Funciones sin primitiva elemental

Introducción

Como seguro recordaréis hace unos meses fuimos capaces de calcular el valor de la integral de la función de densidad de una variable aleatoria con función de densidad N(0,1) (distribución normal con media 0 y desviación típica 1). En dicho desarrollo comentamos que la integral no tiene primitiva, vamos, que no podemos encontrar una función que se pueda expresar en forma de funciones elementales cuya derivada sea tal función de densidad. Esto es:

No existe una función expresable como combinación de funciones elementales tal que su derivada sea f(x)=e^{-x^2}.

Eso no significa que dicha función no se pueda integrar, ya que sabemos que cualquier función continua (y ésta lo es) es integrable. Lo que ocurre es que no podemos expresar dicha integral de una forma sencilla (por ejemplo, en función de exponenciales, senos, cosenos, logaritmos…).

Esta característica no es propiedad de esta función únicamente, sino que la tiene otros tipos de funciones. En este artículo vamos a mostrar algunas más.

¿Qué es una función elemental

La primera pregunta que puede surgir es la siguiente:

Estamos diciendo que la primitiva de cierta función no puede expresarse como combinación de funciones elementales, pero ¿qué funciones son las que consideramos elementales?

Aunque más o menos todos podemos tener una idea de lo que consideramos función elemental en realidad la definición y las demostraciones pertinentes no son demasiado sencillas, al menos las que aparecen en el documento en el que se basa esta artículo (enlazado al final). Por ello vamos a dedicar esta sección simplemente a enumerar qué funciones se consideran elementales:

  • La suma y el producto de funciones elementales en un intervalo \left [a,b \right ] es elemental en \left [a,b \right ]. Lo mismo ocurre con el cociente de funciones elementales siempre que el denominador no se anule en \left [a,b \right ].
  • La composición de funciones elementales en \left [a,b \right ] es elemental en \left [a,b \right ].
  • Los polinomios son funciones elementales en cualquier intervalo \left [a,b \right ].
  • Los cocientes de polinomios cuyo denominador no se anula en un intervalo \left [ a,b \right ] son funciones elementales en el intervalo \left [a,b \right ].
  • La función e^x es una función elemental en todo intervalo \left [a,b \right ].
  • Si 0 < a < b, la función log(x) es elemental en \left [a,b \right ].
  • Las funciones sen(x) y cos(x) son funciones elementales en todo intervalo \left [a,b \right ]. Por ello, la función tg(x) también es elemental.
  • La función arctg(x) es elemental en todo intervalo \left [a,b \right ]. En consecuencia, las funciones arcsen(x) y arccos(x) también son funciones elementales.
  • Las funciones hiperbólicas senh(x), cosh(x) y tgh(x) y sus inversas son funciones elementales.

Por tanto decimos que una función no tiene primitiva elemental si el resultado de integrarla no puede expresarse como combinación de algunas de estas funciones.

Vamos ahora a dar unos cuantos ejemplos de funciones que no tienen primitiva elemental.

Funciones trascendentes sin primitiva elemental

En el desarrollo del documento en el que se basa este artículo la variable compleja es fundamental. De hecho es la base de dicho documento (demostramos cosas en \mathbb{C} y para demostrarlas en \mathbb{R} nos trasladamos a los complejos). Por ello uno de los criterios prácticos para comprobar si una función tiene primitiva elemental es el siguiente:

Sea D \subset C un dominio, f, g \in \mathbb{C}(z) y supongamos que g no es constante y no tiene polos en D. Entonces existe una función elemental y \in M(D) tal que y^\prime = f \; e^g si y sólo si existe a \in \mathbb{C}(z) tal que f = a^\prime + ag^\prime.

Utilizando este hecho (junto con una generalización del mismo entre otras cosas) se puede demostrar lo que hemos comentado sobre las siguientes funciones trascendentes:

  • Si p(x) es un polinomio de grado \ge 2, entonces la integral

    \displaystyle{\int e^{p(x)} dx}

    no es elemental.

  • Por ello, la integral que comentábamos al comenzar este artículo no puede expresarse como combinación de funciones elementales.

  • La función \pi (x), definida como la cantidad de números primos menores o iguales a x, es asintóticamente igual a la integral logarítmica

    \displaystyle{\int_2^x \cfrac{dt}{log(t)}}

    Pues bien, la integral siguiente:

    \displaystyle{\int \cfrac{dt}{log(t)}}

    tampoco es elemental.

  • La siguiente integral:

    \displaystyle{\int \cfrac{sen(x)}{x} dx}

    tampoco es expresable como combinación de funciones elementales.

  • Si f(x) es un polinomio de grado \ge 2, entonces las siguientes integrales:

    \displaystyle{\int sen(f(x)) dx}, \; \int cos(f(x)) dx

    no son elementales (es curioso el hecho de que si tomamos f(x)=log(x), función más compleja que un polinomio, las integrales sí sean elementales).

  • La integral

    \displaystyle{\int e^{e^x} dx}

    no tiene primitiva elemental.

  • La integral

    \displaystyle{\int log(log(x)) dx}

    tampoco es elemental.

  • La integral

    \displaystyle{\int e^x log(x) dx}

    tampoco puede expresarse en como combinación de funciones elementales.

