Halla la terna de números reales

Hoy lunes os dejo el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente:

Hallar todos los números reales x,y,z que cumplen

\cfrac{3x-y}{x-3y}=x^2,\;\;\cfrac{3y-z}{y-3z}=y^2,\;\;\cfrac{3z-x}{z-3x}=z^2

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

16 Comentarios

  1. Si existe solución, todos los valores deben ser distintos entre sí y de 0

    Si x = y, la 1ª ecuación queda x^2 = -1, y en las otras siguiendo el mismo método deducimos que x y,z e y z.

    Ningún valor puede ser cero pues genera 0 = -1/3

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  2. Con paciencia y una caña he encontrado cuatro ternas válidas:

    0.121422…, 0.379250.. y 1.905341
    0.246478…, 0.885923… y -1.448750…
    0.524840…, 8.235741… y 2.636783…
    0.640250…, -4.057159… y -1.128777…

    Cada una de ellas puede aplicarse cíclicamente a (x,y,z) o a (y,z,x) o a (z,x,y)
    Además se pueden cambiar los signos de cada terna simultáneamente y sigue siendo válida.

    Hay, pues, 4 x 3 x 2 =24 soluciones reales válidas.

    Mi método pedestre ha consistido en tabular la función u=(v^3-3v)/(3v^2-1), equivalente a las del enunciado, obtener y en función de x y z en función de y y comprobar si la x obtenida de esta z coincicide con la utilizada para el cálculo anterior.

    Con 45 minutos d EXCEL ha sido suficiente.

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  3. No hay ningún valor.
    Cada una de las igualdades se refieren a sólo un par de variables, esto es, define una curva en el plano que hace la variable complementaria igual a cero.
    El único punto en el que interseccionan los tres planos que continenen cada una de las curvas es el (0,0,0) pero esto es imposible porque cada una de las tres igualdades no están definidas en dicho punto.

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  4. Smart

    ¿Por qué dices que hace la variable complementaria = 0?

    Yo creo que sondos familias de superficies (por la separación entre las singularidades) como tu dices, pero con la variable complementaria cualquiera.

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  5. Mi planteamiento ha sido despejar y, z y x en las tres funciones. Después he sustituido y en la segunda para hallar z en función de x, y a partir de esta, z en la tercera, quedando una función de x. Esta función tiene 24 soluciones:

    -8,235740955
    -4,057159486
    -2,636783296
    -1,905340819
    -1,448750113
    -1,128766661
    -0,885922694
    -0,690250162
    -0,524840488
    -0,379249976
    -0,246477864
    -0,121421984
    0,121421984
    0,246477864
    0,379249976
    0,524840488
    0,690250162
    0,885922694
    1,128766661
    1,448750113
    1,905340819
    2,636783296
    4,057159486
    8,235740955

    A partir de cada una de ellas se calculan los valores correspondientes de y y z.

    -8,235740955 -2,636783296 -0,524840487
    -4,057159486 -1,12876666 0,690250162
    -2,636783296 -0,524840488 -8,235740987
    -1,905340819 -0,121421988 -0,379249993
    -1,448750113 0,246477863 0,885922693
    -1,128766661 0,69025016 -4,057159549
    -0,885922694 1,448750111 -0,246477865
    -0,690250162 4,057159485 1,12876666
    -0,524840488 -8,235741057 -2,636783331
    -0,379249976 -1,905340819 -0,121421988
    -0,246477864 -0,885922699 1,448750087
    -0,121421984 -0,379249978 -1,905340843
    0,121421984 0,379249978 1,905340843
    0,246477864 0,885922699 -1,448750087
    0,379249976 1,905340819 0,121421988
    0,524840488 8,235741057 2,636783331
    0,690250162 -4,057159485 -1,12876666
    0,885922694 -1,448750111 0,246477865
    1,128766661 -0,69025016 4,057159549
    1,448750113 -0,246477863 -0,885922693
    1,905340819 0,121421988 0,379249993
    2,636783296 0,524840488 8,235740987
    4,057159486 1,12876666 -0,690250162
    8,235740955 2,636783296 0,524840487

    Son las mismas soluciones de JJGJJG.

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  6. undefined soy yo.

    Quería decir que en la forma de JJGJJG cada ecuación tiene 2 singularidades y por tanto 3 superficies diferentes. Sus intersecciones son 9 curvas y 27 puntos, pero el punto (0,0,0) no es válido (y creo que es triple) y pasaríamos a 24 soluciones como indica JJGJJG.

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  7. No aporto nada nuevo. Sólo cuento que con Mathematica son dos líneas (y ningún mérito claro):

    f[a_]=(a (a^2 – 3))/(3 a^2 – 1) que es la expresión que nos da la segunda variable en función de la primera en los pares (x,y), (y,z), (z,x), y como tenemos que “volver al mismo sitio”, ha de resolverse:

    Solve[Composition[f, f, f][x] == x, x]

    Salen las 24 que algunos ya habéis comentado (y tres que se cuelan al considerar f[a_], 0, i y -i).

    {{x -> 0.}, {x -> 0.- 1. I}, {x -> 0.+ 1. I}, {x -> -0.246478}, {x ->
    0.246478}, {x -> -0.52484}, {x -> 0.52484}, {x -> -0.885923}, {x ->
    0.885923}, {x -> -1.44875}, {x -> 1.44875}, {x -> -2.63678}, {x ->
    2.63678}, {x -> -8.23574}, {x -> 8.23574}, {x -> -0.121422}, {x ->
    0.121422}, {x -> -0.37925}, {x -> 0.37925}, {x -> -0.69025}, {x ->
    0.69025}, {x -> -1.12877}, {x -> 1.12877}, {x -> -1.90534}, {x ->
    1.90534}, {x -> -4.05716}, {x -> 4.05716}}

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  8. Aunque ya se han dado las 24 soluciones posibles, solamente indicar que éstas se pueden expresar de forma compacta como

    (x,y,z)=(\tan(\frac{k\pi}{26}),\tan(\frac{3k\pi}{26}),\tan(\frac{9k\pi}{26})), 1\leq |k|\leq 12, \;k\in\mathbb{Z}.

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  9. Albert, vamos a dejar un tiempo, para ver si alguien se anima a deducir el resultado una vez sabido el mismo. Este problema, de partida, es de idea feliz, o al menos así me lo parece.

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  10. La fórmula para la tangente del ángulo triple es del todo idéntica a la que ha manejado JJGJJG u=\frac{v^{3}-3v}{3v^{2}-1}

    tan(3\alpha)=\frac{tan^{3}(\alpha)-3tan(\alpha)}{3tan^{2}(\alpha)-1}

    Por tanto y dado que las equaciones son idénticas y “telescopicas” si x = tan(\alpha) es parte de una terna solución , los otros dos miembros de la misma terna son y = tan(3\alpha) y z = tan(9\alpha)

    Luego se tiene que podemos despejar x en función de y, y en función de z y, cerrando una especie de ciclo, z en función de x. De este modo se debe cumplir que x es igual a sí misma, o sea x = tan(\alpha) =  tan(27\alpha) . Esto es posible si los valores del ángulo difieren \pi radianes \alpha + k\pi = 27\alpha con k entero. \alpha = \frac{k\pi}{26} y x = tan(\frac{k\pi}{26}) Por último, k no puede ser 13 porque el argumento de la tangente es en ese caso \pi / 2 Con k = 14 en adelante se reproducen las soluciones k = -11 hacia adelante, lo que completa la restricción sobre el valor de k, 1 \leq \left | k \right | \leq 12 (a lo que he añadido la restricción de que el valor x = 0 (0 para el argumento de la tangente) está descartado por las razones ya comentadas)

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  11. Muy buena, Maestrillo.

    En general la expresión tg(n x) se expresa como función racional de tg(x), en términos de coeficientes binomiales con signos alternos como

    tg(nx)=\cfrac{\binom{n}{1}tgx-\binom{n}{3}tg^3x+\binom{n}{5}tg^5x-\ldots+(-1)^{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor-1}\binom{n}{2\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor-1}tg^{2\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor-1}x}{\binom{n}{0}-\binom{n}{2}tg^2x+\binom{n}{4}tg^4x-\ldots+(-1)^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\binom{2}{2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}tg^{2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}x}.

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  12. Maestrillo, me la has pisado. Ya me había dado cuenta de que mis fórmulas eran las de la tangente del ángulo triple. Debo reconocer que la bombilla se ha encendido cuando he visto las soluciones de M

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  13. He releído mi comentario y hay fallos de redacción. Las incógnitas se despejan justo a la inversa de lo que digo (si no no hay “cierre de ciclo” que valga o bien se cerraría de otra manera) Tenemos y en función de x, z en función de y y x en función de z. El valor de x como entrada de la primera ecuación debe coincidir con el que sale de la última, claro. Otro fallo es que afirmo que la solución con k = 14 es la misma que con k = -11 cuando en realidad es con -12. Luego digo que la diferencia entre los argumentos de las tangentes debe ser pi, pero es en realidad “múltiplo entero de pi” (aunque de hecho lo uso correctamente a continuación)

    Tengo que reconocer que sin la indicación de M, no me habría salido en años, pero vaya en mi beneficio que de una manera algo tenue, la fórmula de JJGJJG ya me “olía” a formula de la trigonometría. La he sacado de una más general de la wikipedia (la de la tangente de la suma de varios ángulos cualesquiera en función de las tangentes de esos ángulos)

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$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

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Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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