IMO 2013 en Santa Marta (Colombia) – Problema nº 1

Entre el 21 y el 28 del pasado mes de julio se celebró la Olimpiada Matemática Internacional (IMO en inglés) en Santa Marta (Colombia). Como suele ser habitual, los países asiáticos fueron los grandes vencedores, siendo China la primera clasificada. España quedó en el puesto 59 de un total de 97 países (podéis ver la clasificación completa aquí).

En lo que se refiere al plano individual, España consiguió dos Medallas de Bronce (Marc Felipe Alsina y Marcos García Fierro) y tres Menciones Honoríficas (Ismael Sierra del Río, Pau Surrell Rafart y Raúl González Molina), por lo que seguimos sin conseguir una Medalla de Oro en una IMO. Los primeros clasificados han sido Eunsoo Jee (Corea) y Yutau Liu (China), ambos con 41 puntos sobre 42 posibles.

Os dejo hoy el primer problema de esta IMO. Los demás los publicaré en las próximas semanas. Ahí va:

Demostrar que para cualquier par de enteros positivos k y n existen k enteros positivos m_1,m_2, \ldots ,m_k (no necesariamente distintos) tales que

1+\cfrac{2^k-1}{n}=\left (1+\cfrac{1}{m_1} \right ) \, \left (1+\cfrac{1}{m_2} \right ) \dots \left (1+\cfrac{1}{m_k} \right )

Evidentemente, las soluciones a los problemas ya estarán en internet. Como siempre, os pido que si habéis tenido acceso a ellas no las copiéis en los comentarios y dejéis así que la gente que quiera resolverlos pueda hacerlo. Muchas gracias.


Por cierto, por lo que he visto no ha participado Raúl Arturo Chávez Sarmiento, crack peruano que ya había demostrado sus capacidades en anteriores ediciones con una edad bien temprana. A ver si alguien sabe por qué.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

42 Comentarios

  1. Creo que merece la pena destacar que el ponferradino Marcos García Fierro tiene tan solo 15 años y este curso acaba de terminar 3º de ESO. Era la primera vez que un español participaba con esa edad y ha conseguido una medalla de bronce. Todavía le quedan otros 3 años para mejorar sus resultados.

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  2. ¿Y este problema lo resolvieron chicos/as de 15 años? Me quito el sombrero ante ellos. Yo estoy perplejo.

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  3. Se me ha ocurrido este a mí que no sé resolver. Sean p,q,r primos. ¿ Son todos los primos impares sin excepción de la forma (pq + r)/(p+q) ?

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  4. Para k = 2

    Desarrollo la fórmula para m1 = 1 y queda:

    1 + 3/n = 2 * (1 + 1/m2) = 2 + 2/m2

    3/n = 1 + 2 /m2 =( m2 + 2)/m2, luego n = 3*m2/(m2+2) = 3 – 6/(m2+2), luego no hay mas casos que m2 = {1,4}

    m1 = 1 m2 = 1 n=1

    m1 = 1 m2 = 4 n= 2

    Desarrollo la fórmula para m1 = 2 y queda:

    1 + 3/n = 3/2 * (1 + 1/m2) = 3/2 + 3/2*m2 = (3m2+3)/2m2 y de aquí:

    3/n = (m2+3)/2m2 y n = 6m2/m2+3 = 6 – 18 /(m2 + 3) que tiene soluciones en el conjunto m2 € {3,6,15}

    m1 = 2 m2 = 3 n = 3
    m1 = 2 m3 = 6 n = 4
    m1 = 2 m3 = 15 n = 5

    Igualmente para m1 =3 desarrollamos y obtenemos:

    1 + 3/ n = 4/3 (1+1/m2) = (4m2+3)/3m2 y 3/n = (m2+3)/3m2

    n = 9m2/(m2+3) = 9 – 27/(m2+3) con soluciones m2 € {6 , 24} y n = 6 y 8

    Generalizando este método creo que podríamos resolver todo k = 2, dado que tambien se vé que

    m2 = 2 *m1 – 1 va generando los nºs impares

    Posiblemente la solución venga por temas de congruencias que no domino lo suficiente para desarrollar estas ecuaciones

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  5. 1 + (2^k -1)/n = (n + 2^k -1)(n + 2^k – 2)/[(n + 2^k -2)n] = (n + 2^k – 2 + 1)(n + 2^k -2)/[(n +2^k – 2)n] = [1 + 1/(n + 2^k – 2)][1 + (2^(k-1) – 1)/(n/2)]
    y aplicar inducción sobre k en este último factor (n ha de ser par en este caso, pero para n impar factorizaríamos la expresión inicial de manera similar hasta obtener el factor en k-1 al que aplicaríamos de también inducción).

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  6. Supongamos k= 2 y m2 = 2m1-1

    1+3/n=(1+1/m1)(1+1/(2m1-1)) = 1 + 1/m1 + 1/(2m1-1) +1/m1(2m1-1)

    3/n = ((2m1-1)+m1+1)/m1(2m1-1) = 3m1/m1(2m1-1) = 3/(2m1-1)

    luego n=2m1-1 y genero todos los impares

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  7. Para n par (haciendo n=2m):

    1+\cfrac{2^k-1}{n}=\cfrac{n+2^k-1}{n}=\left (\cfrac{n+2^k-1}{n+2^k-2} \right) \left (\cfrac{n+2^k-2}{n} \right) = \left (1+\cfrac{1}{n+2^k-2} \right) \left (\cfrac{2m+2^k-2}{2m} \right) = \left (1+\cfrac{1}{n+2^k-2} \right) \left (\cfrac{m+2^{k-1}-1}{m} = \right) = \left (1+\cfrac{1}{n+2^k-2} \right) \left (1+\cfrac{2^{k-1}-1}{m} \right)

    y para n impar (haciendo n+1=2m):

    1+\cfrac{2^k-1}{n}=\cfrac{n+2^k-1}{n}=\left (\cfrac{n+1}{n} \right) \left (\cfrac{n+2^k-1}{n+1} \right) = \left (1+\cfrac{1}{n} \right) \left (\cfrac{2m+2^k-2}{2m} \right) = \left (1+\cfrac{1}{n} \right) \left (\cfrac{m+2^{k-1}-1}{m} \right)  = \left (1+\cfrac{1}{n} \right) \left (1+\cfrac{2^{k-1}-1}{m} \right)

    y por inducción.

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  8. La lógica de la demostración se me escapa. La hipótesis de inducción es, en el caso par, que la igualdad se cumple para k-1 y ¡ n/2 ! (al caso impar le pasa lo mismo)

    Algún paso en la inferencia lógica se me escapa, pero bueno…

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  9. Si nos dan un n par, hacemos la primera transformación, si no, la segunda. Es decir, para todo n cualquiera, podemos llegar a una expresión equivalente. La hipótesis de inducción recuerda que se ha de realizar sobre un producto: en concreto la transformación resulta en un producto de dos factores en los que en uno de ellos tenemos la expresión inicial pero en k-1 y aplicamos inducción sobre este factor en k-1 (que es la hipótesis que consideramos probada). Con lo que nos queda un primer factor de la forma (1+1/p) siendo p un natural cualquiera, y k-1 términos de la misma forma también. El término n/2 (o n+1/2) lo podemos renombrar como m sin pérdida de generalidad, puesto que todo número natural o es par o impar obligatoriamente.

    No sé si he logrado explicar nada, pero bueno, espero que sirva.

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  10. Tenemos un factor que involucra a k-1 y a n/2, lo multiplicamos por el factor adecuado (que incluye n) y logramos un término igual al primero pero con k (bien) y n, con lo que hemos logrado demostrar la afirmación en el supuesto de que se cumpla para k-1 y n/2 y no en el supoesto de que se cumpla para k-1 a secas.

    Supongo que me he perdido algo respecto al método de demostración por inducción completa.

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  11. Lo que demostramos es que, si se cumple para k-1 y cualquier n, entonces se cumple para k y cualquier n. Como sabemos que se cumple para k=1 y cualquier n (es trivial), entonces se cumple para cualquier k y cualquier n, que es lo que queríamos demostrar.

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  12. Como mera apreciación técnica: tampoco podríamos aplicar inducción sobre n porque si nos fijamos en la expresión de la derecha, en concreto en el número de factores (que es k), éste no depende en absoluto de dicho n sino de k, valga la redundancia

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  13. Me temo que este va a ser el último comentario de la entrada, pero bueno…

    Lo que ocurre es que por hipótesis se cumple para k-1 y cualquier n y demostramos que se cumplirá para k y la mitad de n, que no es cualquiera ya. Supongo que la idea es que se puede ir saltando k-1 veces hacia abajo desde n y entre pares e impares hasta que k sea 1 y m el que sea. ¿Qué pasa si, por ejemplo k = n = 8? No sé si los factores incluyen siempre enteros con el método de construcción.

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  14. Perdona pero no entiendo lo que dices. Demostramos que se cumple para k y cualquier n, sea par o impar.

    Si k=n=8 el primer factor será  1+\frac{1}{262} y tendremos el mismo problema para k=7 y n=4, de donde obtendremos los otros 7 factores, aplicando lo mismo recursivamente.

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  15. Yo pongo k=7 y n=1 y me quedo sin enteros en el mismísimo primer paso.

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  16. Hola,

    Veo que nadie comentó sobre Raulito, sucede que él ya entró a la Universidad. Ingresó a la Pontificia Universidad Católica del Perú.

    Saludos!

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  17. No, maestrillo, para n=1 nos encontramos en el caso n impar, con lo que estamos en el segundo caso en el que hemos construido un factor con un (n+1)/2, el cual es un entero, en este caso 1.

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  18. La 1/2 en el denominador de la expresión que supuestamente tiene k-1 factores.

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  19. Buenos días,

    Hay muchas cosas que no entiendo en esto del IMO:

    ¿Como se seleccionan los estudiantes?

    ¿Como se pueden tener ciertos conocimientos si el nivel de enseñanza es infimo y ni mucho menos parece posible que nadie adquiera esa maestria en dichas condiciones?

    ¿No serán entrenados especificamente para la resolución de problemas de este tipo, incidiendo en lo que realmente se exigirá, inducción, teoremas geometricos relevantes para la resolución de problemas, temas de probabilidad, ecuaciones y números más recurrentes en IMO y la forma de atacarlos, etc?

