Fracción en poliedro

Vamos con el problema semanal. El enunciado es el siguiente:

Supongamos que tenemos un poliedro con 12 caras que cumple las siguientes condiciones:

  • Todas las caras son triángulos isósceles.
  • Todas las aristas tienen longitud x o longitud y.
  • En cada vértice se encuentra 3 ó 6 aristas.
  • Todos los ángulos diedros son iguales.

Encuentra el valor de x \over y.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

11 Comentarios

  1. Entiendo que sí excepto en el punto de los angulos diedros.

    Un hexágono regular y por la vertical de su centro y a la misma distancia un punto por arriba y otro por abajo nos da la solución al poliedro.

    Si existe una altura h que haga cumplir la igualdad de ángulos diedros es el problema

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  2. Tenemos 12 caras triangulares luego hay 18 aristas. Por Euler queda que hay 8 vértices. Como tienen 3 y 6 aristas cada vértice, hay 4 de de 3 aristas y 4 de 6. Cada vértice de 3 aristas está conectado con 3 de 6, y cada uno de 6 con 3 de 3 y los otros 3 de 6.

    El poliedro es un tetraedro regular al que se le han adosado cuatro tetraedros cuya base es un triángulo equilátero y los otros tres triángulos son isósceles y por tanto iguales.

    Si tomamos 1 como lado del tetraedro regular y x como los lados de los triángulos isósceles de los otros tetraedros, hay que buscar el valor de x que hace que 2A+arccos(1/3)=B, siendo A y B los ángulos diedros de los tetraedros adosados. (arccos(1/3) es el ángulo diedro del tetraedro regular).

    Falta calcular A y B en función de x, sustituirlos en la ecuación anterior y despejar x.

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  3. Bueh…
    parece ser un tetraedro con caras “levantadas” con tres triángulos cada una. Desde luego, así, todos los triángulos son isósceles y en lo que eran los vértices de tetraedro de partida habrá ahora seis aristas y en la cúspide del “levantamiento” de cada cara habrá tres aristas.

    El cociente entre las longitudes de los lados depende de lo “levantada” que tenga que estar cada cara del tetraedro de partida. Habrá que buscar un “levantamiento” concreto para que se cumpla la igualdad de los ángulos diedros.

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  4. Hallemos el Angulo diedro de una de las pirámides de base triangular (de las 4 que hay en cada cara de tetraedro regular)
    – Tomemos un \bigtriangleup isósceles de una de las caras
    – Sea  x el lado desigual y  y los lados iguales.
    – Hallemos el valor de uno de los ángulos iguales
    \arccos \left ( \cfrac{x}{2y} \right )
    – Sobre el \bigtriangleup isósceles marcamos otro \bigtriangleup formado por x , una altura del lado y hasta un vértice del lado x y un segmento del lado y y hallamos el valor de la altura (del lado y hasta un vértice del lado x ).
     x \left ( 1 - \cfrac{x^{2}}{\left (2y  \right )^{2}} \right )^{\cfrac{1}{2}}
    – Tomamos el triángulo formado por las alturas de dos caras (triángulos isósceles) de la pirámide de base triangular y  x y hallamos el ángulo desigual de este nuevo \bigtriangleup isósceles (que vendría a ser el ángulo diedro).
     \arccos \left ( 1 - \cfrac{2y^{2}}{4y^{2}-x^{2}}  \right )

    Ese ángulo diedro (el del lado y ) debería ser igual al ángulo diedro del lado x

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  5. Ahora para hallar el valor del ángulo diedro de x

    – Sobre una de las caras (que es un triángulo equilátero de lado igual a x) del tetraedro regular (que es la Base sobre la cual en cada cara se colocan las 4 piramides de base triangular y caras con triángulos isósceles) Hallamos la altura desde un lado del triángulo equilátero hasta el centro.

