión es que ¡MacHip! es un programa diferente al resto de los de su campo al poseer una característica sorprendente: es capaz de aprender. El programa guarda en su memoria un registro de todas las partidas que ha jugado sacando partido de sus errores. Es decir, el programa acumula experiencia según juega partidas y se aprovecha de ello, mejorando de esta forma su juego constantemente.

   A principios de 1974 Pinkleaf ejecutó ¡MacHip! haciendo que el programa jugase contra él mismo manteniéndolo durante siete meses en esta situación.

   Al final de esta sesión, aparte de ver que cada partida duraba 1,5 segundos, ¡MacHip! anunció un resultado sorprendente: estableció, con una probabilidad elevadísima, que la salida peón a cuatro torre rey daba inexorablemente la victoria a las blancas. Evidentemente se trataba de un resultado totalmente inesperado ya que esa apertura era, hasta esa fecha, considerada muy endeble. Evidentemente la máquina no pudo analizar todas las situaciones posibles; sin embargo, al construir el árbol de juego de esta apertura, ¡MacHip! llevó cada rama a una posición que todo maestro de ajedrez consideraría tan desesperada para las negras que dejaría como única opción sacrificar la partida.

   El gran Bobby Fisher afirmó en aquella época que poseía desde que contaba con 11 años de una defensa inexpugnable para la apertura P4TR. Fisher se ofreció para enfrentarse a ¡MacHip!, pero la enorme prima que exigía (25 millones de dólares), evitó que se produjera el enfrentamiento.

   De todas formas el impacto del descubrimiento fue tal que los principales ajedrecistas de todo el mundo, especialmente los soviéticos de la época, intentaron presionar a Pinkleaf para que destruyera a ¡MacHip! y todos sus registros.

4. Contradicción en la teoría de la relatividad especial

   Como leéis: en 1974 se descubrió que en la teoría de la relatividad especial hay una contradicción lógica. Vamos a describir el experimento conceptual a partir del cual se descubrió dicha contradicción:

   Imaginemos una vara de un metro viajando a través del espacio, como un cohete, en una trayectoria rectilínea colineal con su dimensión mayor. Por otro lado, tenemos una placa con un agujero circular de un metro de diámetro, cuyo plano es paralelo a la línea recta descrita por la vara y se mueve en dirección perpendicular a ella. La situación podría ejemplificarse con la siguiente imagen:

   

   Idealizamos el experimento imaginando que tanto la placa como la varilla tienen espesor nulo. Ambos objetos siguen cursos de colisión exacta: en un mismo instante, el centro de la varilla y el centro del agujero coincidirán.

   Supongamos que la placa constituya el sistema de referencia inercial y que la vara se esté moviendo tan rápidamente que su factor de contracción de Lorenz sea 10. En esta referencia inercial, la vara tiene una longitud de 10 centímetros. En consecuencia podrá pasar a través del agujero de la placa que se está elevando rápidamente hacia ella (la velocidad con la que asciende la placa es irrelevante).

   Tomemos ahora la varilla como referencia inercial. La placa se está moviendo en la dirección horizontal contraria, por lo cual, que ahora experimenta la contracción de Lorenz es el agujero de la placa, que se contrae en la dirección del diámetro paralelo a la barra, hasta quedar reducido a 10 centímetros. No hay entonces forma de que el agujero elíptico, que mide ahora 10 centímetros por 1 metro, pueda dejar pasar la varilla a través de él: la colisión es inevitable.

   Las dos situaciones no son equivalentes, violándose así una de las hipótesis fundamentales de la teoría especial de la relatividad.

   Los físicos tenían conciencia desde hacía mucho tiempo de que la teoría general de la relatividad no era demasiado fuerte y sólo estaba confirmada indirectamente, pero respecto a la teoría especial de la relatividad eran tantas las pruebas que la confirmaban que el descubrimiento de esta contradicción lógica provocó una sorpresa mayúscula. Humbert Pringle, físico británico descubridor del Gedankenexperiment fatal, fue quien publicó este hecho en Reviews of Modern Physics.

5. El dibujo perdido de Leonardo

   En 1974 MacGraw-Hill publicó las ediciones facsímiles de dos cuadernos perdidos de Leonardo da Vinci. A partir de ellos se pudo tener constancia de algunos inventos del gran Leonardo que eran, hasta ese momento, desconocidos: un sistema de rodamientos de bolas que rodean un pivote cónico (cuya invención se atribuía a Sperry Gyroscope, hacia los años 20), un tornillo sin fin atribuido a un relojero del siglo XVIII y, entre otros, una bicicleta con transmisión de cadena.

   Teniendo en cuenta esta publicación es difícil entender las razones por las que los medios de comunicación no informaron sobre el descubrimiento de un dibujo que faltaba del primero de los cuadernos en diciembre de 1974. Este cuaderno, conocido como Codex Madrid I (por haber sido descubierto diez años antes en la Biblioteca Nacional de Madrid), es un tratado de 382 páginas dedicado a la mecánica teórica y aplicada. Augusto Macaroni, de la Universidad Católica de Milán, informó de que el dibujo se encontraba en una sección dedicada a dispositivos hidráulicos y especuló que podría tratarse de algún tipo de mecanismo de descarga de agua.

   La página en cuestión fue hallada por Ramón Paz y Bicúspide, director de la sección de manuscritos de la Biblioteca de Madrid. La misma había sido arrancada del manuscrito y se encontraba dentro de un tratado del siglo XV. La siguiente imagen corresponde a una fotocopia del original:

   

   A la vista de esta imagen se deduce que Macaroni iba bien orientado: se ve claramente la prioridad de Leonardo en inventar la cisterna de inodoro.

   Mucho antes de este importante descubrimiento ya se sabía que Leonardo había inventado un asiento plegable de retrete, pero el sistema de agua era distinto. Hasta 1974 se atribuía la invención del primer inodoro con cisterna y válvula de descarga a Sir John Harrington, nieto de la reina Isabel I de Inglaterra, aunque la primera patente inglesa para un inodoro de estas características le fue otorgada a Alexander Cummings en 1775. A partir de la aparición de este documento la autoría del primero inodoro moderno cambió para siempre.

6. Energía psi

   A pesar de la cantidad de textos parapsicológicos que aparecieron en 1974, el tema que nos ocupa no apareció en ninguno de ellos. Y es extraño, ya que se trata del mayor descubrimiento psi del siglo: un sencillo motor que funciona con energía psi. Fue construido en 1973 por Robert Ripoff, notable parapsicólogo de la Escuela de Praga y fundador del Instituto Internacional de Investigación de Auras de Mamíferos.

   Cuando Henrietta Birdbrain, especialista norteamericana en fotografía Kirlian, visitó Praga a principios de este año el doctor Ripoff le enseñó a construir este motor psíquico inventado por él. A partir de aquí la señora Birdbrain lo mostró durante sus conferencias. El único artículo publicado sobre este aparato se produjo en el East West Journal, revista mensual de Boston, en mayo de 1974.

   Vamos a ver cómo podemos construir un motor de este tipo. Recortemos para comenzar un rectángulo de 7,5 por 21 centímetros de papel de hilo de buena calidad. Abrimos en este papel una pequeña rendija de 1 cm de longitud colocada exactamente en el centro de la tira, a 3 mm del borde superior. Debe quedar algo así:

   

   Curvamos el papel para forma con él un cilindro donde la extremos deben superponerse exactamente 8 mm. Se abre otra rendija en el centro de la zona de pegado exactamente enfrente de la anterior, con el mismo tamaño que la primera y a la misma distancia del borde superior. La cosa quedará de la siguiente forma:

   

   De un trozo de cartulina de peso similar se recorta una tira rectangular de 1 cm de ancho por 7,5 cm de largo. En su centro se inserta una aguja fina, haciéndola pasar dos veces a través de la cartulina. La punta de la aguja no debería encontrarse más de unos 6-7 mm por debajo del borde inferior de la tira, tal como muestra la siguiente imagen:

