Infinitas incógnitas
Vamos con un problema. Bueno, en realidad son dos. La historia es calcular el valor de x en cada uno de los casos explicando cómo se ha obtenido cada valor:
Problema 1
Problema 2
Vía Ciencia y Conocimiento, de nuestro amigo Sable. En este post podéis encontrar las soluciones, pero no la explicación. Esperemos que no la publique antes de que se obtenga aquí, porque si es así le quitamos el chiste al asunto.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 4 de Julio de 2007
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Yawmy | 4 de Julio de 2007 | 12:35
Quizás mi solución sea muy básica, pero con una calculadora de mano he visto que funciona..
En ambos casos he seguido el mismo método. Elevar al cuadrado ambos miembros y pasar la x suelta al primero. Después igualas este nuevo primer miembro al que teníamos originalmente (puesto que los segundos miembros son iguales), y despejamos x.
En el primer caso me resulta x=6, y en el segundo x=0. El segundo se ve trivialmente, y en el primero si truncamos la serie de raices y empezamos con raiz de seis, al ir sumando y “sacando raíces” se llega a un número muy próximo a tres.
PD: Bravo por este blog! Seguid así!
Yawmy | 4 de Julio de 2007 | 12:38
Ups! En el segundo caso despejé mal, eso pasa por hacerlo de cabeza XD. También es válida x=2
Tito Eliatron | 4 de Julio de 2007 | 13:18
Problema 1: Llamemos S a la sucesión es ade raices
es decir S=Sqrt(x+Sqrt(x+…..))
Tenemos que S=3, pero si elevamos al cuadrado
9=s^2=x+S=x+3, de donde x=6.
Problema 2: x^2=S^2=x+S=2x, de donde x=0,2
Tito Eliatron | 4 de Julio de 2007 | 13:19
ups, no vi el comentatrio anterior de Yawmy… BRAVO por él
vengoroso | 4 de Julio de 2007 | 13:24
Se puede usar el mismo truco con los dos (o en un caso general): todo lo que viene después del primer signo “+” vuelve a ser igual a lo que había antes.
Más concretamente, si $L=\sqrt{ x + \sqrt{x + \sqrt{ x+\dotsb}}}, entonces tenemos (supuesto que todo converge) que
$L=\sqrt{x+L}$,
de donde $x + L = L^2$, y de aquí se resuelve $x$ según quién sea $L$ (3 en el primer caso, obteniéndose x=6, x en el segundo caso, obtenienedo x^2=2x, que tiene las soluciones x=0 y x=2).
¿Tengo premio?
mimetist | 4 de Julio de 2007 | 14:41
La segunda opción tiene también soluciones complejas. Depende de cómo se realice la descomposición.
Si la hacemos de manera que:
x = sqrt(x+x) , tenemos que
x² = 2x
x = 2
Pero si la hacemos cogiendo tres “x” a la derecha, obtenemos:
x = sqrt(x+sqrt(x+x))
x² = x + sqrt(2x)
(x² - x)² = 2x
x^4 - 2x³ + x² - 2x = 0
x(x³ - 2x² + x -2) = 0
de donde obtenemos las soluciones:
x = 0
x = 2
x = i
x = -i
Las soluciones del segundo caso no son tan simples como parece a primera vista
zaidmaths | 4 de Julio de 2007 | 15:19
Bueno, este es mi aporte:
Problema 1
Consideré la sucesión
a(sub)n=sqrt(x+a(sub)n)
(disculpen la notación)
como a(sub)n = 3
entonces
3 = sqrt(x+3)
9 = x + 3
6 = x
Problema 2
a(sub)n = sqrt(x + a(sub)n)
como a(sub)n = x tenemos:
x = sqrt(x + x)
x^2 = 2x
x^2 - 2x = 0
esto implica dos soluciones
x = 0
x = 2
Eso sería mi aporte, espero que esten bien
Saludos Desde Chile!!!!!!!
Sable | 4 de Julio de 2007 | 16:11
Gracias por la referencia ^DiAmOnD^.
Algo parecido a lo de mimetist había pensado yo. Grande!
Podríamos cojer otra variante de la segunda en la que las equis dentro del radicando serían cambiadas por 1. Entonces esto sería equivalente a φ. Visualizar en la actualización
http://criptociencia.blogspot.com/2007/07/infinitas-incgnitas.html
Nineliv | 4 de Julio de 2007 | 16:59
Hola.
