Infinitas formas de representar los enteros

Comenzamos este mes de julio con el problema de la semana. Ahí va:

Demostrar que cada n entero se puede representar de infinitas formas como

n=\pm 1^2 \pm 2^2 \pm 3^2 \pm \ldots \pm k^2

con k \in \mathbb{N} y elecciones adecuadas de los signos + y -.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

34 Comentarios

  1. A mí lo que se me ocurre es lo siguiente. El enunciado a probar equivale a probar que el número 1 se puede expresar de infinitas formas distintas (con la regla de que si usamos un número en una de las combinaciones para hacer el 1, no lo podemos usar en ninguna otra).

    Notemos:

    n^2-(n-1)^2 = 2n-1. Y obviamente hay infinitos cuadrados de la forma 2n como pueden ser al tomar n como 8, 32, 124 obtenemos los cuadrados de 4, 8, 16.

    Entonces n^2-(n-1)^2 -2n=-1 y todo se resumiría en tomar un n que verifique que 2n es un cuadrado perfecto.

    Sea n_0=8 y por tanto la forma de expresar -1 es: 8^2-7^2-4^2=-1 (para expresar 1 cambiamos el signo).

    Ahora escogemos n_1 como un número perteneciente a la sucesión 8, 32, 124,… 2*4^k y que verifique que n_1 es mayor que n_0^2. Que siempre es posible pues la sucesión 2*4^k es no acotada.

    Construyendo así sucesivamente los iterantes estamos garantizando infinitas formas distintas de expresar el 1. Para expresar cualquier número n, sumamos n de estas formas de obtener 1 (pero al ser infinitas formas de expresar el 1, hay infinitas formas de combinarlas).

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  2. Perdón, acabo de releer el problema y vi que leí mal el enunciado. Disculpas.

    Lo que sí es cierto, es que tiene que haber al menos algún número que se represente de infinitos modos puesto que las posibilidades de combinar los signos entre los valores que puede alcanzar la suma 2^k/(2n(n+1)(2n+1)/6) tiende a infinito.

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  3. Una vez que se demuestra que existe al menos una combinación que cumple la fórmula inicial, es bastante directo demostrar que hay infinitas (pista: con un cubo pequeño de números adicionales es suficiente).
    Pero claro, falta demostrar que al menos hay una…

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  4. Mmm, pensándolo mejor y basándome en lo desarrollado para demostrar que hay infinitas soluciones, es sencillo demostrar que hay al menos una manera de representar n de la forma deseada (construcción).
    Si nadie más se anima, luego lo pongo.

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  5. @Daniel Cao

    ¿Puedes explicar por qué habías leído mal el enunciado? A mí tu primer comentario me parecía correcto.

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  6. Yo lo que demostré es que había infinitas formas distintas de descomponer un entero como suma y resta de cuadrados.

    Pero en ningún caso tuve en cuenta que la suma de cuadrados tuviera que ser de la forma 1^2+-2^2+-…+-k^2 (podríamos decir que mi descomposición no era de “cuadrados seguidos”).

    Por ejemplo descompondría 1=4^2+7^2-8^2 (pero como ves la descomposición no se ajusta a lo propuesto).

    De hecho si probamos lo que en realidad se pide, lo que he hecho yo es un corolario trivial e inmediato.

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  7. este es de los entretenidos…

    + 1 + 4 + 9 + 16 – 25 – 36 + 49 + 64 – 81 = 1
    + 1 + 4 – 9 – 16 + 25 – 36 + 49 + 64 – 81 = 1
    + 1 – 4 + 9 + 16 – 25 + 36 – 49 – 64 + 81 = 1
    + 1 – 4 – 9 – 16 + 25 + 36 – 49 – 64 + 81 = 1
    – 1 + 4 + 9 – 16 – 25 – 36 + 49 – 64 + 81 = 1

    Debe haber un teorema que dice que si un problema no
    se resuelve tras estar 30min en Gaussianos se las trae…

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  8. @Santiago, más pistas: Si consigues (de forma genérica) con sumas y restas de cuadrados consecutivos obtener un cero, ya tienes más de la mitad del problema resuelto 😉
    @rtomas, vas por buen camino…

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  9. A.M. ya veo, muy buena pista. Con cualesquiera 8 cuadrados consecutivos se puede hacer un cero.

