Fibonacci, las abejas y las tarjetas de crédito

Gran parte de vosotros habréis oído que la sucesión de Fibonacci y el número áureo aparecen en muchos ámbitos de nuestra vida. Y seguro que muchos conocéis algunos casos en los que esto ocurre. Para vosotros, y sobre todo para quienes no sabían nada de esto, vamos a ver en este artículo un par de ejemplos.

El número áureo y las tarjetas de crédito

Todas las tarjetas que tenéis en la cartea, ya sea el DNI, la tarjeta de crédito o el carné de cualquier club o asociación, están asociadas al número áureo, que recuerdo que es:

\phi=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}

Hasta los folios que usáis cada día lo están. ¿Cuál es esa relación? Vamos a hacer un sencillo experimento con el que vamos a conseguir que este enigmático número \phi salga a la luz.

Todas las tarjetas que usamos habitualmente, los folios y muchas más cosas de nuestra vida cotidiana están construidas como un rectángulo áureo, que es un rectángulo en el que se cumple que la proporción entre su lado mayor y su lado menor (el cociente de sus longitudes) es el número áureo. Para comprobar si un cierto rectángulo es un rectángulo áureo vemos si se cumple lo siguiente:

Un rectángulo cualquiera es un rectángulo áureo si al quitarle el mayor cuadrado posible se obtiene un rectángulo con la misma proporción entre su lado mayor y su lado menor que el inicial.

Vamos a verlo gráficamente para que se entienda mejor. Tomemos un rectángulo como el de la figura siguiente. Para simplificar tomamos un lado con longitud 1, mientras que el otro tiene longitud x:

Rectángulo áureo

Este rectángulo será un rectángulo áureo si la proporción entre su lado mayor y su lado menor es igual a la proporción del rectángulo que queda al quitar el mayor cuadrado posible (en este caso un cuadrado de lado 1). A partir de los datos de la figura, la proporción entre los lados del rectángulo mayor es \textstyle{\frac{x}{1}} (es decir, x) y la del rectángulo menor es \textstyle{\frac{1}{x-1}}. Veamos qué ocurre si imponemos que el rectángulo inicial sea un rectángulo áureo (es decir, que las proporciones sean iguales):

\cfrac{x}{1}=\cfrac{1}{x-1} \rightarrow x^2-x=1 \rightarrow x^2-x-1=0

Resolviendo esta ecuación obtenemos dos soluciones. Desechando la negativa, nos queda que

x=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}

Es decir, la proporción entre el lado mayor y el lado menor del rectángulo inicial es el número áureo.

Bien, podríamos plantearnos ahora la siguiente pregunta: ¿cómo construir un rectángulo áureo? Muy sencillo. Partimos de un cuadrado ABCD cualquiera. Tomamos un lado, AB por ejemplo, y calculamos su punto medio, E. Unimos ahora este punto E con uno de los vértices del lado opuesto, por ejemplo con C. Y ahora trazamos el arco de circunferencia con centro en E y radio EC y calculamos el punto donde este arco corta a la recta a la que pertenece el segmento AB. Llamemos G a este punto. Dibujamos ahora la recta a la que pertenece el lado CD y después la recta perpendicular a ésta que pasa por G. Estas dos rectas se cortan en un punto, que llamamos H. Hecho todo esto, el rectángulo AGHD es un rectángulo áureo. En la siguiente imagen podéis ver mejor esta construcción:

Construcción de un rectángulo áureo

La sucesión de Fibonacci y las abejas

Vamos a hablar de abejas y matemática, como ya hicimos en esta otra ocasión. En este caso vamos a comentar este post de John D. Cook.

Las abejas macho nacen de un huevo no fecundado y las abejas hembra nacen de uno que sí está fecundado. Es decir, las abejas macho tienen únicamente una madre y las abejas hembra tienen una madre y un padre.

Dicho esto tomemos una abeja macho Sea entonces B(n) el número de antepasados suyos en el nivel n de su árbol genealógico, contándola a ella.

El primer nivel lo forma esta abeja macho solamente, por lo que B(1)=1. Al ser una abeja macho, en el siguiente nivel (el segundo) sólo hay una hembra (su madre), por lo que B(2)=1. Ahora, por ser ésta una hembra, en el nivel justamente anterior hay un macho y una hembra (su padre y su madre), razón por la que B(3)=2. ¿Se va viendo el tema?

Vamos a un nivel n cualquiera y tomemos ahí una de las abejas que lo forman. Pueden darse dos situaciones:

  • Que la abeja escogida sea macho. Entonces de ella tenemos un antecesor (su madre) en el nivel n+1 y después tendremos dos más (el padre y la madre de esta última abeja) en el nivel n+2.
  • Que la abeja tomada sea hembra. Respecto a esta abeja tendremos dos antepasados suyos en el nivel n+1 (su padre y su madre), y en el nivel n+2 tendremos tres más (la madre de ese padre y el padre y la madre de esa madre).

En los dos casos podéis comprebar que B(n)+B(n+1)=B(n+2).

Recapitulando tenemos lo siguiente:

  • B(1)=1
  • B(2)=1
  • B(n)+B(n+1)=B(n+2)

que es precisamente la definición por recurrencia de la sucesión de Fibonnaci, esto es:

B(n)=F_n

siendo F_n el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

21 Comentarios

  1. Sería bueno matizar lo de las proporciones en los folios.

    Es cierto que algunos tamaños estándar guardan una proporción cercana al número áureo, pero en la norma más habitual (DIN-A4, A3, A5, etc), el criterio en las dimensiones es tal que al partir un folio por la mitad por los lados largos, los dos folios iguales más pequeños que obtendríamos, guarden también la misma proporción.

    Es muy fácil demostrar que, para cumplir esta condición, el cociente entre el lado largo y el corto debe ser raiz de 2.

    Edito para añadir una forma sencilla de comprobarlo:

    Se necesitan dos folios A4. Uno de ellos se dobla por una esquina de modo que un lado corto quede sobre el largo. Al hacer esto, la longitud del doblez será la hipotenusa de un triángulo rectángulo isosceles, donde la longitud de los catetos sería el lado corto del folio. Por tanto la longitud del doblez será igual al lado largo (lado corto por raiz de dos).

    Comprobar con el otro A4 y ya está.

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  2. Sive, gracias por la aclaración, no conocía ese dato.

    Rafalillo, la verdad es que no recordaba ese artículo, pero te puedo decir que también está muy bien :).

    Imanol, ¿qué esperabas exactamente? 🙂

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  3. ¡Muy Bueno!

    Un pequeña corrección: en la primera figura, donde dice 1-x , debería decir x-1 , si no me equivoco.

    Saludos. 🙂

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  4. ¡Y dale con la sección áurea! En el caso de los formatos de papel más utilizados alguien ya ha comentado que la razón de proporcionalidad es raíz de dos, pero tampoco es verdad que en el caso de las tarjetas y otros documentos, la proporcionalidad sea Φ. A raíz de un esclarecedor artículo publicado en el Faro de Vigo ( El mito del número de oro) he ido revisando las afirmaciones que se repiten sin cesar sobre el interesante número y la mayoría no son ciertas. Si se me permite la autoreferencia en mi blog ya he dedicado algunos posts al tema. Por ejemplo, en cuanto al DNI: Formatos y proporciones: el DNI. El texto original está en catalán, pero Google traductor da una correcta versión en español.

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  5. Francesc, parece claro que la mayoría de las personas usan (al menos en España) hojas ISO/DIN, y midiendo diferentes formatos de blocs y cuadernos, sus proporciones se aproximan a raíz de 2 o incluso más cortos, pero eso ya lo ha aclarado Sive.

    Buscando imágenes de tarjetas identificativas de cualquier tipo, uso y país; sus proporciones distan del número aureo en +0,027 (stdev=0,028) mientras que de la raíz de 2 distan -0,177 (stdev=0,028). Desconozco los motivos, pero la cuestión es que mucha gente usa tarjetas cuya proporción se aproxima sospechosamente al número aureo.

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  6. Josejuan, es cierto que la aproximación es sospechosa, pero hay diferencias importantes entre los formatos DIN en papel y el formato de las tarjetas de crédito y otros documentos (norma ISO 7810). En el caso DIN, la raíz de 2 se obtiene exactamente del criterio que se usa para fijarlo (por ejemplo, tal como explica Sive, doblando un DIN A3, salen dos DIN A4). Por cierto, desviaciones standard a parte, la proporcionalidad del DIN A4 da con exactitud cuatro decimales de raíz de dos y, sin embargo, en el caso de las tarjetas de crédito, no obtenemos con exactitud ni el primer decimal de Φ. Aquí la estadística no nos sirve, si queremos ser rigurosos alguien tendría que explicarnos que detrás de la norma ISO 7810 está el número áureo, de la misma manera que raíz de dos sale exactamente, evidentemente a efectos prácticos es imposible que la proporción sea exacta, aplicando los criterios que están detrás de la norma DIN 476. He intentado obtener información sobre la justificación de estas normas ISO y no la he encontrado (si alguien nos puede dar detalles, se lo agradecería). Reitero que la frecuencia de la proporcionalidad áurea no es tan alta como nos han hecho creer: ni está presente en la Gioconda de Leonardo, ni en la concha del Nautilus, ni, seguramente, detrás de la belleza humana… A un matemático no le sirve una aproximación sospechosa: Φ no es igual a 1,57, por ejemplo.

