Formando 2010

Vamos con el primer problema del año. Como no podía ser de otra forma éste va dedicado al número 2010 y me lo envió Manuel al correo del blog: gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Ahí va:

Debemos asignar a cada letra de las siguientes un número natural entre 0 y 9 y debemos colocar entre cada dos letras alguna de las operaciones suma, resta, multiplicación y división para que el resultado de la operación conjunta sea 2010. Podemos colocar también los paréntesis que creamos conveniente. La expresión en cuestión es la siguiente:

F E L I Z A Ñ 0 = 2010

Veamos cuántas soluciones podemos encontrar (si es que hay más de una).

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

72 Comentarios

  1. ¿ se trataba de dar el número exacto de soluciones posibles o de dar cada uno una solución?

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  2. Pues aunque la que había hecho me la ha chafado Américo, dejo una operación para 2010 que usa todos los números:
    \(8\cdot 7+9+6-4)\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 5

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  3. La verdad es que yo entendí el enunciado como Omar-P, una operación cada dos letras…

    Un saludo.

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  4. No es lo mismo “entre cada dos letras una operación” que “una operación entre cada dos letras”.

    En este caso, el orden de los factores altera el producto.

    Yo lo entiendo como “F (op) E (op) …”, y no “FE (op) LI (op) …”.

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  5. Indique o número primo mais próximo de 2010, não sendo permitido o recurso à calculadora nem a qualquer outro meio electrónico, bem como a utilização de tabelas de números primos.

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  6. lucas

    A sua resposta usa 7 dígitos.

    É um record. As restantes recorrem a 8 algarismos, e a de JuanMa 9 (todos diferentes!, Outro record!).

    Alguém consegue com menos do que 7 algarismos?

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  7. Lo pimero, gracias por la página, está muy bien.
    Ahora, para el compañero Américo
    aquí tens uma resposta com 5 algarismos:
    5*6(9*7+4)

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  8. Excelente página, la leo a diario.

    Ahí va mi aporte, sólo con digitos primos:

    F=2, E=3, L=5, I=2, Z=5, A=7, Ñ=5, O=2

    2 * 3 * 5(2 * 5 * 7-(5-2))

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  9. F=4 E=2 L=8 I=3 Z=7 A=6 Ñ=1 O=0

    (FE+LI+ZA)xÑO=2010

    (42+83+76)x 10 =2010

    una facilonga pero va 🙂

    Saludos quiero ver otras

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  10. Una con los números del 0 al 9.

    98 x 20 + (7 + 3) x (5 x (6 – 4 – 1))

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  11. Me han sorprendido tantas soluciones!!

    Mi propuesta estaba basada en la descomposición factorial
    2*3*5*1*(9*7+4)+0=2010

    Lo dicho feliz 2*3*5*67 !!!!

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  12. Alguien sabe por que todas las respuestas tienen el 67, es que estuve intentando hallar una que no lo incluyera y no pude.

    Obviando los casos de +0 *1 -0 que son sumamente injustos.

    Otro detalle que note es que se necesita 2 operadores de multiplicación cuando mínimo para resolverlo.

    Tampoco pude dar con una solución de 4 números como pidió Americo Tavares, creo que no es posible.

    Bueno todo esto con derecho a equivocarme.

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  13. ninguna de mis respuestas (las primeras, arriba del todo de la pagina) tiene el 67.

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  14. (18\times24-30)\times5

    Saben, hay algo que no logré, si queremos dejar todas las cifras de dos digitos, creo que no se puede, Ej:
    FE=18
    LI=24
    ZA=30
    ÑO=5

    tiene por lo menos un número de una cifra, y además no hay dos letras iguales en la palabra (felizaño), así que no es posible asignar dos veces el cero o cualquier otro número.

    🙁

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  15. Convido os leitores de Gaussianos a verem este problema, no meu blog:

    Seja P(x) um polinómio real de grau n\geq 2. Suponha que o coeficiente do termo de maior grau de P é igual a 1. Prove que \dfrac{P^{\prime \prime }(x)}{P^{\prime }(x)}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{x-w_{k}}, em que w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n-1} são as raízes de P^{\prime }(x).

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  16. Parece bastante inmediato, no? Si P es mónico, será el coeficiente de x^{n-1} en P^{\prime} igual a n. Por tanto podemos escribirlo de esta forma:
     P^{\prime}(x)=n(x-w_1)(x-w_2)\cdots(x-w_{n-1})=n\prod_{i=1}^{n-1}(x-w_k)
    Luego derivando término a término obtenemos
    P^{\prime \prime}(x) = n\sum_{k=1}^{n-1} \Big( \prod_{j \neq k}(x-w_j) \Big)
    de donde al dividir por P^{\prime} nos da:
    \frac{P^{\prime \prime}(x)}{P^{\prime}(x)}= \frac{n\sum_{k=1}^{n-1} \Big( \prod_{j \neq k}(x-w_j) \Big)}{n\prod_{i=1}^{n-1}(x-w_k) }=\sum_{k=1}^{n-1} \Big( \frac{n\prod_{j \neq k}(x-w_j)}{n\prod_{i=1}^{n-1}(x-w_i)} \Big) = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{x-w_k}
    como queríamos demostrar.

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  17. Dani

    Parece-me estar certo, e é directa.

    Tinha outra demonstração preparada. Como aceito soluções até 10 Fevereiro 2010, vou esperar por outras que receba.

    Se quiser pode colocar a sua resolução no meu post.

    Obrigado.

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  18. “alvaro”, hay un montón de soluciones (millones), aunque sí parece que la densidad de ellas que contienen el 6 y/o 7 son muchas, de hecho, un rastreo (un poco “sucio”) sobre todas las que empiezan por 5 muestran que:

    – 49%, con 6 y 7
    – 29%, con 6
    – 13%, con 7
    – 9%, sin 6 ni 7

    Si sólo usamos dos dígitos diferentes, entonces, sólo unas pocas parejas tienen soluciones y la pareja que más soluciones tiene son el 6 y 7.

    Realmente no sería complicado repasar todas las soluciones, pero requiere un cierto esfuerzo (para acotar las soluciones hay que hacer atajos del estilo de “todas las combinaciones -A-B-C-…, igualmente con todas las A+B+C+… y también con todas las A*B*C*… son equivalentes para todas las permutaciones de ABC…”; otras estrategias como usa memoize al estilo de “cualquier expresión calculada entre paréntesis es memoizable” y otras similares).

    En fin un rollo de optimización combinacional en el que se van buscando simetrías para reducir la explosión combinacional de las soluciones. (p.e. dando las soluciones …A*B*C… con A<=B<=C es suficiente pues las otras se obtienen por permutaciones).

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  19. Américo Tavares, otra posibilidad es: si p(x)=\prod_{i=1}^n (x-a_i), entonces log |p(x)|=\sum_{i=1}^n log |x-a_i| (para x\neq a_i). Derivando (cuidando bien el signo entre las raíces): \frac{p^\prime(x)}{p(x)}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{x-a_i}. Tu caso se particulariza con \{p^\prime,p^{\prime\prime}\}.

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  20. Otra forma, si las raíces de p(x) son simples, entonces

    q(x):=p(x)\cdot \sum_{j=1}^n \frac{1}{x-a_i} es un polinomio de grado n-1, y para 1\leq j\leq n

    \lim_{x\to a_j} q(x)=\lim_{x\to a_j} \frac{p(x)}{x-a_j}=p^\prime(a_j).

    Dos polinomios de grado n-1 con n raíces deben ser idénticos: q(x)=p^\prime(x).

    Para el caso de raíces múltiples, imagino que hay que liarse y usar varias veces la regla de L’Hôpital.

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  21. Meu comentário de 22:37:

    Correcção: “diferenciação logaritmica” em vez de “derivação logaritmica”

    M

    Quantas mais demonstrações haverá? Só você já apresentou duas!

    E a do volume do dodecaedro? É muito trabalhosa, não é?

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  22. “Josejuan”, lo que yo respondía es a “Febles Brayan” que decía que no conocía ninguna solución que no contuviera el 67 como factor, no el 6 o el 7. Yo interpreto que él lo decía porque 67 es primo y divisor de 2010. Y lo que yo decía es que puedes dar muchas soluciónes que no se basen en la descomposición en factores primos de 2010 y que por tanto no necesiten el 67 como factor.

    Lo que tu dices depende también de como interpretes el enunciado. Yo interpreto que cada letra se corresponde con un digito y dos letras no pueden corresponder a un mismo digito. Dicho de otra forma, yo interpreto que se establece una aplicación inyectiva entre letras y dígitos. Y si se interpreta de esa forma, es evidente que tenga que haber mas respuestas que contengan 6 y 7 que las que no, porque en “feliz año” hay 8 letras y por tanto habría que seleccionar 8 digitos de entre los 10. Entonces es evidente que habrá mas que contengan 6 y 7 que que no los contengan, pero yo creo (y no lo he pensado mucho luego podría perfectamente estar equivocado)que igual habrá mas que contengan 2 y 3 por probabilidad que que no los contengan, o 8 y 2.

    No se si tu habrás interpretado el enunciado como te digo yo o si interpretas que se pueden repetir dígitos.

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  23. No, no había exigido biyección, pero así visto, es verdad, si F=1 entonces A1 (si establecemos que FA).

    Lo que no entiendo es el razonamiento de porqué debe haber más expresiones que usen 6 y 7 que otras, será evidente, pero yo no lo veo…

    ¿?

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  24. muy buena, M. muy elegantes los logaritmos 🙂
    con respecto al dodecaedro, la dificultad está en derivar la longitud del centro del dodecaedro a al centro de una de las caras. El resto es sumar el area de 12 pirámides de base pentagonal, cuyo volumen es fácil de calcular. A ver si se me ocurre algo limpio y no muy engorroso (además la dificultad de expresar ideas geométricas en un blog lo complica todo más)

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  25. Dani,

    Sobre o dodecaedro some o volume (por lapso escreveu «sumar el area» ) de 12 pirâmides pentagonais regulares iguais, cuja base são as faces do dodecaedro e o vértice é o seu centro.

    Em

    http://problemasteoremas.wordpress.com/2008/03/12/dodecaedro/

    represento duas figuras (o dodecaedro na primeira e um seu corte na segunda), que aqui não posso mostrar

    URL: http://problemasteoremas.files.wordpress.com/2008/03/dodecaedro32d.jpg?w=828&h=1740

    e sobre elas escrevi:

    « Nesta entrada escrevi:
    Determine o lado l de cada um dos doze pentágonos regulares deste sólido platónico, sabendo que dois vértices simétricos em relação ao centro do dodecaedro, distam entre si d metros.

