Funciones "extrañas"

El campo de las funciones es un tema muy estudiado en Matemáticas, tanto en Bachillerato como en Universidad. En general podemos decir que conocemos la manera de calcular sus máximos y sus mínimos, el crecimiento o decrecimiento de las mimas en un cierto intervalo, dónde son derivables y dónde no lo son y muchos otros detalles. En Bachillerato no se suele ahondar mucho en funciones raras, es decir, funciones que suelen salirse de la generalidad en el sentido del estudio de sus características. En la Universidad sí que se comienzan a ver funciones que se salen de los patrones marcados en épocas de estudio anteriores. En este post vamos a ver tres funciones bastante curiosas al tener propiedades poco comunes.

Función de Dirichlet

La función de Dirichlet es una función real de variable real que no es continua en ningún punto de la recta. Se define de la siguiente forma:

\displaystyle f(x) = \begin{cases} 1,\mbox{ si }x\in\mathbb{Q} \\ 0,\mbox{ si }x\in\mathbb{R-Q}\end{cases}

Otra forma de definir esta función es la siguiente:

\displaystyle f(x)=\lim_{k\to\infty}\left(\lim_{j\to\infty}\left(\cos(k!\pi x)^{2j}\right)\right)

Vamos a demostrar que esta función no es continua en ningún punto usando la caracterización de continuidad por sucesiones, que dice lo siguiente:

Sea f:A\subseteq\mathbb{R}\Longrightarrow\mathbb{R} una función real de variable real y sea a\in A. Entonces f es continua en a si \forall x_n\subset A sucesión de elementos de A tal que x_n \rightarrow a se tiene que f(x_n) \rightarrow f(a)

Por tanto f no es continua en a si \exists x_n\subset A sucesión de elementos de A tal que x_n \rightarrow a pero f(x_n) \not\rightarrow f(a)

Sea a\in\mathbb{Q}. Por ser \mathbb{R-Q} denso en \mathbb{R} se tiene que existirá una sucesión x_n\subset\mathbb{R-Q} tal que x_n\rightarrow a. Y aquí está el problema: como x_n\subset\mathbb{R-Q} se tiene que f(x_n)=0,\forall n\in\mathbb{N} y como a\in\mathbb{Q} se tiene que f(a)=1. Por tanto f(x) \not\rightarrow f(a).

Al ser \mathbb{Q} también denso en \mathbb{R} la demostración para el caso a\in\mathbb{R-Q} es análoga a la anterior. Por tanto f(x) no es continua en ningún punto.

En general, si en vez de tomar \mathbb{Q} tomamos cualquier subconjunto A\subset\mathbb{R} que sea denso en \mathbb{R} tenemos una función que no es continua en ningún valor real.

Función popcorn

La función popcorn es una función real de variable real que es continua en los irracionales y discontinua en los racionales. Conocía la existencia de la misma pero no sabía que se denominaba así (¿alguien sabe por qué tiene ese nombre tan cinéfilo?). Se define de la siguiente forma:

\displaystyle f(x)=\begin{cases} \cfrac{1}{q},\mbox{ si }x=\cfrac{p}{q}\in\mathbb{Q} \\ 0,\mbox{ si }x\in\mathbb{R-Q} \end{cases}

Se asume que \frac{p}{q} es irreducible y que q>0.

La demostración de este hecho es sencilla: como \displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=0,\forall a\in\mathbb{R} (a ver quién nos cuenta con un poco de rigor por qué es así), se tiene que \displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=f(a)\Leftrightarrow a\in\mathbb{R-Q}, y por tanto que f(x) es continua en x\in\mathbb{R-Q} y no es continua en x\in\mathbb{Q}.

Función de Weierstrass

La función de Weierstrass es una función real de variable real que es continua en todos los números reales pero no es derivable en ninguno de ellos. Su expresión es la siguiente:

\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)

con 0<a<1, b\in\mathbb{Z}\mbox{ impar y }ab > 1+\frac{3}{2} \pi

.

La demostración de que es continua es todo punto es sencilla (otro ejercicio para vosotros). El tema de la no derivabilidad en ningún punto se complica algo más.

En su momento esta función fue muy importante ya que sirvió para que se dejara de creer que todas las funciones continuas eran derivables en todo punto excepto, a lo sumo, un conjunto de puntos aislados.

Conclusión

Como habéis podido ver con estos ejemplos nos podemos encontrar cualquier cosa en el estudio de las funciones. De todos modos estas tres seguro que no son las únicas. Por eso os pido que si tenéis conocimiento de alguna otra función concreta que sea famosa o interesante por alguna de las razones por las que éstas lo son lo comuniquéis mediante un comentario.

Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

17 Comentarios

  1. Respecto a la función popcorn:
    cómo se puede ver que lim f(x)=0 cuando x tiende a a, para cualquier valor de a, como refuerzo para entender correctamente el concepto de límite.
    Se trata de, para cualquier valor positivo, por pequeño que sea, precisar un entorno dentro del cual f(x) es menor que ese valor en cualquier punto (excepto, tal vez, en el punto a).
    Pues bien, si tenemos un valor, por pequeño que sea, existe un número r tal que 1/r es menor que ese, y entonces sabemos que nuestro valor a está entre dos números p/q y (p+1)/q para cada q menor que r (salvo que sea una fracción de denominador q, en cuyo caso, tomaremos un entorno 1/q).
    Tomando el menor de los valores |a-p/q| y |a-(p+1)/q| (o el ya dicho 1/q si a resulta ser una fracción de denominador q), tenemos un valor dependiente de q, y tomando el menor de todos ellos (que nunca será cero, pues es un conjunto finito de valores positivos), un valor que depende de r, y que define un entorno alrededor de a en el que todos los valores de f(x) son menores que 1/r, por lo que son menores que el número dado.
    ¿Por qué? Pues porque en ese diminuto entorno no hay ni un sólo número racional cuya fracción se represente con un denominador más pequeño que r (los hemos “quitado”, al ser un número finito). Y f(x) es menor que 1/r para todo x de ese entorno.
    Espero que se haya entendido.

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  2. Muy interesante este thread… supongo que estaría bueno que mostraras, también, como algunas funciones(como la Dirichlet) pueden ser integrables definiendo una medida conveniente y no ser integrables Riemann…

    P.D.: Ahora que lo pienso sería muy lindo un buen thread sobre teoría de la medida 😉

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  3. Maxi lo sería, sin ninguna duda, pero es que el tiempo es escaso como podrás ver teniendo en cuenta la frecuencia de posteo que tengo. Tengo unos cuantos posts por ahí sin terminar que iré publicando cuando tenga tiempo suficiente. Todo se andará 🙂

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  4. Lo de que la función de Dirichlet es integrable en otras medidas es bastante avanzado, no? Dicen que Teoría de la Integral y de la Medida es de las más difíciles de la carrera… es cierto?

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  5. Una variante de la función de Dirichlet -la función popcorn también lo es- es contínua en un sólo punto: f(x)=x si x es irracional y f(x)=0 si x es racional. Obviamente es contínua en 0.

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  6. Hola. Aunque todas estas funciones patológicas son bien conocidas, desconocía y me parece muy interesante la relación de la función de Dirichlet con la función coseno a través de un límite doble. Es un ejercicio muy instructivo demostrar que esta relación es válida para todo x\in\mathbb{R}.

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  7. Me gustaría comentar lo siguiente acerca del post hecho por Ferruk…

    Desde mi punto de vista no es que el tema de la teoría de la medida sea, en sí mismo, más complejo que otros aspectos de la matemática; casi cualquier área de ésta permite complejizar tanto como se quiera. Sin embargo, lo que si es verdad es el cambio “paradigmático” que debe hacerse en su estudio. Es indiscutible que al estudiar en primera instancia la integrabilidad en el sentido Riemann o Cauchy logramos un convencimiento total en este sentido: las sumas de Riemann representan una suma algebráica en el límite, y en general lo entendemos primero de ese modo, es decir, donde la función toma valores positivos la integral representa el área bajo la curva, del mismo modo, cuando toma valores negativos lo asociamos inmediatamente con un “área” de signo negativo. Otro motivo es que la función de Dirichlet es uno de los ejemplos que se da de función no integrable en el sentido Riemann y desde primer momento asociamos a ese tipo de funciones con la no integrabilidad. También la teoría de conjuntos y el estudio sobre los tipos de infinito, estudios que comenzaron con Bolzano(no recuerdo el nombre de la obra pero creo que fue publicada cerca de 1851) y llegaron a su máxima expresión con los aportes de Cantor, aportan una cuota extra de nuevos conceptos.

    Creo que otro “problema” fundamental es que cuando comenzamos a estudiar la teoría de la medida tenemos un concepto muy físico en lo que a medida e integración respecta. Un clásico atentado a nuestra intuición, relacionado con este tema, es el impacto que produce la “paradoja” de Banach-Tarski la primera vez que nos cruzamos con ella.
    Influye, también, en este cóctel la convicción de que lo infinito es infinito y no admite otro tipo calsificación; al menos no más que la comparación de infinitos o infinitésimos(que son dos caras de una misma moneda) vistas en los primeros cursos de cálculo. El infinito lo asociamos hasta ese momento con una magnitud en el sentido de cantidad uniforme que crece sin límites, y no en el sentido de cardinalidad de conjuntos(más allá de que todos somos “conscientes” que tanto N,Z,Q y R son conjuntos de infinitos elementos, sumado a alguna noción sobre la densidad o no de los mismos).

    No quiero que esto suene como una crítica hacia los docentes, nada más alejado de la realidad; sólo que es natural que este tipo de cambios tengan un fuerte impacto en nosotros y nos obliguen a pasar por una etapa de transcisión en la que revisamos nuestros conceptos y los comparamos con otros nuevos. Hasta el mismo Cantor enunció una frase del tipo “Lo veo y no lo creo”(o algo así) al intentar coordinar el conjunto de los números reales con el conjunto de los enteros y “fracasar en el intento”.
    Es decir, caer en la cuenta de que estaba ante la presencia de dos infinitos de distinta cardinalidad: por un lado los naturales, los enteros, los racionales y cualquier subconjunto no finito de éstos que son todos poseedores de una misma cardinalidad, llamada aleph 0 y que corresponde a una clase de infinitos que llamamos numerables; por otro lado, otra clase de infinito, la de los no numerables, que se corresoponde con la cardinalidad de los irracionales, de los reales y de cualquier subconjunto de éstos, esa cardinalidad la llamamos aleph 1. Sobre estas ideas yace la hipótesis del continuo que establece lo siguiente: “No existe ningún conjunto cuya cardinalidad(que sería algo así como la medida de la cantidad de sus elementos) esté entre aleph 0 y aleph 1”
    Como si esto fuera poco y para dar el último impacto a nuestra mente, que si lee esto por primera vez estará probablemente cerca de un estado comatoso, vale aclarar que todo esto es relativo.
    Así como se lee, dependiendo del sistema axiomático en el que nos situemos podemos dar, o no, validez a cada una de las ideas enunciadas anteriormente. Estas ideas surgen en el contexto del sistema axiómatico ZFC(el de Zermelo-Fraenkel con en axioma de elección) y es algo muy similar al caso de las geometrías no euclideas que aparecen al intercambiar el V postulado de Euclides(que en realidad en su versión más simple, a saber: por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una paralele a ésta, es una variación logicamente equivalente propuesta por Ptolomeo, pero no la original de Euclides). Se consideran de relevancia en este campo los trabajos de Gödel y Cohen que versan sobre la consistencia y la completitud de los sistemas lógicos. La idea principal en un lenguaje claro es esta: si un “sistema de ideas” o conceptos o teoremas o proposicones lógicas cumple la particularidad de poder deducirse unas de otras debe tener al menos un axioma que no es deducible de los demás ya que para que pudiera ser así deberían tenerse por ciertos otros axiomas que padecerían, entonces, la misma patología que sanabamos en el axioma anterior.
    Un ejemplo de esto ocurrió cuando Adrien Legendre(S XVIII) creyó haber deducido, y de hecho lo hizo en sus Elementos de Geometría(editado trece veces en las que buscaba lograr demostraciones tan didácticas como rigurosas-ideal gestado en el seno del caldo de cultivo revolucionario de ese entonces-, pionero en este aspecto con un incansable espíritu docente-quien haya leido alguna publicación de Landau sabrá lo que es la no didáctica, es un muy buen ejemplo de lo que no debe hacerse… y me hago cargo de lo que digo), el quinto postulado de Euclides presentándolo así como una verdad absoluta. El detalle aquí es que para poder demostrar ese postulado, que hoy se entiende como independiente de los cuatro primeros, debemos dar por cierto otro que no podría demostrarse. Para el momento en que murió Legendre todavía no se conocían los resultados de Nicolai Lobachevski, Janos Bolyai Y Carl F. Gauss en el área de las geometrías no Euclideas.
    Otro ejemplo lo constituye el axioma de elección que se supuso implícito en toda la matemática hasta fines del siglo XIX. Básicamente enuncia que si se tienen dos conjuntos disjuntos no vacíos podemos encontrar al menos un tercero que tiene exactamente un elemento de cada uno de los anteriores. Creo que esta es la expresión más sencilla del axioma pero existen otras equivalentes, aunque a mi juicio menos comprensibles que esta de primer momento. Bueno, ya voy terminando… la idea es que al establecer el axioma de elección surge la “paradoja” de Banach-Tarski, motivo por el cual produce rechazo en al menos un conjunto no vacío de matemáticos ;)… pero si reemplazamos este axioma evitamos la aparición de esta cruel situación que tortura nuestra intuición.

    Bueno, esa es mi opinión… pufff creo que exageré un poco, olvidé que estaba escribiendo en un foro ajajaj… como se dice en mi país “me fui a la mierda”. En resumen creo por eso “suena díficil” la TM, debemos hacer toda esta maduración de ideas en un cuatrimestre 🙁

    PD: No quiero hacer propaganda, pero hay dos libros(a precios muy accesibles) escritos por el matemático argentino Adrián Paenza que nos abren el panorama de la matemática un poco y no requieren conocimientos previos para ser leidos, sólo ganas de deleitarnos. Está escrito en un lenguanje muy accesible y, para mi, el autor cumlpe de manera fenomenal la labor de divulgador de temas matemáticos para público no matemático. El libro se llama “Matemática, estás ahí?”, primera y segunda parte. Por último, para quienes estén realizando una carrera de ciencias, ingeniería (por que no economía?), hay un libro muy claro sobre esto de la serie Schaum titulado “Real Variables – Lebesgue and measure theory” de Spiegel, propone ejemplos claros que nos permiten entender un poco todo este tema(teniendo al menos unas bases respetables de cálculo elemental).

    Saludos y sigan con el foro que es genial.. (prometo no extenderme tanto en mi proximo post y no usar parentesis tan largos)

    😉

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  8. En honor a la verdad hay que decir que Cantor expresó “lo veo y no lo creo” al probar que el cuadrado unidad [0,1]^2 (o más generalmente el hipercubo [0,1]^n) tiene la misma cardinalidad que el segmento [0,1]. De hecho se trabaja con el intervalo semiabierto. La demostración de este resultado es muy didáctica.

    Por otro lado, la equivalencia del axioma de elección, el lema de Zorn y el axioma del buen orden (en la axiomática de Zermelo-Fränkel) es un tema de estudio muy recomendable. Ver por ejemplo el capítulo 7 de “La saga de los números” de Antonio Córdoba.

    Saludos.

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  9. Domingo, gracias por la corrección… 😉

    El foro está buenísimo!

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  10. Un hecho curioso que conecta la teoría de la medida y el axioma de elección es la existencia de conjuntos acotados en \mathbb{R} no medibles. No obstante si lo que se acepta es la versión numerable del axioma de elección, entonces sí se puede asignar una medida a cada subconjunto acotado de \mathbb{R}. No conozco la prueba de esta última afirmación, pero será cuestión de buscar por ahí en la bibliografía.

    Bueno, creo que nos hemos desviado respecto al tema inicial.

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  11. Muchas gracias a todos por este pequeño acercamiento a la Teoría de la Medida (aunque pido perdón por haber hecho que nos alejemos tanto del tema principal del hilo). Este curso tengo la asignatura y por lo menos tengo la idea general de la misma en la cabeza. Gracias de verdad.

    Ferruk.

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  12. Hola, retomo este post. En su momento no leí la cuestión final acerca de si conocíamos otros ejemplos.

    La cuestión es que en los últimos 200 años se han dado bastantes ejemplos curiosos (la mayoría bastante complejos) desde los trabajos pioneros de Bolzano hasta la actualidad.

    Aquí van algunos ejemplos de interés:

    1) La función “no diferenciable” de Riemann, de 1860 aprox., R(x)=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{sen(n^2\cdot x)}{n^2}}

    Riemann creía que no era derivable en ningún punto, pero los trabajos de Hardy a principios de 1900 y finalmente J. Gerver en 1969, permitirían concluir que

    R(x) es continua en todo \mathbb{R} y derivable únicamente en los puntos de la forma x=\pi\cfrac{2p+1}{2q+1} con p,q enteros. En todos estos puntos la derivada vale -\cfrac{1}{2} (!!)

    2) La función de Darboux (aprox. 1875), $latex
    D(x)=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{sen((n+1)!\cdot x)}{n!}}$:

    continua en todo \mathbb{R} y no derivable en ningún punto.

    3)La función de Takagi (1903)

    $latex
    T(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{1}{2^n}\cdot dist(2^n\cdot x,\mathbb{Z})}$:

    continua en todo \mathbb{R} y no derivable en ningún punto.

    Las aproximaciones a la “gráfica” de esta función son impresionantes.

    4)La función de Van der Waerden (1930)

    $latex
    W(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{1}{10^n}\cdot dist(10^n\cdot x,\mathbb{Z})}$:

    continua en todo \mathbb{R} y no derivable en ningún punto.

    5) Las funciones de Knopp (1918),

    $latex
    K(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} a^n\cdot dist(b^n\cdot x,\mathbb{Z})}$:

    continua en todo \mathbb{R} y no derivable en ningún punto, para valores a\in (0,1) y ab mayor que 1.

    Y así muchos más ejemplos hasta entrado el nuevo siglo…

    En todos estos casos vemos que la continuidad es trivial por el M-test de Wierstrass. No obstante, el estudio de la derivabilidad es peliagudo.

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  13. Vaya, pues no sabía que había tantos ejemplos. Aunque tienen todos pinta de ser creados para la ocasión son bastante interesantes.

    Me ha entrado curiosidad por lo que has comentado sobre la gráfica de una de ellas. ¿Cómo es?

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  14. No conocía el nombre de popcorn, pero si la función, que utilizo muchas veces en clase, en versiones de una y varias variables.
    Un versión teatralizada de la demostración:

    A- Yo te digo que si x está cerca de a, f(x) está cerca de cero.
    B- No lo creo.
    A- ¿Cómo de cerca quieres que f(x) esté de cero? ¿Te vale, por ejemplo, una milésima, 0.001?
    B- Para empezar, vale.
    A- ¿Qué puntos x no cumplen que f(x) es menor que 0,001?
    B- Tiene que ser x=p/q menor que 1, y 1/q mayor que 0,001.
    A- Luego 0\leq p\leq q\leq 1000. Sólo hay una cantidad finita de números racionales con esta propiedad, así que sólo hay un número finito de puntos en los que f(x) sea mayor que una milésima. Si llamamos x_1,\; x_2,\dots x_n, a los puntos anteriores, distintos de a (es posible que a sea uno de ellos), y estamos más cerca de a que todos estos puntos (como sólo son una cantidad finita, es posible hacer esto), el valor de f(x) está más cerca de cero que una milésima.
    ¿Lo pillas?
    B- Lo pillo.
    A- Intenta repetir el razonamiento si quieres que f(x) esté más cerca de cero que un número cualquiera $r>0$. Sólo tienes que cambiar 0,001 por r y 1000 por 1/r.
    B- Convencido.

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