Yo pensé en esto hace ya bastante tiempo. Y propongo estos problemas derivados:
1) Probar que la función R(x)=√(x+√(x+√(x+….))) cumple R(n(n+1))=n+1
2) Probar que (si ³√ representa una raíz cúbica) la función
C(x)=³√(x+³√(x+³√(x+…))) cumple C((n-1)n(n+1)) = n
Saludos.
Nineliv | 4 de Julio de 2007 | 17:02
Olvidé comentar, que así, obviamente R(6)=3 o que C(6)=2; y que estas relaciones sólo valen para números enteros positivos.
Leonardo | 4 de Julio de 2007 | 17:29
Según lo veo, la solución surge de elevar al cuadrado en ambos términos y luego remplazar todo lo que queda después del “+” por 3, ya que al tratarse de una serie infinita, no importa que le quitemos un término, sigue siendo igual a la serie original.
Entonces quedará una ecuación lineal:
9=x+3 donde la solución es x=6
En la segunda el procedimiento sería similar, pero en este caso al elevar al cuadrado, a la izquierda queda x^2 y la serie que queda después del “+” se remplaza por “x”, quedando:
x^2=x+x
x^2=2x
que tiene dos soluciones:
x=0 y x=2
Eso es todo, saludos…
(excelente la página, felicitaciones)
Leonardo | 4 de Julio de 2007 | 17:36
(Comentario no relacionado con el problema planteado)
Viendo esos problemas de conseguir los números del 1 al 100 con cuatro 4 o cuatro 9, etc… se me ocurrió investigar el mismo problema pero con cuatro números distintos que cumplieran alguna regla, por ejemplo, probé con las primeras 4 potencias de 2, (1, 2, 4 y 8).
Utilizando sólo suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación conseguí todos los números de 1 a 43, menos el 27 y el 37.
La pregunta que planteo (y de paso, si interesa, autorizo a que se transforme en un juego de gaussianos) es si se pueden formar esos dos números que me faltaron y si se puede seguir hasta completar los 100.
Por lo que estuve probando, algunos números sueltos arriba de 43 encontré, pero me da la impresión de que utilizando esas operaciones y ninguna más, no se podrá realizar.
Quizás agregando otras, como factoriales, se pueda. No lo sé.
Bueno, eso eso todo, perdón por la extensión y gracias por el espacio.
Saludos.
Leonardo | 4 de Julio de 2007 | 17:45
donda ha salido la cara con lentes… debería haber un 8, claro…
Víctor | 5 de Julio de 2007 | 1:29
Bueno, my two cents:
[1] 3 = sqrt(x + sqrt(x + …))
[2] 9 = x + sqrt(x + sqrt(x + …))
[3] 9 - x = sqrt(x + sqrt(x + …))
Como las partes derecha de [1] y [3] es lo mismo (llámese ‘y’ si se quiere), puedo igualar sus partes izquierdas, quedando:
[4] 9 - x = 3
[5] x = 6
Con un razonamiento similar:
[1] x = sqrt(x + sqrt(x + …))
[2] x² = x + sqrt(x + sqrt(x + …))
[3] x² - x = sqrt(x + sqrt(x + …))
[4] x² - x = x
[5] x² - 2x = 0
[6] x · (x - 2) = 0
[7] x = 0 y x = 2
Creo que todos llegamos a la misma conclusión, ¿no?
Marta | 5 de Julio de 2007 | 10:22
Bueno, estaba tan contenta por resolver un problema después de tantos años sin hacer matemáticas y encontrarlo fácil y cuando vengo a contaros mi solución ya la habéis mandado todos….
Gracias por poner en marcha la maquinaria parada y enhorabuena por el blog
TioPetros | 5 de Julio de 2007 | 11:03
Excelente problema, excelentes comentarios y excelente página. Todo lo que se ve por aquí es un placer para cualquier amante de la matemática. Enhorabuena.
Este problemita me induce otro, algo diferente pero con el mismo aroma:
demostrar la existencia del límite:
Lim (n->inf) de sqr(1+sqr(2+sqr(3+..+ sqr(n)…)
y encontrar dicho límite.
TioPetros | 5 de Julio de 2007 | 11:06
Por cierto, sabíais que
lim (n->inf) 2^(n+1). sqr(2-sqr(2+(sqr(2+(sqr2+…) , donde el número de sumandos tras el “2-” es n; es igual a pi?