    Sabemos que la altura de un triángulo equilátero es  \cfrac{\sqrt{3}}{2}x
    Y que el centro de un triángulo equilátero esta a  \cfrac{1}{3} de la altura
    Entonces la altura desde un lado del triángulo equilátero hasta el centro es

     \cfrac{\sqrt{3}}{6}x
    – Sobre una de las piramides de base triangular (triángulo equilátero) y caras con triángulos isósceles, marcamos un triángulo rectángulo entre la mitad de lado  x hasta una arista de  x y hasta el vértice superior de la piramide. Hallamos el valor del lado del ángulo recto hasta el vértice superior de la piramide.

     \left ( y^{2} - \cfrac{x^{2}}{4} \right )^{1/2}

    – Sobre una de las piramides de base triangular (triángulo equilátero) y caras con triángulos isósceles, marcamos un triángulo con un vértice en la mitad de lado  x hasta el centro del triángulo equilátero hasta la arista de la piramide, hallamos el valor del ángulo diedro entre la base de la piramide y una de sus caras que sea un triángulo isósceles.

     \arccos \left ( \cfrac{\sqrt{3} \cdot  x}{6\left ( y^{2} + \cfrac{x^{2}}{4} \right )^{1/2}} \right )

    Ahora el valor del ángulo diedro de x es (dos veces el ángulo que acabamos de hallar mas el ángulo diedro de un tetraedro regular  \arccos \left ( \cfrac{1}{3} \right ) )

     2 \arccos \left ( \cfrac{\sqrt{3} \cdot  x}{6\left ( y^{2} + \cfrac{x^{2}}{4} \right )^{1/2}} \right ) + \arccos \left ( \cfrac{1}{3} \right )

    Igualamos el valor de este ángulo con el ángulo diedro de y (el ángulo diedro entre las caras que son triángulos isósceles de la piramide triangular con base en un triángulo equilátero)

     2 \arccos \left ( \cfrac{\sqrt{3} \cdot  x}{6\left ( y^{2} + \cfrac{x^{2}}{4} \right )^{1/2}} \right ) + \arccos \left ( \cfrac{1}{3} \right ) = \arccos \left ( 1 - \cfrac{2y^{2}}{4y^{2}-x^{2}} \right )

    a x le damos el valor de 1 e interpolamos y, y resulta y=0,6

    Luego concluimos: \cfrac{x}{y} = \cfrac{1}{0,6} = \cfrac{1}{\cfrac{3}{5}} = \cfrac{5}{3}

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  6. Espero no haberme equivocado en el operar, pero después de resolver varios triángulos, aplicar seno de ángulo suma me queda una ecuación irracional que se simplifica enormemente hasta quedar una ecuación de segundo grado de solución 3/5!!!!

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  7. Mil Disculpas en mi ultimo comentario (del 1 de octubre de 2014 | 20:43) en la parte en la que dice:

    marcamos un triángulo con un vértice en la mitad de lado x hasta el centro del triángulo equilátero hasta la arista de la piramide

    Deberia decir:

    marcamos un triángulo con un vértice en la mitad de lado x hasta el centro del triángulo equilátero hasta el vértice superior de la piramide

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  8. Otra solución:
    Hagamos x=1 (arista del tetraedro).
    Desde uno de los vértices de seis diedros construimos una pirámide exagonal regular que contenga las tres aristas primitivas del tetraedro y las tres (prolongadas) de las pequeñas pirámides.
    La altura de la pirámide es la misma del tetraedro, es decir, raíz(6)/3.
    De dicha altura y la arista lateral deducimos el radio y el lado del exágono de la base:
    r=raíz(1-6/9)=raíz(3)/3.
    El seno del semiángulo A/2 de la cara lateral en el vértice superior es la mitad de la base, o sea, raíz(3)/6.
    El coseno del ángulo doble A (que es el ángulo de la cara del triaquisoctaedro) será:
    cos(a)=1-2 *sen^2(A/2)=1-2/12=5/6.
    Como en untriángulo isósceles y=x/(2*cos(A) en nuestro caso tenemos y=3/*x.

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