Igualdad con integral

Esta semana os traigo un problema que ha surgido a partir de una consulta Jesús, un lector de Gaussianos, a través de nuestro mail gaussianos (arroba) gmail (punto) com. El tema proviene de nuestra segunda demostración sobre la irracionalidad de $\pi$ . No es demasiado difícil, por ello pido que se detalle todos los pasos. El enunciado es el siguiente:

Si $\displaystyle{I_n(\alpha)=\int_{-1}^{1} (1-x^2)^n cos(\alpha x) dx}$ , demostrar la siguiente igualdad:

$\alpha ^2 I_n=2n (2n-1) I_{n-1}-4n(n-1) I_{n-2}$

Repito, hay que mostrar explícitamente todos los pasos que se den. Ya que la cosa no es complicada vamos a intentar hacerla bien. Así que paciencia y al lío.

9 comentarios

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M | 30 de March de 2010 | 13:14

Para $\alpha=0$ : $I_n(0)=\frac{2^{2n+1}\cdot(n!)^2}{(2n+1)!}$ .
Antonio QD | 30 de March de 2010 | 14:33

Buenos Días

Podría ser perfectamente un ejercicio rutinario de cualquier curso elemental de cálculo integral. La solución consiste en usar el método de integración por partes dos veces y arreglar la expresión para que nos quede la formula recursiva mostrada. Un poco trabajoso pero conceptualmente sencillo.

Un Saludo
Zenobia | 30 de March de 2010 | 20:58

Tal y como señala Antonio, los cálculos son muy fáciles, se integra dos veces por partes y se usa el “truco” de sumar y restar uno en una de las integrales para que nos salga la fórmula. De todos modos, lo escribo.
$I_n(\alpha)=\int_{-1}^{1} (1-x^2)^ncos(\alpha x)\, dx=(1-x^2)^n {sen(\alpha x) \over \alpha}\Big ]_{-1}^{1}+{2n\over \alpha}\int_{-1}^{1}x(1-x^2)^{n-1}sen(\alpha x)dx$

$u=(1-x^2)^n$ $du=-2nx(1-x^2)^{n-1}dx$
$dv=cos(\alpha x)dx$ $v={sen(\alpha x) \over \alpha}$

Es evidente que el primer término se anula, y lo mismo va a suceder con el primer término de la segunda integral (así que no lo escribiré). Integrando otra vez por partes.
$I_n(\alpha)={2n\over \alpha}\int_{-1}^{1}x(1-x^2)^{n-1}sen(\alpha x)dx$

$u=x(1-x^2)^{n-1}$ $du=(1-x^2)^{n-1}-2(n-1)x^2(1-x^2)^{n-2}dx$
$dv=sen(\alpha x)dx$ $v={-cos(\alpha x) \over \alpha}$

$I_n(\alpha)={2n\over \alpha}\int_{-1}^{1}x(1-x^2)^{n-1}sen(\alpha x)dx={2n\over \alpha^2}\int_{-1}^{1}cos(\alpha x)((1-x^2)^{n-1}-2(n-1)x^2(1-x^2)^{n-2})dx={2n\over \alpha^2}(I_{n-1}(\alpha)+2(n-1)\int_{-1}^{1}-x^2(1-x^2)^{n-2}cos(\alpha x)dx$
Ahora, sumando y restando uno dentro de la integral, obtendremos:
$I_n(\alpha)={2n\over \alpha^2}(I_{n-1}(\alpha)+2(n-1)\int_{-1}^{1}cos(\alpha x)(1-x^2+1)(1-x^2)^{n-2}dx)={2n\over \alpha^2}(I_{n-1}(\alpha)+2(n-1)(\int_{-1}^{1}(1-x^2)(1-x^2)^{n-2}cos(\alpha x)dx-\int_{-1}^{1}(1-x^2)^{n-2}cos(\alpha x)dx)=I_n(\alpha)={2n\over \alpha^2}(I_{n-1}(\alpha)+2(n-1)(I_{n-1}(\alpha)-I_{n-2}(\alpha)))$

$\alpha^2I_n(\alpha)=2n(2n-1)I_{n-1}(\alpha)-4n(n-1)I_{n-2}(\alpha)$
josejuan | 1 de April de 2010 | 21:05

Pues por fácil que sea yo no me ví con ganas (y empecé por “Un Día Ví Un Viejo Vestido De Uniforme”), asi que, ¡bien hecho Zenobia!.
JoseDiego | 2 de April de 2010 | 02:34

Hola a todos. Tengo una pequeña consulta(mas bien dos y no pequeñas jeje) y agradecería que me ayuden a responderla. La primera me llevo a la segunda

1.Son isomorfos los cuerpos Q(2^1/2) y Q(5^1/2)?

Y si lo fueran , me pregunto lo siguiente:

2.Dado un cuerpo k, una extensión K, k[x,n] polinomios de grado n y a,b(de K) raíces de algunos de estos polinomios(osea son trascendentes en polinomios del mismo grado). Se cumple que k(a) y k(b) son isomorfos???

Saludos
JoseDiego | 2 de April de 2010 | 06:43

En el punto 2, la hipótesis debía ser que los grados de los polinomios mínimos de a y b coinciden
Trackback | 13 Apr, 2010

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