    Imaginemos que seccionamos o dodecaedro por um plano vertical que corta ao meio quatro faces opostas, duas a duas: a de cima e a de baixo, e duas adjacentes, a uma e a outra, e que passa por duas arestas simétricas, como se vê na figura de cima. Na de baixo representa-se este corte do dodecaedro noutra, que foi rodada, para que as duas arestas ficassem na horizontal.

    No caderno apresento a justificação da resposta:

    \dfrac{l}{d}=\dfrac{2}{\sqrt{3}\left ( 1+\sqrt{5}\right ) }=\dfrac{1}{2\sqrt{3}\cos \left ( \dfrac{\pi}{5}\right )}\approx 35.68\%
    ou seja
    l=\dfrac{2}{\sqrt{3}\left ( 1+\sqrt{5}\right ) }\times d=\dfrac{1}{2\sqrt{3}\cos \left ( \dfrac{\pi}{5}\right )}\times d »

    A minha ideia é aproveitar a segunda figura (um corte) para obter a altura das pirâmides.

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  26. sí, quise decir “volumen” en vez de “area”, evidentemente. La idea de los cortes puede funcionar, sí, pero se ve que como dijiste no va a ser nada trivial. A ver si sale la cosa 🙂

    Ahí va problemita divertido:

    Demostrar que para cada natural n existen  n números consecutivos tales que ninguno es primo.

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  27. Pues por combinatoria. Tenemos que seleccionar 8 dígitos de entre los 10 posibles ( al ser 8 letras y establecer una aplicación inyectiva entre letras y números). Por tanto no importa el orden y no se puede elegir mas de una vez un mismo digito (no hay repetición). Pero es más fácil pensar en los 2 que no elegimos que en los 8 que elegimos. Con lo cual sería 10×9/2 = 45. Que serían las combinaciones de 10 elementos tomados de 8 en 8. Y serían el número de aplicaciones diferentes que podemos establecer. Y de entre esas 45 solo habría una que no contuviera el 6 y además no contuviera el 7. Dicho de otra manera 44 de las 45 contienen al menos el 6 o al menos el 7 o los dos.

    Esto no quiere decir que haya mas solucciones que contengan 6 y/o 7, porque todavía nos quedaría elegir las operaciones y el orden de prioridad entre ellas, y podría ser que casualmente no se pudiera hacer ninguna soluccion con esas 44 formas de elegir los digitos y si se pudiera con la otra forma restante que no contiene ninguno de los dos números, pero sin embargo si parece a priori más probable ¿no?

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  28. Visto en http://www.thesamet.com/2010.txt
    Basic expressions
    ===================

    2010 = 1+2-(3-4-5)*6*7*8-9
    2010 = 1-(2+(3-4-5)*6*7)*8+9
    2010 = 1+2+(3+4*(5+6*7+8))*9
    2010 = 1+2*(3*4*(5+6)-7)*8+9
    2010 = 1*2*3*(4*(5*6+7*8)-9)
    2010 = 1+2+(3+4*(5-6+7*8))*9
    2010 = (1-2-3+4*(5/6+7*8))*9
    2010 = (1+2+3*4)*(5-6+(7+8)*9)
    2010 = 1+2+((3*(4+5)+6)*7-8)*9
    2010 = (1+2+3)*(4*(5*6+7*8)-9)
    2010 = 1+2+3*(4*(5+6)*(7+8)+9)
    2010 = (1*2/3)*((4+5)*6*7*8-9)
    2010 = (1-2-3)*((4+5)/6-7*8*9)
    2010 = (1*2+(3-4*(5/6-7))*8)*9
    2010 = 1*(2+(3-4*(5/6-7))*8)*9
    2010 = (1+2*(3+4))*(5-6+(7+8)*9)

    Allowing multidigit numbers
    =============================

    2010 = 12*34*5-6-7-8-9
    2010 = 12*34*5+6*7-8*9
    2010 = 1+2345*6/7+8-9
    2010 = 12-3*(4+5-678)-9
    2010 = 123*4*5-(6*7+8)*9
    2010 = 1+2-3*(4*5*6-789)
    2010 = 123*4*5+(6-7*8)*9
    2010 = 12*34+(5+6+7)*89
    2010 = 12*3*45+6*(7*8+9)
    2010 = 12+3*(4-5+67+8)*9
    2010 = (12-3)*4*56-7-8+9
    2010 = 12-(3-4*56+7-8)*9
    2010 = (1*2+34)*56-7-8+9
    2010 = 1*(2+34)*56-7-8+9
    2010 = 12*3*45-6*(7-8*9)
    2010 = 1+2*(34*5*6-7)-8-9
    2010 = 1+2-(3-45+6)*7*8-9
    2010 = 1*2*3*(45*6+7*8+9)
    2010 = (1+2)*3*4*56-7-8+9
    2010 = 1*2*3*(45*6-7+8*9)
    2010 = 12-(3/4-5)*6*78+9
    2010 = 1+(2/3)*45*67+8-9
    2010 = 1+23-4*(5/6-7*8)*9
    2010 = (1-2/3+4*56+7-8)*9
    2010 = 1+2-3*(4-5)*(678-9)
    2010 = (1-2)*3*(4-5-678+9)
    2010 = 1+2-3*((4-5)*678+9)
    2010 = (1+2)*(3-4*5+678+9)
    2010 = 1+(2+3)*(456-7*8)+9
    2010 = (12+3-45)*67*(8-9)
    2010 = 1-(23-(45-6)*7)*8+9
    2010 = 12-3*(4+5-(67+8)*9)
    2010 = 12-(3-45*(6+7-8))*9
    2010 = 1*(23-4*56)*(7-8-9)
    2010 = (1*23-4*56)*(7-8-9)
    2010 = (1+23/4)*5*67*8/9
    2010 = 12-3*(4+(5-6)*78)*9
    2010 = (1-23-45)*(6*7-8*9)
    2010 = 1*((2+34)*56-7-8+9)
    2010 = 1*((2+34)*56-7-8)+9
    2010 = 1*((2+34)*56-7)-8+9
    2010 = 12+3*(4*(5-6)+78)*9
    2010 = (1-2-34+5)*67*(8-9)
    2010 = 1+(2+34)*56+7*(8-9)
    2010 = 1+2+((34+5-6)*7-8)*9
    2010 = 1-(2-3-4)*(56*7+8)+9
    2010 = 1+2+(3+4*(56+7-8))*9
    2010 = (1+2*34)*(5*6+7-8)+9
    2010 = (12+3)*4+5*6*(7*8+9)
    2010 = (1+2*34*5-6)*(7+8-9)
    2010 = 1-(2+3-45)*(6*7+8)+9
    2010 = 1-(2+(3-45+6)*7)*8+9
    2010 = (1-2+(3+45)*6)*7-8+9
    2010 = (1+2)*(3*4*56-7+8)-9
    2010 = (1+2+3)*(45*6+7*8+9)
    2010 = 1*2*((3*4-5+6)*78-9)
    2010 = (1+2+3)*(45*6-7+8*9)
    2010 = 1+2-3*(45-6*7*(8+9))
    2010 = (12+3)*(4*5+6*7+8*9)
    2010 = (12+3)*4-5*6*(7-8*9)
    2010 = 1+2*(3*(4+5*67)-8)-9
    2010 = 1+(2+3-45)*(6-7*8)+9
    2010 = (12+3-45)*67/(8-9)
    2010 = 12+3*(4/(5-6)+78)*9
    2010 = 1-(2+3*45/6)*(7-89)
    2010 = (1+2)*34*5*67/(8+9)
    2010 = (1-2-34+5)*67/(8-9)
    2010 = 1+(2+34)*56+7/(8-9)
    2010 = 12+(3/4)*(5*6+7)*8*9
    2010 = (1*2/3-4)*(5+6-78)*9
    2010 = 1*(2/3-4)*(5+6-78)*9
    2010 = 12-(3/4)*(5-6*7)*8*9
    2010 = (1*2/3-4*56)*(7-8)*9
    2010 = 1*(2/3-4*56)*(7-8)*9
    2010 = (1+2)*((3-4)*5+678)-9
    2010 = (1+(2-3)*4)*(5-678)-9
    2010 = (1+2)*(3-4)*(5-678)-9
    2010 = (12+3)*(45-(6-7)*89)
    2010 = 12+3*((4+5)*(67+8)-9)
    2010 = 1-((2+34)*56-7)*(8-9)
    2010 = (1-2+3*45)*(6-(7-8)*9)
    2010 = 12-(3-(4+5+6)*(7+8))*9
    2010 = (12+3)*(4+5+6+7*(8+9))
    2010 = (1+2)*(3+4*(5+6)+7*89)
    2010 = 1+2-(3/(4-5))*(678-9)
    2010 = ((1+2)/3-4)*(5-678)-9
    2010 = 1-(23+(4+5)/6)*(7-89)
    2010 = 1-((2+34)*56-7)/(8-9)
    2010 = (1+2+3/4)*(5+(67-8)*9)
    2010 = 12*(3-4*(5-(6-7/8)*9))
    2010 = 1-(2+(3/4)*5*6)*(7-89)
    2010 = (1+2)*((3-4)*5+(67+8)*9)
    2010 = (1+(2-3)*4)*(5-(67+8)*9)
    2010 = (1+2)*(3-4)*(5-(67+8)*9)
    2010 = (1-(23+4)*5)*(6*(7-8)-9)
    2010 = (12+3)*((4+5)*(6+7)+8+9)
    2010 = (12/3)*((4-5)/6+7*8)*9
    2010 = ((1*2/3-4*56)/(7-8))*9
    2010 = (1*(2/3-4*56)/(7-8))*9
    2010 = ((1+2)/(3-4))*(5-678)-9
    2010 = ((12+3)/4)*(5+(67-8)*9)
    2010 = ((1+2)/3-4)*(5-(67+8)*9)
    2010 = (1-(23+4)*5)*(6/(7-8)-9)
    2010 = ((1+2)/(3-4))*(5-(67+8)*9)

