Geometría rica en fibra

Hoy escribe en Gaussianos Enrique Fernández Borja, creador y autor de Cuentos Cuánticos, que se presenta de la siguiente forma:

Soy el que escribe, junto con otros, en Cuentos Cuánticos. De vez en cuando hago algo de física si las ganas, la motivación y la burocracia me lo permiten. Me saqué un par de diplomas de esos que dan en las universidades y ahora doy clases a gente que también quiere uno de esos diplomas. La gente se cree que soy un gato.

Es para mí un placer y una responsabilidad escribir esta entrada en este blog de matemáticas de mi amigo @gaussianos. Antes de meternos en harina he de aclarar un detalle, esta entrada únicamente pretende presentar un concepto ciertamente abstracto, pero intentaré hacerlo de la forma más visual posible intentando no incurrir en errores formales. El principal objetivo es el de mostrar este concepto, que no es muy conocido fuera de los ámbitos técnicos, y alguna de sus aplicaciones en física. Cualquier dislate, incorrección o tontería que aquí se exponga es de mi estricta responsabilidad y agradeceré cualquier comentario o crítica al respecto.

Hoy nos toca hablar de fibrados. Este constructo matemático es de gran riqueza y utilidad tanto en matemática fundamental como en física (lo siento pero no, no ayudan mucho al tránsito intestinal). Usualmente, cuando pensamos en la relación entre física y geometría siempre recurrimos a la Relatividad General para ponerla de manifiesto, sin embargo, la geometría inunda la física de múltiples y hermosas maneras. Uno de los conceptos ubicuos en la formulación geométrica de las teorías físicas es el de fibrado.

Evidentemente no hay espacio, ni es el momento ni el lugar, para escribir un tratado sobre fibrados, pero sí que me gustaría dar la idea esencial de dicha construcción y alguna de sus particularidades y del por qué es tan útil en física. Allá vamos.

Definición chusca de fibrado

En las teorías físicas, un apartado muy importante es el reservado a la siguiente pregunta: ¿dónde formulamos nuestras teorías? O, dicho de otra forma, ¿dónde viven los objetos matemáticos que modelan los aspectos de la realidad? Usualmente, nos interesa que dichos objetos matemáticos, como campos escalares, vectoriales y otros más generales, estén relacionados con el espaciotiempo.

El espaciotiempo se puede definir como un conjunto de puntos que conforman el espacio matemático en el cual definimos o sobre el cual actúan los objetos matemáticos que definen en una teoría concreta las diferentes magnitudes físicas. En las situaciones más generales, desde el punto de vista de la matemática, el espaciotiempo es una variedad diferenciable (usualmente nos referiremos a ellas simplemente como variedades), que denotaremos por \mathcal{M}.

Una variedad es un conjunto de puntos que conforman un espacio que puede ser de una “forma” todo lo alabeada y rara que se nos ocurra y en el que no tenemos, a priori, ni idea de hacer las operaciones básicas del cálculo diferencial, las derivadas. Sin embargo, en este espacio hemos definido varias cosas:

a) Hemos parcheado dicho espacio. Es decir, alrededor de cada punto hemos definido entornos. Dicho parcheado no tiene por qué ser disjunto (es decir, los parches generalmente tendrán intersecciones).

b) Hemos definido una aplicación por la cual cada parche se asocia a un espacio vectorial del tipo \mathbb{R}^n. Es decir, que desde el punto de vista de un observador situado en uno de estos parches todo a su alrededor es como si estuviera en un espacio plano y vectorial de los de toda la vida.

c) Cuando dos parches de estos tienen una intersección no nula, las aplicaciones por las que los asociamos a los \mathbb{R}^n tienen que cumplir ciertas condiciones en la intersección. Esencialmente su composición tiene que estar bien definida y ha de preservar características como continuidad y derivabilidad de las funciones.

La visión matemática es así:

Lo sé, lo sé, es un poco agobiante al principio, sin embargo, todos hemos tenido experiencia directa de este hecho.

Sabemos que la tierra es un objeto que topológicamente es una esfera, pero cualquiera de nosotros sabemos que si miramos en un entorno nuestro (y sin considerar cuestas, montañitas y otros detallitos) la vemos plana (como ven Don Quijote y Sancho Panza la tierra por la que viajan en la simpática imagen que aparece algo más abajo).

