Feliz Navidad y Feliz Año (número práctico) 2016

Estamos a 31 de diciembre de 2015 y, por tanto, a puntito de comenzar el año 2016. Por ello, desde Gaussianos os deseo una Feliz Navidad y un próspero año 2016. Espero que este nuevo año que comienza dentro de unas horas acaben siendo un conjunto de 366 días para ser felizmente recordados.

Happy=Ne^w-ye^{aR}

Este número, 2016, tiene muchas propiedades interesantes (recordad, todos los números son interesantes):

  • Es un número compuesto, ya que es divisible, por ejemplo, entre 2.
  • Es un número abundante, ya que la suma de sus divisores (excepto 2016) es mayor que el propio número.
  • Es un número perverso, ya que tiene un número par de unos en su expansión binaria: 2016=11111100000_{(2}. Por tanto, podemos expresar 2016 de esta bonita forma:

    2016=2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^5

  • Es un número triangular con 2016 puntos podemos formar un triángulo equilátero), pero también es un número hexagonal y un número 24-gonal (Fuente: @Connumeros).
  • Es un año cúbico (Fuente: el blog de Antonio Pérez Sanz). Podríamos llamarlo así porque es suma de los cubos de siete números naturales consecutivos:

    2016=3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3

Pero la propiedad más curiosa de 2016 que me he encontrado por ahí es que es un número práctico (practical numbero panarithmic number). Veamos la definición de estos números:

Un entero positivo n es un número práctico (A005153 en la OEIS) si todos los enteros positivos menores que él se pueden expresar como suma de divisores distintos del propio n.

Por ejemplo, el 16 es un número práctico, ya que todos los enteros positivos menores que 6 se pueden expresar como suma de divisores distinto del propio 16:

  • 1=1
  • 2=2
  • 3=1+2
  • 4=4
  • 5=1+4
  • 6=2+4
  • 7=1+2+4
  • 8=8
  • 9=1+8
  • 10=2+8
  • 11=1+2+8
  • 12=4+8
  • 13=1+4+8
  • 14=2+4+8
  • 15=1+2+4+8

Bien, pues 2016 es un número práctico. Os dejo a vosotros, como ejercicio, la expresión de todos los enteros positivos menores que 2016 como suma de divisores distintos de dicho número. Hala, ya tenéis trabajo para estos días.

Otra propiedad interesante, y visual, de 2016 es la siguiente:

2016 es el área de un triángulo en el que las longitudes de los lados, el radio de la circunferencia inscrita y el radio de la circunferencia circunscrita son todos números naturales.

Me he enterado de esta propiedad gracias a mi amigo David Orden, que la ha comentado este post de su blog, Cifras y Teclas.

Y la (pen)última:

El número 2016 es la menor constante mágica que tiene un cuadrado mágico 8×8 cuyas entradas son números primos consecutivos.

Dicho cuadrado mágico es el siguiente. Sus entradas son todos los primos entre el 79 y el 439, y podéis comprobar que todas sus filas, todas sus columnas y sus dos diagonales suman 2016:

Podéis ver los casos desde 5×5 hasta 9×9 aquí.
Por cierto, si no sabes qué es un cuadrado mágico aquí tienes algunos enlaces:

Lo dicho, Feliz Año 2016. Espero que nos sigamos viendo por el blog, por Twitter y por la página de Facebook. Muchas gracias a todos por continuar por aquí un año más.


Si queréis saber propiedades interesantes de éste y otros números, podéis comenzar echan un vistazo a Number Gossip, como hice yo para 2016. Y si conocéis más propiedades destacables de este número, no dudéis en comentárnoslas.


Otra que me ha llegado por Whatsapp:

¡¡Gracias, mamá de Mimi!!

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

17 Comentarios

    • for(n=1,10^6,if(sigma(eulerphi(sigma(eulerphi(sigma(eulerphi(sigma(eulerphi(sigma(eulerphi(sigma(n)))))))))))==n,print([n],factor(n), ” “)))
      [1]matrix(0,2)
      [3]Mat([3, 1])
      [7]Mat([7, 1])
      [15][3, 1; 5, 1]
      [9906][2, 1; 3, 1; 13, 1; 127, 1]

      9906 parece ser un número de los pocos que no aparece periódicamente según la cadena alterna de sigmas y de eulerphis se hace más larga. Pero no sé nada más.

