Fracciones y 2007

Este problema nos lo plantea Domingo en un comentario de este post. Lo he quitado de allí y lo he puesto aparte para no mezclar uno con otro:

Sean a,b,c tres números reales no nulos cuya suma sea no nula y tales que \displaystyle{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}}

Demostrar que entonces se verifica que \displaystyle{\frac{1}{a^{2007}}+\frac{1}{b^{2007}}+\frac{1}{c^{2007}}=\frac{1}{a^{2007}+b^{2007}+c^{2007}}}

A ver cuál es la demostración más ingeniosa que se nos ocurre.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

10 Comentarios

  1. Vamos a ver,

    Por la desigualdad de las medias, tenemos que:

    \frac{a+b+c}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} = 3(a+b+c)

    Lo cual implica que:

    1 \geq 9

    Por lo tanto, no existen a,b,c \in \Re^+ que cumplan la condición del enunciado.

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  2. OK yassin. Tu demostración vale en general para números reales positivos. De hecho tu prueba sirve en general para cualquier cantidad de números positivos.

    Sin embargo, el hecho de que la media aritmetica no sea menor que la media armónica no es válido si aparecen números negativos involucrados. Habrá que seguir estudiando qué ocurre en general.

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  3. si se permite la broma, comentar que tenemos sólo dos meses (y cuatro días) para resolver el ejercicio, ya que pierde validez en año nuevo :)…

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  4. La igualdad que se da como dato puede escribirse \frac{1}{a+b+c}=\frac{ab+ac+bc}{abc}. Igualando los productos de medios y extremos en esta proporción y operando se llega a que:

    0=\left[a+b\right]\left[c^2+c\left(a+b\right)+ab\right]

    Para esto que verifique ha de ser cero uno de los dos términos entre corchetes (es fácil ver que en este caso no pueden serlo ambos). Si lo es el primero, a=-b. De serlo el segundo, la ecuación de segundo grado da dos soluciones, c=-a y c=-b. En resumen, dos de los elementos han de ser opuestos entre sí. Dicho esto, el resultado es trivial, ya que 2007 es una potencia impar y por tanto conserva el signo.

    Francamente, espero haberme colado en algo y que no sea tan sencillo porque haya otros casos :-).

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  5. Efectivamente Pasotaman, la cuestión simplemente consistía en darse cuenta de que la condición inicial implica que a=-b, o b=-c o c=-a (y no las tres simultáneamente). Esto puede hacerse de varias formas y una de ellas es la que has propuesto.

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  6. Leyendo el problema se me vino a la mente otro que concia (disculpen por salirme del tema\.)
    El ejercicio consiste en lo siguiente, encontrar la suma de…

    A= \dfrac{1}{1*2}+\dfrac{1}{2*3}+\dfrac{1}{3*4}\ldots\dfrac{1}{2005*2006}+\dfrac{1}{2006*2007}

    Saludos

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  7. Por inducción:
    Tenemos que demostrar lo siguiente:
    \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{i(i+1)}=\frac{n-1}{n}.

    Para el caso base: n=2 trivial \frac{1}{2}= \frac{1}{2}.

    Suponemos cierta la hipótesis para enteros menores o iguales a n y probamos para n+1:
    \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)}=\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{i(i+1)} + \frac{1}{n(n+1)}= \frac{n-1}{n}+\frac{1}{n(n+1)}= \frac{(n-1)(n+1)+1}{n(n+1)}=\frac{n^2-1+1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}.

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  8. Efectivamente. Es una suma “telescópica”:

    $latex (1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+
    (\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\ldots+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})=
    1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}$

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

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Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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