   

   Se hacen pasar los extremos de la tira de cartulina por las dos rendijas abiertas en el cilindro procurando no doblar la tira:

   

   El último paso consiste en equilibrar la aguja sobre la boca de una botella estrecha de no menos de 10 cm de alto. Es esencial que la boca de la botella sea de cristal o, si no es posible, de plástico liso y muy duro:

   

   Ajustamos ahora la tira en las rendijas hasta que el cilindro penda en posición perfectamente vertical, concéntricamente con la botella, a la misma distancia de ésta por todo su contorno. Se cortan con unas tijeras los extremos de la tira de modo que solamente sobresalga por cada lado unos 6 mm.

   Colocamos el motor sobre un ejemplar de La Biblia o del I Ching, con el lomo del libro perfectamente orientado en la dirección norte-sur. Nos sentamos frente al motor mirando al norte y mantenemos una de nuestras manos arqueada rodeando el cilindro lo más cerca posible de él pero sin tocarlo, como muestra la siguiente figura:

   

   Dejamos la mente en blanco (todo lo posible) y enfocamos toda nuestra energía mental sobre el motor. Éste girará lentamente, a veces en el sentido de la agujas del reloj y a veces en el contrario. Si tarda en comenzar a girar no debemos perder la paciencia, ya que generalmente se tarda al menos un minuto en conseguir que el motor gire por el efecto de la energía psi que lleva nuestra aura.

   Como es evidente algunas personas tiene una energía psi más intensa que otras. El estado mental y la capacidad de cada uno para dejar la mente en blanco influyen en esa intensidad. Habrá veces, por tanto, en las que el motor no gire y otras en las que el motor comience a girar nada más comencemos a concentrarnos. Aunque los experimentos dan a entender que es más fácil que el motor gire en sentido contrario al reloj utilizando la mano derecha y en sentido horario con la mano izquierda a veces puede ocurrir lo contrario.

   Nada más conocerse este hecho numerosos laboratorios de Parapsicología comenzaron a estudiarlos. Muchos expertos están convencidos de que la energía que hace girar el motor es la misma que permitía a Ninel Kulagina mover objetos sin tocarlos. De hecho, cuando Kulagina mantenía las dos manos alrededor del motor, el cilindro salía volando varios metros hacia arriba.

   Todavía no se conoce con demasiada exactitud por qué el motor es tan eficaz.

Conclusión

Como habéis podido comprobar 1974 fue un gran año para la ciencia en general. Los seis descubrimientos relatados en este artículo así lo demuestran: fueron hechos sorprendentes por sí mismo y a su vez importantes dada su influencia sobre el conocimiento que se tenía anteriormente sobre los temas con los que están relacionados. Por desgracia, como se puede leer al principio de la entrada, ninguno de ellos recibió la cobertura que se merecía.

• es un número primo
• Si colocamos sus cifras en orden inverso obtenemos el número , que también es primo
• Sus cuatro primeras cifras, , forman un número primo
• Sus cuatro últimas cifras, , también forman un número primo
• Sus cuatro primeras cifras invertidas, , forman un número primo
• Sus cuatro últimas cifras invertidas, , forman un número primo
• Concatenando estos dos últimos números obtenemos el número , que, como podéis intuir, también es primo

¿Os parece especial ahora? Seguro que sí.

Fuente:

• Art Of Problem Solving

como yo, ^DiAmOnD^, os deseamos ¡¡FELIZ NAVIDAD Y PRÓSPERO AÑO 2009!!.

Encontrar todas las soluciones enteras de la ecuación:

siendo un número primo.

Suerte.

Demostrar que es múltiplo de 7.

El siguiente problema para mañana.

El objetivo de la Física pura es el descubrimiento de las leyes del mundo inteligible; el objetivo de la Matemática pura es el descubrimiento de las leyes de la inteligencia humana.

James Joseph Sylvester

Boletin 150 de la RSME

¿Estáis de acuerdo con Sylvester?