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  10. @rtomas, efectivamente! Con eso lo de infinitas soluciones es directo. Pero falta probar que al menos hay una solución para cualquier n. Para esto el truco está en mirar qué se puede hacer con menos de 8 cuadrados consecutivos…

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  11. A.M. si bueno, el resto ya me parecia mas facil:
    el 1 es 1^2
    el 2 es – 1 – 4 – 9 + 16
    el 3 es -1 + 4
    con cualesquiera 4 cuadrados consecutivos se puede hacer un 4.
    Asi que teniendo el 1,2,y 3 y cualquier multiplo de 4 ya esta.
    (los infinitos los dan los octetes de antes)
    gracias por la pista.

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  12. Si se me permite poner la siguiente migaja apuntada ya por A.M (sí, me aburría, jeje) …Es simplemente demostrar que 4 se puede expresar como suma/resta de cualesquiera 4 cuadrados consecutivos:
    4 = n^2 – (n-1)^2 – (n-2)^2 + (n-3)^2 = n^2 – n^2 + 2n – 1 – n^2 + 4n – 4 + n^2 – 6n + 9 = – 1- 4 + 9 = 4

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  13. Veamos primero que para todo m natural, se verifica:
    m^2 – (m+1)^2 -(m+2)^2 + (m+3)^2 = 4
    Desarrollando;
    m^2 – (m+1)^2 -(m+2)^2 + (m+3)^2 = m^2 – m^2 – 2m – 1 – m^2 – 4m – 4 + m^2 + 6m +9= -1-4+9=4

    Probemos que existe alguna manera de expresar cada número natural como se enuncia:
    Sea n natural; puede ser:

    1. n = 4k ; en ese caso,
    n = (1 – 4 – 9 +16) + … + (m^2 – (m+1)^2 -(m+2)^2 + (m+3)^2 )
    donde m = 4(k-1) + 1

    2. n = 4k -1 . En este caso,
    n = -1 + ( 4 – 9 -16 +25) + … + (m^2 – (m+1)^2 -(m+2)^2 + (m+3)^2 )
    donde m = 4(k-1) + 2

    3. n = 4k – 2. En este caso;
    Si k = 1,
    n = 2 = -1 -4 -9 +16
    Si k > 1,
    n = (-1 -4 -9 +16) + (25 – 36 – 49 + 81) + … + (m^2 – (m+1)^2 -(m+2)^2 + (m+3)^2 )
    donde m = 4(k-1) + 1

    4. n = 4k – 3. En este caso;
    como -3 = 1 -4
    Si k = 1;
    n = 1 = 1
    Si k > 1,
    n = (-1 + 4) + (9 – 16 – 25 + 36) + … + (m^2 – (m+1)^2 -(m+2)^2 + (m+3)^2 )
    donde m=4(k-1) -1

    Ahora veamos que hay infinitas maneras de escribirlo.
    Como para todo n natural, trivialmente, n = n + 0
    Y, podemos que podemos escribir el 0 de infinitas maneras, ya que para todo m natural, se cumple que:
    (m +7)^2 – (m+6)^2 – (m+5)^2+ (m +4)^2 – (m+3)^2+ (m +2)^2 +(m+1)^2 – m^2 = 14m + 49 – 12m -36 – 10m – 25 + 8m + 16 – 6m – 9 + 4m + 4 + 2m +1 =0

    Entonces, si en la representación que vimos al principio teníamos que
    n= (+-)1^2 + …+ (+-)k^2
    podríamos expresar
    n = (+-)1^2 + …+ (+-)k^2 – (k+1)^2 + (k+2)^2 + (k+3)^2 – (k+4)^2 + (k+5)^2 – (k+6)^2 – (k+7)^2 + (k+8)^2
    e ir añadiendo así grupos de 6 cuadrados sucesivos que sumen 0.

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  14. Lo siento; en el 4º caso debería ser;
    n= 4k -3
    si k>1,
    n = (1 – 4) + (9 – 16 – 25 + 36) + … + (m^2 – (m+1)^2 -(m+2)^2 + (m+3)^2 )
    donde m=4k-1

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  15. @Daniel Cao

    A mí me pasó lo mismo y lo peor es que no me di cuenta cuando lo dijiste tú.

    Si lo entiendo bien, la clave es que si tenemos una expresión de sumas y restas de cuadrados de un conjunto de números, con un valor, de forma que los números con signo + y los de signo – suman lo mismo, entonces se puede sumar una constante a cada número y el valor no cambia.

    Usando eso se demuestra que con cualquier conjunto de 4 números consecutivos se puede conseguir un 4 y con cualquier conjunto de 8 números consecutivos se puede conseguir un 0.

    Y a partir de ahí todo lo demás.