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      • (Sigue del comentario anterior)

        3–>4–>2–>3–>2–>3–>…. Oscilación del 2 y del 3 con periodo 2, a partir del segundo eslabón de la cadena. El 3 será una solución para todas las cadenas sigma(eulerphi(sigma(…..(sigma)))) cuya longitud sea 1 (mod 2) (La longitud de la cadena de sigmas y eulerphis alternos, es aquí de 11)

        7–>8–>4–>7–>6–>12–>4–>7–>…. Oscilación de periodo 4 a partir del tercer eslabón de la cadena. El 7 será solución para todas las cadenas cuya longitud sea 3 (mod 4).

        15–>24–>8–>15–>8–>…. Oscilación de periodo 2 del 8 y del 15 a partir del segundo eslabón de la cadena. El 15 será solución para todas las cadenas cuya longitud sea 1 (mod 2).

        9906–>21504–>6144–>16380–>3456–>10200–>2560–>6138–>1800–>6045–>2880–>9906. Periodo de 11.

        [5946666][2, 1; 3, 1; 11, 2; 8191, 1]
        5946666 tiene un periodo de 13

        195–>336–>96–>252–>72–>195–>96–>… El 195 será solución para todas las cadenas de longitud l =1 (mod 4) y l>=5.

        31 tiene un periodo de 9.

        [10200][2, 3; 3, 1; 5, 2; 17, 1]

        10200 tiene un periodo de 9.

        1651 [13, 1; 127, 1] tiene periodo 7 y comparte sus dos factores primos (uno de ellos de Mersenne) con el 9906 que tiene periodo 11. ¿ Será una mera casualidad ? Además los seis primeros primos de Mersenne de forma 2^p – 1: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071 son o bien solución de alguna cadena o bien factores primos de alguna de las soluciones. Ello se debe muy probablemente a que los números que satisfacen estas cadenas son, han de ser, sumas algebraicas (sumas o restas) de potencias de 2.

        [491647321][11, 2; 31, 1; 131071, 1]

        491647321 tiene periodo 5.

        (Notemos que 11^2 = 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 1; aunque esto puede ser también una falsa pista)

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    • sigma(eulerphi(sigma(eulerphi(sigma(eulerphi(sigma(eulerphi(sigma(eulerphi(sigma(eulerphi(sigma(eulerphi(sigma(eulerphi(sigma(40894386))))))))))))))))) = 40894386

      Pudiera parecer que la identidad de aquí arriba fuera trivial si no fuera por el hecho de que 40894386 = 2*3*13*524287 y que 524287 = 2^19 – 1 es M7, el séptimo primo de Mersenne.

      40894386 = 2 * (2^24 + 2^21 + 2^20 + 2^19 – 2^5 -2^2 -1). No sé si esta forma es relevante o no par el caso. Creo que sí.

      La cadena de sigmas y eulerphis; empezando y terminando, en este caso, por sigma; es de longitud 17.

      Me atrevo a decir que pudiera existir un número compuesto que aún no puedo determinar -y quizás nunca se pueda- que tuviera como uno de sus factores primos al recientemente descubierto M 49 y satisfaciera la identidad de una cadena de sigmas y de eulerphis alternados, como la de aquí arriba; cuya longitud, muy alta, de una magnitud del orden del exponente primo p de 2^p -1 de M 49, no puedo ahora -y quizás nunca se pueda- determinar con exactitud.

      Me queda la duda, sin embargo de si, cuanto más grande se hace el número y más larga es la cadena, más difícil es, o bien es igual de difícil, cumplir la identidad de la que hablamos. Si es cada vez más difícil, cuando aumenta la longitud de las cadenas, entonces el número de números que cumplen estas identidades sería finito y no se llegaría a números con factores primos tan grandes como M 49. Alguien que sepa más que yo de teoría de los números pudiera calcular probablemente la probabilidad de estas identidades para cadenas muy largas. Sabríamos así , probabilísticamente, si hay una infinitud de ellas o no.

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      • 40894386 = 2 * (2^24 + 2^21 + 2^20 + 2^19 – 2^5 -2^2 -2 – 1)

        (Faltaba el -2).