Con esto vemos que algo que es globalmente parecido a una esfera, localmente se parece a un plano.

Esto es esencial, porque sólo en los espacios tipo \mathbb{R} (o en los complejos) hemos aprendido a derivar, sumar vectores, etc. Así que cuando uno se topa con espacios más exóticos es bueno poder pasar a este tipo de espacios bien conocidos para poder operar cómodamente tal y como nos han enseñado en la escuela. Ésta es la potencia de las variedades, nos permiten hacer cosas en tales espacios que en principio no tendríamos ni idea de cómo afrontar.

Supongo que ya te habrás dado cuenta, querido lector, de que aún no hemos dicho ni una palabra de fibrados. ¡Efectivamente!, pero nos ponemos enseguida.

Fibrado

A los matemáticos hay dos cosas que los vuelven locos, encontrar un contraejemplo a una conjetura y generalizar una construcción matemática previa. Así que en este caso no iban a ser menos. Ya que tenemos una variedad \mathcal{M}, nos podemos preguntar lo siguiente:

¿Qué pasa si a cada punto de \mathcal{M} le asociamos otro espacio que denotaremos por \mathcal{V}?

Esencialmente lo que tienen en la cabeza es una situación de este tipo:

Aquí la superficie del cepillo sería nuestra variedad \mathcal{M} y en cada punto (evidentemente no es el caso en el ejemplo, pero nos ponemos a abstraer y nos quedamos solos) le asociamos un espacio, una púa, \mathcal{V} en cada punto.

Al espacio \mathcal{M} lo denominamos Variedad Base y a los espacios \mathcal{V} los denominamos Fibras.

Para definir un fibrado, lo único que nos hace falta es construir una aplicación que a cada fibra le asocia el punto de la variedad base al que está anclada. Esto se conoce como proyección y es típico representarlo por \pi.

Así, un fibrado \mathcal{F} es la terna \mathcal{F}=(\mathcal{M},\mathcal{V},\pi):

(Fuente: MathWolrd.)

Es importante remarcar que las fibras suelen ser isomorfas entre sí y que no tienen restricción alguna en términos de dimensiones o topología:

(Imagen tomada del libro “The road to reality” Roger Penrose; Jonatan Cape-2004.)

¿Para qué usan los físicos esta megaconstrucción matemática

Para empezar tenemos que hablar de las secciones del fibrado. Este concepto sutil consiste en “levantar” curvas definidas en el espacio base \mathcal{M} al conjunto de fibras \mathcal{V} del fibrado \mathcal{F}. Es decir, definimos una curva o superficie en la variedad base y asignamos un punto en cada fibra:

Las fibras \mathcal{V} pueden ser espacios vectoriales, grupos de transformaciones de Lie, espacios complejos de tipo \mathbb{C}^n, etc. Con lo cual, con una sección del fibrado lo que estamos haciendo es asignar a cada punto de la curva o superficie del espacio base un vector, un elemento del grupo, un elemento de \mathbb{C}^n. Esto no es más que un campo definido en el espacio base.

Así, gracias a esta construcción podemos tener un entendimiento matemático del concepto de campo físico desde el punto de vista de los fibrados. Los campos de materia, los campos electromagnéticos y el resto de campos físicos serán secciones en su correspondiente fibrado.

Una de las grandes ventajas de trabajar con fibrados aparece cuando las propias fibras corresponden a grupos de Lie. Por ejemplo, U(1), SU(2), SU(3) o SO(3). Matemáticamente estos grupos son, respectivamente, el grupo de las exponenciales complejas de módulo 1, el de las matrices complejas unitarias de determinante unidad de orden 2 y 3, respectivamente, y el de las matrices ortogonales de determinante unidad de orden 3 que representa el grupo de las rotaciones en el espacio tridimensional. Estos grupos son interesantes porque definen las teorías físicas que describen las interacciones en el modelo estándar que es el modelo teórico que mejor describe la física de partículas. Por poner un ejemplo, si describimos una curva cerrada en un espacio cuyas fibras son el grupo de las rotaciones, el SO(3), lo que obtenemos al final es una rotación.