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  16. golvano,
    no entendí qué quisiste decir con eso de que “se puede sumar una constante a cada número y el valor no cambia”…

    LMM,
    me parece correcto lo que dices, aunque creo que te complicaste un poco…
    Por ejemplo, desarrollaste la expresión de los 8 cuadrados consecutivos que dan cero, pero no era necesario. Si 4 cuadrados consecutivos con signos + – – + dan 4 está claro que otros 4 cuadrados consecutivos con signos – + + – dará exactamente -4 y la suma de los 8 dará 0.
    También haces casos 4k-1, 4k-2, 4k-3 y creo que hubiese sido más sencillo hacer “n mod 4”, es decir, el resto de dividir n entre 4… y tener expresiones del tipo: 4c+1 (cuando el resto es 1), 4c+2, 4c+3 (uso la letra c porque es el cociente y, además, para no confundir con la k del enunciado que es el número total de cuadrados)
    Por ejemplo: el caso n=1 tú haces “-1^2 + 4” y usas 5 cuadrados y yo digo que es más simple hacer “1^2”.

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  17. Creo tener otra forma de resolver el problema. Para mi fue mas facil al ver el cuadrado de un numero como la suma de impares consecutivos. Nuestro numero k debe ser expresado como la siguiente sumatoria:

    k=a1*1+4a2+9a3+…..+an*n^2. Donde an=(+-)1

    Ahora bien, yo puedo expresar el numero k como la siguiente sumatoria:

    k=m1+3m2+5m3+7m4+…..+(2n-1)mn.

    Vamos a revisar la primera sumatoria en funcion de los numeros impares

    k=a1*(1)+
    a2*(1+3)+
    a3*(1+3+5)+
    a4*(1+3+5+7)+
    .
    .
    .
    an*(1+3+5+7+…..+2n-1)

    Al relacionar la primera sumatoria con la segunda sumatoria, se tiene que:

    m1=a1+a2+a3+….+an
    m2=a2+a3+a4+….+an
    .
    .
    .
    mn=an

    Esto implica que

    |m1-m2|=|a1|=1
    |m2-m3|=|a2|=1
    |m3-m4|=|a3|=1
    |mn|=|an|=1

    De aqui se desprende lo siguiente

    an=(+-)1
    an-1=(-2,0,2)
    an-2=(-3,-1,1,3)
    an-3=(-4,-2,0,2,4)

    y asi sucesivamente hasta llegar a a1, el cual, si n es par, seria igual a

    a1=(-n,-(n-2),………,0,……….,(n-2),n)

    y si es impar:

    a1=(-n,-(n-2),………,-1,1,……….,(n-2),n)

    De esta forma llegamos a la conclusion de que el termino mn debe ser una unidad inferior o superior a sus terminos anterior y posterior. Ahora bien…. vamos a escribir el cero de la siguiente forma: Vamos a emplear los primeros 7 impares consecutivos con los siguientes coeficientes m1=1,m2=0,m3=-1,m4=0,m5=-1,m6=0,m7=1. Es decir,

    0=1*1+0*3+(-1)*(5)+0*7+(-1)*9+0*11+1*13=(13+1)-(5+9)=0

    la sumatoria con respecto a los cuadrados aplicando las relaciones anteriores entre ambas sumatorias seria la siguiente

    a7=1,a6=-1,a5=-1,a4=1,a3=-1,a2=1,a1=1, siendo asi:

    1+4-9+16-25-36+49=0

    El termino cero puede ser escrito cada 8p-1 terminos, donde cada uno de ellos serian impares consecutivos multiplicados por coeficientes que tienen el siguiente patron: el primer coeficiente es 1, luego 0, despues -1, despues 0, otra vez 1 y asi sucesivamente hasta llegar altermino central, el cual sera 0. Inmediatamente despues del termino central se invierte el patron: primero -1, despues 0, luego 1, otra vez 0, nuevamente -1, y asi sucesivamente. Es decir, un patron simetri con respecto al termino central.

    Por lo tanto, para obtener infinitas sucesiones de cuadrados perfectos para un mismo numero k lo que se debe hacer es convertir el numero en sucesion de terminos impares multiplicados por los coeficientes m; anadir un nuevo termino con el impar siguiente al ultimo, cuyo coeficiente sea cero, y luego una sucesion de 8p-1 terminos con coeficientes que comienzan con 1 y que poseen el patron mencionado anteriormente y que multiplican a los siguientes impares consecutivos. Un ejemplo….

    el numero 6 puede ser expresado, entre tantas formas, de esta manera en funcion de la primera sumatoria:

    1-4+9=6

    Pero tambien puede ser expresado en funcion de la sumatoria de impares consecutivos multiplicados por los coeficientes m de la siguiente manera:
    1*1+0*3+1*5

