Gömböc: ¿qué forma tiene la casi total ausencia de equilibrio?

En nuestra vida podemos encontrar ciertos objetos con mucha asiduidad, objetos que aparecen mucho ante nuestros ojos a lo largo del día. Objetos habituales, vamos. También podemos encontrar objetos poco habituales, que no vemos con demasiada frecuencia. Digamos objetos raros. O sea, que cualquiera de nosotros clasificaría estos objetos como objetos con forma habitual y objetos con forma rara. Cuando uno conoce la existencia de la figura que presentamos en este artículo dicha clasificación adquiere una categoría propia para ella. Vamos, que nuestro protagonista de hoy se sale de la norma por peculiar forma y sus curiosas características. Y por ello seguro que muchos de vosotros habríais cambiado vuestra carta a los Reyes Magos si hubierais sabido de la existencia de esta figura hace unos cuantos días.

En definitiva, nos referimos a la figura conocida como Gömböc.

Pero, ¿qué es un Gömböc?

Bien, esto es un Gömböc:

Gömböc Gömböc

Un Gömböc es una figura tridimensional, homogénea y convexa con un único punto de equilibrio estable y un único punto de equilibrio inestable. Esta última característica es la que le da al Gömböc el calificativo de figura especial: el hecho de que tenga un único punto de equilibrio estable supone que coloquemos como coloquemos un Gömböc, éste se autocorrige, terminando siempre en la misma posición, sobre su punto de equilibrio estable. Ver cómo lo hace es bastante curioso. Aquí os dejo un vídeo donde podéis admirar esta capacidad de autocorrección del Gömböc:

Antes de seguir quiero hacer un apunte, para que nadie se lleve a engaño: las curiosas características y capacidades del Gömböc no tienen nada que ver con el peso de las distintas partes de la figura. Vamos, que esta figura no es como un tentetieso, juguete que muchos de nosotros hemos disfrutado de pequeños que podríamos decir que tiene propiedades parecidas, ya que el material del Gömböc es homogéneo, mientras que en un tentetieso los pesos son distintos.

El descubrimiento del Gömböc se debe a dos matemáticos húngaros, Gábor Domokos y Péter Várkonyi, con la inestimable ayuda teórica del gran Vladimir Arnold.

¿De dónde salió el Gömböc?

Como no podía ser de otra manera, la historia del descubrimiento y posterior construcción del Gömböc también tiene sus propias curiosidades. Si hablamos de figuras en dos dimensiones, lo mejor a lo que podemos aspirar es a tener una figura con dos puntos de equilibrio estables y dos inestables. Y durante mucho tiempo se pensó que para figuras en tres dimensiones la cosa sería igual que en dos. El propio Domokos creía que era así. Le era imposible pensar en una figura con sólo un punto de equilibrio estable y otro inestable, por lo que intentó probar que dicha figura no existía. Evidentemente no tuvo éxito.

Y aquí es donde entra la mente privilegiada de Vladimir Arnold. Fue él quien habló con Domokos de la posibilidad de que dicha figura sí existiera, vamos, fue él quien conjeturó la existencia de cuerpos en tres dimensiones con sólo dos puntos de equilibrio (uno estable y otro inestable), denominados por él mismo mono-monoestáticos. Por suerte, esta conversación cambió la forma de ver el problema que tenía Gábor, pasando al ataque de forma totalmente opuesta: buscando la figura especial.

Y vaya si la encontró. Bueno, la encontraron. Él y Péter Várkonyi, un antiguo alumno suyo. Y tardaron unos 10 años en ello, desde que Arnold conjeturara su existencia hasta que Domokos y Várkonyi consiguieran demostrar dicha existencia y lo construyeran. Y de hecho encontraron más cosas. La figura denominada Gömböc que podemos ver en este artículo no es única, es el representante de una clase de objetos con las mismas propiedades matemáticas. Vamos, que el Gömböc es algo así como la punta del iceberg que forman los objetos con estas características.

En cierto sentido la propiedad de autocorrección del Gömböc se asemeja a la capacidad de ciertos animales, como las tortugas o los escarabajos, para volver a su posición estable:

Para finalizar con el tema matemático, una cuestión que al menos a mí me ha parecido muy curiosa. Por extraño que parezca, el Gömböc tiene muchas propiedades en común con la esfera (de hecho Gömb significa esfera en húngaro). Teniendo en cuenta que físicamente no se parecen mucho, sorprende que matemáticamente compartan cosas.

Y para terminar os dejo esta animación sobre el Gömböc, que es uno de los vídeos que más me ha gustado de entre los muchos que he visto sobre este curiosísimo objeto:


Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

20 Comentarios

  1. ¿Dónde se puede comprar uno? Y lo digo en serio. Muy curiosos estos engendros..

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  2. Esta clase de cuerpos me parece tan sorprendente como la historia de su búsqueda. Tienen algunas propiedades de la esfera y del cilindro.