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  1. Un comentario a la foto en donde se llega como resultado a Happy=Ne^{w}-ye^{ar}: Al cambiar de la forma logarítmica a la forma exponencial, debería conservarse las barras de valor absoluto, porque si el argumento del valor absoluto es negativo, no habría valor de e^{w} que sea igual al valor de dicho argumento, por ser negativo, ya que e^{w}>0 para todo número real w.

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      • Y si el valor de (ap^{2}H+e^{ar})*\frac{Y}{N} estuviese restringido a números reales positivos, entonces, ¿para qué colocar barras de valor absoluto?

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    • Pero esa no es nueva, pues es equivalente a la que dice que 2016 es un número triangular. Todo número triangular es la suma de los números naturales consecutivos desde 1 hasta otro número natural, mayor o igual que 1. Como la suma de los primeros n números naturales consecutivos es \frac{n(n+1)}{2}, para saber hasta qué número natural hay que sumar los naturales consecutivos desde 1 para que la suma sea el número triangular 2016, simplemente se resuelve la ecuación \frac{n(n+1)}{2}=2016 para n \in \mathbb{N}, que es de donde se obtiene el valor de n=63, quedando expresada la suma que muestras tú.

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  2. El otro día un usuario del portal Forocoches comentaba, a modo de anécdota, que el 2016 es un número forocochero. En dicho portal es número 288 resulta muy cómico y conocido debido a diversas entradas, por lo cual definían un número N como forocochero si verificaba la siguientes propiedades:

    a) 288 es un divisor de N.
    b) La suma de todos los divisores de N desde el 1 hasta el 288 es el propio N.

    En este caso, los divisores de 2016 son: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 32, 36, 42, 48, 56, 63, 72, 84, 96, 112, 126, 144, 168, 224, 252, 288, 336, 504, 672, 1008, 2016. Y la suma de los divisores menores o iguales que 288 es precisamente 2016

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  3. 2016=2 \dot 4! \dot 42=2 \cdot 24 \cdot 42

    Por otra parte, ¡parece que este año es diabólico: 2016=666+666+666+6+6 +6=3(666)+3(6)! ¿Qué podría significar esto según la Biblia, para los cristianos?

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    • Quise decir: 2016=2 \cdot 4! \cdot 42=2 \cdot 24 \cdot 42.

      Con respecto a la propiedad “diabólica”, podemos ver que tanto 666 como 6 aparecen no sólo 1 vez, sino 3 veces, y 3 también es un número muy bíblico, que está relacionado no sólo con Dios, sino también con el diablo: en particular, son 3 los demonios más abominables de los cuales habla el Apocalipsis: el mismo diablo (Satanás), y las dos famosas bestias: la bestia del anticristo y la bestia del falso profeta.

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  4. Estava cercant propietats del nombre 2016 i he vingut a parar aquí, però trobo estrany que ningú hagi expressat que, també:

    2016 = 32x(1×1) + 16x(2×2) + 8x(4×4) + 4x(8×8) + 2x(16×16) + 1x(32×32)

    Per això ho deixo dit. Gràcies.

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    • Agustí; tus números pertenecen a la sucesión 1, 6, 28, 120, 496, 2016, 8128, … cuyo término general es 2^(n – 1)*(2^n – 1) (n>1). Por otra parte 1, 6, 28, 120, 496 son números n tales que n divide a sigma(n). Pero tú lo pusiste de un forma simétrica muy bonita. A ver cuando recuperáis el “seny”, dejáis la mentira horrorosa de la independencia y podemos volver a trabajar fertilmente juntos y en España.
      http://lit-et-raire.blogspot.com.es/2015/12/las-sorpresas-del-2016-entrante-un.html

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  5. Por otra parte existe otra sucesión distinta cuyos 6 primeros términos (si se excluye el primer término; el 0) coinciden; con una sola disidencia mínima (497 en vez de 496). A mí me parece que la probabilidad que esto ocurra es muy baja, del orden de 1 / (6*28*120*496*2016) = 5*10^(-11). Pero soy un neófito sin casi experiencia ni conocimientos en matemáticas, así que no digo nada.
    https://oeis.org/A037131

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  1. Curiosidades del número 2016 | El Ábaco de Madera - […] expresar como suma de divisores de este número. 2016 es un número práctico. Podéis consultar este enlace del blog Gaussianos…

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