    Allowing decimal dot
    =============================

    2010 = 1+2+.3*4*5*6*7*8-9
    2010 = 1+2+3*.4*5*6*7*8-9
    2010 = 1+2+3*4*.5*6*7*8-9
    2010 = 1+2+3*4*5*.6*7*8-9
    2010 = 1+2+3*4*5*6*.7*8-9
    2010 = 1+2+3*4*5*6*7*.8-9
    2010 = 1/.2+345*6-7*8-9
    2010 = 1/.2+345*6+7-8*9
    2010 = 1+2*3*4*56/.7+89
    2010 = 12+(34.5*6+7+8)*9
    2010 = 1+234.5*6/.7+8-9
    2010 = (1234+567+8)/.9
    2010 = 1+2345*.6/.7+8-9
    2010 = 12-34*(.5-67+8)+9
    2010 = 12-(3*4-5*6*7.8)*9
    2010 = 12*(3*4-.5+67+89)
    2010 = 1*(2345-67*8)/.9
    2010 = (1*2345-67*8)/.9
    2010 = 12+3*(.4*5-6+78)*9
    2010 = 12+3*(4*.5-6+78)*9
    2010 = 12-(3*4-.5*6*78)*9
    2010 = 12-(3*4-5*.6*78)*9
    2010 = 1-(2-.3*4*5*6*7)*8+9
    2010 = 1-(2-3*.4*5*6*7)*8+9
    2010 = 1-(2-3*4*.5*6*7)*8+9
    2010 = 1-(2-3*4*5*.6*7)*8+9
    2010 = 1-(2-3*4*5*6*.7)*8+9
    2010 = 1+2+3-4*(.5*6-7*8*9)
    2010 = 1+2+3-4*(5*.6-7*8*9)
    2010 = 1*2*3-4*(.5*6-7*8*9)
    2010 = 1*2*3-4*(5*.6-7*8*9)
    2010 = 12*(34*5-.6+7-8.9)
    2010 = .1+23*(45+6*7)+8.9
    2010 = .1+23*(4*5+67)+8.9
    2010 = .1+2345*6/7+.8-.9
    2010 = 12+3*(45/.6+7-8)*9
    2010 = .1+2-3*(4+5-678)+.9
    2010 = 1+2-(3-.4*567+.8)*9
    2010 = 1+2-(3-4*56.7+.8)*9
    2010 = (12/.3-4)*56-7-8+9
    2010 = 1.2+(3+45)*6*7-.8*9
    2010 = 1.2+(3+45)*6*7-8*.9
    2010 = 12*34*5+6/(7-.8*9)
    2010 = 12*34*5+6/(7-8*.9)
    2010 = 12*(34*5-.6+7-8-.9)
    2010 = (1.2+34+5)*(67-8-9)
    2010 = 1+2+3*(4+56/.7)*8-9
    2010 = 12+3*(.4-5+.6+78)*9
    2010 = .1+23*(45+6*7)+8+.9
    2010 = .1+23*(4*5+67)+8+.9
    2010 = 12+3*45*(.6+7+.8*9)
    2010 = 1-(23-4.5+6)*(7-89)
    2010 = 1*2*3*(4/.5+6*7*8-9)
    2010 = 12-(3-4.5*(6*7+8))*9
    2010 = (1+2)*(3-.4*5+678-9)
    2010 = (1+2)*(3-4*.5+678-9)
    2010 = 12*(3.4*56*7/8+.9)
    2010 = 12*(34+(.5-6+7)*89)
    2010 = 1+.2+(3+45)*6*7-.8*9
    2010 = 1+.2+(3+45)*6*7-8*.9
    2010 = 12-(3+4.5*(6-7*8))*9
    2010 = 12+((34+.5)*6+7+8)*9
    2010 = 1+(234+.5)*6/.7+8-9
    2010 = (1+.2+34+5)*(67-8-9)
    2010 = 12+(.3-4)*(5-67*8-9)
    2010 = 12*3*(45+6*7/8)/.9
    2010 = 12-(34+5*(.6-7)*8)*9
    2010 = 12+(34*(.5+6)-7+8)*9
    2010 = 1+(2/.3)*4.5*67+8-9
    2010 = 1+(2/.3)*45*6.7+8-9
    2010 = 1-(23-4-.5+6)*(7-89)
    2010 = 1-(2-3-4)*(56*7+.8+9)
    2010 = 1*2*(34-.5)*(6+7+8+9)
    2010 = (1+23-4)*5*(6+7+8-.9)
    2010 = (1+2*34)*(.5*6*7+8)+9
    2010 = (1+2*34)*(5*.6*7+8)+9
    2010 = (1+2*34)*(5*6*.7+8)+9
    2010 = 12*(3+4)+5*(6*7+.8)*9
    2010 = 12-3*(4-5*(.6+7+8))*9
    2010 = (1-2*34)*.5*6*(7-8-9)
    2010 = (1+2)*34+5*(6-.7)*8*9
    2010 = 12+3*4*(5*(6-.7)-8)*9
    2010 = 12-(.3/.4-5)*6*78+9
    2010 = 12-(3*4-5*6*(7+.8))*9
    2010 = 1*2*(3*4*(.5+6+78)-9)
    2010 = 1-(2-34)*(.5+6+7*8)+9
    2010 = 1-(2+34+5-6)*7*(.8-9)
    2010 = 1-(234+5+6)*(.7-8.9)
    2010 = (1+2+3+4*56)*(.7+8)+9
    2010 = (1*2*3+4*56)*(.7+8)+9
    2010 = 1*(2*3+4*56)*(.7+8)+9
    2010 = (1+(234+5-6-7)*8)/.9
    2010 = (1*2+3)*4*5*(6+7+8-.9)
    2010 = 1.2*(34-.5)*(67-8-9)
    2010 = 1*(2+3)*4*5*(6+7+8-.9)
    2010 = 1-(2+3)*4*(.5-6-7)*8+9
    2010 = (123/.4+5)*6+(7+8)*9
    2010 = (12/3)*(4.5-6+7*8*9)
    2010 = 1*2*(3*(.4*5+6*7*8)-9)
    2010 = 1*2*(3*(4*.5+6*7*8)-9)
    2010 = 1*(2*3-4*(.5*6-7*8*9))
    2010 = 1*(2*3-4*(5*.6-7*8*9))
    2010 = (1+2)*(3-4/.5+678)-9
    2010 = (1-2+3+4)*(.5+6*7*8)-9
    2010 = 1*2*3*(4+(.5+6*7)*8-9)
    2010 = 1/.2+34-5*6*(.7-8)*9
    2010 = ((123+4*5)/.6-7-8)*9
    2010 = 12*(34*5-.6*7+.8+.9)
    2010 = 12*(34*5-6*.7+.8+.9)
    2010 = (1*2/3+4-.5)*67*.8*9
    2010 = 1-(2*3*4+5+6)*7*(.8-9)
    2010 = .1*(2/3+4-.5)*67*8*9
    2010 = 1*(2/3+4-.5)*67*.8*9
    2010 = 1+23-4*(.5/.6-7*8)*9
    2010 = 1+(2-3-4+5*6*7)*(.8+9)
    2010 = 1-2*(3+4*5*(.6-7))*8+9
    2010 = 1+(2-3-4-5*6)*7*(.8-9)
    2010 = (1-.2/.3+4*56+7-8)*9
    2010 = (1+23)*(4+5+67/.8-9)
    2010 = 1-(234+5+6)*(.7-8-.9)
    2010 = 12+((3*4/.5)*6+78)*9
    2010 = 12-3*(.4-5.6*7*(8+9))
    2010 = (1+2.3/.4)*5*67*8/9
    2010 = (1+23/4)*5*6.7*8/.9
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    2010 = (1*2-34*(.5-67)*8)/9
    2010 = 1*(2-34*(.5-67)*8)/9
    2010 = (1+2)*(3*45+6*78)/.9
    2010 = 1+(2/.3)*4*(5+67)+89
    2010 = (1/.2)*(3-4*56+7*89)
    2010 = (1-23-4/.5)*67*(8-9)
    2010 = .1+234.5*6/.7+.8-.9
    2010 = (1-2+34/.5)*(6+7+8+9)
    2010 = 1*2*3*(.4-.5+6*7*8-.9)
    2010 = ((12/3)*456-7-8)/.9
    2010 = (1+(234-56/7)*8)/.9
    2010 = (12/3)*(4+.5-6+7*8*9)
    2010 = 12-(3-45*(6*.7+.8))*9
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    2010 = 1+(2/.3+4*5)*(67+8)+9
    2010 = 1-(2-3*(4+56/.7))*8+9
    2010 = (.1-2*3.4)*5*6*(7-8-9)
    2010 = 1+((2+3)*4/.56)*7*8+9
    2010 = 12*((34-5)*6-.7*8-.9)
    2010 = 12*((34-5)*6-7*.8-.9)
    2010 = 12*((34-5)*6+.7-.8*9)
    2010 = 12*((34-5)*6+.7-8*.9)
    2010 = (12-3+4*5*6*(7+8))/.9
    2010 = 12-3*(.4-56*.7*(8+9))
    2010 = 12*(.3+4*(56-7-.8*9))
    2010 = 12*(.3+4*(56-7-8*.9))
    2010 = (1+23/4)*.5*67*8/.9
    2010 = (1+23/4)*5*67*.8/.9
    2010 = (12-3)*4*(.5/6+7*8)-9
    2010 = 1*(23+4)*(5+6+7*8)/.9
    2010 = (1*23+4)*(5+6+7*8)/.9
    2010 = (1*2+34)*(.5/6+7*8)-9
    2010 = 1*(2+34)*(.5/6+7*8)-9
    2010 = 1+(2/.34+5+6)*7*(8+9)
    2010 = (1-(2+3-4*56-7)*8)/.9
    2010 = 1+2+(3*4/.5)*(6+78)-9
    2010 = 1+(2+34*(5+6*7))/.8+9
    2010 = 12-(3+45*(.6-.7*8))*9
    2010 = 12-(3+45*(.6-7*.8))*9
    2010 = (1+23)/.4-5*6*(7-8*9)
    2010 = (12/3.4)*5*6.7*(8+9)
    2010 = 1-(2-3/.4+5*6)*(7-89)
    2010 = 1-2*3*(4+.5/6)*(7-89)
    2010 = .1+2345*.6/.7+.8-.9
    2010 = 1*2*3*((4/.5)*6*7+8-9)
    2010 = 1+2*((3*4/.5)*6*7-8)+9
    2010 = ((1+2*3*4)*5/.6+7+8)*9
    2010 = 12*(3*(4+5-.6)*7-8-.9)
    2010 = (1+2-(3-4*5/.6)*7+8)*9
    2010 = (1-2+3-4*(.5/6-7)*8)*9