    ¿Como es posible que si el talento de, por ejemplo Lisa Sauermann, es real, no esté en la Universidad hasta los 20 años o cerca? ¿no debería ser muy fácil para ella haber obtenido ya su carrera universitaria? ¿no es una perdida de tiempo otra cosa?

    Son entre otras, cosas que me pregunto a este respecto. ¿hay contestación lógica a todo esto?

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  20. Sí hay contestaciones lógicas:
    Aun cuando el nivel de enseñanza fuera ínfimo (discutible) siempre habrá excepciones tanto entre el profesorado como en el alumnado, por ello siempre será posible esperar que alguien adquiera la “maestría” suficiente.
    En cualquier actividad humana un entrenamiento específico mejora el rendimiento de quienes de forma natural tienen dotes para algo y disfrutan con ello.
    El tener un talento especial para las matemáticas no es ni necesario ni suficiente para obtener un título universitario a edad temprana.

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  21. JJGJJG:

    Pues yo no encuentro ninguna “contestación lógica” en su exposición y mucho menos ninguna respuesta a lo que planteo.

    Cualquier profesor, por “extraordinario” que sea tiene que someterse al programa de su asignatura y estar por ver que lo finalice; cualquier alumno, por brillante que sea, solo recibirá esos conocimientos, insuficientes para “reinventar” métodos matemáticos de resolución de problemas que ha costado siglos descubrir y que por supuesto ningún profesor explica en la enseñanza media, suponiendo que los sepa manejar. Aún en el mejor de los mundos posibles tendría que darse el caso de que un profesor “extraordinario” (¿probabilidad?) se encontrase con un alumno extraordinario (¿probabilidad?) ¡En el mismo tiempo y lugar! (¿probabilidad?).

    Indica que el entrenamiento específico mejora el rendimiento ¡pues claro! Pero hay que seleccionar previamente a quién se le va a dar ese entrenamiento ¿Cómo se produce esa selección?

    Dicho entrenamiento específico nos demuestra que ya no podemos presentar el IMO como pruebas para “estudiantes de enseñanzas medias” ya que de esto solo les queda la edad y poco más, ya que nada tiene que ver su preparación particular con la que se da en dichas enseñanzas y por tanto no son referentes ni demostración de nada.
    De hecho puede muy bien suceder que se conviertan en simples resolutores de problemas específicos, con técnicas estándar (a cierto nivel) enseñadas y entrenadas a ese respecto y poco más. Puede que una de las razones de que España no tenga ninguna medalla de oro sea simplemente que no preparamos adecuadamente esta competición de modo similar a como se prepara por ejemplo la gimnasia deportiva, enclaustrando a los especímenes y entrenándoles exhaustivamente, como seguro hacen otros países.

    Sobre los estudios universitarios creo que no estamos hablando el mismo idioma; simplemente estoy diciendo que si Lisa u otro fenómeno de este tipo fuese real, desde luego haría la carrera de Matemáticas “con la gorra” y que esperar a los 19-20 años para ir a la universidad ha sido una pérdida de tiempo, así de simple. ¿Usted cree que las condiciones de esta chica no son “suficientes” para dichos estudios universitarios? Un fenómeno, si fuese real, de este tipo (dicen que Terence Tao tiene ¡ 230 CI !) hace la carrera en un año y le sobra tiempo. Pero esta o cualquier otra, solo tiene que poner un mínimo, muy mínimo, de su parte (lógico el paso de Raulito a la universidad, no el quedarse para competiciones “colegiales”). No queramos engañarnos a nosotros mismos, la universidad hoy en día es como seguir yendo al colegio, después al instituto, etc. apta para todos los públicos. Eso no es dificultad.

    En fin, que en este tema como en tantos, hay cosas bastante extrañas y “míticas” que parecen propicias al espectáculo más que otra cosa. Hay que ir al fondo de las cuestiones y no quedarse con la noticia “espectacular”.

    Se puede seguir casi indefinidamente, pero con lo anterior creo que es suficiente abuso de la paciencia tanto de gaussianos como de sus lectores.

    Saludos.