    Ahora bien si lo quiero escribir con otra sucesion hago lo siguiente

    1*1+0*3+1*5+0*7+1*9+0*11+(-1)*13+0*15+(-1)*17+0*19+1*21

    cuando quiero determinar la correspondiente serie enfuncion de cuadrados perfectos, obtengo a11=1,a10=-1,a9=-1,a8=1,a7=-1,a6=1,a5=1,a4=-1, a3=1,a2=-1, a1=1. Por lo tanto, se tiene que

    6=1-4+9-16+25+36-49+64-81-100+121

    Si quiero escribir 6 de otra forma puedo hacer dos cosaso aniadir otro termino a la sucesion con coeficiente termino y lugo aniadir otros 8p-1 terminos con el patron simetrico de coeficientes del que hablamos anteriormente. De esta forma podemos escribir un numero cualquiera en distintas sucesiones de cuadrados perfectos con coeficientes -1 o 1.

    He llegado a algo similar a lo de ustedes de otra forma, pero aun siento que falta algo.

    Agradezco su atencion……

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  18. Ah, por cierto, el problema este me recordó la secuencia de Thue-Morse (la cual conocí en el libro de Pickover “El libro de las matemáticas”)
    Que es una secuencia binaria definida de manera recursiva con esta regla: el 0 se transforma en 01 y el 1 se transforma en 10. Se parte de 0, el cual se transforma en 01 y en cada iteración se tranforman todos los dígitos así que en 01 cada uno de ellos se transforma dando como resultado 0110 (que recuerda a los signos de los 4 cuadrados) y transformando 0110 llegamos a 01101001 (que recuerda a los signos de los 8 cuadrados). Curioso ¿verdad?
    Y es que una propiedad de dicha secuencia es que también se puede formar añadiendo (yuxtaponiento) el complemento del término anterior. Y esto es justamente lo que se usa en este problema (nos interesa el signo contrario). Por ejemplo, partiendo de 01 el complemento es 10 y al yuxtaponer queda 0110 … el complemento de este es 1001 y al yuxtaponer queda 01101001

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  19. Me estoy preguntando si se podrá hacer lo mismo con cubos y con cualquier otra potencia…

    En el caso de cubos, restando dos cubos consecutivos nos libramos de las potencias cúbicas y queda una resta en función de un cuadrado… Intuyo que restando al estilo Thue-Morse (una resta de cubos menos la resta opuesta, 4 cubos) llegaríamos a una función de potencia 1 y con otra resta (8 cubos) llegaríamos a una constante… y con 16 cubos llegaríamos a obtener el 0.

    (m+1)^3 – m^3 = 3*m^2 + 3m +1

    (m+3)^3 – (m+2)^3 – (m+1)^3 + m^3 = 3*3m^2 + 3*9m + 27 – 3*2m^2 -3*4m -8 -(3*m^2 + 3m +1) = 27m -12m -3m +27-8-1 = 12m + 18

    o bien,
    [3*(m+2)^2 + 3(m+2) +1 ] – [3*m^2 + 3m +1] = 12m +12 + 6

    En los 8 cubos sería:
    [12 (m+4)+18] – [12m + 18] = 48

    Y con 16 cubos, obviamente, obtenemos el 0.

    Así que la constante obtenida es 48 y tenemos que ver si se pueden formar los 47 números con cubos…

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  20. @Acido

    Lo que intentaba era ver en qué condiciones se puede sumar una constante a cada número de una expresión de este tipo y que no cambie el resultado final. Por ejemplo:

    1^2-2^2-3^2+4^2=4

    11^2-12^2-13^2+14^2=4

    La segunda expresión se obtiene sumando 10 a los números de la primera. Y el valor se conserva si sumamos cualquier otro número.

    Sin embargo:

    1^2-2^2+3^2=6

    11^2-12^2+13^2=146

    En este caso el valor no se conserva.

    Es fácil ver que las condiciones que se tienen que cumplir son:

    – El número de elementos con signo + tiene que ser igual al número de elementos con signo -.

    – La suma de los elementos con signo + (los originales, no los cuadrados) tiene que ser igual a la suma de los elementos con signo -.

    Esa propiedad es muy interesante para conseguir infinitos grupos de números con el mismo valor, y por otra parte, las condiciones son fáciles de cumplir en el caso de números consecutivos, que es el del problema.

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  21. Basta con conseguir secuencias de resultaol 1 al 4, el resto se automatiza con lo visto para cuadrados de 4 y 8.

    1 = 1^2
    2 =
    3 = -1^2 + 2 ^2
    4 = 1^2-2^2-3^3+4^2

    Si conseguimos el dos, sumando series de valor cuatro conseguimos cualquier n.

