Función constante

Os dejo el problema semanal:

Sean $a,b,c,d$ números reales positivos y sean $x(t), y(t)$ dos funciones que cumplen que $x(0) > 0$ , $y(0) > 0$ y además:

$x^\prime (t)=ax(t)-bx(t)y(t)$
$y^\prime (t)=-cy(t)+dx(t)y(t)$

Demostrar que existe una función real de dos variables

$z: \; \mathcal{D}\subset\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$

tal que $z(x(t),y(t))$ es constante para todo $t$ perteneciente al dominio de existencia de $x(t)$ e $y(t)$ .

Suerte.

8 comentarios

josejuan | 13 de April de 2010 | 08:40

Je, je, éste es trivial
z( x(t), y(t) ) = K
(obviamente no es válida, se supone que deben intervenir los parámetros)
Trackback | 13 Apr, 2010

Bitacoras.com
castilla | 13 de April de 2010 | 10:20

Bueno, ese sistema de EDOs son las conocidísimas (al menos para mí) ecuaciones de Lotka-Volterra para dos especies sin competición (perdonad por lo específico de la terminología, pero es que me muevo en el terreno entre las matemáticas y la biología). Para este sistema es conocido que existe una constante de movimiento, que es la función $z(x,y)$ que se pide y es tal que
$\frac{d}{dt} z(x(t),y(t))=0$ para todo $t$ .
Para no apuntarme el tanto, os remito al libro Hofbauer and Sigmund, Evolutionary games and replicator dynamics, págs. 14 y 15, donde aparece la demostración. De hecho, la función buscada es
$z(x,y)=c\log x-dx+a\log y -by$ .
El truco de la demostración se basa en multiplicar la primera ecuación por $\frac{c-dx}{x}$ y la segunda por $\frac{a-by}{y}$ y sumar ambas, lo que produce
$\left(\frac{c}{x}-d\right)\dot{x}+\left(\frac{a}{y}-b\right)\dot{y}=0$ ,
que es $\frac{d}{dt}z(x(t),y(t))=0$ .
Esta vez he jugado con ventaja (je, je, je). Habéis puesto un problema que me sabía.
Saludos!
orlin | 13 de April de 2010 | 11:44

Si la función $z(x,y)$ existe debe cumplir: $\frac{dz(x,y)}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \dot x+\frac{\partial z}{\partial y} \dot y = 0$ , haciendo uso del sistema del problema esto es igual a, $\frac{\partial z}{\partial x} x(a-by)+\frac{\partial z}{\partial y} y(-c+dx) = 0$ , por lo tanto, $\frac{\partial z}{\partial x} \frac{x}{c-dx}-\frac{\partial z}{\partial y} \frac{y}{a-by} = 0$ , supongo que la función $z(x,y)=A(x)+B(y)$ , sustituyendo en la ecuación anterior queda:
$A^\prime(x)\frac{x}{c-dx}-B^\prime(y)\frac{y}{a-by} = 0$ , de ahí, $A^\prime(x)\frac{x}{c-dx} = K$ , $B^\prime(y)\frac{y}{a-by} = K$ , donde $K$ es una constante.
Resolviendo ambas ecuaciones queda:
$A(x) = K(cLn(x)-dx)$
$B(y) = K(aLn(y)-by)$
por lo tanto la función $z(x,y) = K(cLn(x)-dx+aLn(y)-by )$
josejuan | 13 de April de 2010 | 12:24

Muy bueno Orlin, yo me había quedado justo en la mitad (lo fácil), intentado ver z como una suma…
M | 13 de April de 2010 | 13:46

También se puede probar directamente a partir de la ecuación diferencial:
1) $dx^\prime+by^\prime=ad x-bc y$ ;
2) $\frac{d}{dt}\log x=\frac{x^\prime}{x}=a-by$ , $\frac{d}{dt}\log y=\frac{y^\prime}{y}=-c+dx$ , y $\frac{d}{dt}(c\log x+a\log y)= adx-bcy$ , como en 1).
Karen | 25 de April de 2010 | 10:03

Bueno, ese sistema de EDOs son las conocidísimas (al menos para mí) ecuaciones de Lotka-Volterra para dos especies sin competición (perdonad por lo específico de la terminología, pero es que me muevo en el terreno entre las matemáticas y la biología). Para este sistema es conocido que existe una constante de movimiento, que es la función $z(x,y)$ que se pide y es tal que
$\frac{d}{dt} z(x(t),y(t))=0$ para todo $t$ .
Para no apuntarme el tanto, os remito al libro Hofbauer and Sigmund, Evolutionary games and replicator dynamics, págs. 14 y 15, donde aparece la demostración. De hecho, la función buscada es
$z(x,y)=c\log x-dx+a\log y -by$ .
El truco de la demostración se basa en multiplicar la primera ecuación por $\frac{c-dx}{x}$ y la segunda por $\frac{a-by}{y}$ y sumar ambas, lo que produce
$\left(\frac{c}{x}-d\right)\dot{x}+\left(\frac{a}{y}-b\right)\dot{y}=0$ ,
que es $\frac{d}{dt}z(x(t),y(t))=0$ .
Esta vez he jugado con ventaja (je, je, je). Habéis puesto un problema que me sabía.
Saludos!
castilla | 25 de April de 2010 | 23:27

Ein?