Funciones algebraicas sin primitiva elemental

Pero no sólo las funciones trascendentes pueden presentar esta característica. También hay funciones algebraicas cuya primitiva no es elemental. Vamos con ellas:

  • Si q(x) es un polinomio con gr(q(x)) =m \ge 3 yque sólo tiene raíces simples y p(x) es otro polinomio tal que gr(p(x)) < \textstyle{\frac{m}{2}} -1, entonces la integral

    \displaystyle{\int \cfrac{p(x)}{\sqrt{q(x)}} dx}

    no es elemental.

  • Si 0 < k < 1, la integral elíptica

    \displaystyle{\int \cfrac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}} dx

    no puede expresarse como combinación de funciones elementales.

  • La integral

    \displaystyle{\int \sqrt{x^3-1} dx}

    no es elemental.

  • La integral binomia

    \displaystyle{\int x^k(b+ax^h)^q dx}

    con a,b \in \mathbb{R} y h,k,q \in \mathbb{Q} es elemental si y sólo si al menos uno de los tres números

    q, \; \cfrac{k+1}{h}, \; \cfrac{k+1}{h}+q

    es entero.

    Así, por ejemplo, la integral

    \displaystyle{\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx}

    es elemental, ya que \textstyle{\frac{k+1}{h}=\frac{3+1}{2}=2 \in \mathbb{Z}}, pero la integral

    \displaystyle{\int x^2 (\sqrt[3]{1+x^2}) dx}

    no lo es.

Conclusión

Así que ya sabéis, si alguna vez os encontráis con alguna de estas integrales y lo que tenéis que hacer es calcular una primitiva no lo intentéis, ya que no podréis hacerlo.


Fuente:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

9 Comentarios

  1. Intentad explicar esto a un alumno de 2º de bachillerato, puede llegar a ser realmente complicado.

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  2. Me parece que entre las elementales te faltó la función potencial x^a para cualquier exponente real -con la raíz cuadrada como caso particular.
    Y las funciones hiperbólicas están bien, pero son redundantes (son composición de exponenciales y otras elementales).

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  3. @hernan: la funcion x^a (definida solo para x positivo) se puede escribir como
    x^a = e^{\log(x^a)} = e^{a \log x}.
    Las funciones hiperbolicas solo son expresables en terminos de exponenciales si las defines usando numeros complejos, no como funciones reales de variable real.

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  4. @vengoroso: Tienes razón con lo primero, aunque normalmente uno ve (creo yo) a la raíz cuadrada como una función más “elemental”.

    Con lo segundo, creo que te has confundido con las trigonométricas comunes: son esas las expresables como exponenciales usando complejos. Las hiperbólicas son expresables con exponenciales reales.

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  5. @hernan: tienes toda la razon, no se donde tengo la cabeza hoy.

    Volviendo al tema del post, me parece muy interesante que los alumnos distingas entre “no integrable” y “con primitiva no expresable mediante funciones elementales”; sin embargo, me parece que la distincion entre “funciones elementales” y funciones no elementales es totalmente arbitraria.

    Supongo que los analistas tendran su propio punto de vista al respecto, pero desde una perspectiva puramente algebraica no se observa ninguna justificacion a la nocion de “funcion elemental”. Mientras que la clase de funciones polinomicas esta perfectamente definida a partir de los axiomas de anillo, y la de las funciones racionales a partir de la nocion de cuerpo, el resto de familias de funciones (holomorfas, analiticas, continuas, integrables, medibles, …) aparecen solo mediante procesos de completacion o paso al limite con distintas topologias. El problema de estos pasos al limite es que dan lugar a espacios vectoriales de dimension no numerable que no admiten una base construible (si no recuerdo mal, la determinacion de una base en el espacio vectorial de funciones continuas es equivalente al axioma de eleccion). En que nos basamos despues para llamar a unas funciones “elementales” y a otras no?
    Por que es la funcion f(x) = x^{\sqrt{\log x}} elemental pero no lo son las funciones \Gamma, \zeta o \Pi? Es solo por tradicion o hay realmente un fundamento matematico para esta distincion?

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  6. muy curioso el apunte de que las funciones
    sen(log(x))
    cos(log(x))
    sean integrables. Realmente me ha sorprendido.
    El cambio de variable
    log(x)=y
    convierte los integrandos en
    sen(y)*e^y dy
    cos(y)*e^y dy
    que se integran aplicando partes dos veces consecutivas…
    Muy buen artículo 😀

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  7. Yo también (con vengoroso) preferiría que el artículo remarcara más que la clasificación de “funciones elementales” es relativamente arbitraria y convencional. Y preferiría que -tratándose de un artículo de divulgación- no hubiera dejado en negrita la frase “no tiene primitiva” que, de hecho, es tan incorrecta como la expresión “no integrable”.

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  8. Cierto hernan, esa frase no es correcta. De todas maneras creo que en el resto del artículo queda claro que lo que ocurre es que una primitiva suya no puede expresarse como combinación de funciones elementales.

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  9. No es que no se pueda calcular la primitiva de esas funciones, por ejemplo la de Sen(x)/x dependiendo de método que utilicemos nos puede dar pi/2, o aproximado a pi.

    Es que hay que saber un poco sobre métodos matemáticos y mucho sobre series y sucesiones.

    La de exp(x.^2) se resuelve mediante una serie.. igual la del senx/x etc…

    Saludos.

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