Primero hagamos un transporte paralelo de un vector en una variedad (una esfera en este caso) y veamos que hay una rotación:

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El resultado final, como se ve en la imagen, es una rotación del vector inicial en un cierto ángulo. Desde el punto de vista del fibrado, lo que ha pasado es:

Es decir, nos hemos movido en la fibra del grupo SO(3), con lo cual hemos pasado de un elemento del mismo al otro, eso no es más que una rotación. Por lo tanto, aquí se hacen visibles las transformaciones que exigimos en los objetos físicos que representan nuestras magnitudes físicas.

La otra cuestión importante es la de paralelismo en el fibrado. El problema que se plantea en este contexto es el de comparar puntos definidos en diferentes fibras. ¿Cómo podemos dar una noción de paralelismo? En este contexto paralelismo implica la capacidad para comparar los puntos de cada fibra que se han singularizado mediante una sección. Esto no es nada trivial; de hecho, hay que hacer una elección en cada caso de qué consideramos comparable o no (es decir, qué consideramos “paralelo” o no) dentro del fibrado.

En términos matemáticos elegir la noción de paralelismo es construir una conexión. Este objeto es capaz de conectar una fibra con otra de forma que partiendo de un punto en una fibra nos indica a qué punto de otra fibra llegaremos siguiendo su noción de “paralelismo”.

La importancia física de este concepto de conexión es que corresponde a los potenciales que definen las teorías gauge. Es decir, estos objetos condensan la forma de interacción fundamentales de la naturaleza. Si el fibrado tienes fibra U(1) el resultado es la teoría del electromagnetismo, si la fibra es de tipo SU(2) la conexión nos indica el campo débil y en el caso de SU(3) obtendremos el campo de gluones, el responsable de la interacción fuerte.

Conclusiones y textos para profundizar

Casi siempre, por ser comedidos, una mejor comprensión y una profundización en las estructuras matemáticas que subyacen a las teorías físicas contribuyen a explorar nuevas consecuencias de las teorías que serán susceptibles de ser puestas a prueba en los experimentos. El uso de los fibrados en física se hizo necesario, en mi opinión, en el momento en el que Yang y Mills escribieron su artículo sobre invariancia gauge “Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance” en 1954, el cual abrió la puerta para diseñar las teorías que ahora conocemos como de tipo “Yang-Mills”. Estas teorías son las que han sido usadas para describir las interacciones fundamentales no gravitatorias en términos cuánticos. Su importancia no es nada desdeñable, y además hay un premio de la fundación Clay de un millón de dólares sobre un problema asociado a esta teoría de Yang-Mills. Si tienes un rato e interés… lo mismo tienes la suerte de solucionarlo (acuérdate de enviarme un detallito).

Si alguno de vosotros, queridos lectores, tiene interés en profundizar en este tema en el que se entremezclan de una forma bellísima conceptos físicos y matemáticos, os dejo un par de referencias:

  • Libro Modern differential geometry for physicists
    Chris J Isham
    World Scientific Lectures Notes in Physics – Vol. 61
    http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/3867

    Este libro es un fantástico primer paso para entrar en los temas de la topología, las variedades diferenciales y los fibrados necesarios para acceder a las teorías físicas más novedosas.

  • Preparation for gauge theory
    George Svetlichny
    arXiv:math-ph/9902027v3

    En este texto encontraremos todo el esplendor de la teoría de fibrados aplicada a la teoría gauge.

Nos seguimos leyendo…


Esta es la primera aportación de Gaussianos a la Edición 4.12310562 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión tiene a Marta Macho como anfitriona a través del blog ZTFNews.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

3 Comentarios

  1. Un buen ejemplo de fibrado es el fibrado de Hopf, que va de la 3 esfera en la 2 esfera, en el cual, a grosso modo, a cada círculo de la 3 esfera se le asocia un único punto de la 2 esfera.

    Además, lo bonito y curioso de este fibrado es que no es homotópico a un punto, por tanto el tercer grupo de homotopía de la 2-esfera es no trivial.

    Esto nos dice, en contra de toda intuición, que la 2 esfera tiene “agujeros” de dimensiones superiores!!!

    Sin duda algo apasionante esto de la Geometría Diferencial.

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  2. Vi traducido por ahí “gauge” por “recalibrado”. Y aunque venía al lado de “invariante” en lo que sin duda era “invariante gauge” (ponía “invariante por recalibrado”, claro), parece acertado usar la traducción en cualquier contexto ¿no? Al fin y al cabo hemos traducido “fibered” por “fibrado”

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