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  22. JL, tengo un nieto que, en su día, en un colegio normal, con profesores normales, sin apoyo específico y gracias a sus buenas notas en matemáticas fue seleccionado, tras unas pruebas, para formar parte de un grupo en el que un día a la semana recibía formación reforzada en el área en su propio colegio. Después de un curso, y sin más entrenamientos intensivos de ninguna clase, se apuntó él mismo y concurrió a pruebas en fase local, provincial y regional de Canarias para participar en la Olimpiada de matemáticas a nivel nacional. No ganó pero obtuvo una clasificación destacada, lo que le permitió obtener una beca de la Universidad Politécnica de Cataluña (lo convocaron ellos al terminar la olimpiada), para cursar simultáneamente las carreras de Ingeniería informática e Ingeniería de telecomunicaciones en su centro de alto rendimiento. Termina ambas carreras el año 2014 con 22 años pero ya da clases en la propia universidad y tiene trabajo remunerado de su especialidad. Forma parte de esa clase especial de personas que, a partir de cierto nivel de conocimientos es capaz de seguir aprendiendo por su cuenta en casa sin necesidad de asistir a clase y obtener matrículas de honor en casi todo. Según él entre sus compañeros hay otros como él, muy bien dotados y, sobre todo capaces de poner todo el esfuerzo y trabajo necesarios para avanzar.
    Estos chicos no son “monstruos” prefabricados. Simplemente “se dan” naturalmente. Igual que se han dado siempre, como Euler, Gauss, Leibnitz, Riemann, Ramanujan y todos los matemáticos famosos. Lo único que ha cambiado es que ahora las Olimpiadas sirven para detectarlos con mayor facilidad y ayudarles a desarrollar su potencial. Lógicamente, el momento de intentar ese detección es cuando están cursando la enseñanza media. Precisamente son las excepciones del sistema de enseñanza, sea cual sea la calidad del mismo. Y el proceso no pretende que sean referentes ni demostración de nada.
    Quizás los medios de comunicación puedan. a veces, dar una idea equivocada de este proceso pero no cabe duda de que es, al final, útil para detectar la excelencia.

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  23. JJGJJG, todo lo que comentas viene a reforzar lo que expongo; por el ejemplo de tu nieto se puede comprobar claramente la evidente trama de espectáculo que tiene el IMO; si queremos seleccionar a gente capaz sin IMOs bastaría con seleccionar a las personas con buenos resultados académicos, sin más.

    El que sean “prefabricados” (los mejores en IMO me refiero) casi seguro que es así, que son entrenados específicamente en la resolución de problemas y son enseñados con las técnicas que más se utilizan en este tipo de competición; estoy completamente seguro y si alguien lo sabe que nos lo comente, que muchos países tienen programas específicos de entrenamiento con el objetivo de ganar a toda costa, sobreentrenando a sus equipos. Por tanto España si no lo hace siempre estará por debajo de estos.

    No estoy de acuerdo en considerar que personas en la situación de tu nieto sean gente excepcional, para eso se necesitan muchos más logros. Si a toda la población se la sitúa en la misma posición (incluso a los de previas peores notas) y se les estimula en un centro de alto rendimiento intelectual, con los reforzamientos psicológicos adecuados, dedicándose en exclusiva a ello, gran cantidad de personas pueden realizar los estudios que indicas y en esa misma edad ¿Es esto suficiente para compararlos con Euler, Gauss, etc.? Creo que no, hace falta mucho más para eso.

    Dicho esto ¿no te parece que el mismo ejemplo de tu nieto hace ver claramente que Lisa Sauermann y todos los que se le parecen están perdiendo el tiempo? Pues eso es lo extraño, ese es uno de los temas que he querido hacer notar, realmente extrañísimo.
    Solo el tiempo dirá lo excepcional o no de cualquier persona, incluidos los triunfadores de los IMOs.

    Buen fin de semana a todos y saludos cordiales.

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  24. Con este comentario doy por terminada la discusión sobre “las” IMO.
    No veo ninguna relación entre el ejemplo de mi nieto y una “evidente trama de espectáculo”.
    A tarvés de IMO no se seleccionan únicamente personas con buenos resultados académicos sino, entre ellos, a los que tienen adicionalmente cualidades como estímulo, afán competitivo y voluntad de esfuerzo entre otras.
    El hecho de que haya, si los hay, países que entrenan a sus candidatos para competiciones concretas no implica que todos los candidatos respondan a ese tipo y, en cualquier caso, lo que debe contar son los resultados.
    En muchos deportes hay quien utiliza el “dopaje” y eso no es motivo para demonizar la sana competencia que guía a la mayoría de los participantes ni a los organizadores.
    Si España no lo hace, mejor para sus estudiantes de élite. No necesitamos medallas de oro y sí descubrir a los mejores de nuestro país para apoyarlos y facilitarles el futuro.
    Si, según tú, el sistema de enseñanza es ínfimo, los casos como el de mi nieto debemos considerarlos como excepcionales.
    No comparo a mi nieto con Euler o Gauss. Solo son ejemplos de que los mejores pueden llegar a triunfar sin entrenamientos especiales ni “prefabricarlos”. El disponer de un método de selección que antes no existía, además de entresacar buenos elementos como mi nieto, confío e que, a la larga, incrementará la cantidad de “genios” descubiertos y aprovechados por generación.
    ¿Cuántos candidatos de las IMO, de no existir estas, no llegarían a hacer una carrera, a una cátedra o a un departamento de investigación en beneficio de la humanidad?
    Los que lo logren agradecerán que su participación en una olimpiada haya ampliado sus posibilidades. Si eso implica que algunos perviertan la idea original acepto el bollo por el coscorrón.

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  25. JL, me parece que te fas muchos aires a la hora de hablar, y sobretodo, que crees saber más que nadie sobre un tema del que, aparentemente, no tienes ni idea. No hubiera estado de más evitar este aura de superioridad que se desprendre de tus palabras, y esa utilización del lenguaje que podría llegar a inducir una falta de respeto por una competición y un sistema no discutido por casi nadie, y con una larga, exitosa, y laureada tradición. Recuerdo que muchos de los grandes matemáticos actuales han pasado por la IMO (Tao, Perelman…).

