Halla el circunradio (ACTUALIZADO)

Os dejo el problema semanal de esta semana:

Sea ABC un triángulo tal que \angle BAC=60^\circ. Sean P y Q, respectivamente, los puntos de intersección del lado AC con la bisectriz del ángulo \angle ABC y de
AB con la bisectriz de \angle ACB. Finalmente, sean r_1 y r_2 los inradios (radios de las circunferencias inscritas) de los triángulos ABC y APQ, respectivamente. Hallar el circunradio (radio de la circunferencia circunscrita) del triángulo APQ en función de r_1 y r_2.

Que se os dé bien.

Actualización:

Añado esta imagen representativa del problema:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

10 Comentarios

  1. El radio es la distancia entre los centros de r1 y r2, igual a (r1-r2)/sin30º

    Publica una respuesta
  2. Si el ángulo BAC=60º, el ángulo que forman las bisectrices del triángulo ABC es de 120º, ángulo BIC=120º=ángulo PIQ. De la misma forma en el triángulo APQ el ángulo PSQ=120º. Al ser el ángulo inscrito en la circunferencia circunscrita PAQ=60º y el ángulo QIP=120º también es inscrito. Por lo tanto el incentro “I” pertenece a la circunferencia. Si trasladamos el circulo circunscrito al triangulo APQ de forma que su centro coincida con el punto “I”, al ser su ángulo central PIQ=120º y tambien PSQ=120º, entonces el incentro “S” pertenece a esta circunferencia. El radio es la distancia entre los centros “I” y “S”, r=2(r1-r2)

    Publica una respuesta
  3. Sebas no se si este mal pero , ¿ asumes que \angle BQC =90 es decir que Q coincide con el punto de tangencia ?

    Publica una respuesta
  4. El gráfico advierte que es una imagen representativa, que con la realidad tiene poca coincidencia. La circunferencia inscrita, no es inscrita…. Y por una parte existe el triángulo IEP, que en la otra parte debería existir otro igual I?Q girado 120º respecto de “I”
    Si el ángulo en A igual a 60º, el ángulo en B igual a B, el ángulo en C es 120-B, el ángulo IBC=B/2, ángulo ICB=60-B/2, entonces el ángulo BIC=180-B/2-(60-B/2)

    Publica una respuesta
  5. Para la conclusión final de Sebas se puede observar que como A,Q,I,P son concíclicos, el ángulo PQI vale 30º porque es igual al IAP. También QPI vale 30º. Si O es el centro de la circunscrita a APQ, PQO=QPO=30º. Entonces I es el simétrico de O respecto a QP, y reflejando la circunferencia circunscrita a APQ sobre QP, obtenemos una circunferencia con centro en I que pasa por S, porque QSP=120º.

    Publica una respuesta
  6. Otra prueba:

    \angle PIQ=\angle CIB = 180^\circ-(\angle CBI +\angle BCI)=180^\circ-\frac{1}{2}(\angle CBA+\angle BCA)=120^\circ .

    Por tanto, el cuadrilátero APIQ es cíclico, y la circunferencia circunscrita pasa por I.

    Según el teorema del seno, \dfrac{IP}{sen \angle IAP}=2R, con lo que R=IP (circunradio).

    Dado que S es incentro de \triangle APQ e I es intersección de la circunferencia circunscrita con la bisectriz de \angle PAQ, se tiene que IS=IP=IQ.

    Finalmente, si las circunferencias inscritas de \triangle ABC y \triangle APQ tocan al segmento AC en E y F, respectivamente, entonces

    R=IP=IS=AI-AS=\dfrac{IE}{sen 30^\circ}-\dfrac{SF}{sen 30^\circ}=2(r_1-r_2).

    Publica una respuesta
  7. Muy buena solución Sebas , Fede y M. La solución de M es más corta aplicando el teorema del seno para obtener R=IP.
    Para seguir el razonamiento, he escrito un documento aparte con la figura correspondiente.
    En el siguiente enlace podéis ver dicho documento:

    https://www.dropbox.com/s/jbd6b22g6hpr3sq/Gaussianos1.pdf

    Sobre este tipo de geometría (geometría sintética o geometría antigua) ¿ya no se enseña? en mi caso, ni en bachillerato ni en la licenciatura de Matemáticas tuve una asignatura de ésto, recuerdo algo de la secundaria. No sé si se debe a que es demasiado ”básico”, o que es un tema demasiado antiguo, pero creo que al menos un licenciado en Matemáticas debería conocer y tener soltura con este tipo de cuestiones. En mi caso, en la licenciatura, toda la geometría se desarrolla a partir del álgebra lineal, pasando por la geometría proyectiva, siguiendo por la topología, topología algebraica y acabando en la geometría diferencial en variedades. Entiendo, las limitaciones de la geometría sintética frente a la geometría analítica, ésta última nos permite saber cosas de espacios de más dimensiones y más abstractos…
    En fin, como estoy bastante verde en este tema, ¿me podéis recomendar algún libro?
    Gracias de antemano.

    Publica una respuesta
  8. RB, algunos libros sobre geometría sintética:
    (Todos me parecen recomendables.)

    Puig Adam. Geometría métrica I-II.
    Robert Bix. Topics in geometry.
    Euclides. Elementos.
    F.G.M. Exercices de géométrie.
    I.M. Yaglom. Geometric transformations I-IV.
    Roger A. Johnson. Advanced euclidean geometry.
    Honsberger. Episodes in nineteenth and twentieth century euclidean geometry.
    Luigi Cremona. Elements of projective geometry.

    Publica una respuesta
  9. Gracias fede, estuve mirando el primer tomo de Puig Adam. Geometría métrica y tiene buena pinta.

    Por cierto, ¿alguien ha intentado dar una solución analítica? Si tomamos como referencia un sistema en el que el origen sea el punto A, y como base ortonormal \{u,v\} donde u=B-A.
    En este sistema las coordenadas de A,B,C son A=(0,0), B=(1,0) y C=\rho e^{i\pi/3}=\left(\frac{\rho}{2},\frac{\rho\sqrt{3}}{2}\right), donde \rho>0.
    De esta forma, sólo tenemos que tratar con el parámetro \rho y en teoría el problema se reduciría a una comprobación. Aunque, no se si los cálculos se volverían muy tediosos. Si tengo tiempo, intentaré dicha comprobación.

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: Os dejo el problema semanal de esta semana: Sea un triángulo tal que .…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *