Increíble pero cierto

¡Lo veo, pero no lo creo!

Georg Cantor

Demostró que el conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales no es numerable (es decir, que no se puede poner en correspondencia biunívoca con el conjunto $\mathbb{N}$ de los números naturales). Pero no se quedó ahí. Al demostrar que los números reales sí se pueden poner en correspondencia biunívoca con los puntos del plano, es decir, que hay tantos puntos en una recta como en un plano, o que el cardinal de $\mathbb{R}$ es igual al cardinal de $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ . Se quedó tan perplejo que no pudo hacer más que pronunciar esta frase.

20 comentarios

antonia | 8 de June de 2010 | 15:17

¿Entonces el cardinal de los números complejos es el mismo que el de los reales??
Dani | 8 de June de 2010 | 15:29

$\mathbf{Teorema:} \, \, \, card(\mathbb{R}^2 )= card( \mathbb{R} )$

$\emph{Demostraci\'on:}\quad$ Si $I=[0,1)$ es suficiente demostrar que $card(I)=card(I^2)$ . Además, como la aplicación $t \mapsto (t,0)$ es obviamente inyectiva se tiene $card(I) \leq card(I^2)$ . Para ver la otra desigualdad procedemos de la siguiente manera: sabemos que cada número real $0 \leq x < 1$ admite una expresión decimal $x=0.x_1x_2x_3\ldots$ en series de potencias: $x=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x_k}{10^k}$ . Además esta expresión es única si exigimos que la sucesión $(x_k)_{k=1}^{\infty}$ no acabe siendo constantemente nueve a partir de algún punto (¿demostración?). Consideremos entonces la aplicación $\phi: I^2 \rightarrow I$ que hace corresponder al punto $(x,y) \in I^2$ el número $\phi(x,y)=0.x_1y_1x_2y_2x_3y_3\ldots$ donde $x=0.x_1x_2\ldots$ y $y=0.y_1y_2\ldots$ son los únicos desarrollos decimales de $x$ e $y$ que no acaban en una ristra de nueves. Así pues es claro que la sucesión $( x_1,y_1,x_2,y_2,\ldots)$ tampoco acaba en una ristra de nueves, y por lo tanto la aplicación es inyectiva. Esto demuestra $card(I^2) \leq card(I)$ , y entonces el Teorema de Cantor–Bernstein–Schroeder nos permite concluir que $card(I^2)=card(I). \emph{Q.E.D}$ .
Dani | 8 de June de 2010 | 15:35

El hermoso teorema de Cantor–Bernstein–Schroeder dice que si tenemos aplicaciones inyectivas $f:X\rightarrow Y$ y $g:Y \rightarrow X$ entonces existe una aplicación biyectiva $h: X \rightarrow Y$ . En términos de cardinales con la definición:
$card(X) \leq card(Y) \Leftrightarrow \exists f:X \rightarrow Y$ inyectiva,
$card(X)=card(Y) \Leftrightarrow \exists h:X\rightarrow Y$ biyectiva,
podemos concluir $card(X) \leq card(Y), \, \ card(Y) \leq card(X) \Rightarrow card(X)=card(Y)$
De esta manera resulta que la relación $\leq$ es de orden incluso cuando los cardinales no son finitos.
José Luis | 8 de June de 2010 | 15:45

Yo tampoco me creía que habría tantos puntos en una recta como en un plano, el día que se lo oí decir al profesor no concebía que fuese así.
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Bitacoras.com
Benja | 8 de June de 2010 | 17:09

La verdad es que cuesta asimilarlo al principio. Supongo que el hecho de que el cuerpo de los complejos tenga el mismo cardinal que el de los reales es similar a que el de los racionales sea numerable.
Naka Cristo | 8 de June de 2010 | 22:08

Ahora me asalta la duda de si para todo conjunto infinito $S$ existe una bijección entre $S$ y $S^2$ .
Garred | 9 de June de 2010 | 01:46

Mmm no se mucho de matemáticas así que lo mismo digo una burrada… pero ¿hay algún otro conjunto “mas denso” (o como se diga) con el que el conjunto de los números reales no pueda corresponderse de forma biunívoca? Es decir, que el conjunto R sea a ese otro conjunto como N a R… ¿me explico? ¿tiene algún sentido?
G | 9 de June de 2010 | 03:06

Tiene mucho sentido lo que dices. Ese conjunto puede ser por ejemplo el conjunto formado todos los subconjuntos de R.

P(R) = {subconjuntos de R} llamado conjunto de partes de R

N es a R
como R es a P(R)
Trackback | 9 Jun, 2010

Que no, que el conjunto de los números reales no es numerable | Gaussianos
josejuan | 9 de June de 2010 | 08:54

A mí lo que más me llamó la atención fué que, siendo Q denso en R, fuera la cardinalidad de Q igual que la de N.

Yo creo que, símplemente, no he entendido el alcance real de la numerabilidad de conjuntos infinitos y que lo más que puede hacer mi pobre intuición es equiparar la cardinalidad de conjuntos infinitos con la de los finitos. De ahí que me quede con que “en cualquier ‘trozito’ de espacio, siempre hay más reales que racionales”.

En fin…
Trackback | 9 Jun, 2010

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Dani | 9 de June de 2010 | 10:08

argh! ^DiAmOnD^ se me ha borrado un comentario bastante largo que escribí ayer! alguna idea de qué ha pasado?
Sive | 9 de June de 2010 | 11:26

A mí lo que me asombra es que haya cerebros por ahí capaces de sorprenderse con nada relacionado con el infinito. Yo en ese terreno me pierdo tanto que pierdo cualquier capacidad de sorpresa, sean cuales sean las conclusiones a las que lleguen las demostraciones.

Las acepto sin más, igual que podría haber aceptado las contrarias (previa prueba, claro).
gaussianos | 10 de June de 2010 | 03:03

Dani, ni idea. He mirado en spam, porque a veces a Akismet se le va la olla y mete ahí comentarios buenos, pero no está .
ant | 10 de June de 2010 | 22:13

¿Por qué dos conjuntos con el mismo cardinal,en uno podemos definir una relación de orden (reales) y en otro no (complejos).
Dani | 10 de June de 2010 | 23:47

¡claro que podemos definir una relación de orden en los complejos! de hecho si se acepta el axioma de elección resulta que todo conjunto admite no sólo un orden, si no un orden bueno! (Un orden en un conjunto $X$ se dice un buen orden si todo subconjunto $A \subset X$ tiene un mínimo relativo a ese orden: $(\mathbb{N},\leq )$ está bien ordenado (¿demostración?) pero $(\mathbb{R},\leq )$ no, puesto que ni siquiera el propio conjunto tiene un mínimo). De hecho el Principio de la Buena Ordenación es equivalente al axioma de elección (y ambos lo son también al Lema de Zorn y otros principios maximales).
Otra cosa muy distinta es el hecho de que el orden usual $\leq$ de los reales no se pueda extender a los complejos conservando sus propiedades básicas. La demostración es un ejercicio divertido.

Si quieres un orden explícito en $\mathbb{C}$ puedes tomar el orden lexicográfico o “orden del diccionario”:
$a+ib \leq_{lex} c+id \Leftrightarrow a<c$ o $a=c$ y $b\leq d$ .
gaussianos | 11 de June de 2010 | 03:36

Dani, ya publiqué algo sobre ese tema en este post.
Dani | 11 de June de 2010 | 11:18

…
infinitoalae | 16 de June de 2010 | 04:56

Fascinante, el infinito deslumbra.
es precioso el hotel de hilbert y sus variantes. Estas cosas son las que hacen hermosa a la matemática.