Función constante

Os dejo el problema semanal:

Sean a,b,c,d números reales positivos y sean x(t), y(t) dos funciones que cumplen que x(0) > 0, y(0) > 0 y además:

x^\prime (t)=ax(t)-bx(t)y(t)
y^\prime (t)=-cy(t)+dx(t)y(t)

Demostrar que existe una función real de dos variables

z: \; \mathcal{D}\subset\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}

tal que z(x(t),y(t)) es constante para todo t perteneciente al dominio de existencia de x(t) e y(t).

Suerte.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

7 Comentarios

  1. Je, je, éste es trivial
    z( x(t), y(t) ) = K
    (obviamente no es válida, se supone que deben intervenir los parámetros)

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  2. Bueno, ese sistema de EDOs son las conocidísimas (al menos para mí) ecuaciones de Lotka-Volterra para dos especies sin competición (perdonad por lo específico de la terminología, pero es que me muevo en el terreno entre las matemáticas y la biología). Para este sistema es conocido que existe una constante de movimiento, que es la función z(x,y) que se pide y es tal que
    \frac{d}{dt} z(x(t),y(t))=0 para todo t.
    Para no apuntarme el tanto, os remito al libro Hofbauer and Sigmund, Evolutionary games and replicator dynamics, págs. 14 y 15, donde aparece la demostración. De hecho, la función buscada es
    z(x,y)=c\log x-dx+a\log y -by.
    El truco de la demostración se basa en multiplicar la primera ecuación por \frac{c-dx}{x} y la segunda por \frac{a-by}{y} y sumar ambas, lo que produce
    \left(\frac{c}{x}-d\right)\dot{x}+\left(\frac{a}{y}-b\right)\dot{y}=0,
    que es \frac{d}{dt}z(x(t),y(t))=0.
    Esta vez he jugado con ventaja (je, je, je). Habéis puesto un problema que me sabía.
    Saludos!

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  3. Si la función z(x,y) existe debe cumplir: \frac{dz(x,y)}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \dot x+\frac{\partial z}{\partial y} \dot y = 0 , haciendo uso del sistema del problema esto es igual a, \frac{\partial z}{\partial x} x(a-by)+\frac{\partial z}{\partial y} y(-c+dx) = 0 , por lo tanto, \frac{\partial z}{\partial x} \frac{x}{c-dx}-\frac{\partial z}{\partial y} \frac{y}{a-by} = 0, supongo que la función z(x,y)=A(x)+B(y), sustituyendo en la ecuación anterior queda:
    A^\prime(x)\frac{x}{c-dx}-B^\prime(y)\frac{y}{a-by} = 0, de ahí, A^\prime(x)\frac{x}{c-dx} = K , B^\prime(y)\frac{y}{a-by} = K, donde K es una constante.
    Resolviendo ambas ecuaciones queda:
    A(x) = K(cLn(x)-dx)
    B(y) = K(aLn(y)-by)
    por lo tanto la función z(x,y) = K(cLn(x)-dx+aLn(y)-by )

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  4. Muy bueno Orlin, yo me había quedado justo en la mitad (lo fácil), intentado ver z como una suma…

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  5. También se puede probar directamente a partir de la ecuación diferencial:
    1) dx^\prime+by^\prime=ad x-bc y;
    2) \frac{d}{dt}\log x=\frac{x^\prime}{x}=a-by, \frac{d}{dt}\log y=\frac{y^\prime}{y}=-c+dx, y \frac{d}{dt}(c\log x+a\log y)= adx-bcy, como en 1).
     

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  6. Bueno, ese sistema de EDOs son las conocidísimas (al menos para mí) ecuaciones de Lotka-Volterra para dos especies sin competición (perdonad por lo específico de la terminología, pero es que me muevo en el terreno entre las matemáticas y la biología). Para este sistema es conocido que existe una constante de movimiento, que es la función z(x,y) que se pide y es tal que
    \frac{d}{dt} z(x(t),y(t))=0 para todo t.
    Para no apuntarme el tanto, os remito al libro Hofbauer and Sigmund, Evolutionary games and replicator dynamics, págs. 14 y 15, donde aparece la demostración. De hecho, la función buscada es
    z(x,y)=c\log x-dx+a\log y -by.
    El truco de la demostración se basa en multiplicar la primera ecuación por \frac{c-dx}{x} y la segunda por \frac{a-by}{y} y sumar ambas, lo que produce
    \left(\frac{c}{x}-d\right)\dot{x}+\left(\frac{a}{y}-b\right)\dot{y}=0,
    que es \frac{d}{dt}z(x(t),y(t))=0.
    Esta vez he jugado con ventaja (je, je, je). Habéis puesto un problema que me sabía.
    Saludos!

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