Generando ternas pitagóricas

Introducción

A finales de 2006 vimos en Gaussianos cómo construir triángulos pitagóricos. El desarrollo de aquel artículo terminaba con la siguiente conclusión:

Cada terna pitagórica primitiva puede construirse a partir de dos números enteros positivos p y q primos relativos, de distinta paridad y con p > q de la siguiente forma:

(2pq , p^2 - q^2, p^2 + q^2)

El resto de ternas pitagóricas se obtienen a partir de alguna de las primitivas multiplicando todos los elementos de la misma por un número.

Hace unos días encuentro en el blog Números un post cuyo título es Generar pares pitagóricos. En él se muestra un procedimiento para generar pares de números cuya suma de cuadrados es un cuadrado perfecto, es decir, pares pitagóricos. A partir de ellos, por tanto, podemos encontrar el tercer elemento de la terna calculando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los elementos del par.

En realidad en la entrada que comento de este blog se muestra el resultado mediante un ejemplo (que en realidad no comienza bien, pero acaba dado el resultado esperado), pero no se incluye demostración del mismo. En este artículo pretendo dar dicha demostración.

Método para generar ternas pitagóricas

Lo primero que vamos a hacer es presentar el método mediante un ejemplo:

  1. Tomamos dos números racionales positivos cuyo producto sea dos. Por ejemplo:

    \cfrac{3}{7} y \cfrac{14}{3} \qquad \left ( \cfrac{3}{7} \cdot \cfrac{14}{3}=2 \right )

  2. Sumamos 2 a cada racional:

    \cfrac{3}{7}+2=\cfrac{17}{7} \qquad \cfrac{14}{3}+2=\cfrac{20}{3}

  3. Operamos para que las fracciones tengan el mismo denominador:

    \cfrac{17}{7} \cdot \cfrac{3}{3}=\cfrac{51}{21} \qquad \cfrac{20}{3} \cdot \cfrac{7}{7} =\cfrac{140}{21}

  4. Tomamos los numeradores, elevamos cada uno de ellos al cuadrado y sumamos:

    {51}^2+{140}^2=22201

    Como se tiene que \sqrt{22201}=149, hemos encontrado una terna pitagórica:

    (51,140,149)

Demostración del método

Este artículo quedaría cojo si no damos una demostración del resultado. Aunque es relativamente sencilla vamos a verla:

  1. Tomamos dos números racionales positivos cuyo producto sea dos:

    \cfrac{m}{n} y \cfrac{2n}{m} \qquad \left ( \cfrac{m}{n} \cdot \cfrac{2n}{m}=\cfrac{2mn}{mn}=2 \right )

  2. Sumamos 2 a cada racional:

    \cfrac{m}{n}+2=\cfrac{m+2n}{n} \qquad \cfrac{2n}{m}+2=\cfrac{2n+2m}{m}

  3. Operamos para que las fracciones tengan el mismo denominador:

    \cfrac{m+2n}{n} \cdot \cfrac{m}{m}=\cfrac{m^2+2mn}{mn} \qquad \cfrac{2n+2m}{m} \cdot \cfrac{n}{n} =\cfrac{2n^2+2mn}{mn}

  4. Tomamos los numeradores, elevamos cada uno de ellos al cuadrado y sumamos:

    (m^2+2mn)^2+(2n^2+2mn)^2=m^4+4m^3 n+8m^2 n^2+8mn^3+4m^4

    Nos aparece un polinomio dependiente de m y de n que, para que el método funcionara, debería ser un cuadrado perfecto. Y, en efecto, lo es:

    m^4+4m^3 n+8m^2 n^2+8mn^3+4n^4=(m^2+2mn+2n^2)^2

    Por tanto obtenemos la siguiente terna pitagórica:

    (m^2+2mn,2n^2+2mn,m^2+2mn+2n^2)

Relación entre las dos ternas pitagóricas

Hemos visto dos formas de encontrar ternas pitagóricas. Una pregunta casi directa a partir de ello es: ¿hay alguna relación entre ellas? La respuesta es . Vamos a verla:

Tomemos la terna pitagórica que encontramos con el método descrito y permutemos los dos primeros elementos:

(2n^2+2mn,m^2+2mn,m^2+2mn+2n^2)

Expresemos cada uno de sus elementos de la siguiente forma:

(2(m+n)n,(m+n)^2-n^2,(m+n)^2+n^2)

¿Os suena? ¡Exacto! Tomando p=m+n y q=n obtenemos la terna pitagórica que aparece al comienzo de esta entrada.


Interesante cuestión este tema de las ternas pitagóricas. ¿Alguno de vosotros sabéis más formas de generar ternas de este tipo?

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

13 Comentarios

  1. En primer lugar quiero agradecerte la mención de mi blog, y de paso felicitarte portu blog. Mi blog es más que nada recreativo y no tan “matemático” como el tuyo, es por ello que no puse la demostración, cosa que no sé si podría haber hecho como lo hiciste tu. Yo lo puse como una curiosidad.

    Hay una forma de obtener tripletes del tipo a,b,c con c=b+1.
    Se toma a= 2x+1, b=2x(x+1),c=b+1 o lo que es lo mismo se genera a=2x+1 (a es impar), se eleva al cuadrado(impar), este cuadrado se divide por 2 y el valor obtenido se redondea hacia arriba y hacia abajo y obtenemos b y c.
    Ej
    Método 1: si x=1 a=3, b=4 c= 5
    Método 2: si x=1 a=3, a al cuadrado 9, dividido dos = 4.5 redondeo y obtengo 4 y 5 triplete: 3,4,5

    Claro que se puede demostrar (te lo dejo a ti) que tomando P=q+1 de tu fórmula original se obtienen también estos tripletes

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    • Ante nada gracias por el comentario, fue gratificante ver como se difunde el “Teorema de Generación de terna pitagóricas de números primos” El cual se incluyo en un tratado sobre Sextales, material que humildemente publique con motivo de su presentación al XXXII Coloquio de Matemáticos del Perú, puede verse un resumen en la siguiente dirección.

      https://issuu.com/dariolanni

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  2. También se puede optar por la vía de hallar puntos racionales en la circunferencia unidad S((0,0),1).

    Dividiendo la ecuación pitagórica por z^2 (y renombrando variables X=\frac{x}{z}, Y=\frac{y}{z}), llegamos a la ecuación X^2+Y^2=1, y así las soluciones enteras de la ecuación pitagórica se corresponden con puntos racionales de la circunferencia. Puesto que X=1, Y=0 es una solución de esta última ecuación, los puntos con coordenadas racionales se obtienen de la intersección de la circunferencia con la familia de rectas Y=m(X-1), m\in\mathbb{Q}.

    Saludos cordiales.

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  3. Me parece interesante en relación al problema de la factorización de pq, que como sabéis es crucial en la seguridad del algoritmo de cifrado asimétrico RSA.

    Dado un número N = pq muy grande, el problema de su factorización es tipo NP (no polinómico).

    Por eso me pregunto. Dado N, sabemos que 2N forma parte de una terna pitagórica. Es decir 4N^2 se puede expresar como la diferencia de 2 cuadrados.

    ¿Podría ayudar esto en acotar la complejidad del problema de la factorización?

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  4. Ayer no mas leì este post, y como aficionado a los nùmeros que soy he estudiado las ternas pitagòricas.Esto fuè lo que encontrè en mi diario.

    PRIMERA FORMULA

    m = un nùmero impar, entonces

    m^2 + (1/2(m^2 – 1))^2 = (1/2(m^2 +1)^2

    Tenemos que todo nùmero impar hace parte de una terna pitagòrica.

    1^2 + 0^2 = 1^2

    3^2 + 4^2 = 5^2

    5^2 + 12^2 = 13^2

    7^2 + 24^2 = 25^2

    SEGUNDA FORMULA GENERAL

    a, b, son nûmeros enteros con b impar, entonces

    (4abn)^2 + (4a^2.n^2 – b^2)^2 = (4a^2.n^2 + b^2)

    Ejemplo a = 2, b=3; entonces

    (24n)^2 + (16n^2 – 9)^2 = (16n^2 + 9)^2

    TERCERA FORMULA GENERAL

    b = un nùmero par
    a,n = nùmeros impares, entonces

    (2abn)2 + (4a^2.n^2 – b^2) = (a^2.n^2 + b^2)

    Reconozco que publico estas fòrmulas sin revisarlas.Son apuntes que ya tienen cuatro años

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  5. se me olvidò elevar al cuadrado la expresiòn de la izquierda en la segunda fòrmula, y la tercera fòrmula es

    (2abn)^2 + (4a^2.n^2 – b^2) = (4a^2.n^2 + b^2)^2

    que falla la mia!

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  6. Soy profesor de matemáticas, actualmente estoy jubilado, pero me considero un aficionado a la teoría de números. Considero que existen infinitas formas o modelos matemáticos para hallar ternas pitagóricas. Aquí le presento dos de ellos.
    a)
    Sean “m” y “n” dos números naturales. “m” y “n” continuos.
    x = m + n
    Y = 2mn
    z = 2mn + 1
    b)
    Sean “m” y “n” dos números naturales, preferibles impares y primos relativos.
    f(m, n) = 2m^2 + 2mn + n^2.

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  7. quisiera saber cuantas ternas pitagóricas primitivas hay dado un lado pues tengo una fórmula pero no se como demostrarla

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  8. la formula es la siguiente
    En general, si la descomposición de un numero a en factores primos a=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_n^{a_n} entonces puede ser cateto de 2^{n-1} triángulos pitagóricos primitivos, con una excepción, en el caso que el número dado sea par pero no divisible entre 4, no hay solución; por ejemplo, 30 = 2\cdot3\cdot5 no puede ser cateto de un triángulo pitagórico primitivo, en general no puede ser cualquier número de la forma 4x+2

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