Fracción irreducible

Esta semana os propongo otro problema sencillo:

Demostrar que la fracción \cfrac{21n+4}{14n+3} es irreducible \forall n\in\mathbb{N}.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

14 Comentarios

  1. Es muy facil aplicando el teorema de euclides.

    1- Dividimos 21n+4 entre 14n+3 y obtenemos de resto 7n+1

    2- Dividimos 14n+3 entre 7n+1 y obtenemos de resto 1

    3- Dividimos 7n+1 entre 1 y obtenemos de resto 0 por lo que 1 es el MCD de 21n+4 y 7n+1 para cualquier n

    Como 21n+4 y 7n+1 son comprimos para cualquier n la fraccion sera siempre irreducuble.

    Publica una respuesta
  2. Yo ampliaría a una pregunta más interesante:
    ¿Qué condiciones han de cumplir los coeficientes de n y el término independiente de numerador y denominador para que la fracción sea siempre irreducible?

    Publica una respuesta
  3. Multiplicamos el numerador por -2, el denominador por 3 y los sumamos. El resultado es 1 y por el teorema de Bezout ambos son primos entre si.

    Publica una respuesta
  4. Como respuesta a la pregunta que yo mismo he planteado:
    Sean
    a_1 \cdot n + b_1
    a_2 \cdot n + b_2
    el numerador y el denominador de la fración respectivamente

    Siguiendo el razonamiento de madmath la fracción será irreducible si existen k_1 y k_2 tales que
    k_1 \cdot (a_1 \cdot n + b_1) + k_2 \cdot (a_2 \cdot n + b_2)=1

    lo que da dos condiciones:
    k_1 \cdot b_1+k_2 \cdot b_2=1
    k_1 \cdot a_1+k_2 \cdot a_2=0

    De la primera se deduce que b_1 y b_2 han de ser coprimos.
    De la segunda se deduce que dados k_1 y k_2 que cumplan la primera condición:
    \frac{a_1}{a_2}=-\frac{k_2}{k_1}

    Un poco por encima, espero que esté bien el razonamiento.
    Más preguntas:
    ¿Se puede generalizar el resultado a polinomios de grado m?

    Publica una respuesta
  5. una pregunta no relacionada con el post actual. Lei el post de los puentes de Konisbergh y la teoria de grafos. La pregunta es si dichos grafos son el objeto de los llamados teoremas del grafo cerrado y el grafo abierto (de Banach?))
    muchas gracias.

    Publica una respuesta
  6. Podemos usar esta propiedad del máximo común divisor mcd(a + m·b, b) = mcd(a,b). Luego

    mcd(21n+3,14n+3) = mcd(14n+3 + (7n+1), 14n+3) = mcd(7n+1, 14n+3) = mcd(7n+1, 2(7n+1)+1) = mcd(7n+1,1) = 1.

    Por lo tanto, 21n+3 y 14n+3 son primos relativos y por tanto (21n+3)/(14n+3) es irreducible.

    Publica una respuesta
  7. Corrijo: en la segunda línea debería ser mcd(21n+4,14n+3) (al comienzo) y no mcd(21n+3,14n+3). La demostración no cambia en nada, fue solo un error de tipeo.

    Me parece que si use la propiedad mcd(a+mb,b)=mcd(a,b), sería oportuno demostrarla:

    Proposición: Dados a,b,m números enteros, entonces mcd(a+mb, b)=mcd(a,b).

    Demostracion: Sea d=mcd(a+mb,b) y sea d’=mcd(a,b). Por definición, d | (a+mb) y d|b. Luego,

    existe k tal que (a+mb)/d = k. Esto implica

    a/d + mb/d = k. Dado que d|b, mb/d es un número entero, por tanto d|a. Ya que d|b tambien, se tiene entonces que d|d’. Probar d’|d es trivial. Por lo tanto d=d’.

    Espero se entienda.

    Saludos

    Publica una respuesta
  8. El teorema del grafo cerrado no tiene que ver con la teoría de grafos. Es de análisis funcional y trata sobre si el grafo de una función lineal $ f : E \rightarrow E’$, (subconjunto de $E\times E’$)
    es un subespacio cerrado en la topologia cociente, siendo ambos espacios de Banach (en dimensión finita todos los subespacios son cerrados, pero esto no es cierto en dimensión infinita).

    Publica una respuesta
  9. Gracias Madmath!!! Qué buena explicacion que haces del tema!! Lo poquisimo que se del tema, son algunos conceptos, como por ejemplo:

    1-un subespacio cerrado (con clausura?) tiene un subespacio dual denso?

    2-en dimension infinita, las bases son densas (no se si era Zorn o Zermelo, puede ser?)

    3-Hay una relacion entre operadores de rango finito (dimension finita del rango), por un lado; y la densidad y los operadores compactos, por otro lado.

    Ahora bien y al margen de ello, aun cuando el teorema y la teoria no tengan relacion, el grafo de una funcion lineal es en el mismo sentido (conjunto de los vertices…)de la definicion de grafo en la teoria de grafos?

    No hay relacion entre grafo y puntos extremales?

    Disculpa por la profusion de cuestiones; no soy matematico pero estos temas me gustan enormemente. Saludos

    Publica una respuesta
  10. Ya encontre en Wikipedia la definicion de grafo de una funcion!!! Gracias igual!!!

    Publica una respuesta
  11. Con respecto a las preguntas, allyn, puedo darte algunas respuestas, pero sobre todo en espacios de Hilbert.