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  7. He escrito en Google “Pi por diametro” y me ha dado 990.000 entradas en 0’16 segundos. Despues he escrito”Phi por diametro” logicamente me sugiere “Quizá quiso decir “Pi por diametro”” y unicamente me da entradas por separado a Phi y a Diametro.
    Jugando con el viejo problema de “las mariquitas situadas en los vertices de un cuadrado y que cada una persigue a la que ve (todas situadas de forma simetrica respecto al centro)
    hasta encontrarse todas juntas (bueno, supongo que todos lo conoceis), sustituiendo el cuadrado por un decágono y colocando 10 mariquitas, su recorrido es “Phi por diametro” del circulo circunscrito.
    Os animo a su demostración utilizando unicamente matemáticas a nivel de bachiller

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  8. No será tal vez, porque en vez de trrabajar con el número aureo, construyen las tarjetas, etc con términos consecutivos de la sucesión. Y aca si, para un n dado, F(n)/F(n-1) no es el número áureo. Se aproxima, pero no lo es, (falta el límite).

    por otro lado, recuerdo que hay estudios sicológicos, donde se ponian muchos rectángulos de cartón, algunos construidos en base a términos consecutivos de fibonacci y otros no, se pedia a personas que dijeran cuales eran a su manera, los rectańgulos más “bonitos”, y sorprendentemente la mayoría elijió los relacionados a fibonacci.

    Creo que ahí esta la diferencia, no podemos pedir exactitud en lo aplicado.
    Tampoco una parábola describe la trayectoria de una pelota, perfectamente, hay rozamiento, viento, efecto, etc. Pero son modelos que representan a la realidad, el caracol nautilus no es un ente matemático, no es perfecto, siempre hay un margen de error.

    tampoco los seres humanos poseemos un plano de simetría exacto, hablando abstractamente en matemática, pero como estamos aplicando un concepto abstracto al mundo real, ya damos por entendido que aceptaremos ciertas inexactitudes

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  9. “…tampoco los seres humanos poseemos un plano de simetría exacto…”

    ¡Yo sí!… (pero sólo cuando me pongo de canto en un espejo, je, je)

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  10. Supongo que no acabo de explicarlo bien. Cuando representamos sobre la recta real raíz de dos o dibujamos la bisectriz de un ángulo, el resultado que obtenemos es una aproximación, pero idealmente el método que utilizamos es exacto (lo mismo pasa en el caso de raíz de dos y la norma DIN 476). Yo he puesto en duda que el método que se utiliza para definir las dimensiones de las tarjetas de crédito tenga a ver con Φ y nadie me ha aportado información para hacerme cambiar de opinión. Lo mismo pasa con la concha de Nautilus, si alguien no me demuestra que hay razones anatómicas y estructurales para considerar que sigue una proporcionalidad áurea, no podemos afirmar que Φ es el patrón de su desarrollo. Por cierto, Ian Stewart en su libro La cuadratura del cuadrado comenta que su concha sigue una espiral logarítmica, pero que el número áureo no aparece por ningún lado. Lo de los estudios psicológicos, así sin referencia, tampoco me sirve, yo he “leído” que hay estudios que demuestran lo contrario. En un “templo matemático” como gaussianos, cabría esperar un poco más de rigor. La insistencia en encontrar Φ por todas partes —¿y porqué no ocho quintos?— nos retrotrae al tiempo de la secta pitagórica. Josejuan, en el caso de la simetría humana te hablaría de embriología y epigenética para justificar la simetría bilateral, pero (je, je) hoy es sábado y me voy a dar un largo paseo en busca de la divina proporción. No nos iría nada mal un poco de sentido crítico, científico y matemático: que de la duda, se aprende.

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  11. Hola a todos.
    He estado buscando información sobre el tema este del número aúreo y su presencia en las tarjetas de crédito. He encontrado esta información que creo que podría poner luz sobre el asunto.
    Las dimensiones de una tarjeta de crédito sigue como se ha dicho aquí el estándar iso 7810. Dentro de ese estándar, la denominación que le corresponde a las tarjetas de crédito es ID-1. Las características físicas como dimensiones y resistencias de materiales y demás se especifican bastante bien en este documento que os enlazo y qu ees oficial http://www.page9.webaxxs.net/iosis/isodrafts/17n2129t.pdf . En la página 8 del documento podemos ver las dimensiones que se le da a la tarjeta, sin especificar, si es que lo hay, una justificación matemática exacta para la proporción (insisto, si la hay) que deben tener los lados. Teniendo en cuenta las variaciones permitidas en las dimensiones, vemos que ninguna de las combinaciones permitidas da lugar a una relación aúrea. De hecho, esta entre 1.5775 y 1.5931. Esta tolerancia en las medidas no es aplicable nada más que para materiales de construcción plásticos. Habría sido posible hacer que esta proporción se ajustara más al número aúreo si se hubiera querido.
    Sólo queda por ver si el motivo de construcción tiene que ver realemente con el número de oro como por ejemplo que los los vértices de un rectángulo de oro sean los centros de la circunferencia que se usa para definir el contorno de los bordes.
    Un saludo a todos.