    2010 = (1+2+3)*(4/.5+6*7*8-9)
    2010 = (1-2+3-45*6)*(.7+.8-9)
    2010 = (1/.2)*3*4+5*6*(7*8+9)
    2010 = 1+2-(3-4*(56+.7)+.8)*9
    2010 = (1/2)*3*4*(.5+6*7*8)-9
    2010 = (12+3)*.4*(.5+6*7*8)-9
    2010 = (.1-.2*34)*5*6*(7-8-9)
    2010 = 12+3*(.4+(5+6*.7)*8)*9
    2010 = (1-2)*3-4*(.5/6-7*8)*9
    2010 = (1+(2+3)*4-.5/6+7)*8*9
    2010 = 1+(2+3)*(4/.5+6*7)*8+9
    2010 = 1-(23+.4*5*6)*7*(.8-9)
    2010 = 1-(23+4*.5*6)*7*(.8-9)
    2010 = 1-(23+4*5*.6)*7*(.8-9)
    2010 = (1+2)*3*4*(.5/6+7*8)-9
    2010 = (1-2/3+4-5*6*(.7-8))*9
    2010 = (1*2-3+4*(.5/6+7*8))*9
    2010 = 1*(2-3+4*(.5/6+7*8))*9
    2010 = 1+2-(.3-4)*(.5+67)*8+9
    2010 = .1+(2/3)*45*67+.8-.9
    2010 = (1/.2)*3*(4*5+6*7+8*9)
    2010 = (1/.2)*3*4-5*6*(7-8*9)
    2010 = 1+(2-34-.5*6)*7*(.8-9)
    2010 = 1+(2-34-5*.6)*7*(.8-9)
    2010 = (12/3.4)*.5*67*(8+9)
    2010 = (1-.2+34)*(56.7+.8)+9
    2010 = (.1+.2-3-4)*5*6*(7-8-9)
    2010 = 1-2/.3-4*(.5/6-7*8*9)
    2010 = (1/2-34)*(5-67+8)/.9
    2010 = ((123+.4*5)/.6+7+8)*9
    2010 = ((123+4*.5)/.6+7+8)*9
    2010 = 1-2*(3*4-.5+6)*7*(.8-9)
    2010 = 12*(3-(4-.5)*(6*7-89))
    2010 = (12-3-4)*(5*(.6+78)+9)
    2010 = (1+2/.3-4+.5)*67*.8*9
    2010 = ((1-2)/3+4.5)*67*.8*9
    2010 = 1-(23.4+.5+.6)*(7-89)
    2010 = (.1-2/3+4*56+.7-.8)*9
    2010 = 1-(2+3*4.5/.6)*(7-89)
    2010 = (1*2/(.3+4.5))*67*8*9
    2010 = (12+34+5)*67/(.8+.9)
    2010 = (.12/.34)*5*67*(8+9)
    2010 = (12/.34)*5*.67*(8+9)
    2010 = (1-23-4/.5)*67/(8-9)
    2010 = 12+((34*5+.6+7)/.8)*9
    2010 = .1+.2-(3-4*(567-8))*.9
    2010 = 12-(3-(4+.5)*(6*7+8))*9
    2010 = (1-2)*(34-.5)*6*(7-8-9)
    2010 = ((1-2)*34+.5)*6*(7-8-9)
    2010 = (1+(2+3/4.5)*678)/.9
    2010 = 12*((3+.4)*56*7/8+.9)
    2010 = 1.2-(3-(4-.5-.6)*78)*9
    2010 = 1+(23+(4*5+6)*7)*(.8+9)
    2010 = (12+3)*4*((.5-6)*7+8*9)
    2010 = 1*23*((.4+5)/.6+78)+9
    2010 = (1-(2/3)/4)*.5*67*8*9
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    2010 = 1-(2/.3)*(4.5-6*7)*8+9
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    2010 = 12*((3+.4/56)*7*8-.9)
    2010 = 1+(23-(4-5*6)*7)*(.8+9)
    2010 = ((1*2/.3+4*5)*67/8)*9
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    2010 = (1*(2/.3+4*5)*67/8)*9
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    2010 = 1-(2+.3*45/.6)*(7-89)
    2010 = 1+(2/.3)*(4+5*6.7)*8+9
    2010 = 1*((2*3+4*56)*(.7+8)+9)
    2010 = (1/.2+.34)*5*67/.89
    2010 = 1-(2/.3)*45*(.6-7)+89
    2010 = (1+2+3+45)*67/(.8+.9)
    2010 = (1*2*3+45)*67/(.8+.9)
    2010 = (12+3)*4*5*(6-.7*(8-9))
    2010 = 1*(2*3+45)*67/(.8+.9)
    2010 = 12/.3+4*(.5-6*(7-89))
    2010 = (1-.2+34)*(56+.7+.8)+9
    2010 = 12+(.3/.4)*(5*6+7)*8*9
    2010 = 12+(3/.4)*(5*6+7)*.8*9
    2010 = 12+(3/.4)*(5*6+7)*8*.9
    2010 = 12*3*(45+.6*7/.8)/.9
    2010 = 12*3*(45+6*.7/.8)/.9
    2010 = .1-2+.3-4*(.5+.6-7*8*9)
    2010 = (1.2+.3)*4*(.5+6*7*8)-9
    2010 = (1-2/3-45)*6*(.7+.8-9)
    2010 = (1-.2+34)*(5+6*7/.8)+9
    2010 = 1-2*(3+4)*(.5-6*(7+8+9))
    2010 = 1-(2+3*4)*(.5-6*(7+8+9))
    2010 = 1/2-((3-45)*6+.7)*8-.9
    2010 = (1+2+3)*(4+(.5+6*7)*8-9)
    2010 = 1*2*((3/.4-.5+6)*78-9)
    2010 = 1+(2+(3+4)*5*6-7)*(.8+9)
    2010 = 12-3*(.4-56*7*(.8+.9))
    2010 = (1/(.2-3+4))*.5*67*8*9
    2010 = (1/(.2-3+4))*5*67*.8*9
    2010 = (1*(2/3+4)-.5)*67*.8*9
    2010 = (1*2/(.3+4+.5))*67*8*9
    2010 = ((1/.2)*345+6+78)/.9
    2010 = 1+(2+3)*(4-5-6)*7*(.8-9)
    2010 = 1-(2/.3)*4*(.5*6-78)+9
    2010 = 1-(2/.3)*4*(5*.6-78)+9
    2010 = (1*2+3)*(4+5*(.6+7+8*9))
    2010 = 1*(2+3)*(4+5*(.6+7+8*9))
    2010 = 1+(2+(3+4*5+6)*7)*(.8+9)
    2010 = 1+(2+3)*(4+5*6+7)*(.8+9)
    2010 = 12-(.3/.4)*(5-6*7)*8*9
    2010 = 12-(3/.4)*(5-6*7)*.8*9
    2010 = 12-(3/.4)*(5-6*7)*8*.9
    2010 = 1+(2/.3)*45*(6+.7)+8-9
    2010 = 1+(2/.3)*(4+.5)*67+8-9
    2010 = 1+(2+(3-4+5*6)*7)*(.8+9)
    2010 = ((1+2)/.3)*(45+67+89)
    2010 = 1-(23+.4+.5+.6)*(7-89)
    2010 = 1*2*(.3+4+56)*(7+8)/.9
    2010 = 1+(2+3)*(4-5+6*7)*(.8+9)
    2010 = 1-(2+3*(4+5)+6)*7*(.8-9)
    2010 = 1+(2/.34)*(.5+6*7)*8+9
    2010 = 1+(2/.3)*(4+.5*67)*8+9
    2010 = (1.2/.34)*5*6.7*(8+9)
    2010 = (.1*2/.3-4*56)*(7-8)*9
    2010 = (1*.2/.3-4*56)*(7-8)*9
    2010 = 1*(.2/.3-4*56)*(7-8)*9
    2010 = 1.2+3*(4/.5+.6+.7)*8*9
    2010 = (123/.4)*5+(6*7/.8)*9
    2010 = (1.2/.3)*(4.5-6+7*8*9)
    2010 = 1/(.2-.3)-4*(5-6-7*8*9)
    2010 = (1-.2-3/.4)*5*6*(7-8-9)
    2010 = (1+(2/3+.4*5)*678)/.9
    2010 = (1+(2/3+4*.5)*678)/.9
    2010 = (1/.2-3+4)*(.5+6*7*8)-9
    2010 = (1-2*34)*5*6*(.7-.8-.9)
    2010 = (1+(2/3.4)*5)*(6+7*8*9)
    2010 = 1+2-(3/(.4-.5)-6)*7*8-9
    2010 = ((1+2)/.3)*(45*6-78+9)
    2010 = (1*2*3*4*5+.6)*(7+8)/.9
    2010 = 1*(2*3*4*5+.6)*(7+8)/.9
    2010 = 1+.2-(3-(4-.5-.6)*78)*9
    2010 = (1+234/.5)*6*7/(.8+9)
    2010 = 1-(2/.3)*(4+.5-6*7)*8+9
    2010 = 12*(3.4+(5+6)*(7+8)-.9)
    2010 = (.1*2*3+4*5*6)*(7+8)/.9
    2010 = (1*.2*3+4*5*6)*(7+8)/.9
    2010 = (1*2*.3+4*5*6)*(7+8)/.9
    2010 = 1*(.2*3+4*5*6)*(7+8)/.9
    2010 = 1*(2*.3+4*5*6)*(7+8)/.9
    2010 = (1/.2)*3*(45-(6-7)*89)
    2010 = (1-2-3+4*(.5/.6+7*8))*9
    2010 = (1-.2/3-.4-5)*(6-7*8)*9
    2010 = (12/.34)*.5*6.7*(8+9)
    2010 = (12/3.4)*5*67*(.8+.9)
    2010 = ((1/.2)*3-45)*67*(8-9)
    2010 = (1+(.2+3)*45)*(6+7.8)+9
    2010 = 12*34*5+.6/(.7-.8*.9)
    2010 = (1+.2)*(34-.5)*(67-8-9)
    2010 = (1+2)*(3-4/.5+(67+8)*9)
    2010 = (1+2+3)*(.4-.5+6*7*8-.9)
    2010 = (1-2-3)*(.4+.5+.6-7*8*9)
    2010 = (1+23)*(4-5+6+(7/.8)*9)
    2010 = (1+.2+.3)*4*(.5+6*7*8)-9
    2010 = ((1+23)/4)*(.5+6*7*8)-9
    2010 = ((1-2)/.3)*(4-56-7-8)*9
    2010 = 1*2*3*(.4*.5+6*(7-.8)*9)
    2010 = (1+((2+3)*45-6+7)*8)/.9
    2010 = (1/.2)*((3+4)*56-7+8+9)
    2010 = (1/.2)*((3-4+56)*7+8+9)
    2010 = ((12/.3)*45-6+7+8)/.9
    2010 = (.1*2/.3+4-.5)*67*.8*9
    2010 = (1*.2/.3+4-.5)*67*.8*9
    2010 = (1/.2)*(3+(4-5+6)*78+9)
    2010 = .1*(.2/.3+4-.5)*67*8*9
    2010 = 1*(.2/.3+4-.5)*67*.8*9
    2010 = (1/(2.3-.4+.5))*67*8*9
    2010 = (1+2.3/.4)*5*6.7*8/.9
    2010 = ((1-2)/(3-.4-5))*67*8*9
    2010 = (1-(2-3*(4+5+67))*8)/.9
    2010 = 1*((2+34)*(.5/6+7*8)-9)
    2010 = ((1-2)/.3+45)*6.7*.8*9
    2010 = (1+2.3*4)*5*67/(.8+.9)
    2010 = (1/.2-(3+4)*5)*67*(8-9)
    2010 = (1/.2)*(3-4-5)*67*(8-9)
    2010 = (1+2)*34*5*6.7/(.8+.9)
    2010 = ((1-.2)*34-.5)*67/.89
    2010 = (12+3)*4*5*(6-.7/(8-9))
    2010 = (1+2+3)*((4/.5)*6*7+8-9)
    2010 = 12*(3/.4+(5+6+7)*8/.9)
    2010 = 1+.2+3*(4/.5+.6+.7)*8*9
    2010 = 12*3*(4+(5*6+7)/.8)/.9
    2010 = (12/.3+.4*.5)*(67-8-9)
    2010 = 1+(2/.3)*(4+(5*6+7)*8)+9
    2010 = ((1.2/.3)*456-7-8)/.9
    2010 = (1+(234-5.6/.7)*8)/.9
    2010 = 1+((2+3)*4/.5)*(6*7+8)+9
    2010 = (1.2/.3)*(4+.5-6+7*8*9)
    2010 = (1*2*3/.4)*(5-6+(7+8)*9)
    2010 = (1/.2)*((3-4*5)*6+7*8*9)
    2010 = 12*(34*5-6/(.7+.8+.9))
    2010 = (1/.2)*(3+4+5+6*(7*8+9))
    2010 = (1+(.2+3)*45)*(6+7+.8)+9
    2010 = 1+(2/.3)*(4*(5+6)*7-8)+9
    2010 = 12*3*(4-(5-6*7)/.8)/.9
    2010 = 1+(2/.3)*(4-(5-6*7)*8)+9
    2010 = (1/.2)*(3+(4+5+6*7)*8-9)
    2010 = 1+((2+3)*4*56/.7)/.8+9
    2010 = (1+(23*4/.5+6*7)*8)/.9
    2010 = ((1+2-.3)/.4)*5*67*8/9
    2010 = ((1+2-.3)/4)*5*67*8/.9
    2010 = 1+((2*3/.4)/.5)*67+8-9
    2010 = ((1+2)*3+4*5*6*(7+8))/.9
    2010 = 12-3*(.4-(5+.6)*7*(8+9))
    2010 = (1-2)*(3+4*(.5/6-7*8)*9)
    2010 = (1+23/4)*5*(6+.7)*8/.9
    2010 = (1+(2+.3)/.4)*5*67*8/9
    2010 = (1+2.3/.4)*.5*67*8/.9
    2010 = (1+2.3/.4)*5*67*.8/.9
    2010 = 12*(3+.4+(5+6)*(7+8)-.9)
    2010 = (1+2+(.3/4)*5)*67*8/.9
    2010 = (1+2+(3/4)*.5)*67*8/.9
    2010 = (12/.3-4)*(.5/6+7*8)-9
    2010 = (1*(2-3)+4*(.5/6+7*8))*9
    2010 = 12+3*(.4/(.5-.6)+78)*9
    2010 = 1+(23+4*(.5+6)*7)*(.8+9)
    2010 = .1*(2-34*(.5-67)*8)/.9
    2010 = ((1+2)*(3+4)-.5/6+7)*8*9
    2010 = ((.1-.2)/3+.45)*67*8*9
    2010 = ((1*2/.3)*4*5+6*(7+8))*9
    2010 = 1*((2/.3)*4*5+6*(7+8))*9
    2010 = 1-((2+3)*4/.5)*(6-7*8)+9
    2010 = (1/.2)*3*(4+5+6+7*(8+9))
    2010 = (1+23*.4)*5*67/(.8+.9)
    2010 = 1-(2-3*(.4*5+67))*(.8+9)
    2010 = 1-(2-3*(4*.5+67))*(.8+9)
    2010 = (1+2)*34*.5*67/(.8+.9)
    2010 = (12+3)*4*5*(6-7*(.8-.9))
    2010 = (1/.2)*(3+4+5-6*(7-8*9))
    2010 = (.1-.2/3-4.5)*(6-7*8)*9
    2010 = 1+(2+34)*56+.7/(.8-.9)
    2010 = .1+(234+.5)*6/.7+.8-.9
    2010 = (.1+(23/.4)*5-.6)*7-8+9
    2010 = (1+((2+34.5)*6+7)*8)/.9
    2010 = (1/.2-3-4*(.5/6-7)*8)*9
    2010 = 12+(3/.4)*(5-.6-.7)*8*9
    2010 = 12+(3/.4)*(.5*6+.7)*8*9
    2010 = 12+(3/.4)*(5*.6+.7)*8*9
    2010 = ((12/.3)*45.6-7-8)/.9
    2010 = 12*3*(.4*.5/6+(7-.8)*9)
    2010 = (.1-(2-.3)*4)*5*6*(7-8-9)
    2010 = (1/.2-3-45*6)*(.7+.8-9)
    2010 = (.1-2*(3+.4))*5*6*(7-8-9)
    2010 = (1-2*34)*5*6/(.7-.8-.9)
    2010 = (1+(2+.3/.45)*678)/.9
    2010 = (1+2)/.3+4*5*6*(7+8)/.9
    2010 = (1/(2+.3-.4+.5))*67*8*9
    2010 = (.1+.23/.4)*5*67*8/.9
    2010 = ((1*2/.3)/4)*(56+78)*9
    2010 = 1-(.2-3)*(4-.5+6*7*(8+9))
    2010 = (1-.2+3*(4+5)*67-.8)/.9
    2010 = .1+(2/.3)*4.5*67+.8-.9
    2010 = .1+(2/.3)*45*6.7+.8-.9
    2010 = (1/.2)*(34-5)*(6+7.8)+9
    2010 = ((1+23)*(4+5)*67/.8)/9
    2010 = ((1+23)*(4+5)*67/8)/.9
    2010 = 1-(2+3)*(4+.5*6)*7*(.8-9)
    2010 = 1-(2+3)*(4+5*.6)*7*(.8-9)
    2010 = (12/3.4)*5*(6+.7)*(8+9)
    2010 = (12/(3+.4))*5*6.7*(8+9)
    2010 = ((1/.2)*3-45)*67/(8-9)
    2010 = (1-2.3*(4-56))*(7+8)/.9
    2010 = (12-3)*4*(56-(.7+.8)/9)
    2010 = (1/(.2-3)+4*5*6)*(7.8+9)
    2010 = (1*2+34)*(56-(.7+.8)/9)
    2010 = 1*(2+34)*(56-(.7+.8)/9)
    2010 = (1+(2/.3+4*5)*67.8)/.9
    2010 = (.1/.2)*3*4*(.5+6*7*8)-9
    2010 = (1/.2)*.3*4*(.5+6*7*8)-9
    2010 = (1/.2)*3*.4*(.5+6*7*8)-9
    2010 = (1+(23-.4)*(5+67+8))/.9
    2010 = (.1-(.2-3-45)*6)*7+.8+.9
    2010 = (((1-2)/3)/4+.5)*67*8*9
    2010 = 1*(23*((.4+5)/.6+78)+9)
    2010 = ((1/.2)/(3+4+5))*67*8*9
    2010 = (1-23*(4/5-6))*(7+8)/.9
    2010 = (1-.2/.3+4-5*6*(.7-8))*9
    2010 = ((1/2-34)/.5)*(6*7-8*9)
    2010 = ((1+2)*3-4)*(5*(.6+78)+9)
    2010 = (1-(2-3)*4)*(5*(.6+78)+9)
    2010 = (1/.2-(3+4)*5)*67/(8-9)
    2010 = (1/.2)*(3-4-5)*67/(8-9)
    2010 = (1/.2)*(.34+5)*67/.89
    2010 = (.1-.2/3-4-.5)*(6-7*8)*9
    2010 = (1+(2/3)*(4+5*67)*8)/.9
    2010 = (12/(3+.4))*.5*67*(8+9)
    2010 = (1.2/.34)*5*67*(.8+.9)
    2010 = (12/.34)*5*6.7*(.8+.9)
    2010 = 1-(.2+3.4*(5+67))*(.8-9)
    2010 = (1/.2)*(34-.5)*(6+7+8-9)
    2010 = (.1/2-.3+4)*(5+(67-8)*9)
    2010 = (1+2+.3/.4)*(5+(67-8)*9)
    2010 = (.1+(2+3)*4)*(5+(6+7)*8-9)
    2010 = (1/.2)*(34-5)*(6+7+.8)+9
    2010 = (1+2)*3*4*(56-(.7+.8)/9)
    2010 = (1+(2/.34)*.5)*(6+7*8*9)
    2010 = (1*2/.3)*(4+.5*(67-8))*9
    2010 = (1+((2+34+.5)*6+7)*8)/.9
    2010 = 1-(((.2-34)*5-6)/.7)*8+9
    2010 = 1/(.2-.3)-4*((5-67)*8-9)
    2010 = (.1/.2-34)*(5-67+8)/.9
    2010 = (1+23-4)*(.5+6*(7+8)/.9)
    2010 = 12*(3-4*(5-(6-.7/.8)*9))
    2010 = 1+(2+((3+4)*5-6)*7)*(.8+9)
    2010 = (1-(2-34*(.5+6)-7)*8)/.9
    2010 = 1-((2-(3+4)*5)*6-7)*(.8+9)
    2010 = .1+2+(.3-4*(.5*.6-7*8))*9
    2010 = 1-(2+3*(4+(5+6)*7))*(.8-9)
    2010 = (1/(2-3)+4*(.5/6+7*8))*9
    2010 = ((1+2*34*5-6)/(.7+.8))*9
    2010 = (.1*2-3.4*(.5-67)*8)/.9
    2010 = (1*.2-3.4*(.5-67)*8)/.9
    2010 = 1*(.2-3.4*(.5-67)*8)/.9
    2010 = ((12+3*4)*5+.6)*(7+8)/.9
    2010 = (1+(2*3+4)*5)*67/(.8+.9)
    2010 = 1-(2+(.3/.4)*5*6)*(7-89)
    2010 = 1-(2+(3/.4)*.5*6)*(7-89)
    2010 = 1-(2+(3/.4)*5*.6)*(7-89)
    2010 = (1+2+(.3+4)*5*(6+78))/.9
    2010 = (1+(.2-3)/.4)*5*67*(8-9)
    2010 = (1+2)*(3*4+5)*67/(.8+.9)
    2010 = (.1-.2/.3+4*56+.7-.8)*9
    2010 = (1-(2-3*4)*5)*67/(.8+.9)