    Los negativos son iguales con los signos cambiados y el cero ya se ha visto como construirlo con los 8 primeros

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  22. Una vez establecido como obtener el 4 sumando cuatro cuadrados consecutivos con los signos adecuados y el 0 sumando ocho cuadrados consecutivos con los signos adecuados basta obtener únicamente el 1 y el 2 ya que el 3 es innecesario pues 4*n + 3 es igual a -1^2 +4*(n-1).

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  23. Acido; he completado la demostración de los cubos que sugieres.
    Contamos ya con una secuencia de ocho cubos para obtener 48 y otra de dieciséis para obtener 0.
    En todas las sumas obtengo el resto de dividir por 48.
    Si este resto es mayor de 24 cambio todos los signos de la secuencia y le añado un grupo de ocho cubos que sume 48.
    Con el primer cubo obtenemos el 1.
    Con los dos primeros obtenemos 7 y 9.
    Con los tres primeros obtenemos 12, 14 y 20.
    Con los cuatro primeros obtenemos 2 y 4.
    Con los cinco primeros obtenemos 1, 5, 11, 15, 17, 21 y 23.
    Con los seis primeros obtenemos 3, 13 y 19.
    Por último, con los siete primeros obtenemos 0, 6, 8, 10, 16, 22 y 24.
    Ya tenemos todos los números del 0 al 24, luego también tenemos el rsto de sus complementarios a 40. Problema resuelto.

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  24. Genial, JJGJJG

    Empecé a hacerlo yo también y borré lo que había escrito sin querer (y no me puse a rehacerlo)…

    De todas formas, olvidaste el 18.

    Voy a ver si puedo obtenerlo “a partir” del 20 (tres cubos):
    27 – 8 -1 = 18 … Sí !! (el 20 es 1-8+27 … cambia el signo del 1)
    (si no hubiese probado por cercanía al 16)

    Publica una respuesta
  25. Efectivamente, yo también tenía ese 18, pero olvidé transcribirlo en mi comentario.

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  26. Así que tenemos que…

    Para cuadrados se obtiene:

    * una constante (4) con 4 consecutivos con signos + – – + y
    * cero con 8 consecutivos con signos + – – + – + + –

    Para cubos:

    * una constante (48) con 8 consecutivos con signos + – – + – + + – y
    * cero con 16 consecutivos con signos + – – + – + + – – + + – + – – +

    Para potencias cuartas… intuyo:

    * una constante (?) con 16 consecutivos + – – + – + + – – + + – + – – +
    * cero con 32 consecutivos
    + – – + – + + – – + + – + – – + – + + – + – – + + – – + – + + –

    En general, para potencias p-ésimas:

    * constante (?) con 2^p consecutivos de Thue-Morse
    * cero con 2^(p+1) consecutivos de Thue-Morse

    Faltaría calcular cuál es la constante en cada caso y demostrar la conjetura de que existen las formas inferiores a la constante para cualquier potencia (o demostrar que la conjetura es falsa, jejeje)

    (m+1)^p – m^p = Comb(p,1) * m^(p-1) + … + Comb(p,p-1)*m + 1

    Comb(p,1) = p

    (m+1)^4 – m^4 = 4 * m^3 + 6*m^2 + 4*m + 1

    [4 * (m+2)^3 + 6*(m+2)^2 + 4*(m+2) ] – [4 * m^3 + 6*m^2 + 4*m ] =
    = 4*3*2*m^2 + 4*3*4*m + 32 +24 m +24 +8 = 24m^2 +72m +64

    24 (m+4)^2 +72(m+4) +64 – [24m^2 +72m +64] =
    = 24*8m + 24*16 + 72*4 = 192 m + 672

    192(m+8) – 192m = 192*8 = 1536

    2*2 … 2= 2*1
    12*4 … 12 = 3*2*2 = p*2 *(p-1)
    192*8 …

    192 = 24*2*2^2 = 4*3*2 *2*4 = p! 2^(p-2) * 2^(p-3)

    En general: C_p = p! *2^(p-1) * 2^(p-2) * 2^(p-3) … *2^1

    Obtuve la fórmula revisando las diferencias sucesivas…
    Y verifico que se cumple para los casos calculados:

    C_4 = 4*3*2 * 2^3 * 2^2 * 2 = 24*64 = 1536
    C_3 = 3*2 * 2^2 * 2 = 48
    C_2 = 2 * 2 = 4

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  27. No he leido todos los comentarios y por lo tanto no se si se habrá hablado ya pero supongo que demostrando que estamos ante una serie alternada condicionalmente convergente, por el teorema de reordenamiento de Riemann ya lo tendríamos…

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