Comments on: Función constante http://gaussianos.com/funcion-constante/ Porque todo tiende a infinito... Fri, 10 Feb 2012 21:24:04 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 By: castilla http://gaussianos.com/funcion-constante/#comment-14019 castilla Sun, 25 Apr 2010 21:27:50 +0000 http://gaussianos.com/?p=2405#comment-14019 Ein? Ein?

]]> By: Karen http://gaussianos.com/funcion-constante/#comment-14018 Karen Sun, 25 Apr 2010 08:03:39 +0000 http://gaussianos.com/?p=2405#comment-14018 Bueno, ese sistema de EDOs son las conocidísimas (al menos para mí) ecuaciones de Lotka-Volterra para dos especies sin competición (perdonad por lo específico de la terminología, pero es que me muevo en el terreno entre las matemáticas y la biología). Para este sistema es conocido que existe una constante de movimiento, que es la función $latex z(x,y)$ que se pide y es tal que $latex \frac{d}{dt} z(x(t),y(t))=0$ para todo $latex t$. Para no apuntarme el tanto, os remito al libro Hofbauer and Sigmund, Evolutionary games and replicator dynamics, págs. 14 y 15, donde aparece la demostración. De hecho, la función buscada es $latex z(x,y)=c\log x-dx+a\log y -by$. El truco de la demostración se basa en multiplicar la primera ecuación por $latex \frac{c-dx}{x}$ y la segunda por $latex \frac{a-by}{y}$ y sumar ambas, lo que produce $latex \left(\frac{c}{x}-d\right)\dot{x}+\left(\frac{a}{y}-b\right)\dot{y}=0$, que es $latex \frac{d}{dt}z(x(t),y(t))=0$. Esta vez he jugado con ventaja (je, je, je). Habéis puesto un problema que me sabía. Saludos! Bueno, ese sistema de EDOs son las conocidísimas (al menos para mí) ecuaciones de Lotka-Volterra para dos especies sin competición (perdonad por lo específico de la terminología, pero es que me muevo en el terreno entre las matemáticas y la biología). Para este sistema es conocido que existe una constante de movimiento, que es la función z(x,y) que se pide y es tal que
\frac{d}{dt} z(x(t),y(t))=0 para todo t.
Para no apuntarme el tanto, os remito al libro Hofbauer and Sigmund, Evolutionary games and replicator dynamics, págs. 14 y 15, donde aparece la demostración. De hecho, la función buscada es
z(x,y)=c\log x-dx+a\log y -by.
El truco de la demostración se basa en multiplicar la primera ecuación por \frac{c-dx}{x} y la segunda por \frac{a-by}{y} y sumar ambas, lo que produce
\left(\frac{c}{x}-d\right)\dot{x}+\left(\frac{a}{y}-b\right)\dot{y}=0,
que es \frac{d}{dt}z(x(t),y(t))=0.
Esta vez he jugado con ventaja (je, je, je). Habéis puesto un problema que me sabía.
Saludos!

]]> By: M http://gaussianos.com/funcion-constante/#comment-14017 M Tue, 13 Apr 2010 11:46:37 +0000 http://gaussianos.com/?p=2405#comment-14017 También se puede probar directamente a partir de la ecuación diferencial: 1) $latex dx^\prime+by^\prime=ad x-bc y$; 2) $latex \frac{d}{dt}\log x=\frac{x^\prime}{x}=a-by$, $latex \frac{d}{dt}\log y=\frac{y^\prime}{y}=-c+dx$, y $latex \frac{d}{dt}(c\log x+a\log y)= adx-bcy$, como en 1).   También se puede probar directamente a partir de la ecuación diferencial:
1) dx^\prime+by^\prime=ad x-bc y;
2) \frac{d}{dt}\log x=\frac{x^\prime}{x}=a-by, \frac{d}{dt}\log y=\frac{y^\prime}{y}=-c+dx, y \frac{d}{dt}(c\log x+a\log y)= adx-bcy, como en 1).
 

]]> By: josejuan http://gaussianos.com/funcion-constante/#comment-14016 josejuan Tue, 13 Apr 2010 10:24:55 +0000 http://gaussianos.com/?p=2405#comment-14016 Muy bueno Orlin, yo me había quedado justo en la mitad (lo fácil), intentado ver z como una suma... Muy bueno Orlin, yo me había quedado justo en la mitad (lo fácil), intentado ver z como una suma…

]]> By: orlin http://gaussianos.com/funcion-constante/#comment-14015 orlin Tue, 13 Apr 2010 09:44:29 +0000 http://gaussianos.com/?p=2405#comment-14015 Si la función $latex z(x,y)$ existe debe cumplir: $latex \frac{dz(x,y)}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \dot x+\frac{\partial z}{\partial y} \dot y = 0 $, haciendo uso del sistema del problema esto es igual a, $latex \frac{\partial z}{\partial x} x(a-by)+\frac{\partial z}{\partial y} y(-c+dx) = 0 $, por lo tanto, $latex \frac{\partial z}{\partial x} \frac{x}{c-dx}-\frac{\partial z}{\partial y} \frac{y}{a-by} = 0$, supongo que la función $latex z(x,y)=A(x)+B(y)$, sustituyendo en la ecuación anterior queda: $latex A^\prime(x)\frac{x}{c-dx}-B^\prime(y)\frac{y}{a-by} = 0$, de ahí, $latex A^\prime(x)\frac{x}{c-dx} = K $, $latex B^\prime(y)\frac{y}{a-by} = K$, donde $latex K$ es una constante. Resolviendo ambas ecuaciones queda: $latex A(x) = K(cLn(x)-dx)$ $latex B(y) = K(aLn(y)-by)$ por lo tanto la función $latex z(x,y) = K(cLn(x)-dx+aLn(y)-by ) $ Si la función z(x,y) existe debe cumplir: \frac{dz(x,y)}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \dot x+\frac{\partial z}{\partial y} \dot y = 0 , haciendo uso del sistema del problema esto es igual a, \frac{\partial z}{\partial x} x(a-by)+\frac{\partial z}{\partial y} y(-c+dx) = 0 , por lo tanto, \frac{\partial z}{\partial x} \frac{x}{c-dx}-\frac{\partial z}{\partial y} \frac{y}{a-by} = 0, supongo que la función z(x,y)=A(x)+B(y), sustituyendo en la ecuación anterior queda:
A^\prime(x)\frac{x}{c-dx}-B^\prime(y)\frac{y}{a-by} = 0, de ahí, A^\prime(x)\frac{x}{c-dx} = K , B^\prime(y)\frac{y}{a-by} = K, donde K es una constante.
Resolviendo ambas ecuaciones queda:
A(x) = K(cLn(x)-dx)
B(y) = K(aLn(y)-by)
por lo tanto la función z(x,y) = K(cLn(x)-dx+aLn(y)-by )

]]> By: castilla http://gaussianos.com/funcion-constante/#comment-14014 castilla Tue, 13 Apr 2010 08:20:31 +0000 http://gaussianos.com/?p=2405#comment-14014 Bueno, ese sistema de EDOs son las conocidísimas (al menos para mí) ecuaciones de Lotka-Volterra para dos especies sin competición (perdonad por lo específico de la terminología, pero es que me muevo en el terreno entre las matemáticas y la biología). Para este sistema es conocido que existe una constante de movimiento, que es la función $latex z(x,y)$ que se pide y es tal que $latex \frac{d}{dt} z(x(t),y(t))=0$ para todo $latex t$. Para no apuntarme el tanto, os remito al libro Hofbauer and Sigmund, Evolutionary games and replicator dynamics, págs. 14 y 15, donde aparece la demostración. De hecho, la función buscada es $latex z(x,y)=c\log x-dx+a\log y -by$. El truco de la demostración se basa en multiplicar la primera ecuación por $latex \frac{c-dx}{x}$ y la segunda por $latex \frac{a-by}{y}$ y sumar ambas, lo que produce $latex \left(\frac{c}{x}-d\right)\dot{x}+\left(\frac{a}{y}-b\right)\dot{y}=0$, que es $latex \frac{d}{dt}z(x(t),y(t))=0$. Esta vez he jugado con ventaja (je, je, je). Habéis puesto un problema que me sabía. Saludos! Bueno, ese sistema de EDOs son las conocidísimas (al menos para mí) ecuaciones de Lotka-Volterra para dos especies sin competición (perdonad por lo específico de la terminología, pero es que me muevo en el terreno entre las matemáticas y la biología). Para este sistema es conocido que existe una constante de movimiento, que es la función z(x,y) que se pide y es tal que
\frac{d}{dt} z(x(t),y(t))=0 para todo t.
Para no apuntarme el tanto, os remito al libro Hofbauer and Sigmund, Evolutionary games and replicator dynamics, págs. 14 y 15, donde aparece la demostración. De hecho, la función buscada es
z(x,y)=c\log x-dx+a\log y -by.
El truco de la demostración se basa en multiplicar la primera ecuación por \frac{c-dx}{x} y la segunda por \frac{a-by}{y} y sumar ambas, lo que produce
\left(\frac{c}{x}-d\right)\dot{x}+\left(\frac{a}{y}-b\right)\dot{y}=0,
que es \frac{d}{dt}z(x(t),y(t))=0.
Esta vez he jugado con ventaja (je, je, je). Habéis puesto un problema que me sabía.
Saludos!

]]> By: Bitacoras.com http://gaussianos.com/funcion-constante/#comment-14013 Bitacoras.com Tue, 13 Apr 2010 06:48:03 +0000 http://gaussianos.com/?p=2405#comment-14013 <strong>Información Bitacoras.com...</strong> Valora en Bitacoras.com: Os dejo el problema semanal: Sean números reales positivos y sean dos funciones que cumplen que , y además: Demostrar que existe una función real de dos variables tal que es constante para todo perteneciente al dominio de ...... Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Os dejo el problema semanal: Sean números reales positivos y sean dos funciones que cumplen que , y además: Demostrar que existe una función real de dos variables tal que es constante para todo perteneciente al dominio de ……

]]> By: josejuan http://gaussianos.com/funcion-constante/#comment-14012 josejuan Tue, 13 Apr 2010 06:40:04 +0000 http://gaussianos.com/?p=2405#comment-14012 Je, je, éste es trivial z( x(t), y(t) ) = K (obviamente no es válida, se supone que deben intervenir los parámetros) Je, je, éste es trivial
z( x(t), y(t) ) = K
(obviamente no es válida, se supone que deben intervenir los parámetros)

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