    2010 = 1-(2+3*(4+.5)/.6)*(7-89)
    2010 = (12/.34)*.5*67*(.8+.9)
    2010 = (1/(.2-.3)-4*5)*67*(8-9)
    2010 = (1*2/.3)*45*(6-.7*(8-9))
    2010 = 1-(2-3*(4+5*(6+7)))*(.8+9)
    2010 = (1+23)*(.4+.5+67/.8-.9)
    2010 = 1.2+(3*4/.5)*(.6+.7+8)*9
    2010 = 12*((.3-.4+5)*(6*7-8)+.9)
    2010 = 1+((.2+3)/.4)*5*(6*7+8)+9
    2010 = 12*(34-.5)*(6-.7-.8)/.9
    2010 = ((1-2)/.3)*(4/5-67.8)*9
    2010 = (1/(.2-3)+4*5*6)*(7+.8+9)
    2010 = (1*2+(3-4*(.5/.6-7))*8)*9
    2010 = 1*(2+(3-4*(.5/.6-7))*8)*9
    2010 = ((1+2)/.3-4)*(.5+6*7*8)-9
    2010 = (1/(.2/3-.4))*(5-678)-9
    2010 = (1+(2+3/(4+.5))*678)/.9
    2010 = (1-.2/(3-.4)+5*6)*(7*8+9)
    2010 = 12*(.3-4*(5-6*(.7+8-.9)))
    2010 = 1-(2+(3/(.4-.5)-6)*7)*8+9
    2010 = 12*(.3-4*(5*(.6-7)-.8-9))
    2010 = 1*((2/.3)*(4+5*6+.7)-8)*9
    2010 = ((1*2/.3)*(4+5*6+.7)-8)*9
    2010 = ((1-2)/.3)*(45+(6-78)*9)
    2010 = (1*2+3)*4*(.5+6*(7+8)/.9)
    2010 = 1-(2/.3)*(4-5*(.6+7)*8)+9
    2010 = 1*(2+3)*4*(.5+6*(7+8)/.9)
    2010 = 1+2+((3/.4)*(5-.6)*7-8)*9
    2010 = ((1+2+3)*4*5+.6)*(7+8)/.9
    2010 = (1/.2)*3*4*((.5-6)*7+8*9)
    2010 = (.1+(2+.3)/4)*5*67*8/.9
    2010 = (1-(.2/3)/.4)*.5*67*8*9
    2010 = (1-(.2/3)/.4)*5*67*.8*9
    2010 = 12*(.3+4*(5*(6+.7*.8)+9))
    2010 = (.1*2-34*(.5-67)*.8)/.9
    2010 = (1*.2-34*(.5-67)*.8)/.9
    2010 = 1*(.2-34*(.5-67)*.8)/.9
    2010 = 1+((2-3-4*5)/.6)*7*(.8-9)
    2010 = 1-((.2+.3+4)*56-7)*(.8-9)
    2010 = 1-((.2+3)/.4)*5*(6-7*8)+9
    2010 = (1/(.2+3-.4/.5))*67*8*9
    2010 = ((1+.2/3+4)*(.5+6*7)+8)*9
    2010 = 1+(2/.3)*(4+5*(6+.7))*8+9
    2010 = (1/.2)*3*4*5*(6-.7*(8-9))
    2010 = 1+(2-3*(4+5/.6))*7*(.8-9)
    2010 = 1*((23/.4)*5-.6)*7+.8+.9
    2010 = (.1-2)/.3+4*(.5/6+7*8*9)
    2010 = ((.1+.2)/.3-4)*(5-678)-9
    2010 = (1-.2/.3-45)*6*(.7+.8-9)
    2010 = ((1*23/.4)*5-.6)*7+.8+.9
    2010 = .1/.2-((3-45)*6+.7)*8-.9
    2010 = (1+2+3)*(.4*.5+6*(7-.8)*9)
    2010 = .1+.2+(.3+4*5)*(6*(7+8)+9)
    2010 = ((1-2*34)/.5)*(6*(7-8)-9)
    2010 = ((.1/2+3*4+.5)/.6+7)*8*9
    2010 = ((1+2)/.3)*((45-6)*7-8*9)
    2010 = ((1-(23+4)*5)/.6)*(7-8)*9
    2010 = ((1+(23/.4)*5)*6+78)/.9
    2010 = (1.2/.3)*((4-5)/6+7*8)*9
    2010 = 1/.2+(.3+4*5*6)*(7+8)/.9
    2010 = (1*(.2/.3+4)-.5)*67*.8*9
    2010 = (1+(.2/.3)*4+.5)*67*.8*9
    2010 = (1+(2+3)/.4)*(56+78)/.9
    2010 = 1+2*(.3-4*(5*6+.7))*(.8-9)
    2010 = ((1+2)/3+4)*(5*(.6+78)+9)
    2010 = ((.1-2+3*45)/.6+.7+.8)*9
    2010 = (12+3)*((4+5)/.6+7*(8+9))
    2010 = (1.2/.34)*5*(6+.7)*(8+9)
    2010 = ((1+.2)/.34)*5*6.7*(8+9)
    2010 = ((1-2)/.3)*(4+5)*67*(8-9)
    2010 = (1-23*(.4-5.6))*(7+8)/.9
    2010 = (1/.2)*((34/.5)*6-7-8+9)
    2010 = (12/.3)*((4*5+6+7)/.8+9)
    2010 = ((1-2)/.3)*(4-(5+6)*7*8+9)
    2010 = ((1+2)/.3)*(4*(5-6+7)*8+9)
    2010 = 1+.2+(3*4/.5)*(.6+.7+8)*9
    2010 = (12/.3)*(.45-6+(7-.8)*9)
    2010 = ((1+.2)/.3)*(4.5-6+7*8*9)
    2010 = (1*2/.3)*(.4-.5+6*.7*8)*9
    2010 = (.1+.2-3)*(4/.5-678)/.9
    2010 = ((1+2+3)/.4)*(5-6+(7+8)*9)
    2010 = ((.1-.2)/3+4.5)*(6*7+8)*9
    2010 = (1-(2+3*(4-56/.7))*8)/.9
    2010 = (1+(2/(3+.4))*5)*(6+7*8*9)
    2010 = (1*2/.3)*(4+5*(6.7-.8))*9
    2010 = (1/.2)*(3+(4*(5+6)+7)*8-9)
    2010 = (1/.2)*3*((4+5)*(6+7)+8+9)
    2010 = ((1-2)/.3)*(4/.5-67-8)*9
    2010 = ((1-2)/.3)*(4/5-67-.8)*9
    2010 = (1+2)*(3+(4/.5+67)*8)/.9
    2010 = (1+2)*(3+(4/.5)*67/.8)-9
    2010 = (1+2+3*4)*((5/.6)*(7+8)+9)
    2010 = (((1-2)/.3)/4+5)*67*.8*9
    2010 = (((1-2)/3)/.4+5)*67*.8*9
    2010 = (1/.2)*(3+(4*5+6)*(7+8)+9)
    2010 = (1/.2)*(3*(45/.6+7*8)+9)
    2010 = (.1+.2+.3+4*5*6)*(7+8)/.9
    2010 = (1/.2)*(3-(4-5*6)*(7+8)+9)
    2010 = (1+(.2-3)/.4)*5*67/(8-9)
    2010 = 1-(23+(.4+.5)/.6)*(7-89)
    2010 = 1-((2+34)*(.5-6)-7)*(.8+9)
    2010 = (12/.34)*.5*(6+.7)*(8+9)
    2010 = (12/(3+.4))*5*67*(.8+.9)
    2010 = ((.1*2/.3-4*56)/(7-8))*9
    2010 = ((1*.2/.3-4*56)/(7-8))*9
    2010 = (1*(.2/.3-4*56)/(7-8))*9
    2010 = (1/(.2-.3)-4*5)*67/(8-9)
    2010 = (1*2/.3)*45*(6-.7/(8-9))
    2010 = (1+(23-.4)*(.5*6+7)*8)/.9
    2010 = (1+(23-.4)*(5*.6+7)*8)/.9
    2010 = ((.1-2/.3)*4-5)*(6/7-8)*9
    2010 = (1+(2/(.3+.45))*678)/.9
    2010 = ((1+2-.3)/.4)*5*6.7*8/.9
    2010 = (1+2.3/.4)*5*(6+.7)*8/.9
    2010 = (1+(2+.3)/.4)*5*6.7*8/.9
    2010 = (1-23*(.4-5-.6))*(7+8)/.9
    2010 = 1-((23-.4*5)/.6)*7*(.8-9)
    2010 = 1-((23-4*.5)/.6)*7*(.8-9)
    2010 = .1*.2-(.3+.4-5*6)*7*(.8+9)
    2010 = ((1-2)/.3+45)*(6+.7)*.8*9
    2010 = ((.1-.2)/.3+4.5)*67*.8*9
    2010 = (1+(2+.3)*4)*5*67/(.8+.9)
    2010 = 1+(2+(3+4*(.5+6))*7)*(.8+9)
    2010 = (1+2)*34*5*(6+.7)/(.8+.9)
    2010 = (1/.2)*3*4*5*(6-.7/(8-9))
    2010 = (1*2/.3)*45*(6-7*(.8-.9))
    2010 = (1*2/.3)*((4+5)*.6*7*8-.9)
    2010 = (1*2/.3)*((4+5)*6*.7*8-.9)
    2010 = (1*2/.3)*((4+5)*6*7*.8-.9)
    2010 = ((1/.2)*3/4)*(5+(67-8)*9)
    2010 = ((1/2)*3/.4)*(5+(67-8)*9)
    2010 = (((1+.2)/.3)*456-7-8)/.9
    2010 = (1+(234-(5+.6)/.7)*8)/.9
    2010 = ((.1-.2)/3+4+.5)*(6*7+8)*9
    2010 = ((1+.2)/.3)*(4+.5-6+7*8*9)
    2010 = (1-2-3)*((.4+.5)/.6-7*8*9)
    2010 = (.1*2+(.3-45)*6)*(.7+.8-9)
    2010 = (1*.2+(.3-45)*6)*(.7+.8-9)
    2010 = 1*(.2+(.3-45)*6)*(.7+.8-9)
    2010 = ((1-.2)*3/.4)*(.5+6*7*8)-9
    2010 = (1/(.2+.3)+4)*(.5+6*7*8)-9
    2010 = (1*2/.3)*(4+5*(6+.7-.8))*9
    2010 = ((1-2*34)/.5)*(6/(7-8)-9)
    2010 = ((.1/2+3/.4+5)/.6+7)*8*9
    2010 = ((1+2-.3)/.4)*.5*67*8/.9
    2010 = ((1+2-.3)/.4)*5*67*.8/.9
    2010 = 1+((2/.3+.4)*5*6-7)*(.8+9)
    2010 = (1/.2)*((34/.5)*6-7.8)+9
    2010 = (1+(2+.3)/.4)*.5*67*8/.9
    2010 = (1+(2+.3)/.4)*5*67*.8/.9
    2010 = (1+2+(.3/.4)*.5)*67*8/.9
    2010 = (1/(.2-.3+.4))*(5+6+7*8)*9
    2010 = ((1+.2/.3+4)*5*(.6+7)+8)*9
    2010 = 1-(2*3*(4-.5)/.6)*7*(.8-9)
    2010 = ((1-2)/.3)*(4+5)*67/(8-9)
    2010 = (1/.2)*3*4*5*(6-7*(.8-.9))
    2010 = ((.1+(2+3)*4)/.5)*(67-8-9)
    2010 = ((12/.3)*(45+.6)-7-8)/.9
    2010 = (12/.3-4)*(56-(.7+.8)/9)
    2010 = ((1-2*34)/(.5+(6-7)*.8))*9
    2010 = ((1+23)/.4)*((.5-6)*7+8*9)
    2010 = .1*.2+(3+4)*(5*6-.7)*(.8+9)
    2010 = ((1-2+3)/.4)*(5*(.6+78)+9)
    2010 = (1+(23/(.4+5))*6*(.7+8))*9
    2010 = .1+(2/.3)*45*(6+.7)+.8-.9
    2010 = .1+(2/.3)*(4+.5)*67+.8-.9
    2010 = ((1+2)/(.3*4+.5))*67*(8+9)
    2010 = ((1+2)/(3*.4+.5))*67*(8+9)
    2010 = (12/(3+.4))*5*(6+.7)*(8+9)
    2010 = ((12/.3)*45+.6*(7+8))/.9
    2010 = (1-(2+.3)*(4-56))*(7+8)/.9
    2010 = ((1+23)/.4)*5*(6-.7*(8-9))
    2010 = (1/.2)*((34/.5)*6-7-.8)+9
    2010 = ((12+3)/.4)*(56-.7-.8-.9)
    2010 = 1-((.2-3)/.4)*((5*6+7)*8-9)
    2010 = (12*3/.4)*(5+(.6+7+8)/.9)
    2010 = ((1+2)/.3)*(4+5*(6*7-.8)-9)
    2010 = (1+(2/.3+4*5)*(67+.8))/.9
    2010 = 1-((.2-3)/.4)*(5+6*(7*8-9))
    2010 = (1*2/.3)*4*((.5+67)/.8-9)
    2010 = 1+((.2-3)/.4)*((5-6*7)*8+9)
    2010 = (12/.3)*((.4+5+6*7)/.8-9)
    2010 = ((12+3)*4/.5+.6)*(7+8)/.9
    2010 = (1+(2-(3+4)*5*(.6-7))*8)/.9
    2010 = 1+(2+3)*((4/.5)*6-7)*(.8+9)
    2010 = (12/3)*((.4-.5)/.6+7*8)*9
    2010 = ((1/2)/(.3+.4+.5))*67*8*9
    2010 = (1-23*(.4/.5-6))*(7+8)/.9
    2010 = (1/.2)*(3+(4-.5)*(6*7+8*9))
    2010 = ((.1/.2-34)/.5)*(6*7-8*9)
    2010 = ((1-2)*3/.4)*(5*(.6-7*8)+9)
    2010 = (1/.2)*(3+4*(.5+6)*(7+8)+9)
    2010 = (1+(2/.3)*4*(.5+67)+8)/.9
    2010 = (.1-2)*(34-.5)*6/(.7-.89)
    2010 = (1+(2/.3)*(4+5*67)*.8)/.9
    2010 = (12/.34)*5*(6+.7)*(.8+.9)
    2010 = ((1+.2)/.34)*5*67*(.8+.9)
    2010 = (((1+2)/3.4)/.5)*67*(8+9)
    2010 = 1-(.2+(3+.4)*(5+67))*(.8-9)
    2010 = 1*(((23/.4)*5-.6)*7+.8+.9)
    2010 = 1*(((23/.4)*5-.6)*7+.8)+.9
    2010 = ((1/.2+3)/.4)*5*(6+7+8-.9)
    2010 = ((1.2+.3)/.4)*(5+(67-8)*9)
    2010 = (1/(.2+.3)-4*(.5/6-7)*8)*9
    2010 = (1/(.2+.3)-45*6)*(.7+.8-9)
    2010 = (1*2/.3)*(.4+.5*(67-.8))*9
    2010 = (1-((.2-3/.4)*5*6-7)*8)/.9
    2010 = (1-(.2/.3-4)*(.5+67-.8))*9
    2010 = (1/.2+(3/.4)*5*6)*(.7+8)+9
    2010 = (.1*2-(3+.4)*(.5-67)*8)/.9
    2010 = (1*.2-(3+.4)*(.5-67)*8)/.9
    2010 = 1*(.2-(3+.4)*(.5-67)*8)/.9
    2010 = 1-((2/.3)*4+5/.6)*7*(.8-9)
    2010 = 1-(.2-3*(4+5)*(.6+7))*(.8+9)
    2010 = ((12+3)/.4)*(.5+(67-8)*.9)
    2010 = (1/(.2/3-.4))*(5-(67+8)*9)
    2010 = ((1-2)/.3)*(.4/.5-67.8)*9
    2010 = (1+2)*(3+(4/.5)*(67+8))/.9
    2010 = ((1-2*34)/(.5+(.6-7)/8))*9
    2010 = (1+2*(3+4))*((5/.6)*(7+8)+9)
    2010 = ((1+2)/.3)*((4*5-6)*(7+8)-9)
    2010 = .1+((2/.3)*4*5+.6)*(7+8)+.9
    2010 = .1+((2*3/.4)/.5)*67+.8-.9
    2010 = ((12/.3)*(.4+5)*67/.8)/9
    2010 = ((12/.3)*(.4+5)*67/8)/.9
    2010 = (((1-2*34)/.5)/.6)*(7-8)*9
    2010 = ((1+23)/.4)*5*(6-.7/(8-9))
    2010 = ((1*2/.3)/.4)*(5.6+7+.8)*9
    2010 = ((.1+.2)/.3-4)*(5-(67+8)*9)
    2010 = ((1+.2+.3)/.4)*(5+(67-8)*9)
    2010 = (1*2*3/.4)*((5/.6)*(7+8)+9)
    2010 = (((1/.2)/3+4)*5*(.6+7)+8)*9
    2010 = (((1/2)/.3+4)*5*(.6+7)+8)*9
    2010 = ((1+.2)/.3)*((4-5)/6+7*8)*9
    2010 = 1-(((2-.3)/.4)*56+7)*(.8-9)
    2010 = (1/.2)*3*((4+5)/.6+7*(8+9))
    2010 = (1/.2)*((3+.4*5)*(.6+78)+9)
    2010 = (1/.2)*((3+4*.5)*(.6+78)+9)
    2010 = (1+(2/.3)*(.4+5*6.7)*8)/.9
    2010 = ((1+.2)/.34)*5*(6+.7)*(8+9)
    2010 = ((12/.3)*45+6*(.7+.8))/.9
    2010 = ((1+23)/.4)*5*(6-7*(.8-.9))
    2010 = ((12/.3)/.4)*(5+6-.7+.8+9)
    2010 = ((1-2)/.3)*(.4/.5-67-.8)*9
    2010 = (((.1-.2)/3)/.4+.5)*67*8*9
    2010 = (((1-(23+4)*5)/.6)/(7-8))*9
    2010 = 1-(2+(3/.4)*(5-.6))*7*(.8-9)
    2010 = ((1-.2/3+4/.5)/.6)*(7+8)*9
    2010 = (1+(2/.3)*(.4+.5*67)*8)/.9
    2010 = (((1+2)/.34)/.5)*6.7*(8+9)
    2010 = ((1*2/.3)/.4)*(5+.6+7+.8)*9
    2010 = ((12+3)/.4)*(.5+(6.7-.8)*9)
    2010 = ((.1-2/.3)*4-5)*(.6/.7-8)*9
    2010 = ((1+2-.3)/.4)*5*(6+.7)*8/.9
    2010 = (1+(2+.3)/.4)*5*(6+.7)*8/.9
    2010 = (.1/(.2-.3)+4*(.5/6+7*8))*9
    2010 = ((.1/.2)*3/.4)*(5+(67-8)*9)
    2010 = ((1/.2)*.3/.4)*(5+(67-8)*9)
    2010 = (12/.3)*((4*(.5+6)+7)/.8+9)
    2010 = (1+((2/.3)/.4)*5/6)*(7+8)*9
    2010 = ((1/.2-3)/.4)*(5*(.6+78)+9)
    2010 = (((1-2)/.3)*(.4-5*(6+7))+8)*9
    2010 = ((12+3)/.4)*(.5+(6+.7-.8)*9)
    2010 = (12/.3)*((.4+56)*.7/.8+.9)
    2010 = (1.2/.3)*((.4-.5)/.6+7*8)*9
    2010 = (((.1-2)/.3)*(4/.5-6*7)+8)*9
    2010 = ((12+3)/.4)*(.5+6*(.7+8)+.9)
    2010 = ((.1+.2)/.3+4)*(5*(.6+78)+9)
    2010 = ((1/.2)*3/.4)*(56-.7-.8-.9)
    2010 = ((1/.2)/.3)*(45+(.6+7.8)*9)
    2010 = ((12/(.3-.4))/(5/.67-8))*9
    2010 = ((1/.2)*3*4/.5+.6)*(7+8)/.9
    2010 = ((.1/.2)/(.3+.4+.5))*67*8*9
    2010 = ((1/.2)/(.3+.4+.5))*67*.8*9
    2010 = 1-(2/.3)*(.4-(.5+6*7)*(8-.9))
    2010 = (((1+2)/(3+.4))/.5)*67*(8+9)
    2010 = ((1+2+3)/.4)*((5/.6)*(7+8)+9)
    2010 = ((1+2)/.3)*((4/.5+6)*(7+8)-9)
    2010 = ((1+((2/.3)/.4)/.56)*7+8)*9
    2010 = (((1+2)/.34)/.5)*67*(.8+.9)
    2010 = ((((1+2)/.3)/.4)*5/.6+7+8)*9
    2010 = ((1/.2)*3/.4)*(.5+(67-8)*.9)
    2010 = ((1/.2)/(.3-.4))*(5*6-78*.9)
    2010 = ((.1+2)/.3)*(4-(.5/6)/7)*8*9
    2010 = (((1/.2)/.3)*4/.5+6*(7+8))*9
    2010 = (((.1-2)/.3)*(4-5*(.6+7))+8)*9
    2010 = (((.1/.2)/.3+4)*5*(.6+7)+8)*9
    2010 = ((((1-2*34)/.5)/.6)/(7-8))*9
    2010 = (1+(2/.3)*(.4+5*(6+.7))*8)/.9
    2010 = (((1+2)/.34)/.5)*(6+.7)*(8+9)
    2010 = ((1/.2)*3/.4)*(.5+(6.7-.8)*9)
    2010 = (((1+23)/.4)/.5+.6)*(7+8)/.9
    2010 = ((1/.2+3)/.4)*(.5+6*(7+8)/.9)
    2010 = ((1/.2)/.3+(4*5/.6)*(7-.8))*9
    2010 = (((1+2/.3)/.4)/.5)*6*(.7+8)+9
    2010 = ((1/.2)/.3)*(.4+.5+(6-.7+8)*9)
    2010 = ((1/.2)*3/.4)*(.5+(6+.7-.8)*9)
    2010 = ((1+.2)/.3)*((.4-.5)/.6+7*8)*9
    2010 = ((1/.2)*3/.4)*(.5+6*(.7+8)+.9)
    2010 = ((1/(.2+.3))/.4)*(5*(.6+78)+9)
    2010 = ((1/.2)/.3)*((4+5)*(6-.7+8)+.9)
    2010 = ((1/(.2-.3))/(.4-.5))*(6+7+8-.9)

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  29. Dani | 7 de Enero de 2010 | 13:25

    « ‘Problemita divertido’

    Demostrar que para cada natural n existen n números consecutivos tales que ninguno es primo.»

    `A primeira vista parece que entra em contradição com um teorema da teoria dos números sobre as sequências de números primos de comprimento arbitrário. Devo estar a ver mal! Eis o Teorema, em:

    “The dichotomy between structure and randomness, arithmetic progressions, and the primes, Terry Tao,
    http://uk.arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0512/0512114v2.pdf :

    (…)

    Theorem 1.2 (Szemerédi’s theorem in the primes). [27] Let A be a subset of the primes P of positive relative upper density, thus limsupN→∞ |A∩[−N,N]| |P∩[−N,N]| > 0. Then for any k ≥ 3, A contains infinitely many arithmetic progressions of length k.

    This result was first established in the k = 3 case by Green [22], the key step again being a (Fourier-analytic) structure theorem, this time for subsets of the
    primes. The arguments used to prove this theorem do not directly address the important question of whether the primes P (or any subset thereof) have any
    pseudorandomness properties (but see Section 5 below). However, the structure theorem does allow one to (essentially) describe any dense subset of the primes as
    a (sparse) pseudorandom subset of some unspecified dense set, which turns out to be sufficient (thanks to Szemerédi’s theorem) for the purpose of establishing the
    existence of arithmetic progressions.
    There are now several expositions of Theorem 1.2; see for instance [42], [25], (…) “

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  30. Dani, se quiser podemos tentar resolver em conjunto o problema sobre o volume do dodecaedro.

    Concordando, pode contactar-me para o meu endereço de email.

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  31. Dani

    … O meu endereço de email está na página ‘Sobre’ do meu blog problemas | teoremas , basta clicar aqui em Américo Tavares.

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  32. Américo: (n+1)!+2, (n+1)!+3,…, (n+1)!+(n+1) son todos compuestos (y consecutivos).

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  33. Américo, ya lo tengo! (el dodecaedro). Tengo que intentar escribirlo en internet de alguna manera. He usado que el ángulo dihedral es 2 \arccos(\varphi) , así que ya puestos estoy intentando justificar eso. Por lo demás está 😀

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  34. Dani,

    Foi rapidíssimo!

    Posso copiar para o meu blog a sua justificação, se a escrever aqui?

    Claro que me referirei a justificação por Dani.

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  35. Gracias Alvaro tienes razón, no vi tus respuestas tampoco imagine que la cantidad de posibilidades fuesen tan grandes.

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  36. como puedes ver lo único que tomo dado es el ángulo de torsión, que no lo he sabido derivar (pero que viene escrito en muchas páginas así que no hizo falta)

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  37. bueno, evidentemente hay uno de los ángulos rosas que no está pintado donde tenría que estar. los ángulos de torsión (dibujo de abajo a la derecha) están en las esquinas superior derecha e inferior izquierda del hexágono.

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  38. Dani | 7 de Enero de 2010 | 20:29

    Dani | 7 de Enero de 2010 | 20:35

    Dani | 7 de Enero de 2010 | 20:53

    Você é muito rápido!

    Vou ver se no fim de semana vejo os desenhos e as explicações.

    Desculpe, você é de Gaussianos ou um leitor/comentador como eu?

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  39. sip, un humilde estudiante de segundo de matemáticas que le gusta leer y comentar este maravilloso blog 🙂

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  40. Para una prueba no constructiva pero curiosa de que para todo natural n existen n números consecutivos todos compuestos, suponemos que existe N \in \mathbb{N} cumpliendo que para cualesquiera N números consecutivos siempre hay un primo entre ellos.
    Así pues la función \pi(x) que da el número de primos menores o iguales que x cumplirá \pi(kN) \geq k \, \, \, \forall k \in \mathbb{N} , y por tanto tenemos

    \frac{\pi(kN) \log(kN) }{kN} \geq \frac{k \log(kN) }{kN} = \frac{\log(kN)}{N} \longrightarrow  \infty cuando k \rightarrow \infty , que contradice el famoso teorema de los números primos que afirma

    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x) \log(x) }{x} = 1

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  41. Entiendo el problema de la misma manera que lo interpreta Omar-P, si esta interpretaciòn es vàlida entonces existen muchas soluciones del tipo (FE * LI) + ZA + ÑO = 2010.

    Dividimos 2010 por un nùmero de dos cifras que sus dìgitos no se repitan; ejemplo 98, y obtenemos 20 de cociente(nùmero de dos cifras que sus dìgitos no se repiten y digitos diferente de 8 y 9) y 50 de residuo. Sòlo falta expresar el residuo como suma o resta de dos nùmeros de dos cifras con dìgitos diferentes entre si y de los dos nùmeros ya expuestos: 50 = 14 + 36

    (FE * LI) + ZA + ÑO = 2010
    (20 * 98) + 14 + 36 = 2010
    (21 * 97) + 38 – 65 = 2010
    (21 * 96) + 74 – 38 = 2010
    (21 * 95) + 63 – 48 = 2010

    Existen mas soluciones de este tipo, sòlo basta con ir probando LI = 94, 93, 92, 91, 90, 89, 87, …

    Solo con este mètodo nos damos cuenta que el problema planteado es bien sencillo y admite muchas soluciones.

    Saludos desde Colombia

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  42. Pensaba que estaba suficientemente claro, pero parece que no. Entre cada dos letras significa precisamente eso: que entre cada letra y la siguiente hay que poner una operación.

    Lo otro se habría descrito más o menos así: cada dos letras una operación. El entre implica que entre cada dos consecutivas va una operación.

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  43. gaussianos,
    ¿el problema ya fuè resuelto en este post? ò ¿sigue sin resolver?
    ¿podrìas explicar con un ejemplo,aunque sea con respuesta equivocada lo que quieres decir con “entre cada dos letras”?
    Es que quiero resolver este problema como un pequeño logro personal.

    Gracias

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  44. Lo ha resuelto mucha gente, ya hay bastantes soluciones en los comentarios.

    Entre cada dos letras:

    F + E – L + I / Z …

    y así sucesivamente. O sea: letra, operación, letra, operación…

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  45. O sea que elproblema resultò ser bien sencillo de resolver.
    Aquì van tres soluciones:

    (F*E*L*I) + (Z*A*(Ñ+0)) = 2010
    (5*6*7*9) + (3*8*(4+1)) = 2010

    ((F*E)+L) * ((I*Z)+(A-Ñ-O)) = 2010
    ((7*9)+4) * ((6*5)+(3-2-1)) = 2010

    ((F*E)+L+I) * (Z*(A+Ñ)+0) = 2010
    ((7*8)+4+3) * (2*(6+9)+0) = 2010

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  46. Ya que elproblema resultò fàcil de resolver,me parece bueno que hablemos de algunas propiedades ùnicas o curiosidades del nùmero 2010

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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