I will derive

Hoy domingo os traigo un clásico de los vídeos friki-matemáticos que pululan por internet. Se trata del famosísimo I will derive, versión matemática del conocido tema I will survive de Gloria Gaynor. Os dejo el vídeo de este temazo subtitulado al español:

Después del divertidísimo …Banach-Tarski! que pudisteis ver por aquí hace unos días creo que era casi obligatorio que esta joya apareciera en el blog.

¿Conocéis más vídeos de este estilo?

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

9 Comentarios

  1. Cálculo de las constantes en integración de funciones racionales

    En integración de funciones de una variable se considera función racional a un cociente de polinomios, por lo que el objetivo en este caso es calcular la integral de la funcion racional
    P(x)/Q(x)

    donde tanto P(x) como Q(x) son polinomios.
    Sin entrar en muchos detalles sobre su resolución, la cuestión es que cuando el grado del polinomio de arriba es menor que el grado del polinomio de abajo debemos factorizar el de abajo y expresar el cociente de polinomios como suma de fracciones simples en cuyos numeradores aparecen constantes que hay que determinar. Nos situamos, ¿verdad?
    Bien, hay varios métodos para calcular esas constantes, para los cuales primero hay que expresar esa suma de fracciones simples como una única fracción cuyo denominador será el inicial, Q(x). Después igualamos numeradores, el inicial, P(x), y el que nos queda en dicha fracción, con lo que obtenemos una igualdad de polinomios.

    Los dos métodos son los siguientes:
    1. Igualamos los coeficientes pertenecientes al mismo monomio de los dos polinomios. Con esto obtenemos un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son las constantes que queremos calcular. Resolvemos el sistema y ya tenemos dichas constantes.
    2. Sustituimos x por tantos valores distintos como constantes haya que calcular. Con cada valor sustituido obtenemos una ecuación. Resolviendo el sistema formado por todas ellas obtenemos también nuestras constantes.
    Los dos son válidos, ya que se basan en las propiedades de la igualdad de polinomios:
    1. Si dos polinomios son iguales, entonces los coeficientes del mismo monomio de cada polinomio son iguales.
    2. Si dos polinomios son iguales, entonces los valores que dejan al sustituir la variable por cualquier número real son iguales.
    Bien, pues este año un profesor de uno de los grupos que tengo les ha comentado que el segundo método no siempre sirve, que no nos va a dar las soluciones correctas en todos los casos. Así, sin más, sin dar ninguna explicación o al menos un ejemplo en el que eso ocurra.
    La cuestión es que este segundo método suele dejar ecuaciones más sencillas que el primero, por lo que el cálculo de las constantes es mucho más rápido y, por tanto, más sencillo. ¿Por qué decirles que no sirve siempre? Lo único que se me ocurre es que él prefiera que resuelvan estos ejercicios igualando los coeficientes de ambos polinomios, pero ¿es necesario decirles algo que no es cierto? Yo creo que no.

    RESPUESTA:
    Supongamos que estamos en la situación,P(x)/Q(x)=A(x)/Q(x), de aquí P(x)=A(x). Donde A(x) es un polinomio que incluye las constantes que queremos calcular.
    Supongamos que máx {gradoP(X),grado A(x)}=n, entonces P(x), A(x) son vectores del espacio vectorial R[x]n, polinomios de grado menor o igual a n con coeficientes en R, donde sabemos que el sistema de las potencias de x : {1,x,x2, x3,…,xn} es una base de R[x]n, y por lo tanto todo vector de R[x]n se expresa de forma única como combinación lineal de los vectores de esta base; luego si P(x)=A(x) los coeficientes de P(x) y A(x) deben ser iguales (si el grado de P(x) o de A(x) es menor que n, los coeficientes de las correspondientes potencias de x hasta xn que falten se considerarán nulos) igualando los términos constantes y los coeficientes de las potencias de x en P(x) y A(x) se llega a un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas el cual (por la unicidad de la combinación lineal) tiene solución única y que una vez resuelto tenemos calculadas las constantes. Luego el primer método funciona siempre.
    Segundo método; puesto que tenemos n constantes para calcularlas podemos buscar n ecuaciones que verifiquen estas constantes dando valores distintos a x. De esta forma obtenemos un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas el cual es siempre compatible; si es determinado la solución única nos da el valor de las constantes, pero puede que sea indeterminado, es decir, que tenga infinitas soluciones y en este caso no nos sirve y por lo tanto esta incertidumbre hace que el segundo método no sea recomendable.
    Voy a exponer un tercer método que es mejor que los otros dos pues nos ahorra en general mucho tiempo y que es una mezcla de ambos.
    a)Si Q(x) tiene todas las raíces complejas no reales, es decir, las soluciones de la ecuación Q(x)=0 son todas complejas no reales, inevitablemente debemos usar el primer método.
    b)Si Q(x) tiene raíces reales, sustituimos en la igualdad P(x)=A(x), x por los valores de estas raíces reales, y cada valor de estos x nos da de forma inmediata el valor de una constante, de esta forma obtenemos de una manera muy corta el valor de tantas constantes como soluciones reales distintas tenga la ecuación Q(x)=0; si el nº de soluciones reales distintas coincide con el nº de constantes el problema queda resuelto.
    En otro caso para encontrar las constantes que faltan por calcular usamos el primer método, es decir, igualamos términos constantes y los coeficientes de las potencias de x en P(x) y A(x) pero haciendo tantas igualdades como constantes nos faltan y con la libertad de que podemos igualar los coeficientes que queramos; de esta forma obtenemos un sistema de ecuaciones lineales que tiene solución única y una vez resuelto tenemos calculadas todas las constantes. Observar que el sistema de ecuaciones lineales que tenemos que resolver tiene menos ecuaciones que el que se obtendría si hubiéramos utilizado de entrada el primer método; cuantas más raíces reales tenga Q(x) menos ecuaciones tendrá el sistema y el poder bajar el nº de ecuaciones hace ganar en general mucho tiempo en la resolución del sistema y por lo tanto en el cálculo de las constantes.

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