Fracción egipcia

Se denomina fracción egipcia a la expresión de un número racional como suma de fracciones unitarias distintas, es decir, de fracciones de numerador 1 y cuyos denominadores sean enteros positivos distintos.

Se puede demostrar que cualquier número racional positivo puede escribirse como fracción egipcia. Esta demostración está relacionada con la divergencia de la serie armónica.

Vamos a ver un algoritmo mediante el cual podemos representar cualquier número racional R entre 0 y 1 como fracción egipcia. Supongamos que tenemos una fracción así:

Fracción R

El algoritmo consiste en lo siguiente:

1.- Encontrar la fracción unitaria más cercana a R pero menor que él. El numerador será siempre 1 y el denominador será el cociente de la división de b entre a más 1. Si en alguna de esas divisiones no hay resto R es que hemos llegado a una fracción unitaria y por tanto hemos terminado.
2.- Calcular la resta R menos esa fracción unitaria y aplicar de nuevo el paso 1 utilizando la diferencia entre las dos fracciones como el nuevo R.

Vamos a ver un ejemplo:

Ejemplo de fracción egipcia

La representación de un número racional entre 0 y 1 no es única. De hecho, por ejemplo, esta misma fracción se puede representar de una manera más sencilla:

Fracción más sencilla

Otro ejemplo de esta falta de unicidad es el siguiente:

– Mediante este método obtenemos

Otro ejemplo con el método

– Pero de otras formas podemos obtener una expresión más sencilla de esta fracción

El otro ejemplo más sencillo

Las fracciones unitarias ya aparecían en el Papiro de Rhind. Por ello se le denominan fracciones egipcias.

Y para terminar un reto: encontrar una fracción con una expresión sencilla como suma de fracciones unitarias pero que tenga una expresión ciertamente complicada con el método que hemos expuesto. Esto es, un ejemplo del estilo al último que hemos puesto.

Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

11 Comentarios

  1. No he sido capaz de encontrar un ejemplo con el numerador y el denominador muy pequeños. Un ejemplo con numeros no muy grandes es 247/1008 =1/9 +1/14 +1/16 que necesitan 7 fracciones. Y el caso mas extremo que he encontrado es 1614/629933 =1/661 +1/953, que el algoritmo necesita 12 fracciones (y la ultima es pa’tirarse por la ventana).

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  2. Habia un hombre que tenia 17 camellos y les dejo en herencia la mitad a su hijo mayor, un tercio al segundo y un noveno de esa cifra a su tercer hijo, cunado se murio el albaceas les dejo un camello a sus herederos, estos repartieron los camellos y se lo devolvieron al albacea, saludos

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  3. Pues esto era otro homre que tenía 35 camellos; a su muerte legó la mitad a su hijo mayor, un tercio al mediano y un noveno al menor ; llegó el “albacea” ( no sé lo que es xS ) , puso su camello y dijo al mayor : deberías recibir diecisiete y medio, toma 18 ; al mediano : deberias recibor 11 y pico, toma 12 ; al menor: deberias recibir 3 y pico, toma 4 ; y el albacea recuperó su camello y se quedó otro ams por resolver el problema ^^

    ( inspirado de ” El hombre que calculaba” de MAlba Tahan; me lo recomendó un amigo y está genial )
    por cierto acabo de descubrir esto de los Gaussianos y esta genial
    nos vemos

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  4. Joe, juro que intento resolver vuestros acertijos, pero nada. En este en concreto me salen todo el tiempo, 4, 8, 7 … nada complicado. ¿Será casualidad?

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  5. He hecho un pequeño programa para representar qualquier número racional con numerador 2 y denominador de 1 a 999 (podría poner que llegara a más, pero creo que con esto hay suficiente), como fracción egipcia, de la misma forma que en el Papiro de Rhind, segun leí en la Wikipedia.

    Si queréis probarlo:
    http://gneras.googlepages.com/FraccionsEgipcies.exe

    Simplemente se escribe el denominador y se le dá a Intro.

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  6. GNeras muy interesante tu programa. Da gusto cómo os involucráis en los temas que publicamos. Seguid así, nos animáis a continuar y a sacar tiempo de donde no lo hay para escribir.

    Por cierto, aunque es antiguo es muy interesante el acertijo jose 🙂

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  7. “GNeras”, gracias por el programa, pero una pregunta, no tendras una version para GNU/Linux? 😛

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  8. Mmm… Mi nivel de programación es relativamente básico para ponerme a programar para linux, y ahora no tengo ningún compilador para linux 🙁

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  9. No he visto que hace el programa pero en el caso de fracciones de la forma 2/q, se puede encontrar la solucion a mano. Si q es par, ya esta en forma de fracción egipcia porque el denominador se escribe q=2n y la fraccion egipcia es 1/n. Y si q es impar, se escribe q=2n+1 y la fraccion egipcia es
    2/(2n+1) =1/(n+1) +1/(2n^2+3n+1)

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  10. En Delphi:

    var
    n, n1, n2: integer;

    begin
    n := StrToInt(Edit2.Text);
    if n>0 then
    begin
    n1 := trunc(n/2) + 1;
    Edit4.Text := IntToStr(n1);
    if n mod 2 = 1 then n2 := n*n1 else
    n2 := (n*n1) div 2;
    Edit6.Text := IntToStr(n2);
    end;
    end;
    ——–

    Es decir:
    Si n es par:
    2/n = 1/(n/2 + 1) + 1/[(n^2/2 + n)/2]
    Si n es impar:
    2/n = 1/(n/2 + 0,5) + 1/(n^2/2 + n/2)

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  11. guau tiene información que no sabia pero,¿?no le entiendo a palabras,yademas nome sirbe para mi ttttttttttttttttttttaaaaaaaaaaaaaaaaaarrrrrrrrrrrrrrrrrrrrreeeeeeeeeeaaaaaaaaaaaaaaaaa
    osea tarea (:

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