Igualdad con integral

Esta semana os traigo un problema que ha surgido a partir de una consulta Jesús, un lector de Gaussianos, a través de nuestro mail gaussianos (arroba) gmail (punto) com. El tema proviene de nuestra segunda demostración sobre la irracionalidad de \pi. No es demasiado difícil, por ello pido que se detalle todos los pasos. El enunciado es el siguiente:

Si \displaystyle{I_n(\alpha)=\int_{-1}^{1} (1-x^2)^n cos(\alpha x) dx}, demostrar la siguiente igualdad:

\alpha ^2 I_n=2n (2n-1) I_{n-1}-4n(n-1) I_{n-2}

Repito, hay que mostrar explícitamente todos los pasos que se den. Ya que la cosa no es complicada vamos a intentar hacerla bien. Así que paciencia y al lío.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

6 Comentarios

  1. Buenos Días

    Podría ser perfectamente un ejercicio rutinario de cualquier curso elemental de cálculo integral. La solución consiste en usar el método de integración por partes dos veces y arreglar la expresión para que nos quede la formula recursiva mostrada. Un poco trabajoso pero conceptualmente sencillo.

    Un Saludo

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  2. Tal y como señala Antonio, los cálculos son muy fáciles, se integra dos veces por partes y se usa el “truco” de sumar y restar uno en una de las integrales para que nos salga la fórmula. De todos modos, lo escribo.
    I_n(\alpha)=\int_{-1}^{1} (1-x^2)^ncos(\alpha x)\, dx=(1-x^2)^n {sen(\alpha x) \over \alpha}\Big ]_{-1}^{1}+{2n\over \alpha}\int_{-1}^{1}x(1-x^2)^{n-1}sen(\alpha x)dx

    u=(1-x^2)^n du=-2nx(1-x^2)^{n-1}dx
    dv=cos(\alpha x)dx v={sen(\alpha x) \over \alpha}

    Es evidente que el primer término se anula, y lo mismo va a suceder con el primer término de la segunda integral (así que no lo escribiré). Integrando otra vez por partes.
    I_n(\alpha)={2n\over \alpha}\int_{-1}^{1}x(1-x^2)^{n-1}sen(\alpha x)dx

    u=x(1-x^2)^{n-1} du=(1-x^2)^{n-1}-2(n-1)x^2(1-x^2)^{n-2}dx
    dv=sen(\alpha x)dx v={-cos(\alpha x) \over \alpha}

    I_n(\alpha)={2n\over \alpha}\int_{-1}^{1}x(1-x^2)^{n-1}sen(\alpha x)dx={2n\over \alpha^2}\int_{-1}^{1}cos(\alpha x)((1-x^2)^{n-1}-2(n-1)x^2(1-x^2)^{n-2})dx={2n\over \alpha^2}(I_{n-1}(\alpha)+2(n-1)\int_{-1}^{1}-x^2(1-x^2)^{n-2}cos(\alpha x)dx
    Ahora, sumando y restando uno dentro de la integral, obtendremos:
    I_n(\alpha)={2n\over \alpha^2}(I_{n-1}(\alpha)+2(n-1)\int_{-1}^{1}cos(\alpha x)(1-x^2+1)(1-x^2)^{n-2}dx)={2n\over \alpha^2}(I_{n-1}(\alpha)+2(n-1)(\int_{-1}^{1}(1-x^2)(1-x^2)^{n-2}cos(\alpha x)dx-\int_{-1}^{1}(1-x^2)^{n-2}cos(\alpha x)dx)=I_n(\alpha)={2n\over \alpha^2}(I_{n-1}(\alpha)+2(n-1)(I_{n-1}(\alpha)-I_{n-2}(\alpha)))

    \alpha^2I_n(\alpha)=2n(2n-1)I_{n-1}(\alpha)-4n(n-1)I_{n-2}(\alpha)

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  3. Pues por fácil que sea yo no me ví con ganas (y empecé por “Un Día Ví Un Viejo Vestido De Uniforme”), asi que, ¡bien hecho Zenobia!.

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  4. Hola a todos. Tengo una pequeña consulta(mas bien dos y no pequeñas jeje) y agradecería que me ayuden a responderla. La primera me llevo a la segunda

    1.Son isomorfos los cuerpos Q(2^1/2) y Q(5^1/2)?

    Y si lo fueran , me pregunto lo siguiente:

    2.Dado un cuerpo k, una extensión K, k[x,n] polinomios de grado n y a,b(de K) raíces de algunos de estos polinomios(osea son trascendentes en polinomios del mismo grado). Se cumple que k(a) y k(b) son isomorfos???

    Saludos 🙂

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  5. En el punto 2, la hipótesis debía ser que los grados de los polinomios mínimos de a y b coinciden

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