    De cualquier manera me dispongo a responder tus preguntas iniciales.

    Los estudiantes que representan a España en la IMO se seleccionan mediante una celebración de una olimpiada previa, la OME, cuyos participantes ya habían seleccionados por otra olimpiada regional que compete a cada comunidad autónoma. Los mejores 6 estudiantes al final son nuestros representantes, y en todos los niveles de competición se exige la resolución de problemas que vendrían a ser del mismo estilo que los de la IMO, pero obviamente, de dificultad menor (aunque no creas que mucho menor).

    En segundo lugar, obviamente, como recalcas, sería prácticamente imposible llegar a poder resolver estos problemas con el sistema educativo en el que se emmarcan los adolescentes españoles. Todos los representantes de España para la IMO se han preparado a lo largo de bastante tiempo, siempre fuera de los horarios del colegio. Hay varios sistios en España donde se imparte dicha preparación (gratuita, abierta a todo el mundo), con profesores motivados que pretenden enseñar a los chicos/as a pensar de una manera nueva, distinta, como lo haría un matemático. En estas clases de preparación me gustaría resaltar que lo que se les exige a los chicos/as es que aprendan a pensar de manera distinta, incidiendo en la comprensión de algunas técnicas, pero obligándolos a mantener la mente abierta para poder asimilar, y también desarrollar nuevas técnicas para atacar problemas. En general, lo que se hace es abrirles la mente para que puedan enfrentarse a nuevos problemas, así como enseñarles los fundamentos de algunas disciplinas características de la IMO.

    Respecto al caso de Lisa Sauermann. Entró en la universidad con 19 años, la edad estandar en Alemania. Como podrás comprender, tener una facilidad enorme para resolver problemas de matemáticas, no implica, ni mucho menos, haber desarrollado hasta tal nivel por encima de la media todas las otras capacidades. Por eso creo que es lógico creer que un genio en matemáticas, alguien que puede ir a la IMO y encima hacerlo tan bien, siga un programa de enseñanza escolar perfectamente normal (claro que hay excepciones).Además, no tienes ni idea de si acabará la carrera en dos años, o en el tiempo que quiera dedicarle, así que creo que deberías ahorrarte el tono subjetivo que denota tu comentario. Me gustaría añadir que si bien en este caso Lisa tiene una capacidad muy muy elevada para resolver problemas, esto NO implica que sepa toda la teoría de las matemáticas, aunque sí sea verdad que pueda aprenderla mucho más rápido. Por eso recalco que no sabes si tardará dos años en hacer una carrera de cuatro, o cualquier otro matiz que te estés dejando.

    Me parece que en general he respondido a lo que has preguntado de manera lógica; así que espero haber servido para sacar un poco los prejuicios que tienes montados en tu cabeza y que empieces a sumar en vez de restar. Gente como tú son los que impiden que en España se avance en la excelencia, gente con prejuicios que cree que puede dar su opinión sobre un tema (o preguntar con matices de vocabulario que inducen a creer tal cosa) sin ni siquiera conocer como va eso.

    Y si quieres saber mi opinión sobre porque España no tiene un oro todavía en la IMO, es porque el número de chicos/as que conoce la existencia de las olimpiadas de matemáticas es muy bajo, no se hace suficiente difusión y por tanto hay muchísima gente que se queda fuera. Desde hace unos tres años Portugal se ha dedicado a difundir esta práctica, consiguiendo que los periodistas se interesaran e hicieran reportajes al respecto, llegando a poner cámaras en el aeropuerto para recibir a sus olímpicos matemáticos; lo cual da pie a que estudiantes interesados en matemáticas vayan a las preparaciones durante los siguientes años y aumente el nivel (por aumentar el número, sí). Los resultados obtenidos se pueden ver viendo la posición de Portugal en la IMO desde hace unos 5 años; hay un cambio apreciable.

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  26. Pues hasta cierto punto JL tiene razón, sin desmerecer para nada a los olímpicos claro está. Pero sí es verdad que todos los problemas, salvo algunos excepcionales que a veces creo que ponen para “tentar” y “probar” si alguien, aunque sea uno solo, es capaz de resolverlos, se basan prácticamente en las mismas técnicas, constantemente: aplicación de medias y desigualdades geométricas-armónicas-aritméticas, teoremas sobre congruencias e inducción, principio del palomar, teoremas de menelao y razones simples o dobles, y un corto etcétera más. Evidentemente no te van a poner problemas de aplicación directa de estas técnicas sino que van a ser de esos en que para poder hacerlo se necesita grandes dosis de ingenio; pero si uno va viendo los diferentes problemas que han ido poniendo en todas las olimpiadas, regionales, nacionales o mundiales (aquí gracias a Gaussianos se puede comprobar), verá que muchísimas veces los enunciados de los problemas y su resolución son muy parecidos en cada edición, con lo que ejercitarse resolviendo problemas de otros años, con un buena guía que te vaya limando (ya sea con un buen manual de las IMO, que los hay, un tutor o tu mismo por tu cuenta), hace que lo que parezca imposible ya no lo sea tanto (y es lo que parece cuando uno se encuentra por primera vez con uno de esos problemas: que ni Gauss o Euler en hora y media sería capaz de resolver).

