Finitud y suma

Vamos con el problema de esta primera semana de junio:

Sea $f :\; [a,b]\to\mathbb{R}$ una función continua en $[a,b]$ , con derivada $f^\prime$ continua en $(a,b)$ , tal que $f(a) \cdot f(b) \neq 0$ . Consideremos el conjunto $Z:=\{x\in(a,b)/\;f(x)=0\}$ y supongamos que $f^\prime(x)\neq 0,\;\forall x\in Z$ . Con todo ello:

a) Demostrar que $Z$ es un conjunto finito.
b) Calcular la suma $\displaystyle{\sum_{x \in Z} sign(f^\prime (x))}.$

(Se sobreentiende que una suma indizada sobre el conjunto vacío es cero).

A trabajar.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 2 de June de 2009
Categorías: Juegos | Imprime este post

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Trackback | 2 Jun, 2009

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Osito de gominola | 2 de June de 2009 | 12:56

Para el apartado a) bastaría con decir que, al ser el producto de la función en los extremos distinto de cero, ninguno de los dos es un cero de la función. Ahora podrían pasar 2 cosas:
- Que ambos puntos sean positivos (o negativos) por lo cual, al no existir un punto de derivada 0, en el intervalo no tendrá ningún cero. (La función nunca tendrá un mínimo o máximo y siempre decrecerá o crecerá)

- Que un punto sea positivo y otro negativo, con lo cual, por el teorema de Bolzano, existe, al menos, un cero, y con la condición de que f’(x) es distinta de 0, nos aseguramos que dicho conjunto es finito
pablo | 2 de June de 2009 | 14:23

Yo añadiria que como la derivada es continua y no se anula, como mucho Z tendra un unico elemento en caso de que f(a) y f(b) sean de signo distinto y sino ninguno.
Asi queda
suma = 0 si 0 < f(a) , f(b) o f(a) , f(b) < 0
suma = 1 si f(a) < 0 < f(b)
suma =-1 si f(b) < 0 < f(a)
Hawnk | 2 de June de 2009 | 16:17

Creo que habeis entendido mal una condición. No se dice que la derivada no es nula en [a,b], sino que no puede serlo solo en el conjunto Z, que es subconjunto de los puntos de [a,b].

Creo que la importancia de esa condición es que implica que en [a,b] no haya un intervalo mas pequeño en el que la función tome un valor constante (0), y que por tanto hubiese infinitos puntos en los que la función fuese nula.
No se si eso por sí solo vale de demostración, pero creo que el paso está bien dado

Saludos
Dani | 2 de June de 2009 | 17:47

a) supongamos que no es finito. Sea entonces $\{x_n\}$ sucesión de puntos en Z creciente ( $f(x_n)=0 \quad \forall n \in \mathbb{N}$ ). Como es acotada por b (pues Z está contenido en (a,b), tenemos una sucesión monótona creciente que por lo tanto tiene límite. Veamos que puede pasar:
a) $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = b$ . Entonces por ser f continua en [a,b] $f(b)=f(\lim_{n \rightarrow \infty} x_n )=\lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = 0$ que es imposible por hipótesis.
b) $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = x$ con x0$. Esto nos dice que existe un entorno de $x$ en el que $f(x')0 : |\frac{f(x)-f(x')}{x-x'} - f'(x)|<f'(x) \quad \forall x' \in (x-\varepsilon,x) \Longrightarrow 0 < frac{f(x)-f(x')}{x-x'} < 2f'(x)$ , y como $f(x)=0$ y además $x'0$ necesariamente f(x’)<0 \quad \forall x’ \in (x-\varepsilon,x)$
Dani | 2 de June de 2009 | 18:00

a) supongamos que no es finito. Sea entonces $\{x_n\}$ sucesión de puntos en Z creciente ( $f(x_n)=0 \quad \forall n \in \mathbb{N}$ ). Como es acotada por b (pues Z está contenido en (a,b), tenemos una sucesión monótona creciente que nos dice que tiene límite. Veamos que puede pasar:
I) $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = b$ . Entonces por ser f continua en [a,b] $f(b)=f(\lim_{n \rightarrow \infty} x_n )=\lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = 0$ que es imposible por hipótesis.
II) $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = x$ con x menor que b. De nuevo por la continuidad de f es fácil ver que $f(x)=0$ necesariamente. Pero entonces $f\prime(x)$ es distinto de 0, y entonces sabemos que existe un entorno de x en el que $f(x)$ será distinto de cero. (si $f(x)$ es mayor que cero, f será negativa en $(x-\varepsilon,x)$ para algún epsilón pequeño, y si es menor que cero, f será positiva en otro intervalo similar). Pero esto es imposible que hemos dicho que $x_n$ convergía a x y por lo tanto podemos encontrar números $x_n$ con $f(x_n)=0$ tan cerca de x como queramos. Esto termina la demostración de a).
Dani | 2 de June de 2009 | 18:01

me dan problema los mayores y menores estrictos del latex :S
Dani | 2 de June de 2009 | 18:06

* entonces existirá un entorno de x en el que $f(x_0)$ será distinto de cero $\forall x_0 \in (x-\varepsilon, x)$ para algún epsilón pequeño.

Creo que se me había entendido, pero bueno. La afirmación de que la derivada en un punto x sea positiva implica que existe un intervalo a su izquierda en la que f es menor que f(x) es bastante evidente, así como la análoga para la derivada negativa, pero si hace falta demostrarlo no es difícil hacerlo usando la definición de derivada
Dani | 2 de June de 2009 | 18:20

b) I) f(a) >0 entonces por el Teorma del Valor Medio sabemos que si f(b) es positivo también, |Z| es par, y como las derivadas se tienen que ir alternando (fácil de demostrar también con los teoremas clásicos) la suma dada es cero. Si por otra parte f(b) es negativo, tenemos la misma situación salvo por el “último” elemento de Z (pues en este caso |Z| es impar) que por decirlo de alguna manera se queda desparejado, y cuya derivada necesariamente ha de ser negativa (de nuevo por el Teorema del Valor Medio), lo que nos dice que la suma en este caso es -1.
II) f(a)<0. Si f(b) 0 tenemos el caso opuesto, es decir, el último elemento de Z (|Z| es impar) está desparejado y además tiene derivada positiva, lo que deja a la suma en +1.
Todo esto se puede formalizar fácilmente por inducción sobre n=|Z|, el número de elementos de Z, pero no hace falta, ¿no? yo creo que está bastante claro.
PD: Creo que incluso se podría argumentar con razonamientos topológicos relacionados con el post de el teorema de la curva de Jordán, separando el plano en los (x,y) con y>0 y los (x,y) con y<=0 con la curva siendo la gráfica de f)
hernan | 2 de June de 2009 | 20:01

Me parece que el razomiento de Dani es correcto.
M | 2 de June de 2009 | 22:08

Resumiendo los casos planteados, la suma vale $\frac{sign(f(b))-sign(f(a))}{2}.$
Dani | 2 de June de 2009 | 22:20

bonita manera de expresarlo
M | 2 de June de 2009 | 23:43

Comentar que este ejercicio está sacado de este trabajo en el que se habla del teorema de Bolzano para funciones de varias variables reales (o incluso complejas).