Hallemos la función

Vamos con el problema semanal:

Dado $0 < \alpha < 1$ , hallar todas las funciones continuas $f:\; [0,1] \to \mathbb{R}$ que cumplen lo siguiente:

$|f(x)-f(y)| \geq |x-y|^\alpha$

Ánimo y a por él.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 13 de October de 2009
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Bitacoras.com
Manzano | 13 de October de 2009 | 09:54

La función f ha de ser inyectiva ya que si $f(x)=f(y)$ , entonces de la desigualdad del enunciado se deduce que $|x-y|^\alpha\leq 0$ y, por tanto, $x=y$ . Consideremos la función inversa $g=f^{-1}$ , que estará definida en un cierto intervalo compacto $[a,b]$ y toma valores en $[0,1]$ . Sustituyendo $x=g(t)$ y $y=g(s)$ para $t,s\in[a,b]$ , tenemos que

$|t-s|=|f(g(t))-f(g(s))|\geq|g(t)-g(s)|^\alpha$

luego es fácil deducir que

$\displaystyle\left|\frac{g(t)-g(s)}{t-s}\right|\leq|t-s|^{1/\alpha-1}$

que es una igualdad válida para cualesquiera $t,s\in[a,b]$ con $t\neq s$ luego, fijando el punto $s$ y tomando límite en $t$ cuando $t\rightarrow s$ , el miembro de la derecha tiende a cero (ya que $1 / \alpha - 1$ es estrictamente positivo) lo que nos dice que la función $g$ es derivable en todo punto de $[a,b]$ y su derivada vale cero. En consecuencia, $g$ es constante en $[a,b]$ , pero esto contradice que sea la inversa de $f$ ya que, en particular, tendría que ser inyectiva. Deducimos que no existe ninguna función continua verificando la desigualdad del enunciado.
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Hallemos la función
M | 13 de October de 2009 | 23:31

Muy buena, Manzano. Simplemente comentar que, de existir tal función, sería no derivable en todo punto. Hay (al menos) otra forma de probar que no existen tales funciones sin usar la inversa, pero sí que usa la monotonía de la función.
Manzano | 14 de October de 2009 | 10:10

Una pregunta que me parece muy interesante a partir de este problema es si realmente es necesaria la hipótesis de continuidad. En otras palabras, ¿existe una función $f$ no continua verificando la desigualdad del enunciado? Está claro que en tal caso $f$ tiene que ser inyectiva y su inversa $g$ (que ahora estará definida en un conjunto $A=f([0,1])$ que no tiene por qué ser un intervalo) sigue siendo derivable (en los puntos $a\in A$ tales que exista una sucesión $\{a_n\}\rightarrow a$ con $a_n\in A-\{a\}$ ) y tiene derivada cero. Ahora bien, si $A$ contuviera algún intervalo podría razonarse que $g$ es constante en dicho intervalo y llegar a una contradicción. De hecho, si $f$ es continua en algún punto, como además es inyectiva, su imagen tiene que contener algún intervalo lo que nos lleva a que, de existir tal $f$ , no puede ser continua en ningún punto. No obstante, $A$ puede ser un conjunto no numerable que no contenga ningún intervalo (como por ejemplo el conjunto de Cantor) por lo que hay argumentos a favor de cualquiera de las dos respuestas. ¿Alguien se atreve a terminar la demostración o bien probar que existe un ejemplo de función no continua cumpliendo la desigualdad del enunciado?
M | 14 de October de 2009 | 23:46

Manzano, aunque aún no tengo nada concluyente para tu cuestión, hay un hecho que me inclina a pensar que quitando la continuidad tampoco existe tal función. Es el siguiente:

la función tendría que ser totalmente discontinua en $[0,1]$ y, lo que es más, la variación total de tal función en cualquier intervalo $[a,b]\subset [0,1]$ sería infinita, ya que

$\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} |f(x_{i+1})-f(x_i)|}=\infty$ , con $x_i=a+(b-a)\cdot i/n \;(0\leq i\leq n).$
M | 17 de October de 2009 | 17:46

Si eliminamos la condición de continuidad sobre la función $f$ también se deduce la imposibilidad de su existencia. Mi respuesta usa la condición de Hölder http://en.wikipedia.org/wiki/H%C3%B6lder_condition (ver el tercer y el último ejemplo en el link).

Si $f$ cumple la condición del enunciado, entonces su inversa (definida en la imagen de $f$ ) $g:\;Im(f)\subset \mathbb{R}\to [0,1]$ satisface la condición de Hölder con exponente $\alpha^{-1}$ >1. El asunto es que $Im(f)$ no tienen porqué contener intervalos.

Sin embargo, $g$ se puede extender uniformemente a todo $\mathbb{R}$ conservando la condición Hölder (con la misma constante y mismo exponente), es decir, existe $g^*:\;\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $g^*_{|Im(f)}=g$ y $|g^*(s)-g^*(t)|\leq |s-t|^{1/\alpha}$ , $\forall s,t\in \mathbb{R}$ . Pero, dado que $\alpha^{-1}$ >1, esto implica que $g^*$ es constante (pues su derivada es idénticamente nula), y en consecuencia tambien lo sería la propia $g$ , que es contradictorio.
Manzano | 18 de October de 2009 | 18:52

Muy bonita la demostración, M. Me ha gustado mucho este problema.