    Así que resumiendo. Seamos humildes. Lo que quiere decir JL es que un chaval de 15 años, por mucho que se prepare leyendo libros y manuales universitarios de matemáticas, no sería capaz de resolver estos problemas de una OIM (salvo talento milenario), simplemente porque ni siquiera en la universidad se dan muchas de esas técnicas útiles para las olimpiadas (o sí se dan, pero en los manuales de preparación de estas últimas se estudian y plantean diversas variaciones de ellas que en lincenciatura ni se ven de refilón). Así que por narices ha de conseguir un manual específico para dichas OME o OMI, etc. O disponer de academias específicas de preparación para estas competiciones como hacen USA, Rusia, China, Corea, o Rumanía y Serbia (porque ya me extraña a mí que paises con muchos menos habitantes logren mejores resultados qur España si no es por lo que JL llama dóping).

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  27. Tenéis vuestra razón JL y Maelstrom pero yo prefiero que existan OIM a que no existan.

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  28. No, no. Si por supuesto es preferible que existan, y los que ahí brillan, incluso solo los que participan en cualquiera de las ediciones, muestran un talento inaudito que merece detectarse y potenciarse. Pero yo entiendo que incluso muchos matemáticos profesionales, delante por primera vez de un problema de estos, con mucha seguridad no sean capaz de resolverlos, lo cual les provoque estupefacción y extrañeza (y puede que incluso crisis vocacional, jaja). Y, viendo el panorama de cómo está la educación en este país, resulta insólito que chavales de la ESO sean capaces de resolverlos y un catedrático medio se las vea negras (y así consta en foros de las OIM). Lo cual lleva lógicamente a sospechar que debe de haber una explicación más profana que la mera fantasía intelectual de gente capaz de lo imposible. Y así, si uno ha ido intentando resolver problemas de varias ediciones, no tardará en darse cuenta de que, vaya, la inmensa mayoría de problemas son muy parecidos entre sí en cada una de dichas ediciones, se aplican las mismas técnicas o los enunciados son variaciones de problemas anteriores o problemas “base”. Es decir, sí, se requiere talento y muchísimo (sobre todo para tener vista y saber aplicar ciertas técnicas, aunque sean las mismas cada año en esencia), pero también un entrenamiento muy, muy específico.

    Lo que quiero decir es que si basáramos la capacidad de resolución de dichos problemas por parte de los participantes en el mero y crudo talento y un sano interés por las matemáticas, sería imposible lograrlo para un chaval de 15 años; se necesita algo más, y ahí es cuando digo que, habiendo visto ya varios años problemas de las OIM o las OME, ve uno ese patrón de repetición de técnicas y enunciados que ayuda a explicar cómo algo que requeriría en principio un milagro (en los que no creo) o inteligencia divina, ahora requiere de talento pero también de mucho entrenamiento muy particular.

    Un saludo.

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  29. Evidentemente también, que se me olvidaba decirlo, los problemas de las olimpiadas no son ni siquiera aptos para los mismos participantes, pues no sé si la mediana de puntuación en dichas competiciones debe de estar en 4 puntos de los 42 posibles, es decir que resolverlos todos solo está al alcance de muy muy poquitos, no es cosa aquí de que el talento esté en un auge sin parangón en otras épocas y haya una distancia infinita entre una persona normal y un olímpico.

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  30. Creí que el tema estaba más o menos finalizado, pero no, parece ser que siempre viene alguien a insultar gratuitamente. Vamos a ver, “etr”, ¿usted de que me conoce a mí? ¿Quién es usted para venir aquí a juzgarme e insultarme?

    Naturalmente que no conozco el funcionamiento de los IMO, pero eso ya lo digo yo y se desprende de lo que pregunto, por eso lo hago. Es un tema que jamás me ha interesado pero del que solo basta informarse someramente para ver que “hay gato encerrado” y que las referidas proezas no son para tanto.

    Usted contesta solo lo establecido, pero en nada al fondo de la cuestión, a la que sí contesta Maelstrom con muchos conocimientos y educación. Anteriormente también contesto JJGJJG y me parecen correctas sus posturas; por cierto JJGJJG, yo no abogo por que se supriman las IMO, solo estoy exponiendo dudas al respecto de las que solicité aclaración y gracias a interlocutores educados como usted y Maelstrom ya se han aclarado algunas.

    Vamos a ver etr, no me venga con psicoanálisis baratos que psicología es mi primera carrera y no me hace falta que en una página de matemáticas me vengan a “enmendar la plana” gratuitamente. Si quiere contestar, aclarar dudas a otros participantes y colaborar, está de sobra el insulto e intento de ridiculización.

    ¿Qué le ha molestado a usted? ¿que opine que el nivel educativo, en general de todos los estudios, es bajo? ¿Qué opine que si el talento de Lisa es real sea un absurdo su pérdida de tiempo en enseñanzas medias? ¿Hay que opinar solo que a usted no le disguste?

    Pues sí, el nivel educativo, de exigencia mínima que se debe pedir es muy bajo y por eso se pueden hacer cosas como las siguientes y ya puestos con mi misma persona que es la que mejor conozco:

    a) Si eso no fuese así y se exigiesen verdaderos y fuertes conocimientos yo mismo no podría haber hecho la carrera de Psicología en la UAM en 3 años, haciendo en dos años consecutivos dos cursos cada año para finalizar los 5 cursos. Pero eso no es todo ¡mi mujer también hizo lo mismo y no nos despeinamos! Ah! trabajando y todo. ¿es esto admisible si se exigiese lo que realmente se debería?

    b) Pero no queda ahí; voy por mi cuarta carrera (Ingeniería en Tecnologías de la Información) y sigo sin ver nada que me haga pensar que estas cosas tengan un nivel realmente fuerte y que no estén planificadas para que las pueda hacer cualquiera.

    c) Sí, eso es: cualquiera. Ese es el nivel de la enseñanza. Hay que tener en cuenta que yo soy una inteligencia de lo más normal, media total, pero aquí solo con las ganas parece que vale ¡como para sacar fenómenos con esta enseñanza!

    d) Por eso, etr, por supuesto que si Lisa o cualquiera tuviese esas facultades puede hacer cualquier estudio en dos años…y ya veríamos… si tiene el valor y la fuerza de voluntad necesaria…incluso en uno.

    e) ¿Qué le parece a usted mal? Pues que lo vamos a hacer; fingiremos que todo es maravilloso.

    Maelstrom, muchas gracias por tus comentarios y aclaraciones, que redundan en las circunstancias que rodean estos eventos y que lógicamente son las únicas posibles para explicar todo este tema, sin hacerme de menos, psicoanalizarme ni insultarme. Muchas gracias nuevamente.

    José Luis González Sanz
    http://personales.ya.com/damasclasicas
    (para no esconderme en nicks)

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  31. JL, me parece que te infravaloras. Si con una inteligencia media has hecho en poco tiempo y con solo las ganas tres carreras y pico es que el 99% de los españoles que a duras penas acaban una, o ni eso, están muy por debajo de lo que para ti es normal.

    He recorrído exhaustivamente tu página .
    Recomiendo hacer lo mismo a los colegas de Gaussianos.

    No entiendo el significado de tu expresión “(para no esconderme en nicks)”. Explícamelo, por favor, para poder compaginarlo con tu formación de Psicólogo.

    Por otro lado lamento que, aunque raramente, en un blog “científico” no se respeten las más estrictas normas de cordialidad y respeto entre contertulios.

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  32. Perdone pero creo que no le he insultado, señor JL, y si así lo desprendre de mi comentario ya le pido disculpas desde ahora. Insisto, no obstante, que de sus palabras se desprendre un aire de superioridad que puede irritar a cualquiera.

    Simplemente analicé el primer comentario que expuso en la página y saqué conclusiones de sus propias palabras, e intenté responder de manera más o menos ordenada a todas las preguntas que formuló.

    ¿A qué conclusión quiere llegar? ¿Que el sistema es de nivel bajo? Pues sí, de nivel muy bajo, pero tal cosa me parece una obviedad que no haría falta ni que mencionásemos. Lo que no me parece tan correcto es que desmerezca a los chicos que después de varios años de entrenamiento se disponen a representar a su país en una competición de este tipo. Y es que no solamente se premian los conocimientos, sino también el esfuerzo y capacidad de superación, la curiosidad y las ganas de seguir adelante con algo ya empezado; ya que todo ello es necesario para llegar a poder ganar una IMO.

    Para finalizar debo darle la razón cuando dice que algunos de los ganadores de la IMO son auténticos autómatas capaces solamente de resolver este tipo de problemas, y es por ello que podríamos decir que no se trate de genios. Asimismo, no diría nunca que llegar a hacer esto, ni siquiera de forma automática, no tenga mérito (porque si así fuera, no tendría mérito ninguna disciplina que no requiera creatividad en cada paso). Por el otro lado, recalco que, si bien algunos de los ganadores de la IMO son autómatas, otros son lo que llamaríamos comúnmente genios. Se trata de personas interesadas en las matemáticas, entrenadas para resolver este tipo de problemas, pero que ante situaciones diversas sabrían reaccionar igualmente; no son robots ni gente que simplemente se ha preparado mucho, sino personas que han conseguido desarrollar una intuición más allá de la mecánica de dichos problemas.

    Y para acabar, NO, nada es maravilloso. Pero se puede avanzar más desde la positividad y la crítica constructiva y productiva que desde el negativismo que se demuestra en cada uno de sus comentarios.

    De nuevo, pido disculpas si se sintió insultado, esa no era mi intención sino más bien opinar sobre lo que dijo, y sobre cómo lo dijo.

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  33. Sigue usted por el mismo camino ‘etr’, no entiende absolutamente nada y no es usted quien para conjeturas psicológicas o morales sobre personas desconocidas, que es simplemente lo que está haciendo.

    Lo que le sucede es que no está acostumbrado a que se presenten los temas sin tapujos, directamente, y eso le parece “agresivo” o “con aires de superioridad”. Penoso de verdad; aprenda usted de quien sí sabe ver el fondo de la cuestión que se presenta, como JJGJJG o Maelstrom, a los que no “hieren” otras opiniones y saben ver y contestar al fondo real de estas.