^DiAmOnD^ | 5 de Julio de 2007 | 15:12
¡Hombre! TioPetros es un placer verte por aquí. Gracias por tus comentarios, es un honor recibirlos de ti.
Interesante lo que comentas. Le echaré un ojo y si eso igual lo propongo como problema.
Esperamos verte por aquí más a menudo. Y, por qué no, que reabras tu blog, sería un auténtico placer volver a leerte.
Anima-Sergio | 5 de Julio de 2007 | 17:39
En el segundo he podido resolverlo (usando el método de probar con un numero y a ver si da el resultado) y me da que x=0, el primero no tengo ni idea. Se me había ocurrido usar ecuaciones de recurrencia, para resolver la primera, pero no sirven porque te queda un (a_{n})^2.
En fin, esperare a que digas la solución.
Qeu | 5 de Julio de 2007 | 17:51
Como dice Mimetist en http://gaussianos.com/infinitas-incognitas/#comment-5885
Hay más de una solución. En concreto, las soluciones son todos los números (reales como mínimo, no lo he estudiado para los complejos) que son solución de las ecuaciones
x²=2x
(x²-x)²=2x
((x²-x)²-x)²=2x
(((x²-x)²-x)²-x)²=2x
…
Anima-Sergio | 5 de Julio de 2007 | 18:58
P.D.: Me autocorrijo, no es que no sirva usar ecuaciones de recurrencia porque te queda un (a_{n})^2, es mas porque no sé solucionar una ecuación de recurrencia que ponga (a_{n})^2 y pienso que tiene que haber otra forma mas sencilla. xD
Leonardo | 5 de Julio de 2007 | 22:16
Me da la impresión que esa serie de ecuaciones que plantea Qeu tienen todas soluciones x=0 y x=2 y el resto complejas.
Para la segunda: (x²-x)²=2x, calculé y tengo x=0, x=2 y x=i, x=-i
No lo probé para las otras, pero tengo la firme e intuitiva sospecha de que sucederá lo mismo. Y que, en definitiva, las únicas soluciones (reales, claro) son 0 y 2.
Saludos.
Leonardo | 5 de Julio de 2007 | 22:19
no, acabo de encontrar un error, retiro lo dicho, pero sigo pensando…
Leonardo | 5 de Julio de 2007 | 23:13
Bueno, volví…
El razonamiento que me lleva a deducir que no hay más soluciones que 0 y 2 es el siguiente:
Queda claro que, siendo el lado izquierdo de la igualdad, de cada una de ellas, un cuadrado, el término de la derecha NO PUEDE ser negativo, es decir que x debe ser mayor o igual a 0.
Luego, y aquí mi razonamiento se pierde en elucubraciones y supuestos lejanos a una demostración formal, además de las soluciones sabidas, 0 y 2, no puede haber más soluciones, ya que la expresión de la izquierda crece MUCHO más rápidamente que la de la derecha… veamos:
En el caso de (((x²-x)²-x)²-x)²=2x, para x=3 la expresión de la izquierda queda: 1179396 y la de la derecha queda 6.
Imagino, como dije antes, que de haber otras soluciones, se tratará, en cada uno de los casos, de soluciones complejas.
Eso es todo lo que puedo aportar.
Saludos.
Qeu | 5 de Julio de 2007 | 23:33
Leonardo, probado con derive, al cabo de 5 ó 6 veces salen gráficamente dos raices entre 1 y 2.
Leonardo | 6 de Julio de 2007 | 0:34
Veamos:
A mi me da la impresión que se trata de un error. Tengo una fe ciega en el razonamiento esgrimido en los comentarios anteriores por varios: no creo que despejando de esa manera se puedan encontrar otras raíces que no sean x=0 y x=2
En este momento no tengo tiempo, pero si este artículo sigue abierto para recibir comentarios, intentaré demostrarlo.
Saludos.
^DiAmOnD^ | 6 de Julio de 2007 | 2:36
Leonardo no te preocupes, seguirá abierto durante bastante tiempo, suficiente (espero) para que pienses en la demostración de este hecho.
Leonardo | 6 de Julio de 2007 | 18:50
Ahora tengo otra conclusión:
Para la expresión (((x²-x)²-x)²-x)²=2x, tenemos que para x=1, la expresión de la izquierda da 0 y la de la derecha 2, y para x=2, ambas expresiones dan 4.
Es decir que (((x²-x)²-x)²-x)² varía entre 0 y 4 y 2x varía entre 2 y 4 cuando x varía entre 1 y 2.
Un punto de “coincidencia” entre ambas expresiones se da, claramente, en x=2, que es una de las soluciones. El tema es que para que hubiera otra solución entre 1 y 2, la expresión (((x²-x)²-x)²-x)² debería “subir y bajar” para cruzarse con 2x, que es estrictamente creciente.
Y debería subir y bajar, es decir, tener máximos y mínimos, en el intervalo (1,2). Para verificar esto habría de derivar (((x²-x)²-x)²-x)² y buscar sus puntos críticos para luego verificar que efectivamente sube y baja y coincide con 2x en otro punto además del 2.
Bueno, no sé qué tan claro he sido, pero es lo mejor que puedo hacer por ahora.
Saludos.
Leonardo | 6 de Julio de 2007 | 19:09
Acabo de utilizar un programa que grafica y saca raíces y poniendo la función (((x²-x)²-x)²-x)²-2x no ha encontrado más que x=0 y x=2.
El programa se llama “Deadline” y se puede descargar desde http://deadline.3x.ro/download.html
Si alguno de ustedes puede verlo, les pido que me cuenten si el programa es bueno y confiable.
Saludos.
Leonardo | 6 de Julio de 2007 | 19:40
En el programa Deadline (http://deadline.3x.ro/download.html)
Grafiqué las funciones:
((((x²-x)²-x)²-x)²-x)²-2x
(((x²-x)²-x)²-x)²-2x
((x²-x)²-x)²-2x
(x²-x)²-2x
y todas ellas me dan que tienen raíces en x=0 y x=2.
Como verán, una demostración formal no tengo, pero mi conjetura es que todas las expresiones que salgan de pasar restando x y luego elevando al cuadrado, darán como únicas 2 soluciones las ya dadas.
Saludos.
Leonardo | 7 de Julio de 2007 | 0:42
Grafiqué:
x²-2x
(x²-x)²-2x
((x²-x)²-x)²-2x
(((x²-x)²-x)²-x)²-2x
y un par más de la serie y todas ellas tienen sus únicas raíces en x=0 y x=2.
La primera es una parábola, por supuesto, que corta al eje x en 0 y 2, y las demás son parecidas, solo que en cada paso de la serie pareciera ir deformándose la parte inferior al eje, sin llegar nunca a tocarlo.
Es decir, que las únicas raíces reales son 0 y 2.
No sé como hacer para poner imágenes de esto que digo.
Saludos.
^DiAmOnD^ | 7 de Julio de 2007 | 5:23
Leonardo mándamelas por mail si quieres y si eso las pongo:
gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Anil | 9 de Julio de 2007 | 2:33
Yo no sé mucho de nada, pero tengo una duda.
Si solo hay una incognita por qué se le llama al problema “infinitas incógnitas”?
Saludos
^DiAmOnD^ | 9 de Julio de 2007 | 18:26
Porque aunque sólo hay una incógnita aparece infinitas veces
Anil | 9 de Julio de 2007 | 23:00
Curioso Documento.
Alvaro | 22 de Agosto de 2007 | 17:17
Yo tengo una pregunta, ¿por qué se nos permite hacer esa sustitución en esta serie infinita, y sin embargo en la de la leyenda del ajedrez llegamos a un valor erróneo?
http://gaussianos.com/la-leyenda-del-ajedrez/
Saludos.
^DiAmOnD^ | 22 de Agosto de 2007 | 20:57
Álvaro: ¿qué sustitución?
Álvaro | 22 de Agosto de 2007 | 21:13
La sustitución de la sucesión por su valor original. En este caso la suma de raíces por 3, en el caso de la leyenda del ajedrez la suma de potencias de dos.
Álvaro | 22 de Agosto de 2007 | 21:17
Es decir, entiendo que una sucesión tiende a infinito mientras que la otra tiende a un número, pero el razonamiento es el mismo, ¿no?
^DiAmOnD^ | 22 de Agosto de 2007 | 21:33
Ah, vale.
Sí, el razonamiento es del estilo, pero como bien dices en el problema del ajedrez la suma es infinita. Por eso no podemos operar con ella como se hace en el problema.
Álvaro | 22 de Agosto de 2007 | 21:38
Sí, ahora que lo repienso, menuda tontería…
Pero está bien escondido en el ajedrez.
Álvaro | 22 de Agosto de 2007 | 21:38
Gracias.
^DiAmOnD^ | 22 de Agosto de 2007 | 21:41
Sí está bien escondido sí :).
De nada