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  12. Gracias Rafael por aportar un poco más de luz y de información a este debate. Aunque la información que nos das, descarta la proporcionalidad áurea en las tarjetas de crédito, yo ya lo había hecho en mi blog para sus hermanos gemelos (los DNI), nos quedan algunas dudas por resolver: supongo que cuando se definió el formato se hizo por algún motivo que, de momento, permanece oculto y el insólito asunto de los bordes parece una aportación interesante. Hablando de aportaciones, en un comentario anterior Sebas nos propone una curiosa demostración. No he tenido tiempo de dedicarle tiempo, pero no estaría bien que dejáramos pasar la propuesta.

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  13. Los folios DIN A4, DIN A3, etc., no tienen nada que ver con el número áureo. La razón de semejanza es raíz de 2, y es un asunto muy conocido desde hace un montón de años.

    Muy interesante y recomendable el artículo sobre el DNI de Francisco Montasel en: http://francescmontasell.blogspot.com.es/2010/07/formats-i-proporcions-el-dni.html (en catalán, pero se puede traducir automáticamente).

    George Markowsky (http://geomarkowsky.com/wordpress/wp-content/uploads/2012/05/GoldenRatio.pdf) fue de los primeros que empezaron a poner luz en todo este asunto del número áureo desenmascando parte de los camelos habitualmente aceptados sin comprobación ni rigor.

    Sobre la espiral del Nautilus también se han propalado errores. Se trata de una espiral logarítmica o equiangular aproximada, pero de áurea nada de nada: http://matematicainteractiva.com/concha-de-nautilus-espiral-logaritmica-pero-no-aurea
    Un saludo

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  14. DIN A0 tine una superficie de 1m^2.

    El resto va por mitades de superficie, con lo que DIN A4 tiene 1/16 m^2 de superficie.

    Un folio tiene un tamaño parecido pero no exactamente igual a DIN A4 (210mm x 297mm)

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  15. Creo que los criterios de adopción del tamaño de las tarjetas de crédito y de las de identificación (como el DNI) responden a dos motivos principales: compatibilidad de las máquinas lectoras y compatibilidad de los procesos de fabricación.
    Las más extendidas entre loas primeras que aparecieron (como por ejemplo VISA, AMERICAN EXPRESS o MASTER CARD) debieron utilizar un determinado tipo de máquina para producirse. Esto implicaba que las planchas de las que se recortaban tenían unas determinadas dimensiones.
    Para mejorar su uso debían tener bordes redondeados (el vértice de un rectángulo es agresivo para el usuario y fácilmente deteriorable por el uso pues representa una debilidad.
    Esto hace que no pudieran ser cortadas a guillotina como los billetes de banco o las tarjetas de visita. Debían troquelarse por lo que al imprimirlas había que dejar espacios entre ellas que impedían que su tamaño pudiera ser submúltiplo exacto de la plancha de la que se obtenían.
    Los que eligieron el formato buscaron una proporción “agradable” sin pensar concretamente en el número áureo. Se extendieron tan rápidamente que ya no se pudo rectificar (si es que se les ocurrió).
    Yo soy coleccionista de barajas y debo decir que, tras una exhaustiva comprobación entre la multitud de tamaños existentes, casi todas tienen oscilan en el intervalo entre 1,25 y 1,60.
    Mi conclusión es que el número áureo es un preciado hallazgo de los matemáticos (y espontáneo en la naturaleza como consecuencia del crecimiento Fibonacci). Para el resto de los humanos no es mas que una intuición aproximada de algo útil o estético y
    la diversidad en la apreciación de esas cualidades da una dispersión.
    Una última observación: entre todos los objetos de tamaño aproximadamente áureo que observo abundan mucho más los que no alcanzan el 1,62 que los que lo sobrepasan Una clara excepción a este dato son los teléfonos móviles en los que ocurre todo lo contrario.

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  16. No entiendo sobre el tema, por mas que puedo no la entiendo, alguien me puede explicar con mas detalles por favor tengo trabajo sobre esto para esta semana; nos dijeron: ¨preparen una presentacion sobre el numero de oro.¿ por que las tarjetas y DNI tienen estas dimensiones? nose que responder…

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