    Mire, haga el favor de no volver a referirse a mí al igual que yo no voy a volver a referirme a usted.

    JJGJJG: con el apunte sobre los nicks me refiero al problema real que estos conllevan, el total anonimato, lo que da pie a falsas opiniones y a todo tipo de trapacerías; una opinión sin identificar, aún pareciendo coherente, no se puede tomar en serio ya que detrás de ella puede ocultarse cualquier tipo de persona con cualquier intención, la más directa el posible engaño o la agresión.

    Hay que preguntarse cuantas personas escribirían de verdad, al menos opiniones de algún modo comprometidas, si se supiesen quien son; la desbandada seria casi total. Este anonimato hace que en estos medios apenas puedan formarse grupos, de cualquier tipo, comprometidos con algo, ya que el verdadero conocimiento entre estas personas es difícil o imposible.

    Es por ello que no creo que, al menos en medios de cierto nivel, sea conveniente al anonimato. Las opiniones hay que mantenerlas haciéndose responsable de ellas, lo que no es posible en las actuales circunstancias, y sin responsabilidad poco valor tiene lo que digamos.

    (Sigue…)

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  34. ..2

    Le agradezco su paso y opinión sobre mí página, pero ya habrá visto que en el momento actual solo está completada la sección “Damas” de mi página original, aunque hay suficiente material para mucho tiempo; agradecería su opinión sobre los programas existentes en esa sección, juego contra IA, bases de datos, etc. que programé en exclusiva para la página.

    A ver si saco tiempo para ir cumplimentando el resto; fíjese que ni siquiera he dado conocimiento de mis propias obras en otras secciones, como “Dominó”, donde tengo editado el libro “El arte del dominó: teoría y práctica” (Editorial Paidotribo) que lleva CD con varios programas de IA, laboratorios, etc. de mi autoría ¡y ni tengo tiempo de ponerlo!

    Sobre las inteligencias, de verdad que no soy ni es para tanto; estamos viviendo una época donde efectivamente, existe gran fracaso, a muchas personas les parece imposible ciertas cosas, pero nada más lejos de la realidad, todo es cuestión del adoctrinamiento psicológico al que estamos sometidos. Recuerdo una frase que dice “Lo hicieron porque no sabían que era imposible”. Pues eso es lo que sucede, a las personas se les presenta el mundo como una barrera insuperable de afrontar y por tanto no creen en ello. Si a alguien le dices que haga “x” cosas simultáneamente o de cierta pretendida dificultad se espantará, no lo creerá posible, pero si esa misma persona estuviese educada en afrontar todo sin más, en no creer en imposibles y en luchar continuamente ¡lo haría y fácilmente!

    Yo me asombro cuando voy a cualquier establecimiento, donde me atienden personas que por propia confesión apenas han estudiado porque se creen que “no valían”, pero que tienen tal retentiva y capacidad memorística y de reconocimiento de comportamiento y patrones ¡que en realidad son muy inteligentes y no lo saben! Eso es lo que sucede, cantidad de personas pueden hacerlo pero jamás se atreverán porque les han educado en lo imposible y en “seguir lo establecido”, frenando cuando no destruyendo su fuerza, inteligencia y creatividad.

    Lo primero que se debería enseñar a las personas, desde su más tierna infancia, es “Nada es imposible y tú puedes lograrlo”, con el correspondiente y real sistema educativo a seguir. Tendríamos talentos por todos lados.

    Saludos cordiales,

    José Luis González Sanz
    http://personales.ya.com/damasclasicas

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  35. Llego tarde, así que tal vez mucho se habrá dicho ya. Coincido con JJGJJG en el fondo de su argumentación. Sin embargo, habiendo vivido competiciones de algunas cosas a lo largo de mi vida, creo que lo natural al afrontarla es prepararse. Además, lo lógico es preparase de forma específica. Si los retos que la competición plantea, muestran un patrón, lo normal es estudiar ese patrón y sacar consecuencias y aplicarlas a nuestro entrenamiento (hasta aquí creo que no varía lo dicho de lo que se hace en cualquier deporte, donde se perfeccionan y entrenan una serie de habilidades básicas que nos pueden acercar al triunfo). Tengo el firme convencimiento de que cuando se emplea el término “competición” el objetivo es “ganar”. Y se hace lo necesario para ello. Parecería normal, ¿no?
    Fuera de esto, los argumentos y ejemplos que pusieron unos y otros me parece muy respetables y no es mi deseo (aunque estoy muy de acuerdo con JJGJJG) descalificar o no valorar en lo que merece el resto de ideas y opiniones aportadas.
    Vamos por el siguiente problema, ¿no?

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  36. La cuestión de una preparación específica (“de manual”) para las IMO es evidente.

    Pero, si usted va a competir por ejemplo en atletismo, dudo mucho que prefiera prepararse jugando baloncesto o algo por el estilo.

    Además, dudo mucho que si usted toma al azar de una “población” escolar promedio los elementos que conformarán el equipo y les prepara intensivamente por un tiempo considerable, estos puedan desarrollar la habilidad requerida con las matemáticas.

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