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  3. Lo de que hay un solo punto de equilibrio inestable no lo acabo de entender. ¿Cómo se define punto de equilibrio? Supongo que una condición del estilo “la perpendicular al plano tangente en ese punto y que pasa por ese mismo punto también pase por el centro de gravedad”. Sin embargo, con una definición más laxa salen muchos puntos de equilibrio en cualquier figura. Por otra parte, ese sólido tiene una suerte de arista, con lo que lo del plano tangente se va a la porra.

    Voy a buscar un poco a ver si me lo aclaro.

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  4. “la perpendicular….” es cierto, pero la arista que supones recta es curva y el punto de equilibrio inestable está en su centro, que sí es único.

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  5. Oye, gracias, si no me avisas de que es curva no me entero. No tengo otro nombre para la arista curva que el de arista. En fin.

    Entiendo que para la arista hay que sustituir plano tangente por tangente. Pero, ahora sí que no lo veo bien en las ilustraciones, por lo menos hay dos vértices y ahí vale absolutamente todo como equilibrio inestable.

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  6. @Vayapordios, en Wiki te lo explican.

    No vale todo como punto de equilibrio inestable, pues debe poder ser punto de equilibrio, lo de inestable viene de que cualquier variación en dicho punto, derivará en otro punto de equilibrio (no necesariamente estable aunque en este caso no queda otra).

    En el caso del tentetieso, se ve cláramente (creo) que tiene también dos puntos de equilibrio, uno estable (la parte en la que está el peso y es semiesférico) y otro inestable, que es la punta opuesta. Es de equilibrio (la punta), porque lo puedes poner en equilibrio mecánico respecto de la gravedad (en este caso únicamente se contempla en el equilibrio la fuerza de la gravedad, podrían ser más como el viento, un motor, etc… pero aquí sólo es la gravedad… y la mesa sí).

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  7. No responde a lo que ocurre en un vértice. Lo que creo que ocurre es que las superficies que los determinan están muy bien escogidas, que no es posible que apoyado en uno de ellos, la vertical pase por el centro de gravedad.

    Wikipedia es muy pobre en algunos problemas.

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  8. “No responde a lo que ocurre en un vértice”

    No estoy seguro, pero supongo que si intentas poner en equilibrio el Gömböc en uno (o un par) de los cuatro vértices, el ángulo con que debes inclinarlo es tal, que el plano sobre el que se asienta el Gömböc (la mesa) intersecta con alguna de las superfícies del Gömböc.

    Siendo un poco bruto, es como intentar posar un vaso en una mesa, asentando la parte interior de la base del vaso, no se puede porque el resto del vaso lo impide.

    Parece claro que, sobre un único punto (un palo vertical), el Gömböc no tiene puntos de no equilibrio (pues es convexo).

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  9. No tiene nada que ver con el articulo… como la mayoria de los demas comentarios, pero, me hace gracia lo que os gusta a los matematicos el LaTex.

    Tengo un amigo matematico que lleva años intentando que yo lo aprenda y la verdad, me hace gracia porque es exactamente lo mismo que el codigo que se usaba en las primeras componedoras electronicas para artes graficas, hace unos cuarenta años (En España, claro).
    Aquellas maquinas sin pantalla y que utilizaban cintas de papel perforado usaban codigos para crear distintos tipos de composiciones del mismo modo que lo hace el LaTeX.

    Y me hace mucha gracia porque entre cientificos o aquellos que quieren serlo, retrotraerse a tecnicas tan “prehistoricas” tecnologicamente como algo moderno y utilitario no deja de ser curioso.

    Aun recuerdo la primera vez que mi amigo me hablo del LaTeX como algo novedoso y maravilloso que le permitia crear textos sin tener que andar con edictores “complicados” y yo, que me he pasado la vida confeccionando textos, siempre quise escapar de las lineas de comandos.

    A veces no hay nada nuevo bajo el sol, solo nuestra propia ignorancia sobre lo que no vemos.
    Esto si es una paradoja.

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  10. J.Diaz, la forma en que ves lo que comentas, es la habitual, sin embargo nada tiene que ver con “retrotraimientos” ni paradojas.

    Cada cual utiliza las herramientas que mejor se adaptan a sí mismo, al problema y al contexto.

    El “yo”, el problema y el contexto de los científicos se parece bastante poco del “yo”, el problema y el contexto de las imprentas.

    En mi opinión, los científicos (así en general) son tan pragmáticos que no dudan en usar herramientas milenarias si son eficientes (so pena de tildarlos majaderos) y a la vez, estar todo el día pensando en cómo mejorar e innovar cualquier cosa.

    Esto que pudiera parecer contradicción, me parece muy inteligente y fantástico.

    No dudes ni un momento, que los científicos dejarán de usar LaTeX en cuanto tengan una herramienta mejor.

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  11. tienen la demostraciones matematicas que habran hecho? no las entendere pero seria divertido verlas :3

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  12. will, no, no las tengo. Pero en la web oficial del Gömböc hay algunos datos sobre las matemáticas del asunto.

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