    1 Todo espacio vectorial, de dimensión finita o no, posee bases. En dimensión infinita se denominan bases de Hamel y todo vector del espacio vectorial es una “combinación lineal finita” de algunos de los vectores de base.

    2 Los espacios de Hilbert, además de tener bases de Hamel, tienen bases llamadas hilbertianas. En estos, todo vector es “una combinación lineal no necesariamente finita. Para poder expresar un vector en una base hilbertiana se necesita utilizar series. Las bases hilbertianas y de hamel solo coinciden en dimensión finita.

    3 Los operadores compactos, en espacios de Hilbert, son límites, en el espacio de operadores, de operadores de rango finito.

    4 En los espacios de Banach también existe un concepto de base, similar a la base hilbertiana: son las bases de Schauder (o un nombre similar). Sin embargo no todo espacio de Banach tiene base.

    5 Con respecto a los duales, en el caso de Hilbert, la teoría es casí trivial, pues el teorema de Riesz (o un nombre parecido) garantiza que el dual es isomorfo al espacio de partida. En el caso de Banach la teoría es complicadísima (hay que considerar varias topologías) y no se tiene un análogo del teorema.

    6 Con respecto a la densidad y los operadores compactos, no entiendo muy bien la pregunta. Para algunos operadores compactos (los hermíticos), el conjunto de sus valores propios si que es denso (dan lugar a una base de Hilbert), pero no se si es eso lo que preguntas.

    Un Saludo

    Publica una respuesta
  12. Gracias Madmath!!!No sabe lo increiblemente buenas que son sus respuestas a mis vagas preguntas!!!

    Por ejemplo. Su respuesta del punto 2, sobre la necesidad de usar series para expresar vectores en alguna base hilbertiana, me es enorme. Al igual que en 6, sobre la densidad del conjunto de valores propios. Idem la del punto 3, acerca de los límites.

    Sobre lo que ud. me comenta, tambien conozco algunos otros conceptos; por caso:

    a)Para un Espacio de Hilbert (L2), existe un Isomorfismo Isometrico entre los Duales. Para un Espacio de Banach (Lp), hay Duales no Isomorfos al Espacio.

    b)(“creo” que) los operadores hermíticos guardan cierta relacion con las funciones “definidas positivas”. Esto me lleva a pensar si tambien para estas, el conjunto de sus autovalores es tambien denso. (ingenuamente, yo diria que sí…).

    Tengo muchas otras preguntas que, en mi muy escaso conocimiento de estos temas, se me aparecen como “relacionadas” y en un sentido, me impiden cierta delimitacion de los campos de teoria (digamos, conceptos de topologia, y conceptos algebraicos). Lamento no poder expresarlas mas que en orden muy aleatorio, y a grados de “precision” no uniformes (por lo cual podrian tener cierta circularidad o superposicion), cuando no sean un “sinsentido” sin más (disculpas!!!).

    1-Si se considera un operador de rango finito, como una matriz cuyas columnas son Funcionales Lineales Continuas de un Dual, que podrian ser expresadas en alguna Base de éste; y se considera que el espacio de filas es de dimension finita; tomando como elemento “auxiliar” el hecho de que cada operador de estos representa la Integral alrededor de un polo, me surge la siguiente cuestion:

    Dado el elemento “auxiliar”, y su correlato en terminos de que no tienen singularidades “esenciales” y por lo tanto no serian conjuntos densos, entonces estos operadores tendrian por clausura tan sólo a un subespacio (y no al espacio completo, como para un denso); ¿éste subespacio clausura seria del Dual o del espacio original(como tal o como segundo Dual)?

    2-Si un operador compacto es limite de operadores de rango finito, cada uno de los cuales no es un conjunto denso (en el Dual o en el original?) y por ello tiene una clausura que es un subespacio (idem), entonces la clausura del operador compacto seria un subespacio (idem) limite, y no seria el espacio completo (idem), por lo cual no seria un conjunto denso.

    Si los autovalores del compacto son un conjunto denso, implicando una singularidad esencial por lo tanto (?), entonces esta densidad representa aquí una base de entornos (de cero) (secuencia de seminormas) en el subespacio (o subalgebra) de los operadores de rango finito?

    3-Si 2 es afirmativo, entonces: ¿todo denso puede representar un subespacio canonico (?) (pro-canonico?) de/para un algebra (o sub-algebra) de operadores?

    Sobre cuestiones mas elementales:

    4-Cómo se define una funcion caracteristica cualquiera? ¿Puede definirse como cierto conjunto de un Dual?

    5-Existen funciones caracteristicas densas (por ejemplo, como limite de otras funciones caracteristicas) y otras que no lo son, en cierta topologia?

    6- Dada un operador como la matriz mencionada al inicio, ¿cómo se define el Núcleo y en base a qué topologia? es decir, en base a una topologia de de funciones, de Funcionales, o de Operadores; o de mas de una al mismo tiempo?

    Estas eran algunas de las preguntas. Seguramente revelan mi gran ignorancia! Saludos e infinitas gracias por la gigantesca atencion y paciencia.

    Publica una respuesta
  13. (21n+4)/(14n+7). Probemos que es irreducible.

    Si multiplicamos: 2*(21n+4)=42n+8 y 3*(14n+3)= 42n+9

    Lo cual significa que estos dos resultados son consecutivos y por lo tanto coprimos, por lo tanto los divisores de estos tambien lo son y la fraccion (21n+4)/(14n+7) es irreducible

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Si lo deseas, puedes hacer click para valorar este post en Bitacoras.com. Gracias....

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *